第5章 函数概念与性质 单元测试-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第5章 函数概念与性质 单元测试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域是一切实数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是偶函数，且在内是单调递增的，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 下列关于函数图象的对称性描述正确的有（ ） A. 若，则函数的图象关于直线对称 B. 若，则函数的图象关于点对称 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数与的图象关于点对称 10. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11. 已知函数的定义域是，，都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为实数，若函数是偶函数，则的值是 。 13. 已知函数对任意正实数，都有成立，则的值为 ；若，（均为常数），则的值为 。（答对一空给3分） 14. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时， ；不等式的解集为 。 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数，图象经过点，且。 （1）求的值； （2） 判断并用定义证明函数在区间上的单调性。 16. （本小题满分15分）已知函数。 （1）求证：； （2）若函数满足，则函数的图象关于点对称。设函数，求图象的对称中心（若不存在，说明理由）。 17. （本小题满分15分）已知函数。 （1）求的最小值； （2）设的最小值为，若正数满足，求的最小值； （3）设，若，求所有满足条件的的取值集合。 18.（本小题满分17分）经过市场调查，超市中的某小商品在过去的近50天的日销售量（单位：件）与单价（单位：元）为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似满足（），单价近似满足。 （1）写出该商品的日销售额（单位：元）与时间的函数解析式； （日销售额=日销售量×单价） （2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值。 19. （本小题满分17分）已知函数为定义在上的奇函数。 （1）求实数的值； （2） 当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。 参考答案与解析 一、单项选择题 1、答案：B 2、答案：B 解析：当时，，解得；当时，，解得（舍去），故或。 3、答案：A 解析：选项A：是偶函数，且在上单调递减；选项B：是奇函数；选项C：非奇非偶；选项D：在上单调递增。 4、答案：B 解析：函数定义域为，即分母恒成立。当时，分母为，满足条件；当时，需，解得。综上，。 5、答案：A 解析：当时，在处取得最小值；当时，，若，则在上单调递减，无最小值，不符合题意；若，则的对称轴为，需，即，解得。 6、答案：C 解析：由知在上单调递增。则需满足：①；②，即，解得。综上，。 7、答案：C 解析：由为偶函数，得，即；由，得，进而，故，周期。 的图象关于点中心对称，每两项和为，100项共50组，结合的偏移，总和为。 8、答案：B 解析：是偶函数，故，则。已知在上单调递增，，则；在上单调递减。 当时，；当时，。综上，解集为或。 二、多项选择题 9、答案：ABC 解析：选项A：令，则，故为偶函数，图象关于对称；选项B：令，则，故的图象关于点对称；选项C：函数与的图象关于即对称；选项D：函数与的图象关于直线对称，而非点对称。 10、答案：BCD 解析：由是奇函数，得；由是偶函数，得，故函数周期。 选项A：，无法直接得；选项B：（由对称性）；选项C：（由的奇偶性）；选项D：在上单调递减，由对称性得在上单调递增。 11、答案：AB 解析：选项A：令，则；选项B：任取，则，，由时，得，故在上单调递减；选项C：由，故原式和为，错误；选项D：，则，不等式即，结合单调性得，解得，但定义域要求，故不等式无解，错误。 三、填空题 12、答案：0 解析：偶函数满足，即，化简得对任意恒成立，故。 13、答案：0； 解析：令，则；。 14、答案：；或 解析：当时，，则；解：当时，；当时，。综上，解集为或。 四、解答题 15、解析： （1） 将点和代入函数得： ，化简得，解得，。 （2） 结论：在上单调递增。 证明：由（1）得。 任取，且，则： 。 由得，由得，故，即。 因此在上单调递增。 16、解析： （1）证明： ， ， 则， 故。 （2）解：，假设的图象关于点对称，则满足。 计算 。 上式为常数（与无关），则二次项和一次项系数为0： ，故的图象无中心对称点。 17、解析： （1）由绝对值三角不等式，，当且仅当时取等号，故的最小值为。 （2） 由（1）得，即（，）。 ， 由基本不等式，，当且仅当即时取等号。 故，即最小值为。 （3）化简： 当时，； 当时，； 当时，。 分三种情况： ① 两者都在内：， 解得，即； ② 两者都在内：，解得； ③ 两者都在内：，无解； 综上，的取值集合为。 18、解析： （1）由得，故。 ， 则日销售额， 化简得。 （2） ① 当时，， 当时，；当时，。 ② 当时，， 函数在上单调递减，故当时，；当时，。 综上，日销售额的最大值为元（），最小值为元（）。 19、解析： （1） 是上的奇函数，故，即。 （2）由(1)得，在上单调递减，在上单调递增。 证明：任取，且， 。 由，，， 当时，，则，故，即，单调递减； 当时，，则，故，即，单调递增。 （3）当时，，，求的值域： 当时，； 当时，，由基本不等式，故； 当时，，结合，得。 综上，，则（）。 ，，则在处取最大值，在和处取最小值，即。 由“对任意，总存在，使得”，得， 故需满足：， 解得：。 综上，实数的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $