精品解析：辽宁省大连市第21中学2024-2026学年九年级下学期期中数学试题

2025年大连市第21中学九年级下期中测试数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分　考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（　　） A. ∠1=∠C B. ∠A=∠C C. ∠2=∠B D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则图中相似三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 两年前生产1某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1该种药品的成本是3000元，若设该药品成本的年平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 8 3 0 -1 0 … 则当=4时，函数值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. 8 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是_____． 13. 如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙（CD）16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到城墙顶端C，并量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古城墙（CD）的高度是_____m． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 15. 如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE． （1）求证：△DCE∽△BCA； （2）若AB=3，AC=4．求DE的长． 18. 如图，在处的正东方向有--港口．某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以海里/时的速度行驶小时到达港口．求间的距离． 19. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值 20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么 （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； （2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由； （3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 23. 定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． （1）如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； （2）函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年大连市第21中学九年级下期中测试数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分　考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，若在四条线段中，存在其中两条线段长度的比，等于另外两条线段长度的比，则称这四条线段是成比例线段，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故四条线段成比例，故本选项符合题意； D、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（　　） A. ∠1=∠C B. ∠A=∠C C. ∠2=∠B D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图得：∠A=∠A， ∴当∠B=∠2 或∠C=∠1或AE：AB=AD：AC时，△ABC与△ADE相似； 也可AE：AD=AC：AB． B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角． 故选B． 考点：相似三角形的判定． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 4. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=4，CE=6，BD=3，可代入求解DF=4．5． 故选B 考点：平行线分线段成比例 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于方程 ，，，， ， 当  时，方程有两个相等的实数根． 故选：B． 6. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据题意设，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 设， ， ， 故选：A． 7. 如图，若，则图中相似三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，平行线的判定与性质进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中相似三角形共有4对， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解本题的关键． 8. 两年前生产1某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1该种药品的成本是3000元，若设该药品成本的年平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若这种药品的年平均下降率为x，则现在的成本为，又现在成本为3000元，故由此即可列出方程． 【详解】解：设这种药品的年平均下降率为x， 5000(1-x)2=3000． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 9. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 10. 若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 8 3 0 -1 0 … 则当=4时，函数值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=4时的函数值. 【详解】由表可知，二次函数的图象经过（0，0），（1, ﹣1），（2，0） 则 解得： ∴二次函数解析式为： 当x＝4时，函数值y＝16－8＝8. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】##0.75 【解析】 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值． 12. 两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是_____． 【答案】16或1 【解析】 【分析】分类讨论三角形面积的值，再利用相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积面积比为：1：4， ∵其中一个三角形的面积为4， ∴若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1． ∴另一个三角形的面积为16或1． 故答案为：16或1． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题的关键． 13. 如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙（CD）16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到城墙顶端C，并量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古城墙（CD）的高度是_____m． 【答案】8 【解析】 【分析】先证明△CPD∽△APB，继而得到，代入求解即可． 【详解】解：由题意知∠CPD＝∠APB，∠CDP＝∠ABP＝90°， ∴△CPD∽△APB， ∴， ∴， ∴CD＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似的三角形． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标． 【详解】解：∵四边形是边长为6的菱形， ∴，平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，且相似比为3：1， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，证明，得出，，从而，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：延长、交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得， ∴y关于x的函数解析式为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法以及利用二次根式的性质进行化简，最后计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， ∴原式． 17. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE． （1）求证：△DCE∽△BCA； （2）若AB=3，AC=4．求DE的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）已知AD平分∠BAC，可得∠EAD=∠ADE，再由∠EAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可得AB∥DE，从而得△DCE∽△BCA； （2）已知∠EAD=∠ADE，由三角形的性质可得AE=DE，设DE=x，所以CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x，由（1）可知△DCE∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例可得x：3=（4﹣x）：4，解得x的值，即可得DE的长． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AB∥DE， ∴△DCE∽△BCA； （2）解：∵∠EAD=∠ADE， ∴AE=DE， 设DE=x， ∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x， ∵△DCE∽△BCA， ∴DE：AB=CE：AC， 即x：3=（4﹣x）：4， 解得：x=， ∴DE的长是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大． 18. 如图，在处的正东方向有--港口．某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以海里/时的速度行驶小时到达港口．求间的距离． 【答案】海里 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长． 【详解】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，如图所示． 在Rt△BCD中，， ∴BD=BC•sin∠BCD=20×3×= ， CD=BC•cos∠BCD=20×3×= ； 在Rt△ACD中，， ∴AD=CD•tan∠ACD= ． ∴AB=AD+BD= +． ∴A，B间的距离约为（ +）海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键． 19. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值 【答案】（1）y=x2-4x+3；（2） 【解析】 【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax2+bx+3，求出a、b，即可求解； （2）求出直线BC解析式；设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得 ， 解得， ∴这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C（0，3）， 设BC的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得 ， 解得 ， ∴直线BC的解析是为y=-x+3， 设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，交直线BC于点E（t，-t+3）， PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t， ∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+， ∵-＜0， ∴当t=时，S△BCP最大=． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键． 20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么 （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； （2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由； （3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似． 【答案】（1）y=-t2+3t（0≤t≤6）；（2） 点C不落在直线AB上；（3） 当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似． 【解析】 【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式； （2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上； （3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值． 【详解】（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t． ∴OQ=6-t． ∴y=×OP×OQ=×t（6-t）=-t2+3t（0≤t≤6）； （2）∵y=-t2+3t， ∴当y有最大值时，t=3 ∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形． 把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形． ∴点C的坐标为（3，3）． ∵A（12，0），B（0，6）， ∴直线AB的解析式为y=-x+6 当x=3时，y=≠3， ∴点C不落在直线AB上； （3）①若△POQ∽△AOB时，，即， 12-2t=t， ∴t=4． ②若△POQ∽△BOA时，，即 6-t=2t， ∴t=2． ∵0≤t≤6， ∴t=4和t=2均符合题意， ∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1） 解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2） ①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ：①略 ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 23. 定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． （1）如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； （2）函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）或或；或 【解析】 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； 【小问2详解】 解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2：    ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3：    由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $