第五章 函数概念与性质 章末培优检测卷-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第五章 函数概念与性质 章末培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可得，再代入求值即可． 【详解】． 故选：C． 2．已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【答案】B 【分析】先根据函数解析式求得，，然后再利用求解即可. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以. 故选：B. 3．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为偶函数可得，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又，且函数在上单调递减， 所以，即. 故选：A 4．函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据解析式确定定义域，再由奇偶性定义研究对称性，最后结合对应的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】由解析式知，定义域为， 由，则为奇函数，排除C、D， 当时，，此时，排除A. 故选：B 5．设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式. 【详解】设函数，由为上的奇函数，得， 则函数是上的偶函数，又， 依题意，对任意的，且，都有， 则函数在上单调递增，所以在上单调递减， 由，得， 不等式，即， 则，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 6．已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用单调性求出时的最小值，再根据题意讨论求解的取值范围,得到时符合题意；因此当时，只要研究的情况就可以了.当时，恒成立，当时，求出，根据题意得到的不等式，进行求解. 【详解】当时，，在上单调递减，所以， 则当，存在，使，符合题意. 当时，不存在，使. 所以只要即符合题意. 当时，只要研究的情况. 当时，恒成立，不符合题意； 当时，， 所以，则，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 7．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【答案】B 【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论. 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得， 所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以． 故选：B. 8．已知函数 为定义在R 上的减函数，下列说法不正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若， 则a的取值范围是 C． D．对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为 【答案】D 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】因为， 对于A，当时，， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即，解得， 即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故B正确； 对于C，∵， 即对所有的都成立， 因为函数是定义在上的减函数， 所以，恒成立，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以在上单调递减，又，所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 10．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义 即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得， 从而得函数有，解该不等式即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为， 所以，故， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD. 11．定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【答案】AB 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出和可判断函数图象关于直线对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于B，因为， 因为是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称， 根据周期性可知，的图象不关于直线对称，错误； 对于D，因为，， 所以，错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数满足，则在区间的最小值是 . 【答案】 【分析】通过联立方程组求出函数的解析式，再利用基本不等式求出其在区间上的最小值. 【详解】因为函数满足，所以, 所以,所以， 所以；当且仅当， 即时等号成立，在区间的最小值是. 故答案为：. 13．设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】根据已知判断函数的对称性及单调性，结合对称性得，然后利用基本不等式“1”的代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称， 又在单调递增，所以在单调递减， 又，，且有，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为7. 故答案为：7 14．定义在上的偶函数满足，则 ； . 【答案】 【分析】在中，令即可得的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是一个周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求. 【详解】因为，令，可得，则； 由函数为偶函数，则， 由， 令，则，即， 所以，则， 又，所以，则， 因此可得，故函数是一个周期为的函数； 在中，令，可得， 又，所以， 在中，令，可得， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)画出的图象; (2)根据图象求的单调区间和求的值域； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2)增区间为、，减区间为、，值域为 (3) 【分析】（1）化简函数的解析式，可作出函数的图象； （2）根据图象可得出函数的增区间、减区间以及值域； （3）根据函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示： （2）由图可知，函数的增区间为、，减区间为、，值域为. （3）因为函数在区间上单调递增，所以或， 所以或，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知函数是定义在的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求证：函数在上是减函数； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由奇函数的定义可得出的值，再由可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义可证得结论成立； （3）利用函数的单调性可得出函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数， 则，即，解得，则， 又因为，可得，故， 此时满足，即函数为奇函数， 所以； （2）任取，则 ， 因为，则，， 所以，即， 因此函数在上是减函数. （3）因为函数在上是减函数， 故，， 因此函数在上的最大值为，最小值为. 17．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可判断函数单调递增； （2）利用函数关于点的充要条件计算即可. （3）问题转化为在,上的值域,，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】（1）函数在单调递增；用定义法证明， ，设， . . ∵，，∴，∴在单调递增. （2）设函数的图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得：， 故的对称中心为； （3）由已知，的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， 当即时，在上单调递增， 注意到的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增， 故在单调递增，又，，故， ∵，∴，，解得： 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，在上单调递减， 故此时， 欲使，只需 且， 解不等式得：，又，此时， 当即时，在上单调递减，在上亦单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ∵，故，解得：， 综上：实数的取值范围是. 18．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得. （2）根据函数单调性的定义可证明. （3）根据函数的单调性求得的最小值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以， ，， ∴. （2）由（1）知. 任取、且，即，则，， 所以， ，则， 所以，函数在上单调递增. （3）由（2）知， 所以对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以，解得 所以的取值范围为.. 19．已知函数，． (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，时，求在上的值域； (3)若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数在上恒成立，可得二次函数开口向上，且，进而求出参数的取值范围； （2）按，两种情况分别求解函数的值域，进而将两段值域取并集即可求解. （3）按，，三种情况分类讨论，分别求解函数在及时的最小值.进而求得，最后再根据的解析式求解的最小值. 【详解】（1）要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足， 由此可得：，解得. 所以实数的取值范围是. （2）已知，时，. 当时，，由于函数开口向上且关于对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 由此可得：函数在上的值域为. 当时，，由于函数开口向上且关于轴对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 由此可得：函数在上的值域为. 综上可得：函数在上的值域为. （3）已知，，则， 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在上的值域为. 综上可得：当时，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 综上所述可得：， 当时，的最小值为 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 综上可得的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数概念与性质 章末培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 3．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   5．设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 8．已知函数 为定义在R 上的减函数，下列说法不正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若， 则a的取值范围是 C． D．对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 10．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数满足，则在区间的最小值是 . 13．设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为 . 14．定义在上的偶函数满足，则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)画出的图象; (2)根据图象求的单调区间和求的值域； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 16．已知函数是定义在的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求证：函数在上是减函数； (3)求函数在上的最大值和最小值. 17．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 18．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，． (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，时，求在上的值域； (3)若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $