4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 第四章 指数函数与对数函数 一 二 三 学习目标 了解二分法的原理 掌握二分法的实施步骤 体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想 学习目标 问题1 已知方程lnx+2x－6=0在区间(2,3)上有一个实数解，如何求这个实数？ 思考1 如何才能快速地将零点所在的范围尽量缩小呢？缩小到什么时候为止呢？ 先将零点所在的区间一分为二，再用零点存在定理，判定零点在哪一个区间. 然后又将零点所在的区间一分为二，再一次判定零点在哪一个区间，...，这样一直进行下去。直到达到所要求的精确度为止。 思考2 你知道什么是“精确度”吗？它是我们所说的“精确到”是一回事吗？ 精确度就是指近似值x*与准确值x的接近程度，通常用近似值x*的误差小于某个常数ε来表示,即|x*-x|<ε,则称它的精确度为ε。 一般地，若x*∈[a,b]，则当|a-b|<ε时，[a,b]内的任意值都可以作为x*满足精确度ε的近似值。 在有意义前提下，习惯上我们取区间[a,b](或（a,b）)的一个端点。 精确到则是按四舍五入的原则得到准确值x的一个若干位近似值x*。 在实际运用中，如果对一个数取近似值，我们用精确到，在一个区间(范围)内取近似值，我们用精确度。 思考3 如何用上述方法求方程lnx+2x-6=0在区间(2, 3)内的近似解(精确度0.01) 区间(a，b) 中点值c f(c)的值 （2，3） 2.5 -0.084 （2.5，3） 2.75 0.512 （2.5，2.75） 2.625 0.215 （2.5，2.625） 2.562 5 0.066 （2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 （2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 1.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 思考4 二分法的理论依据是什么？ 函数零点存在定理 思考5 若函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，该零点是否一定能 用二分法求解？ 二分法只适用于求函数的变号零点(图象在零点处穿过x轴，即两侧函数值异号的零点)，对于函数的不变号零点则不适用，如函数f(x)=(x-1)2的零点。 1.定义： 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)， 通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.原理：函数零点存在定理； 3.局限性：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. 一、二分法 例1 (1) (多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是 (2)已知f(x)=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是 A.9 B.8 C.7 D.6 大本P111 大本P112 练1 下列函数零点不能用二分法求解的是 A.f(x)=x3-1 B.f(x)=ln x+3 C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x-1 例2 用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的近似解时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表： 由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1) x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9 大本P111 11 练2 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 A.1.5 B.1.375 C.1.437 5 D.1.25 f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 练3 用二分法求方程3x+x-5=0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点2，那么下一个有根的区间是　　　　. 13 练4 在26枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_____次就可以发现假币. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 二分法求函数零点的要点 定区间，找中点，中值计算两边看； 零点落在异号间，区间长度缩一半； 周而复始怎么办 ? 精确度上来判断 . f(c)=0 b=c (a，c) f(c)·f(b)<0 (c，b) |a－b|<ε  2.二分法求函数零点近似值的步骤 f(a)·f(b)<0 例3 求函数f(x)＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]零点的近似值 (精确度小于0.1)时，至少需要进行多少次函数值的计算． 例4 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为 A. B. C.[0，ε) D.[0,2ε) $