4.5.1函数的零点与方程的解-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数零点与方程解的关系，通过课前自主学习中一元二次方程与对应函数的实例分析，结合函数图象与x轴交点的观察，搭建从具体方程根到抽象函数零点概念的学习支架，衔接函数图象知识与新内容。 其亮点在于以直观想象为核心，通过函数图象分析零点存在定理，结合数学思维开展分情况讨论（如分段函数零点个数与参数关系）和一题多解（代数法与图象法判断零点），实例丰富。教学方法注重自主探究与合作探究，帮助学生深化对函数与方程关系的理解，教师可借助定向训练和课堂练习提升教学效率。

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 素养目标 思维导图 1.结合学过的函数图象,了解函数的 零点与方程解的关系(直观想象). 2.结合具体连续函数及其图象的特 点,了解函数零点存在定理(直观想象). 课前自主学习 问题1.(1)观察下列一元二次方程与对应的二次函数: ①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3. ②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1. ③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3. 结合下面的表格,完成填空. 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 图象 与x轴交点的坐标 __________ _____ ___ 对应方程的根 ____ __ ___ (-1,0),(3,0) (1,0) 无 -1,3 1 无 (2)结合(1),你认为方程f(x)=0的根与对应函数y=f(x)的图象有什么关系? 提示:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等. 问题2.观察函数f(x)=x2-2x-3的图象: (1)f(x)在区间(-2,1)上有零点吗?　　　　;  f(-2)=　　　　,f(1)=　　　　,f(-2)f(1)　　　　0(填“<”或“>”).  提示:有　5　-4　< (2)f(x)在区间(2,4)上有零点吗?　　　　;  f(2)=　　　,f(4)=　　　,f(2)f(4)　　　0(填“<”或“>”).  提示:有　-3　5　< 【核心概念】 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x),使_____________叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数零点的意义 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有_____. 3.函数零点存在定理 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且 有__________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b) 使______,这个c也就是方程f(x)=0的解. f(x)=0的实数x x轴 零点 f(a)·f(b)<0 f(c)=0 课堂合作探究 探究点一　求函数的零点 【典例1】(1)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合 为　　　　　.  (2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点. 【思维导引】(1)根据复合函数与分段函数的性质化简方程,分别解方程即可. (2)将函数的零点问题转化为方程的根进行求解.可以用求根公式,也可以先因式分 解,再确定函数的零点. 【解析】(1)因为函数f(x)=所以f(f(x))-1=0等价于或 求解可得f(x)=0,或f(x)=2, 即或或或 解得x=-1或x=1或x=4. 答案:{-1,1,4} (2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,则b=3a, 故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令g(x)=0,即ax(3x+1)=0, 解得x=0或x=-.所以函数g(x)=bx2+ax的零点为0和-. 【类题通法】通过解方程求函数的零点的常用方法 (1)一元二次方程可用求根公式求解. (2)高次方程可用因式分解法求根. 【定向训练】 1.已知函数f(x)=ax-3(a>0且a≠1),且f(1)+f(2)=-,则f(x)的零点是(　　) A. B.-1 C.(,0) D.(-1,0) 【解析】选B.由题意可知:f(1)+f(2)=a+a2-6=-,整理化简可得:9a2+9a-4=0, 即(3a-1)(3a+4)=0,解得a=或a=-(舍去),所以f(x)=-3. 令f(x)=0可得x=-1,所以函数f(x)的零点是-1. 【题后反思】根据题意求出a=,然后令f(x)=0,可求零点. 2.已知-1和4是函数f(x)=ax2+bx-4的零点,则f(1)=　　　　.  【解析】由条件知所以 所以所以f(1)=a+b-4=-6. 答案:-6 探究点二　零点个数的判断 【典例2】(1)(多选题)函数f(x)= 的零点个数可能为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)函数f(x)=的零点个数是　　　　.  【思维导引】(1)根据分段函数的解析式,结合零点的定义,建立方程,利用方程与函 数的关系,作图看交点个数,可得答案. (2)在两种情况下分别解方程f(x)=0即可. 【解析】(1)选AB.由函数f(x)= 当x>0时,令f(x)=5x-6+log2x=0, 则y=log2x与y=6-5x的交点个数即为函数f(x)=5x-6+log2x的零点个数,如图所示: 由图可知,有1个交点,所以当x>0时,f(x)=5x-6+log2x只有1个零点; 当x≤0时,令f(x)=x2-m=0,则y=x2与直线y=m的交点个数即为函数f(x)=x2-m的零点个 数,显然当m<0时,函数y=x2与直线y=m的图象无交点,即函数f(x)=x2-m的零点个数 为0; 当m≥0时,函数y=x2与直线y=m的图象有1个交点,综上所述,当m<0时, 函数f(x)=有1个零点; 当m≥0时,函数f(x)=有2个零点. (2)令x2-2=0,解得x=(舍)或x=-; 令2x-6+ln x=0,即ln x=-2x+6,在x>0的范围内两函数y=ln x和y=-2x+6的图象有一个 交点,即原方程有一个根. 综上函数f(x)共有两个零点. 答案:2 【类题通法】确定函数零点个数的方法 (1)一元n次方程根的个数的问题,一般采用分解因式法来解决. (2)一元二次方程通常用判别式来判断根的个数. (3)指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题,一般用图象法来解决. (4)利用函数的单调性判断函数零点的个数. 【定向训练】 1.方程xlg(x+2)=1的实数根的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.不确定 【解析】选B.方程xlg(x+2)=1⇔lg(x+2)=. 在同一直角坐标系中画出函数y=lg(x+2)与y=的图象, 可得两函数图象有两个交点, 故所求方程有两个不同的实数根. 2.(一题多解) 求函数f(x)=2x+lg (x+1)-2的零点个数. 【解析】方法一:因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,所以f(x)在(0,1)上必定存在 零点.又显然f(x)=2x+lg (x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二:在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg (x+1)的草图. 由图象知g(x)=lg (x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有 一个交点,即f(x)=2x+lg (x+1)-2有且只有一个零点. 探究点三　判断零点所在的区间及函数零点的应用 【典例3】(1)已知函数f(x)=()x-1-log2x,若x0是方程f(x)=0的根,则x0∈(　　) A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2) 【思维导引】方程f(x)=0的根,即为函数f(x)=()x-1-log2x的零点,结合各选项,分别计 算函数取不同值的符号,根据函数零点存在定理判断即可. 【解析】选B.因为f()=(-1-log2=(>0,f(1)=-1-log2 1=-<0, 所以x0∈(,1). (2)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R. ①若f(x)为偶函数,求实数a的值; ②当a=4时,求函数f(x)的零点; ③若函数f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),求实数a的取值范围. 【解析】①由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意的实数x都成立, 所以a=0. ②当x∈[-2,2]时,f(x)=4+4x,令4+4x=0,解得x=-1; 当x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4, 令2x2+4x-4=0,解得x=-1±, 所以x=-1-.综上,函数f(x)的零点为-1和-1-. ③当|x|≤2时,f(x)=ax+4,方程ax+4=0在(0,4)上最多有一个实数根; 当|x|>2时,f(x)=2x2+ax-4,可得方程2x2+ax-4=0, 若x1,x2均为该方程的根,则x1·x2=-2,不合题意. 故x1∈(0,2],x2∈(2,4). 由ax1+4=0得a=-,所以a≤-2; 由2+ax2-4=0得a=-2x2, 所以-7<a<-2. 综上所述,a的取值范围为{a|-7<a<-2}. 【类题通法】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区 间上. (2)利用函数零点存在定理:先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否 有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断. 【定向训练】 1.若函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=+5的图象交点的横坐标所在的区间为(k,k+1),则整 数k可能为(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.易作出函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=+5的图象在y轴两侧各有一个交点, 设h(x)=f(x)-g(x)=2ex--5,则h(-1)=-4<0,h(-)=2+5>0,h(1)=2e-6<0,h(2)=2e2->0, 故h(-1)h(-)<0,h(1)h(2)<0, 所以函数h(x)的零点所在区间是(-1,-),(1,2).故k=-1或k=1. 2.(一题多解) 若直线y=2a与函数y=(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围 是　　　　　.  【解析】方法一:直线y=2a与y=(a>0,a≠1)的图象有两个公共点, 故=2a有两个不同的解, 故和共有两个不同的解, 因为2a+1>1,所以有且只有一个实数解. 若a>1,则1-2a<0, 故无解,而只有一个解, 故=2a有且只有一个实数解,与题设矛盾,舍去; 若0<a<1,因为只有一个解, 故需有一解, 故0<1-2a<1,故0<a<. 方法二:当0<a<1时,函数y=|ax-1|的图象如图(1)所示. 若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,由图象可知0<2a<1,即0<a<; 当a>1时,函数y=|ax-1|的图象如图(2)所示,此时2a>2,直线y=2a与函数y=|ax-1|的图 象只有一个公共点. 综上所述,a的取值范围是(0,). 答案:(0,) 课堂练习 1.方程2x+x=4的根所在的区间为 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】选B.构造函数f(x)=2x+x-4, 则函数f(x)为R上的增函数, 因为f(1)=-1<0,f(2)=2>0, 所以f(1)·f(2)<0, 因此方程2x+x=4的根所在的区间为(1,2). √ 2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,c异号,则函数的零点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 【解析】选C.因为方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac,a,c异号, 所以ac<0, 所以b2-4ac>0, 故方程有两个互异实根. 所以函数有两个零点. √ 3.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是 (　　) A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点 【解析】选D.由f(1)f(2)f(4)<0,知f(1),f(2),f(4)三个都为负或只有一个为负, 又因为f(0)>0, 所以函数f(x)在(0,4)内有零点. √ 4.若f(x)=,则函数y=f(4x)-x的零点是(　　) A.　 B.-　 C.2　 D.-2 【解析】选A.根据函数零点的概念,函数y=f(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的根, 解方程f(4x)-x=0,即-x=0,得x=. 5.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为　　　　.  【解析】由题意f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0,解得<k<.又因为k为整数,所以k=1. 答案:1 √ 谢 谢 $