8.2.2 函数的实际应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数的实际应用，涵盖一次、二次、指数、对数及幂函数模型，通过新冠疫情治愈率、净水机过滤杂质等现实情境例题导入，衔接函数模型知识与实际问题，以“理解关、建模关、数理关”为支架构建应用脉络。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，如候鸟飞行速度、呼吸机利润等实例抽象函数关系；通过指数模型增长率分析、二次函数最值求解等培养数学思维，用分段函数等数学语言表达问题。题型分类清晰，微点拨与总结提炼方法，助力学生提升建模能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第8章 函数应用 8．2．2　函数的实际应用 课下培优巩固练（五十） [课程标准]　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．　2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ eq \f(k,x) ＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 微点拨：解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 【基点小试】 1．面对突如其来的新冠疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情，向世界展现中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝ax D．y＝logax 解析：根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合．ACD选项都是单调函数，不符合． 答案：B 2．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的pp棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层pp棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则pp棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意得，经n层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为50 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(n) ＝50× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n) ， 则50× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n) ≤2.5，得20× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n) ≤1， 所以lg 20＋lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n) ≤0， lg 10＋lg 2＋n(lg 2－lg 3)≤0， 所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n≤0，1.3≤0.18n， 得n≥ eq \f(65,9) ， 因为n为正整数， 所以n的最小值为8. 答案：D 题型一　指数函数模型 例1.(1)2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(x,5 730)) ，其中k为死亡生物碳14的初始量．据此推断，此水坝大约是距2010年之前(　　)年建造的． (参考数据：lg 552＝2.74，lg 2＝0.30) A．4 912 B．4 930 C．4 954 D．4 966 解析：依题意，55.2%k＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(x,5 730)) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(x,5 730)) ＝0.552，两边取对数得： eq \f(x,5 730) ×lg eq \f(1,2) ＝lg 0.552， 解得x＝5 730× eq \f(3－lg 552,lg 2) ≈5 730× eq \f(3－2.74,0.30) ＝4 966， 水坝大约是距2010年之前4 966年建造的． 答案：D (2)当某种药物的浓度大于100 mg/L(有效水平)时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1 000 mg/L(安全水平).从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600 mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为(　　) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 86≈1.935) A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．12小时 解析：设n小时后药物浓度为y＝600×(1－0.14)n若n小时后药物浓度小于100 mg/L，则需再服药．由题意可得600×(1－0.14)n＜100，即0.86n＜ eq \f(1,6) ， 所以n lg 0.86＜－lg 6，则 n＞ eq \f(－lg 6,lg 0.86) ＝－ eq \f(lg 2＋lg 3,lg 86－lg 100) ＝－ eq \f(0.301＋0.477,1.935－2) ＝ eq \f(0.778,0.065) ≈11.969， 所以n＞11.969， 所以在首次服药后12个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适． 答案：D [总结] 　指数函数模型的应用 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． (2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． 【练一练】 1．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠．某沙漠经过一段时间的治理，已有1 000公顷植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为(　　) (参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：经过x∈N年后，植被面积为1 000× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5))) eq \s\up12(x) 公顷，由1 000× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5))) eq \s\up12(x) ≥4 000，得x≥log eq \s\do19(\f(6,5)) 4.因为log eq \s\do19(\f(6,5)) 4＝ eq \f(lg 4,lg 6－lg 5) ＝ eq \f(2lg 2,lg 2＋lg 3－（1－lg 2）) ＝ eq \f(2lg 2,2lg 2＋lg 3－1) ＝7.5，所以x≥7.5，又因为x∈N，故植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为8. 答案：C 题型二　对数函数模型 例2.根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12)时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40)时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(0<a<1)图象的一部分，专家认为，当指数p大于或等于77时定义为听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？ 解：(1)t∈(0，12)，p＝f(t)＝m(t－10)2＋80，将(12，78)代入得m＝－ eq \f(1,2) ， 所以m∈(0，12)时，p＝f(t)＝－ eq \f(1,2) (t－102＋80， t∈(12，40)将(12，78)代入p＝f(t)＝loga(t－7)＋79得a＝ eq \f(1,5) ， 所以t∈(12，40)时，p＝f(t)＝log eq \s\do19(\f(1,5)) (t－7)＋79， 所以p＝ f(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（t－10）2＋80，t∈（0，12），,log\s\do19(\f(1,5))（t－7）＋79，t∈（12，40），)) (2)t∈(0，12)，－ eq \f(1,2) (t－10)2＋80≥77得10－ eq \r(6) ≤t≤12 当t∈(12，40]，log eq \s\do19(\f(1,5)) (t－7)＋79≥77得12＜t≤32 所以当t∈(0，10－ eq \r(6) )和(32，40)这两个时间段老师多提问，增加活动环节． [总结] 　对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【练一练】 2．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(x,100) －lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66，31.56＝5.55) (1)若x0＝3，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，它的飞行速度是多少km/min? (2)若x0＝6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解：(1)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(x,100) －lg x0， 所以将x0＝3，x＝8 100代入函数式可得： v＝ eq \f(1,2) log381－lg 3＝2－0.48＝1.52 故此时候鸟飞行速度为1.52 km/min. (2)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(x,100) －lg x0， 将x0＝6，v＝0代入函数式可得： 0＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(x,100) －lg 6，即log3 eq \f(x,100) ＝2lg 6＝2(lg 2＋lg 3)＝1.56， 所以 eq \f(x,100) ＝31.56＝5.55，于是x＝555. 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为555个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2， 依题意可得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5＝\f(1,2)log3\f(x1,100)－lg x0，,1.5＝\f(1,2)log3\f(x2,100)－lg x0)) 两式相减可得：1＝ eq \f(1,2) log3 eq \f(x1,x2) ，于是 eq \f(x1,x2) ＝9. 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 题型三　利用二次函数模型解决实际问题 例3.某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2 300(万元)引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产x(单位：百台)另需投入成本C(x)(万元)，当年产量不足50(百台)时，C(x)＝10x2＋200x(万元)；当年产量不小于50(百台)时，C(x)＝602x＋ eq \f(10 000,2x－50) －4 500(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完． (1)求年利润L(x)(万元) 关于年产量x(百台)的函数解析式；(利润＝销售额－投入成本－固定成本) (2)当年产量为多少时，年利润L(x)最大？ 并求出最大年利润． 解：(1)当0<x<50时，L(x)＝600x－(10x2＋200x)－2 300＝－10x2＋400x－2 300； 当x≥50时，L(x)＝600x－(602x＋ eq \f(10 000,2x－50) －4 500)－2 300＝－2x－ eq \f(5 000,x－25) ＋2 200， 综上：L(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－10x2＋400x－2 300，0<x<50.,－2x－\f(5 000,x－25)＋2 200，x≥50.)) (2)当0<x<50时，L(x)＝－10x2＋400x－2 300＝－10(x－20)2＋1 700，当x＝20时，L(x)取得最大值为1 700万元， 当x≥50时，L(x)＝－2x－ eq \f(5 000,x－25) ＋2 200＝－2(x－25)－ eq \f(5 000,x－25) ＋2 150≤－2 eq \r(2（x－25）·\f(5 000,x－25)) ＋2 150＝1 950，当且仅当2(x－25)＝ eq \f(5 000,x－25) ，即x＝75时，等号成立，此时最大利润为1 950万元， 因为1 950>1 700，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1 950万元． [总结] 　利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 【练一练】 3．某商场某月1号至30号某款小商品的销售量(台)和价格(元)均为销售日期t(几号)的函数，已知销售量近似地满足f(t)＝－2t＋100，且1号至15号价格满足g(t)＝ eq \f(1,2) t＋15，16号至30号的价格满足g(t)＝15. (1)求该小商品的日销售额S(元)与销售日期t的函数关系； (2)求日销售额S(元)的最大值及此时t的值． 解：(1)当1≤t≤15，t∈N*时，S＝f(t)·g(t)＝(－2t＋100) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋15)) ， 当16≤t≤30，t∈N*时，S＝f(t)·g(t)＝ 15(－2t＋100)， 所以S＝f(t)·g(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋100）（\f(1,2)t＋15），1≤t≤15，t∈N*，,15（－2t＋100），16≤t≤30，t∈N*)) (2)当1≤t≤15，t∈N*时， S＝(－2t＋100)( eq \f(1,2) t＋15)＝－t2＋20t＋1 500＝－(t－10)2＋1 600. 因此，当t＝10时，S取最大值为1 600； 当16≤t≤30，t∈N*时， S＝15(－2t＋100)＝－30t＋1 500为减函数， 因此，当t＝16时，S取最大值为1 020. 综上，销售额S的最大值为1 600，此时t＝10. 题型四　建立拟合函数模型解决实际问题 例4.某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)，另一个是同学乙提出的y＝＋k(p>0，k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【思维点拨】　(1)由于三月份面积增量快是二月份的2倍，所以选择y＝kax(k>0，a>1)，然后利用待定系数法求解即可. (2)假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则由题意得 eq \f(216,25) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(x) ≥10× eq \f(216,15) ，化简后两边取常用对数可求得结果. 解：(1)因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)比较合适， 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(24＝ka2，,40＝ka3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,3)，,k＝\f(216,25)．)) 所以y＝ eq \f(216,25) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(x) . (2)由(1)可知，一月底时水生植物的面积为 eq \f(216,25) × eq \f(5,3) ＝ eq \f(72,5) ， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 eq \f(216,25) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(x) ≥10× eq \f(72,5) ， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(x) ≥ eq \f(50,3) ， 所以x lg eq \f(5,3) ≥1＋lg eq \f(5,3) ， 因为lg eq \f(5,3) >0，所以x≥1＋ eq \f(1,lg \f(5,3)) ＝1＋ eq \f(1,1－lg 2－lg 3) ≈5.5， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上 [总结] 　建立拟合函数及问题预测的基本步骤 【练一练】 4．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制，需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(分)的函数关系，要求：(1)是区间[0，90)的增函数；(2)每天运动时间为0时，当天得分为0；(3)每天运动达标时间为30分钟，这时当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分，现有三个函数模型： ①y＝kx＋b(k>0)； ②y＝k·1.2x＋b(k>0)； ③y＝klog2( eq \f(x,15) ＋2)＋n(k>0)供选择． (1)请你从中选择一个合适函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟？(保留整数) 解：(1)对于模型①而言，当k>0时是匀速增长(不符合题意)； 对于模型②而言，当k>0时，先慢后快增长； 对模型③而言，当k>0时，先快后慢增长； 从图象上看是个先快后慢的增长模型，故选y＝klog2( eq \f(x,15) ＋2)＋n拟合； 将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋n＝0，,klog24＋n＝3，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋n＝0，,2k＋n＝3.)) 得k＝3，n＝－3，即y＝3log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,15)＋2)) －3， 验证，当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6， 满足每天得分最高不超过6的条件． 所以函数的解析式为y＝3log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,15)＋2)) －3. (2)由y＝3log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,15)＋2)) －3≥4.5，得log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,15)＋2)) ≥2.5＝log22 eq \f(5,2) ， 得 eq \f(x,15) ＋2≥2 eq \f(5,2) ＝4 eq \r(2) ≈5.656，得x≥54.84， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟． $