第4节数列中的构造问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列构造通法，通过“递推式转化→目标数列构造→通项求解”逻辑链，系统训练构造等比、等差及倒数数列等核心方法，培养数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一阶线性递推|2题|构造等比数列（如aₙ₊₁-3=2(aₙ-3)）|利用待定系数法转化为等比数列定义式| |含指数项递推|1题|构造等差数列（如aₙ/2ⁿ为等差）|通过除法消去指数项，转化为等差模型| |二阶线性递推|3题|构造新等比数列（如aₙ+aₙ₋₁=4(aₙ₋₁+aₙ₋₂)）|拆分递推式为相邻项和的等比关系| |分式递推|3题|取倒数构造等差/等比（如1/aₙ₊₁=3·1/aₙ+1）|通过倒数变换简化分式结构| |乘积/平方型|2题|取对数/开方构造（如lg aₙ=n lg 2；√(aₙ+1)为等差）|利用对数/开方转化非线性递推为线性|

第4节　数列中的构造问题 一、单选题 1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　) A.2210－3 B.2211＋3 C.2210＋3 D.2211＋1 2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　) A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　) A. B. C. D. 6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　) A.16 B.32 C.64 D.128 7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　) A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列 C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310 10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.是等比数列 B.是等比数列 C.an＝ D.Sn＝ 11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为单调递减数列 D.的前n项和Tn＝ 三、填空题 12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.  13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝　　　　.  14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　.  第4节　数列中的构造问题 一、单选题 1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　) A.2210－3 B.2211＋3 C.2210＋3 D.2211＋1 答案　C 解析　因为an＋1＝2an－3， 所以an＋1－3＝2(an－3). 因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3， 故a211＝2210＋3. 2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 答案　C 解析　法一　由an＋1＝2an＋2n得，而， ∴数列，公差为 的等差数列， ∴＋(n－1)×， ∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32. 法二　由已知可得，a2＝2a1＋2＝2×1＋2＝4， a3＝2a2＋22＝2×4＋4＝12， a4＝2a3＋23＝2×12＋8＝32. 3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且－an－n2－n＝0，则a2 026＝(　　) A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 答案　C 解析　由－an－n(n＋1)＝0， 得[an－(n＋1)](an＋n)＝0. 又an>0，所以数列{an}的通项公式an＝n＋1，故a2 026＝2 027. 4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 答案　C 解析　由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)， 得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)， 即＝4(n≥3)， 又a1＋a2＝4， 所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49. 5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易知an≠0，从而由题意·，即－1＝－， 故数列－1＝－为首项，－为公比的等比数列， 从而－1＝－×， 所以－1＝，解得a9＝. 6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，，则a5＝(　　) A.16 B.32 C.64 D.128 答案　B 解析　由，得， 于是， 则， 两边取对数得nlg an＋1＝(n＋1)lg an， 因此，数列是常数列， 则＝lg 2， 即lg an＝nlg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32. 7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 答案　C 解析　因为an＋1＝an＋2＋1， 所以an＋1＋1＝()2＋2＋1， 即an＋1＋1＝(＋1)2， 等式两边开方可得＋1， 即＝1， 所以数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以an＝n2＋2n， 所以a10＝102＋20＝120. 8.(2026·北京东城区质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)，则a10等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为当n≥2时，an＋1－5an＋4an－1＝0， 所以an＋1－an＝4(an－an－1)， 又a1＝1，a2＝2， 则a2－a1＝1， 所以{an＋1－an}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋1－an＝4n－1， 从而a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝48＋47＋…＋40＋1 ＝＋1＝. 二、多选题 9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　　) A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列 C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310 答案　ABD 解析　因为an＋1＝4an＋3n， 则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)， 且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列， 则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n. 对于A，a2＝42－32＝7，故A正确; 对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确; 对于C，因为数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误; 对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确. 10.(2026·武汉调研)数列 {an} 满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.是等比数列 B.是等比数列 C.an＝ D.Sn＝ 答案　BCD 解析　对于AB，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋＝3，a1＋≠0， 因此数列为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确; 对于C，an＋×3n－1＝， 则an＝，C正确; 对于D，Sn＝ ＝，D正确. 11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为单调递减数列 D.的前n项和Tn＝ 答案　BCD 解析　因为＋3， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故A错误; 所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，即an＝，故B正确; 根据函数y＝3x－2在[1，＋∞)上单调递增，且3x－2>0，则函数y＝在[1，＋∞)上单调递减， 又因为an＝，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故C正确; 的前n项和Tn＝，故D正确. 三、填空题 12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.  答案　an＝3n－2n＋2 解析　法一　设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p， 与原式相比较，对应项系数相等得 首项a1＋2－2＝3， 所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列， 故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n， 故an＝3n－2n＋2. 法二　因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)， 所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]， 因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3， 所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列， 则an＋2(n－1)＝3·3n－1＝3n， 所以an＝3n－2n＋2. 13.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝　　　　.  答案　2n－1 解析　由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， 因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n， 当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1， 显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1. 14.(2026·保山调研)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an＝ 解析　在数列{an}中，a1＝1， 2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0， 则有＝2·＋1， 即＋1＝2，而＋1＝2， 因此数列是以2为首项， 2为公比的等比数列， 所以＋1＝2n，即an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $