6.2 第2课时指数函数图象与性质的综合应用课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数图象与性质的综合应用，通过复习指数函数基本图象与性质导入，以典型例题为支架，系统呈现图象变换、性质应用及实际模型，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合具体例题培养数学眼光观察变换规律，通过通性通法总结发展数学思维的逻辑性，以实际应用问题强化数学语言表达与模型意识。学生能提升综合应用能力，教师可获得系统教学资源提高效率。

第2课时　 指数函数图象与性质的综合应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 与指数函数有关的图象变换 【例1】　（链接教科书第145页例3）画出下列函数的图象，并说明 下列函数的图象与指数函数 y ＝2 x 的图象的关系： （1） y ＝2 x－1； 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：图象如图 所示： （1）函数 y ＝2 x－1的图象是由 y ＝2 x 的图象向右平移1个单位长度得到的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：函数 y ＝2 x ＋1的图象是由 y ＝2 x 的图象向上平移1个单位 长度得到的. 解：函数 y ＝2｜ x｜的图象是由 y ＝2 x 保留 y 轴右侧的图象，并作 其关于 y 轴对称的图象得到的. （2） y ＝2 x ＋1； （3） y ＝2｜ x｜； 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：函数 y ＝－2 x 的图象是由 y ＝2 x 的图象关于 x 轴对称得 到的. 解：函数 y ＝－2－ x 的图象是由 y ＝2 x 的图象关于原点对称 得到的. （4） y ＝－2 x ； （5） y ＝－2－ x . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 目录 数学·必修第一册（SJ） ① y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）； ② y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）； ③ y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）. （2）对称变换 （3）翻折变换 ① y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜； ② y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜ x ｜）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0，且 a ≠1）. （1）若 f （ x ）的图象如图①所示，求 a ， b 的值； 解： f（ x ）的图象过点（2，0），（0，－2）， 所以 又因为 a ＞0，且 a ≠1，所以 a ＝ ， b ＝－3. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若 f （ x ）的图象如图②所示，求 a ， b 的取值范围； 解： f （ x ）单调递减，所以0＜ a ＜1，又 f （0）＜0. 即 a0＋ b ＜0，所以 b ＜－1. 故 a 的取值范围为（0，1）， b 的取值范围为（－∞，－1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）在（1）中，若｜ f （ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，求 m 的取值范围. 解：画出｜ f （ x ）｜＝ ｜（ ） x －3｜的图象如图所示，要使｜ f （ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，则 m ＝0或 m ≥3.故 m 的取值范围为[3，＋∞）∪{0}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 指数型函数的性质及应用 角度1　指数型函数的定义域与值域 【例2】　求下列函数的定义域和值域： （1） y ＝ ； 解：由1－2 x ≥0，得2 x ≤1，则 x ≤0，所以函数的定义域为（－ ∞，0]. 由0＜2 x ≤1，得－1≤－2 x ＜0，则0≤1－2 x ＜1， 故函数 y ＝ 的值域为[0，1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） y ＝（ ； 解： y ＝（ 的定义域为R， 因为 x2－2 x －3＝（ x －1）2－4≥－4， 所以（ ≤（ ）－4＝16. 又因为（ ＞0，故函数 y ＝（ 的值域为 （0，16]. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3） y ＝4 x ＋2 x＋1＋1. 解：函数的定义域为R， 因为 y ＝4 x ＋2 x＋1＋1＝（2 x ）2＋2·2 x ＋1＝（2 x ＋1）2， 又2 x ＞0，所以 y ＞1，故函数的值域为（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法 （1）形如 y ＝ af（ x）的定义域就是 f （ x ）的定义域； （2）形如 y ＝ af（ x）的值域，应先求出 f （ x ）的值域，再由函数的单 调性求出 af（ x）的值域.若 a 的取值范围不确定，则需对 a 进行分 类讨论； （3）形如 y ＝ f （ ax ）的值域，要先求出 u ＝ ax 的值域，再结合 y ＝ f （ u ）确定出 y ＝ f （ ax ）的值域. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　指数型函数的单调性 【例3】　判断 f （ x ）＝（ 的单调性，并求其值域. 解：令 u ＝ x2－2 x ，则原函数变为 y ＝（ ） u . 因为 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在（1， ＋∞）上单调递增， 又因为 y ＝（ ） u 在（－∞，＋∞）上是减函数， 所以 f （ x ）＝（ 在（－∞，1]上单调递增，在（1，＋∞） 上单调递减. 目录 数学·必修第一册（SJ） 又 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1， 对于 y ＝（ ） u ， u ≥－1，有0＜（ ） u ≤（ ）－1＝3， 所以原函数的值域为（0，3]. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0， a ≠1）的单调性的处理技巧 　　关于指数型函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的单调性由两点决 定：一是底数 a ＞1还是0＜ a ＜1；二是 f （ x ）的单调性.它由两个函 数 y ＝ au ， u ＝ f （ x ）复合而成，当这两个函数在对应区间上的单调 性同增同减时， y ＝ af（ x）为增函数；当它们的单调性一增一减时， y ＝ af（ x）为减函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域是[1，＋∞），则 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当0＜ a ＜1时， x ≤1；当 a ＞1 时， x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时， a ＞1. （1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 求函数 y ＝4 x －2·2 x ＋5的单调区间. 解：函数的定义域为R，令 t ＝2 x ， x ∈R时， t ∈（0，＋∞）. y ＝（2 x ）2－2·2 x ＋5＝ t2－2 t ＋5＝（ t －1）2＋4， t ∈（0，＋ ∞）. 当 t ≥1时，2 x ≥1， x ≥0；当0＜ t ＜1时，0＜2 x ＜1， x ＜0. ∵ y ＝（ t －1）2＋4在[1，＋∞）上单调递增， t ＝2 x 在[0，＋∞） 上单调递增， ∴ y ＝4 x －2·2 x ＋5的单调递增区间为[0，＋∞）. 同理可得单调递减区间为（－∞，0）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 指数函数模型的实际应用 【例4】　（链接教科书第147页例4）某城市现有人口总数为100万 人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： （1）写出该城市的人口总数 y （万人）与年份 x （年）的函数关 系式； 解： 1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×（1 ＋1.2%）； 2年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋ 1.2%）×1.2%＝100×（1＋1.2%）2； … x 年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%） x . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）. （参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127） 解：10年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%）10＝ 100×1.01210≈112.7（万人）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 解决指数型函数应用题的流程 （1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提 取信息； （2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式； （3）解模：运用数学知识解决问题； （4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果 不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次. 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材（不考虑最初 的树苗成本，只按成材的树木计算）？（参考数据：1.25≈2.49， 1.15≈1.6，1.325≈4） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：设树木最初栽植量为 a ，甲方案在10年后树木产量为： y1＝ a （1 ＋20%）5（1＋10%）5＝ a （1.2×1.1）5≈4 a . 乙方案在10年后树木产量为： y2＝2 a （1＋20%）5＝2 a ×1.25≈5 a . y1－ y2＝－ a ＜0， 因此，乙方案能获得更多的木材. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（　　） A. （－5，0） B. [－5，0） C. （－5，0] D. [－5，0] 解析： 　令所以－5＜ x ≤0.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知函数 f （ x ）＝（ ）｜ x｜，则 f （ x ）的值域为（　　） A. （0，1] B. （1，2] C. （0，＋∞） D. （－∞，0） 解析： 　因为 f （ x ）＝（ ）｜ x｜＝ 所以其图象由 y ＝（ ） x （ x ≥0）和 y ＝2 x （ x ＜0）的图象合并而成.如图.所以 f （ x ）的值域为（0，1].故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖 水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面， 当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 天. 解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系为 y ＝2 x－1，当 x ＝20时，长满水面，所以 生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半. 19 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 函数 y ＝ 的减区间为 ⁠. 解析：令 u ＝－ x2＋2 x ，则 y ＝2 u .∵ u ＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2 ＋1在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，又∵ y ＝2 u 在R上是增函数，∴ y ＝ 的减区间为[1，＋∞）. [1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $