8.2.2函数的实际应用课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的实际应用，涵盖一次、二次、指数、对数等函数模型，通过水果新鲜度问题情境导入，衔接函数模型概念与实际应用，为已知、建立、选择模型的题型学习搭建支架。 其亮点是以数学建模为核心，结合情境实例（如热水瓶温度变化、放射性元素衰减）和通性通法总结，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达规律的能力。题型分类清晰，方法总结系统，助力学生掌握应用技巧，也为教师提供高效教学资源。

8.2.2　 函数的实际应用 新课程标准解读 核心素养 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的 重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的 函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度 h 与其采摘后时间 t （天）满足的函数关系式为 h ＝ m · at .若采摘后5 天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新 鲜度为10%. 【问题】　采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是多少天后？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） 反比例函数模型 二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0） 指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 目录 数学·必修第一册（SJ） 函数模型 函数解析式 幂函数模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0） 分段函数模型 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 实际问题中两个变量之间不一定有确定的函数关系 B. 函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义 C. 用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无 存在意义了 D. 求实际应用问题的最值时，要注意取得最值时的自变量与实际意 义是否相符 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　A中，两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的 函数关系，故A正确；B中，函数模型中定义域还必须满足实际意 义，故B错误；C中，拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即 可，故C错误；易知D正确.故选A、D. 目录 数学·必修第一册（SJ）   解析：由题意可知 y ＝（95.76% ，即 y ＝0.957 . y ＝0.957 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知函数模型解决实际问题 【例1】　（链接教科书第241页例4）灌满开水的热水瓶盖上瓶盖放 在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，那么 t min后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－ kt 求得，这里 k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量.已知某种类型的热水瓶灌满开 水，测得瓶内温度为100 ℃，过1 h后又测得瓶内温度为98 ℃.已知某 种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲泡，现在用这种类型的热水瓶在早 上6：00灌满100 ℃的开水，则在这一天的中午12：00 （填“能” 或“不能”）用这瓶开水来冲泡上述奶粉.（假定该地白天室温为20 ℃） 能　 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60 k .整理，得e－60 k ＝ . 从早上6：00至中午12：00，共6 h，即360 min.当 t ＝360时，θ＝20 ＋80e－360 k ＝20＋80×（ ）6.利用计算器，解得θ≈88.7.因为88.7 ＞85，所以在这一天的中午12：00能用这瓶开水来冲泡上述奶粉. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用已知函数模型解决实际问题的方法 （1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； （2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； （3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方 法，将指数运算转化为对数运算. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （m/s）和燃料的质 量 M （kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （kg）的函数关系式是 v ＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速 度可达12千米/秒. 解析：当 v ＝12 000 m/s时，2 000·ln ＝12 000，所以ln ＝6.所以 ＝e6－1. e6－1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 建立函数模型解决实际问题 【例2】　（链接教科书第240页例3）一种放射性元素，最初的质量 为500 g，按每年10%衰减. （1）求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； 解：最初的质量为500 g. 经过1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9； 经过2年， w ＝500×0.92； 由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确 到0.1）. 解：由题意得500×0.9 t ＝250，即0.9 t ＝0.5， 两边取以10为底的对数，得lg 0.9 t ＝lg 0.5， 即 t lg 0.9＝lg 0.5， ∴ t ＝ ≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； （2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； （3）选择其中的几组数据求出函数模型； （4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合 实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入 下一步； （5）用所得函数模型解决实际问题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元 且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每 天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. （1）求平均每天的销售量 y （箱）与销售单价 x （元）之间的函数解 析式； 解：根据题意，得 y ＝90－3（ x －50）， 化简得 y ＝－3 x ＋240（50≤ x ≤55， x ∈N）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）求该批发商平均每天的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之 间的函数解析式； 解：因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量× 每箱销售利润，所以 w ＝（－3 x ＋240）（ x －40）＝－3 x2＋ 360 x －9 600（50≤ x ≤55， x ∈N）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大 利润是多少？ 解：因为 w ＝－3 x2＋360 x －9 600＝－3（ x －60）2＋1 200， 所以当 x ＜60时， w 随 x 的增大而增大. 又50≤ x ≤55， x ∈N， 所以当 x ＝55时， w 有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最 大利润是1 125元. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 选择函数模型解决实际问题 【例3】　某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染 度为60，整治后前四个月的污染度如表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三 个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况： f （ x ）＝20｜ x －4｜（ x ≥1）， g （ x ）＝ （ x －4）2（ x ≥1）， h （ x ）＝30｜ log2 x －2｜（ x ≥1），其中 x 表示月数， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ） 分别表示污染度. 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； 解：选用 h （ x ）模拟比较合理，理由如下： 计算各函数对应各月份污染度得下表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … f （ x ） 60 40 20 0 … g （ x ） 60 26.7 6.7 0 … h （ x ） 60 30 12.45 0 … 从上表可知，函数 h （ x ）模拟比较合理，故选择 h （ x ）作为 模拟函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不 超过60. 解：令 h （ x ）≤60，得｜log2 x －2｜≤2， 得0≤log2 x ≤4， 解得1≤ x ≤16， 所以整治后有16个月的污染度不超过60. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 选择函数模型解决实际问题的步骤 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每 1枚的市场价 y （单位：元）与上市时间 x （单位：天）的数据如下： 上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念 章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋ b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx ； 解：选取② y ＝ ax2＋ bx ＋ c .理由如下： 因为随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，而所给的三个函数中 y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函数，不满足题意，所以 选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最 低的价格. 解：把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中，得 解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126. 所以 y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26， 所以当 x ＝20时， y 有最小值， ymin＝26. 故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价 为26元. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度 h （cm）与燃烧时间 t （h）的函数关系用图象表示为图中的 （　　） 解析： 由题意 h ＝20－5 t ，0≤ t ≤4.结合图象知应选B. 目录 数学·必修第一册（SJ）   解析：设每月的产量增长率为 x ，1月份产量为 a ，则 a （1＋ x ）11 ＝ ma ，所以1＋ x ＝ ，即 x ＝ －1. －1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB且 f （ x ）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音 约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强 度的 倍. 解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时， 10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋ 12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声 音强度是一般说话时声音强度的108倍. 108　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $