2027 届新高考一轮复习特训卷二

绝密大启用前 试卷类型：A 2027届新高考一轮复习特训卷 数学 数学（二） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定位置。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.写在本试卷上无效；考试结束后，请按要求交回答题卡。 题号 三 四 总分 等级 分值 40 18 15 77 150 得分 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知0<a<b,且m>0。 若把分式号视为某种“浓度”，则加入同样数量m后，新浓 度为 a+m 下列关系一定成立的是 b+m a+m a+m A. b+m b+m C. a+m D a+m <1 >1 b+m 2.设M=x2+y2+2,N=2x+4y-3,则M,N的大小关系为 A.M>N B.M<N C.M≥N,且等号可以取到 D.M≤N,且等号可以取到 3.某设备的两个调节量x,y均为正数，且满足3x+2y=12。为了使设备的协同效率xy最 大，xy的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.8 4.已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是 A.a2<62 B.日< C.号>1 D.a-b>0 5.某模型的风险指数为R()=c+2(x>2),则R(x)的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.8 6.设m,n∈R,且2m-n=5,则m2+n2的最小值为 A.4 B.5 C.空 D.10 7.对正数a,b,定义其“均衡指数”为 (a+b)2 K(a,b)= 2(a2+P2) 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（二)第1页（共4页）】 教研测评 一轮复习卷 则K(a,b)的取值范围是 A.(0,1 B.(2, C.[经，可 D.[1,+o) 8.设F(x)=ex+4e-x。若命题“3x∈R,F(x)<m”为真命题，则实数m的取值范围是 A.(-0,4) B.（-o,4 C.(4,+oo D.[4,+oo) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.设a,b,c,d均为正数，且号<。下列结论一定成立的是 A后8后司 8+ B 考4则台<<员 aa+2c c D.6<6+2i<a 10.已知x>0,y>0,且x+2y=4。则下列说法正确的是 A.xy≤2 B. C.x2+4y2≥8 D.x+y≤3 11.设实数x,y,之满足x+2y+2之=6。定义E=x2+y2+之2，则下列结论正确的是 A.E≥4 B.E=4当且仅当(，y,2)=(传，，) C.x2+4y2+4z2≥12 D.方程组 x+2y+22=6, x2+22+z2=3 有实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知-1<x+2y<3,0<2x-y<4,则5c+y的取值范围是 13.已知x>0,y>0,且克+2=1，则x+y的最小值为 14.设入>0。若存在t∈R,使得e+et<5,则实数入的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 在一种饮品调配模型中，把一份原液记为有序对P=(s,w),其中s>0表示含糖量，v>0 表示原液体积，称p(P)=为该原液的“浓度”。若P=(s1,v1),P2=(s2,v2),定义两份 原液的混合为 P1⊕P2=(s1+S2,U1+v2): (1)若p(P)<p(P2),证明： p(P)<p(P⊕P2)<p(P) 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（二）第2页（共4页）】 教研测评 (2)现有三份原液A=(2,5),B=(7,10),C=(m,6),其中m为正整数。若要求 p(A)<p(A⊕C)<p(B), 求m的所有可能取值； (3)若三份原液P,P2,P3的浓度满足0<p(P)<p(P2)<p(P),且t1,t2,t3为正数，定义 加权混合液 Q=(t1s1+t252+t3s3,t1v1+t2v2+t303). 证明：p(P)<p(Q)<p(P3)。 16.（本小题满分15分) 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，AB= 4,AD=2,且SA⊥平面ABCD,SA=3。点M在 线段SC上运动。 (1)证明：CD⊥平面SAD: (2)求AM+BM2的最小值； (3)判断是否存在点M,使得AM⊥BM。若存在， SM 求SC:若不存在，请说明理由。 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c。已知A=60°，b+c=10。 (1)求△ABC面积的最大值； (2)求边a的取值范围； (3)设 r-++ 求T的最小值，并说明等号成立时三角形的形状。 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E:妥+y2=1。点P(xo,o)在椭圆E的第一象限部分上。过点P作椭圆E的 切线，切线与x轴、y轴分别交于M,N两点。 (1)证明：xoy0≤1 (2)求△OMN面积的最小值，其中O为坐标原点； 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（二)第3页（共4页)】 教研测评 (3)求线段MN长度的最小值。 19.（本小题满分17分) 设a>0,定义函数Fa(x)=er+aex,x∈R。 (1)求函数F(c)在R上的最小值； (2)设 S={a>0|3x∈[0，ln2,Fa(c)<5}. 求集合S; (3)设 T={a>0|x∈[0，ln2],Fa(x)≥3} 求集合T,并判断命题p:a∈T是命题q:a∈S的充分条件、必要条件、充要条件， 还是既不充分也不必要条件。 新高考数学 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学（二）第4页（共4页）】 教研测计 参考答案与解析 2027届新高考一轮复习特训卷·数学（二） 一、单项选择题 题号12345678 答案CCCCC BB C 1.因为0<a<b,m>0,所以0<1。又 +m>i←→ba+m)>a6+m)→m(6-a)>0, a+m、a 显然成立。故 aa+m 6<6+m <1. 故选C。 2.由题意， M-N=x2+2y2+2-(2x+4y-3)=x2-2x+y-4y+5. 配方得 M-N=(x-1)2+(y-2)2≥0. 所以M≥N。当x=1,y=2时，等号成立。故选C。 3.由x>0,y>0,3x+2y=12,根据基本不等式， 3x+2y≥2V3x·2y=2V6cy. 故 12≥2V6ry: 平方得6xy≤36，即xy≤6。当且仅当3x=2y时等号成立，此时3x=2y=6,即 x=2,y=3。故最大值为6，选C。 4.已知a<b<0。因为a,b同为负数，且a<b,所以al>|b1,从而a2>b2,A错误。 取倒数后有是>，B错误。又 %-1=0-6 b 由于a-b<0,b<0,所以。>0，即号>1，C正确。由a<b,得a-b<0,D错误。 故选C。 5.令t=x-2,则t>0,且 =r+2=t+2+ 4 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第1页】 教研测评 一轮复习卷 由基本不等式， +2y4 所以(x)≥6。当且仅当t=4,即t=2时等号成立。故R(x)的最小值为6，选C。 6.由柯西不等式， (2m-n)2≤(22+(-1)2)(m2+n2) 又2m-n=5,所以 25≤5(m2+n2), 即m2+n2≥5。当(m,n)与(2，-1)成比例时等号成立。令m=2k,n=-k,代入2m-n=5, 得5k=5,即k=1。此时m=2,n=-1,m2+n2=5。故选B。 7.由题意， (a+b)2 Ka,)=2a2+ 因为 (a+b)2≤2(a2+b2), 所以K(a,b)≤1，当且仅当a=b时等号成立。又a,b>0,故2ab>0,于是 (a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2, 所以 a> 故K(a,b)∈(，1，选B。 8.令t=er,则t>0,且 F回=C+4er=t+ 由基本不等式， 4 「4 t+22W:=4 当且仅当t=2时等号成立，故F(x)min=4。命题“匀x∈R,F(x)<m”为真，等价于存在 函数值小于m。由于F(x)的最小值为4，且能取到4，故需m>4。选C。 二、 多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ABCABC 9.已知a,b,c,d>0,且号<号。 A项， a+c_b.号+d. b+d 6+d' 是号与的正权加权平均，故 88+台<分 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第2页】 教研测评 一轮复习卷 A正确。 同理， 2a+c2b.号+d. 26+d 26+d 故B正确； a+2c b·号+2d b+2d b+2d 故D正确。 C项不一定成立。例如取a=1,b=2,c=3,d=4,则 a 1 c3 6=2 a=4 但 分8=1 不在与之间。故C错误。综上，选ABD。 10.由x>0,y>0,x+2y=4。 A项，由基本不等式， x+2y≥2V/2xy, 故4≥2v2xy,得xy≤2。A正确。 B项，由柯西不等式， 1+2-1+2>1+22 9 y 2 x+2y 4 B正确。 C项， x2+42=x2+(22≥@+2=8 2 C正确。 D项，由y=4,得 x+y=之+4 2 当x=3,y=时，x+y=>3,故D错误。综上，选ABC。 11.由x+2y+2z=6。 A项，由柯西不等式， (x+2y+2z)2≤(12+2+22)(x2+22+z2), 即36≤9E,所以E≥4。A正确。 B项，等号成立当且仅当(x,y,)与(1,2,2)成比例。设x=k,y=2k,之=2k,代入得 9k=6,即k=号，所以 (c,y,)= 244 333 B正确。 C项， 2+4切+42=2+(22+(22≥+2y+2=12 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第3页】 教研测评 一轮复习卷 C正确。 D项，由A项知x2+y2+2≥4，不可能等于3，故D错误。综上，选ABC。 三、填空题 题号 12 1314 答案(-，)6(0，空) 12.设 u=x+2y, v=2x-y, 则-1<u<3,0<v<4。由 u=x+2y, Iv=2x-y, 解得 x- u+2v 2u-v 5 5 所以 5r+y=5.u+20+2u-0=7u+9u 5 5 由于"对山，v均单调递增，故 57 -5<5x+)< 答案为(-，)。 13.令X=x+1,Y=y+2,则X>1,Y>2,且 京+=1. 1 4 由此得 4X Y=X-1 令u=X-1>0,则X=u+1, Y=4+4 因此 4 x+y=X+Y-3=u+2+ u 由基本不等式， 4 u+-≥4， 所以x+y≥6。当u=2时等号成立，此时x=2,y=4,满足题意。故最小值为6。 14.令u=e,则u>0,原不等式化为 u+入<5. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第4页】 教研测评 一轮复习卷 对u>0,有 u+A≥2V 存在u>0使u+分<5，等价于其最小值小于5，即 2V)<5. 又入>0，故 0<λ< 25 答案为(0，)。 四、解答题 15.答案：第(2)问m=3,4,5;第(1)(3)问均为加权平均夹逼。 (1)设 p(B)=4 p(B)=2 由p(P)<p(P2),得 S1<82←→s1U2<821: U1 U2 混合液浓度为 p(B⊕B)=s1+2 U1+U2 先证左侧不等式： <s1+2 V1 U1+v2 ←→s1(1+2)<M(s1+52)←→s12<s2U1, 成立。同理， S1+s2<2←→S12<52u1, U1+U2U2 也成立。因此 p(P)<p(B⊕PB)<p(P): (2)由A=(2,5),B=(7,10),C=(m,6),得 A⊕C=(m+2,11) 条件p(A)<p(A⊕C)<p(B)等价于 2< 解得 12 57 5 <m< 又m为正整数，所以 m=3,4,5. (3)设 p(P)==9(6=1,2,3, 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第5页】 教研测评 一轮复习卷 则S=T,且0<r1<r2<r3。于是 p(Q)= tiv1r1+t2v2r2+t303r3 t1v1+t22+t3v3 因为t>0,v>0,所以t>0。因此p(Q)是r1,r2,3的正权加权平均，故 r1<p(Q)<r3, 即 p(Pi)<p(Q)<p(Ps). 16.答案：(AM2+BMP)min=警；存在点M,且兴=17或1经。 20 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0),C(4,2,0),S(0,0,3). 设 SM S=, 0≤r≤1. 因为S己=(4,2，-3)，所以 M=S+rS元=(4r,2r,3-3r), (1)由矩形ABCD可知CD‖AB,又AB⊥AD,故CD⊥AD。又SA⊥平面ABCD, 且CDC平面ABCD,所以SA⊥CD。由于SA∩AD=A,且SA,ADC平面SAD,故 CD⊥平面SAD, (2）由M=(4r,2r,3-3r),得 AM2=(4r)2+(2r)2+(3-3)2=29r2-18r+9, BM2=(4r-4)2+(2r)2+(3-3r)2=29r2-50r+25. 所以 AM2+BM2=58r2-68r+34. 该二次函数在 6817 7=2:58=29 处取得最小值，最小值为 17 2 -68. 408 29 29 (3)若AM⊥BM,则 AM.BM=0. 其中 A☑=(4r,2r,3-3r), B☑=(4r-4,2r,3-3r) 于是 4r(4r-4)+2r·2r+(3-3r)2=0, 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第6页】 教研测评 一轮复习卷 整理得 29r2-34r+9=0. 解得 r=17±27 29 这两个根均在(0,1)内，故存在这样的点M,且 SM17-2V7 SC 或 17+2V7 29 29 17. 答案：Smax=5y3;a∈[5，l0);Tmin=3,等号成立时三角形为等边三角形。 4 (1)三角形面积 2 24 又b+c=10,所以 es()=2 故 25V3 4 当且仅当b=c=5时等号成立。 (2)由余弦定理， a2=62 +c2-2bc cos 60=62+c2-bc. 又b+c=10,故 b2+c2=(b+c)2-2bc=100-2bc, 所以 a2=100-3bc. 由于b,c>0,b+c=10,故0<bc≤25。因此 25≤a2<100, 即 a∈[5,10) (3)由上式a2=2+c2-bC,得 +-+-1 be bc 因此 -8++ +分)-1 =2 c 由基本不等式， c 6 ≥2， 所以 T≥3. 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第7页】 教研测评 二轮复习卷 当且仅当b=c时等号成立。又A=60°，此时由余弦定理得a=b=c,故三角形为等边三 角形。 18.答案：△OMN面积的最小值为2；线段MN长度的最小值为3。 已知点P(xo,yo)在椭圆第一象限部分上，故co>0,o>0,且 浮+号=1 (1)令u=罗，v=0,则u>0,V>0,且w2+2=1。由 2uw≤u2+v2, 得2uU≤1。而xo0=2uw,故 x0y0≤1. (2)椭圆号+y2=1在点P(c0,0)处的切线方程为 t0+y0=1. 4 令y=0,得 w( 令x=0,得 因此 1412 S△OMN= 2 xo yo Zoyo 由第(1)问xo0≤1，所以 S△OMN≥2. 当x00=1时等号成立，故面积最小值为2。 (3)由上问， MN2- 令u=安，则0<u<1,且6=1-u。于是 MN2=4 ,1 +1-u 由柯西不等式， 4,1 +1≥(2+12=9. 当且仅当兰=，即“=号时等号成立。因此 MNmin =3. 19.答案：F.(c)min=2Va;S=(0,6);T=[,+o∞)；命题p是命题g的既不充分也不必 要条件。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第8页】 教研测评 一轮复习卷 (1)令t=e2,则t>0,且 Fa(x)=e*+ae-*=t+a 由基本不等式， t+≥2va 当且仅当t=,即t=√a时等号成立。故 Fa(x)min=2√a. (2)当x∈[0，ln2]时，令t=er,则t∈1,2。条件Fa(x)<5等价于 +9<5 因为t>0,所以 a<t(5-t). 因此存在t∈[1,2]，使得a<t(5-t),等价于 a<maxt(5-t). te1,2☒ 设g(t)=t(5-t)=5t-t2。在[1,2上，g(t)=5-2t>0,故g(t)单调递增，最大值为 g(2)=6。由于原不等式为严格不等式，故 S=(0,6). (3)同样令t=e,则t∈[1,2]。条件 Fa(x)≥3 等价于 因为t>0,所以 a≥t(3-t). 要对任意t∈[1,2]成立，需 a≥maxt(3-t): te[1,2] 设(t)=t3-t)=3t-t2,其对称轴为t=多，且多∈[1,2，所以 故 由第(2)问S=(0,6)。命题p:a∈T即a≥，命题q:a∈S即0<a<6。当a=l0时， p真而q假；当a=1时，q真而p假。因此p是q的既不充分也不必要条件。 【2027届新高考一轮复习特训卷·数学参考答案与详解第9页】 教研测评 一轮复习卷