14.2 三角形全等的判定之—斜边、直角边（HL） 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册“三角形全等的判定（HL）”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，通过阶梯式题型培养推理能力与几何直观，实现从单一判定到综合问题解决的知识内化。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-3、填空7-8）|HL判定直接应用|单一直角三角形背景，考查斜边与直角边对应关系，如选择1添加HL条件| |中档层（选择4-6、填空9-10）|HL与性质综合|结合角平分线、垂线等辅助线，如填空9通过作垂线构造HL全等，培养空间观念| |提升层（解答12-15）|多图形综合推理|四边形背景下多步论证，如解答14需两次全等证明线段关系，发展逻辑推理与数学表达|

14.2 三角形全等的判定之一斜边、直角边（皿）同步练 2026-2027 学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1.如图，已知AB⊥AC,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，则可 以添加的条件是() A.AE=CE B.AB=CD C.∠A=∠D D.BE=CE 2.如图，CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AF=BE,且AC=BD,则下列结论 不一定正确的是() F D A.AC∥BD B.∠C+∠B=90°C.∠A=∠D D RtAACE≌RtABDF 3.在Rt△ABC和Rt△ABC'中，∠C=∠C'=90°，下列条件中能利用HL判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是() A.AC=AC',∠A=∠A B.AB=AB',∠A=∠A C.AC=A'C,BC=B'C D.AC=A'C,AB=A'B' 4.如图所示，在△ABC中，AC=BC,AE=CD,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D, AE=7,BD=2,则DE的长是() B A.7 B.5 C.3 D.2 5.如图，点D,E分别在AB,AC上，BE与CD交于点O,且BD=CE,则从下列三个 条件：①∠B=∠C;②∠BD0=∠CEO;③OD=OE中，选一个条件能使OB=OC成立的 是() D B A.①或② B.①或③ C.②或③ D.①或②或③ 6.如图，C、D两点分别在射线OA,OB上，点P在LAOB的内部，且 CP=DP,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为点M、N,且CM=DN,若DN=3,CO=7, 则D0的长为() M D B A.10 B.13 C.15 D.17 二、填空题 7.如图，点E在△ABC的边BC上，D为线段BC上方一点，连接DE、DB,且AC=BE AB=BD,∠ACB=∠BED=90°，若∠I=28°，则∠2的度数为 D E 2 B 8.如图，在△ABC中，∠C=90,DE1AB于点E,CD=DE,若∠CBD=31°，则∠A= B 9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,作DH⊥BC于点H.BC=9, AB=5,则HC= D B H C 10.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D,交AC于点E.若BC=DB, AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,则△ADE的周长是 B 0 A E C 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边AB上一点，延长CB至点E,使 EB=AB=5,连接DE,AE.若DE=AC,且△ABC的面积为7，则△ADE的面积为 三、解答题 12.如图，四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE⊥AC于点F,交CD于点B,连接 EA,EA平分∠DEF」 D E (I)求证：AF=AD: (2)若BF=7,DE=3.求EF和CE的长. 13.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,∠DBE=∠C. E B D A (I)求证：△ADE≌△ADF: (2)若AB=6,CF=2,求AC的长. 14.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. D B (I)判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明： (2)若AD=10,CB=8,求△ABE和△DCE的面积之和. 15.如图①，在四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC,且AC=AD,点E在边BC上， 连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,AB=AF, B òB A 图① 图② (I)求证：∠DAF=∠CAB (2)如图②，连接AE,且AE是∠BAF的角平分线，求证：DF=EF+CE】 参考答案 题号 1 2 6 答案 B D B 0 B 1.B 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键.根据斜边和一条 直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可. 解：由题意可，BC=BC,即两直角三角形斜边相等， 若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，则还需一组直角边相等， 即AB=CD或AC=BD 只有B选项符合， 故选：B. 2.c 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键 根据题意得到RIAACE≌RtABDF,进行判定即可. 解：CE⊥AB,DF⊥AB, .∠AEC=∠BFD=90°， AF BE, .AE+EF=BF+EF .AE=BF 在RtACE和Rt△BDF中， AC=BD AE=BF, .Rt△ACE≌RtBDF(HL) 故选项D正确： ∠A=∠B, AC∥BD,故选项A正确： :∠A+∠C=90° ∠C+∠B=90°，故选项B正确： ∠A≠∠D,故选项C错误； 故选C 3.D 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握 全等三角形的判定定理是解题的关键. A.AC=A'C',∠A=∠A,加上∠C=∠C'=90°，可利用ASA证明Rt△ABC≌RtA4B'C', 故不符合题意： B.AB=A'B,∠A=∠A',加上∠C=∠C'=90°，可利用AAS证明RtABCS≌Rt△A'B'C', 故不符合题意： C.AC=AC,BC=B'C',加上∠C=∠C'=90°，可利用SAS证明RtAABCS≌RIAA'B'C, 故不符合题意； D.AC=A'C,AB=A'B',可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△AB'C',故符合题意： 故选：D 4.B 此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明RtAAEC≌RtACDB,又由AE=7, BD=2,得出CE=BD=2,AE=CD=7,进而得出答案. 解：：AC=BC,AE=CD,AE⊥CE,BD⊥CD .∠AEC=∠CDB=90°， .RtAAEC≌RtACDB 又：AE=7,BD=2, :CE=BD=2,AE=CD=7. .DE=CD-CE=7-2=5, 故选B 5.D 解：选①或②或③， 理由：当选①时： :∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE, 、△BOD≌ACOE(AAS) :.OB=OC; 当选②时， :∠BOD=∠COE,∠BDO=∠CEO,BD=CE, △BOD≌△COE(AAS) ..OB=OC; 当选③时， 过D、E分别作BE、CD的垂线交点G与点H. O GH 在RtADGO和RtEHO中， ∠DG0=LEH0=90°，∠D0G=∠EOH,OD=OE, △DGO≌△EHO(AAS) ∴DG=EH,OG=OH, 在Rt△DGB和RtAEHC中，DG=EH,BD=CE, Rt△DGB≌Rt△EHC(HL) .'BG=CH, ..OG+BG=OH+CH, 即OB=OC. 故选：D. 6.B RtaPCM≌Rt△PDN(HL) 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明 得到 PM=PN,CM=DN=3,则OM=CO+CM=10,进一步证明 Rt△OPC≌Rt△OPN(HL) 得到OW=OM=10,则D0=ON+DN=13 解：PM1OA,PN⊥OB .∠PMC=∠PND=90° .CP=DP,CM=DN. ,RtePCMS≌RtAPDN(HL) .PM=PN,CM=DN=3, ..OM=CO+CM=10 .PM=PN,OP=OP, ,Rt△OPC≌Rt△OPN(HL) .ON=OM=10」 .D0=ON+DW=13. 故选B, 7.62 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理.利用HL证明 Rt△ACB≌Rt△BED,得到∠A=∠2，再利用三角形内角和定理求解即可. 解：：AC=BE,AB=BD,∠ACB=∠BED=90°， Rt△ACB≌Rt△BED(HL) .∠A=∠2， ∠1=28°， .∠A=180°-90°-28°=62°， .∠2=∠A=62°， 故答案为：62°、 8.28° 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等. 由题意证△CDB≌aEDB得LEBD=∠CBD=3I°即可求解. 解：DE⊥AB,∠C=90° .∠C=∠DEB=90° 在RtACDB和Rt△EDB中， DC=DE DB=DB, .RtACDB≌RtAEDB(HL) ∴·∠EBD=∠CBD .∠CBD=31° .∠EBD=31° .∠ABC=∠EBD+∠CBD=62°， ∠A=90°-∠ABC=90°-62°=28°， 故答案为：28°。 9.2 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等 三角形解决问题， 过点D作DE⊥BA交BA延长线于E,证明△DBE≌△DBH(AAS),得到DE=DH, BE=BH t△ADE≌Rt△CDH(HL) AE=CH 再证明 ,得到 ，然后根据线段的和差关系 求解即可， 解：如图所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E, C.DH⊥BC ∴.∠DEB=∠DHC=∠DBH=90°， BD平分∠ABC, ∴.∠DBE=∠DBH, 在△DBE和△DBH中， ∠E=∠DHB=90° ∠DBE=∠DBH BD=BD .△DBE≌△DBH(AAS) ∴.DE=DH,BE=BH, 又：AD=CD ∴.Rt△ADE≌Rt△CDH(HL) .AE=CH, .BC=BH+CH=BE+CH, .BC=AB+AE+CH=AB+2CH, BC=9,AB=5, ∴CH=2 故答案为：2. 10.6cm/6厘米 本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明 Rt BDE≌RtABCE(HL) 是解本题的关键， 如图，连接BE,证明 taBDE≌RtBCE(HL),可得CE=DE,再利用三角形的周长公式 可得答案。 解：如图，连接BE。 B DE⊥AB, .∠BDE=90° ∴.∠BDE=∠C=90° 在RtABDE与RtABCE中， BC=BD BE=BE Rt△BDE≌RtABCE(HL) .'CE=DE, .△ADE的周长 =AE+AD+DE=AD+AE+CE=AD+AC=AB-BC+AC=5-3+4=6(cm) 故答案是：6cm. 11 11.2 该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积计算，解题的关键是证明三角形全 等 证明△MBC≌△EBD SAABC=SAEBD=7 得出 SoE=S,4e一S,0计算即可。 ,再根 解：：DE=AC,EB=AB=5,∠ABC=∠DBE=90°， :△MBC≌&EBD(HL) SAABC =SAEBD =7 2 0=25-7-1 SADE=S4BE-SERD=2 2 11 故答案为：2· 12.(1) BE⊥AC. .∠AFE=90°=∠D, ,EA平分∠DEF, ∴，∠AEF=∠AED, AE=AE, ∴.△AFE≌△ADE, .'AF=AD; EF=3,CE=4 (2) 本题考查全等三角形的判定和性质： (I)证明△AFE≌△ADE,即可得出结论； (2)根据全等三角形的性质得到DE=EF,证明△AFB≌△ADC,进而得到CD=BF, 利用线段的和差关系求出CE的长即可： (1)略 (2),△AFE≌△ADE, .EF DE=3: BE⊥AC, .∠BFA=90°=∠D, AD=AF,AB=AC .Rt△AFB≌RtAADC, :CD=BF=7, .CE=CD-DE=4 13.(1) 证明：DE⊥AB,DF⊥AC, .∠E=∠DFC=90°， 又：BD=CD,∠DBE=∠C, 、△DBE≌△DCF(AAS) .DE =DF, DE=DF 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD. Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) (2)AC=10 (I)先根据AAS证明△DBE≌△DCF,则可得DE=DF,再根据HL证明△ADE≌△ADF 即可. (2)根据全等三角形对应边相等可得BE=CF=2,AF=AE=8,进而可得AC的长. 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关 键. (1)略 (2)解：：△DBE≌△DCF，△ADE≌AADF, .BE=CF=2,AE=AF, 又AB=6, .AF=AE=8」 .AC=AF+CF=8+2=10 14.(1) AD=AB+CD,证明如下： 证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F, B ∠C=90° .EC⊥CD, ,DE平分∠ADC,EC⊥CD,EF⊥DF, .EF =CE, 又，E是BC的中点， .'CE=BE, .EF=BE, 在RtAAEF与Rt△AEB中， AE=AE EF=BE, RtAEF≌Rt△AEB(HL) :AB=AF, 在Rt△DEF与Rt△DEC中， DE=DE EF=CE, RteDEF≌Rt△EDC(HL) :CD=DF, 又，AD=AF+DF, .AD=AB+CD: (2)20 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线 是解题的关键。 (I)过点E作EF⊥AD于点F,根据角平分线的性质得出EF=CE,根据HL证明 Rt△AEF≌RtAEB得出AB=AF,继续证明 taDEF≌RtAEDC(HL) 得到CD=DF,即可 得出结论： (2)根据AD=AB+CD=10,求出梯形ABCD与△AED的面积即可求解. (1)略 (2)解：AD=AB+CD,AD=10, .AB+CD=10, ..CB=8. EF-CE-1CB-4 .△ABE和△DCE的面积之和=梯形ABCD的面积-△AED的面积 D+A8)8c-4D8r, =x10x8- 2 2*10x4 =20 15.(1)见解析 (2)见解析 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键 (1)证 Ri△ADF≌RtCAB(H),得出∠DMF=∠CMB,进而可得∠DAC=∠FMB,即 可得证： (2)连接AE,证明 t△AEF≌Rt△AEB(HI ,得出EF=BE,由Rt△ADF≌RtACAB,可 得DF=BC,即可得证. (1)证明：：在四边形ABCD中，∠B=90°，且AC=AD,点E在边BC上，AF⊥DE, 垂足为F,AB=AF, .∠DFA=90°=∠ABC, 在Rt△ADF和Rt△CAB中， AD=AC AF=AB, RtAADF≌RtACAB(HL) .∠DAF=∠CAB. (2)解：由(1)得：∠DFA=90°=∠ABC, .∠DFE=∠ABC=90°， 在RtAAEF和Rt△AEB中， AE=AE AF=AB, Rt△AEF≌Rt△AEB(HL) ∴EF=BE, ,RtAADF≌RtACAB. .DF=BC. .DF=BC=CE+BE=EF+CE, 即DF=EF+CE.