14.2 三角形全等的判定 同步练习-2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦三角形全等判定，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一判定到多结论推理的知识进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一判定定理（SSS/SAS/AAS/ASA）|选择填空题直接考查判定条件辨析（如第1-2题）| |综合应用|全等与特殊三角形性质结合|多结论判断题整合角度、线段关系（如第3题）| |拓展探究|动态几何与多结论证明|开放探究题（如解答题4）培养推理与创新意识|

14.2 三角形全等的判定 一．选择题 1．如图，AE＝CE，添加下列条件后不能判定△ABE≌△CDE的是（　　） A．BE＝DE B．AB＝DC C．∠B＝∠D D．∠A＝∠C 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，即CM＝CN，通过三角形全等，可知过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 3．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为边BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG延长线于点E．有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝EF；③F为EG的中点；④∠ADC＝∠BDF；⑤G为CF的中点．其中正确的有（　　） A．②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD 5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　） A．44° B．66° C．88° D．92° 8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c 9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 二．填空题 1．如图，△ACB中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝　 　 度． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，过点E作EF⊥AB，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD．点G在BC上，且CG＝BE．给出以下结论：①AD＝CG；②AD＝2BF；③若DC∥FE，则∠AEF＝2∠BEF；④∠EAF＝∠CDG，其中一定成立的有　 　 ． 3．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD．要使△ABC≌△ABD，还需增加一个条件可以是　 　 ． 4．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　 　 ． 5．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是 　 　 （填序号） 三．解答题 1．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．连接DC，EC． （1）求证：△ADC≌△BCE； （2）求证：AD＝AF． 2．如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：△ABD≌△CBE． 3．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 4．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：∵AC与BD交于点E， ∴∠AEB＝∠CED， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， 故A不符合题意； ∵“AE＝CE，AB＝DC，∠AEB＝∠CED”不符合全等三角形的判定定理， ∴添加条件“AB＝DC”后不能判定△ABE≌△CDE， 故B符合题意； 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（AAS）， 故C不符合题意； 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（ASA）， ∴故D不符合题意， 故选：B． 2．【解答】解：在△MOC和△NOC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴∠MOC＝∠NOC， ∵点M、N分别在OA、OB上， ∴射线OC是∠AOB的平分线， 故选：A． 3．【解答】解：∵CG⊥AD， ∵∠AGC＝∠BCA＝90°， ∴∠CAD+∠ACG＝∠BCE+∠ACG＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵AC＝CB，∠ACD＝∠CBE＝90°， ∴△ADC≌△CEB（ASA）， 故①符合题意； ∵△ADC≌△CEB（ASA）， ∴CD＝BE， ∵AD为边BC边上的中线， ∴CD＝BD， ∴BD＝BE， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BDF＝45°， ∴∠EBF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DBF＝∠EBF， ∵BF＝BF， ∴△BDF≌△BEF（SAS）， ∴DF＝FE， 故②符合题意； ∵FG⊥AC， ∴FD＞FG， ∴EF＞FG， ∴F不是EG的中点， 故③不符合题意； ∵△ADC≌△CEB， ∴∠ADC＝∠E， ∵△BDF≌△BEF， ∴∠BDF＝∠E， ∴∠ADC＝∠BDF， 故④符合题意； 如果G为CF的中点， ∴AD垂直平分CF， ∴DF＝DC， ∵DC＝BD， ∴DF＝BD， ∴∠BFD＝∠DBF，∠DFC＝∠DCF， ∴∠BFD+∠DFC＝∠DBF+∠DCF， ∴∠BFD+∠DFC180°＝90°， ∵∠AGF＝90°， ∴∠BFG不可能等于90度， ∴G不是CF的中点， 故⑤不符合题意． ∴其中正确的有①②④． 故选：C． 4．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D． 5．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中，， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中，， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 6．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 7．【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK＝∠BKN， ∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝44°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°， 故选：D． 8．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，∵AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c， 故选：D． 9．【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 10．【解答】解：在△ABC和△DEB中， ， ∴△ABC≌△DEB （SSS）， ∴∠ACB＝∠DBE． ∵∠AFB是△BFC的外角， ∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB， ∠ACB∠AFB， 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：∵AD和BE是△ABC的两条高， ∴AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， ∵AD、BE交于点H， ∴∠BDH＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠HBD+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠HBD＝∠CAD， 在△HBD和△CAD中， ， ∴△HBD≌△CAD（AAS）， ∴BD＝AD， ∴∠DAB＝∠ABC， ∵∠DAB+∠ABC＝90°， ∴2∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故答案为：45． 2．【解答】解：在AB上取一点H，使得FH＝BF， ∵EF⊥AB， ∴BE＝HE＝CG． ∴∠B＝∠BHE，∠BEF＝∠HEF． ∵∠BHE＝∠EAF+∠AEH，∠B＝∠EAF+∠BCD， ∴∠AEH＝∠BCD． 在△AEH和△DCG中， ， ∴△AEH≌△DCG（SAS）． ∴AH＝DG，∠EAF＝∠CDG，故④正确； ∵∠B＝∠EAF+∠BCD＝∠CDG+∠BCD＝∠DGB， ∴BD＝DG＝AH． ∴AH﹣DH＝BD﹣DH，即AD＝BH， 若AD＝CG＝HE， ∴HE＝BH＝BE，三角形BEH为等边三角形，∠B＝60°，不一定成立，故①错误； 若DC∥FE， ∴∠BEF＝∠DCG＝∠AEH， 又∵∠BEF＝∠HEF， ∴∠AEF＝∠AEH+∠HEF＝2∠BEF，故③正确． 故答案为：②③④． 3．【解答】解：这个条件可以是AC＝AD， 由条件可知∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， 故答案为：AC＝AD（答案不唯一）． 4．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 5．【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°， ∴②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC， ∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直于BC， ∴EF≠EC， ∴③错误； ④由③知AD＝AE＝EC， ∴④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三．解答题 1．【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）； （2）证明：由（1）知：△ADC≌△BCE， ∴DC＝CE，∠ADC＝∠BCE． ∴∠CDE＝∠CED． ∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED＝∠AFD，即∠ADF＝∠AFD， ∴AD＝AF． 2．【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠ABC＝60°， ∴∠A＝∠ECB， 在△ABD与△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． 3．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 4．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG＝AF，∠1＝∠2． ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． （3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD ＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 学科网（北京）股份有限公司 $