26.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖二次函数图象与性质全知识点，通过题型梯度培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|配方、画图、性质等基础操作|选择填空为主，夯实概念理解| |B组能力进阶|参数关系、临界点问题|解答题深化，提升推理能力| |C组思维拔高|动态翻折、存在性探究|探究题设计，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题|对接测评，强化模型观念|

分层作业 26.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01一般式化成顶点式 题型02画二次函数的图象 题型03y=ax²+bx+c图象和性质 题型04待定系数法求二次函数解析式 题型05二次函数的图象与字母参数的关系 题型06一次函数与二次函数图象的综合判断 题型07二次函数的字母参数问题 题型08二次函数临界点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一般式化成顶点式题型01 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 4．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：题型02 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 5．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 6．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)填表，并画出此函数的图象； x … … y … … (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． x … 0 … y … 3 0 0 3 … y=ax²+bx+c图象和性质题型03 7．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 11．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 待定系数法求二次函数解析式题型04 12．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 13．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 14．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 16．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 二次函数的图象与字母参数的关系题型05 17．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 20．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 21．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 一次函数与二次函数图象的综合判断题型06 22．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 23．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 24．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 26．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 二次函数的字母参数问题题型07 27．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 28．（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 29．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 30．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 二次函数临界点问题题型08 31．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 31．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 40．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 44．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 45．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 46．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 47．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． x 0 1 2 3 4 y 48．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 49．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 51．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 52．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01一般式化成顶点式 题型02画二次函数的图象 题型03y=ax²+bx+c图象和性质 题型04待定系数法求二次函数解析式 题型05二次函数的图象与字母参数的关系 题型06一次函数与二次函数图象的综合判断 题型07二次函数的字母参数问题 题型08二次函数临界点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一般式化成顶点式题型01 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线 (3)当时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 4．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：题型02 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)二次函数的图象见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）解：二次函数的图象如图所示： （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点式，从而确定顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，再把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 则， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， （3）解：结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 依题意，把代入，得， ∴当时，y的取值范围为． 6．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)填表，并画出此函数的图象； x … … y … … (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表如下： x … 0 … y … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）解：由函数图像可知，当时，或． y=ax²+bx+c图象和性质题型03 7．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 9．（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 10．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 待定系数法求二次函数解析式题型04 12．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 13．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数一般式，将三点坐标代入构建三元一次方程组，解出后代回解析式． 【详解】解:设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 ， 解得， 故该二次函数的解析式为. 14．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 16．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 二次函数的图象与字母参数的关系题型05 17．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 18．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 19．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 20．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 21．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 一次函数与二次函数图象的综合判断题型06 22．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 23．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 24．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的性质，讨论：和的情况． 【详解】解：当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是上升的；抛物线开口向上，顶点在轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意； 当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是下降的；抛物线开口向上，顶点在轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意； 综上，A选项正确． 故选：A． 25．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 26．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 【详解】解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 二次函数的字母参数问题题型07 27．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 28．（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 29．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 30．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 二次函数临界点问题题型08 31．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 31．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 40．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 41．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 43．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 44．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 45．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 46．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 47．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 48．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 49．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 50．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 51．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 52．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $