8.2.1几个函数模型的比较同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修 第一册

**基本信息** 聚焦函数模型比较，分层设计从基础识别到综合建模，通过数据分析与实际情境应用，培养数学建模与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一函数模型识别|以表格数据（题1）、散点图（题2）直观呈现，考查一次、指数、对数等模型特征| |技能巩固|函数增长特性比较|通过数据拟合（题7）、增长速度判断（题8），深化不同函数增长差异的理解| |综合应用|实际问题函数建模|结合房价增长（题10）、石榴销售（题11）等情境，要求选择与构建模型（题14），体现数学应用价值|

8.2.1　几个函数模型的比较 1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是（　　） x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图.则下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是（　　） A.y＝2t B.y＝2t2 C.y＝t3 D.y＝log2t 3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（单位：万公顷）关于年数x（单位：年）的函数关系较近似于（　　） A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x） C.y＝ D.y＝0.2＋log16x 4.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　） A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1 5.下列说法中正确的是（　　） A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的x＞0，xn＞logax C.对任意的x＞0，ax＞logax D.不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax 6.（多选）下面对函数f（x）＝lox与g（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（　　） A.f（x）的衰减速度越来越慢 B.f（x）的衰减速度越来越快 C.g（x）的衰减速度越来越慢 D.g（x）的衰减速度越来越快 7.现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用　　　　作为函数模型. 8.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的是　　　　. 9.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝（）x＋1.74. 请从中选择一个函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选　　　　.（填序号） 10.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数. t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 （1）求函数P1＝f（t）的解析式； （2）求函数P2＝g（t）的解析式； （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异. 11.安徽怀远石榴自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润的目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1.015100≈4.432，113＝1 331）（　　） A.y＝0.04x B.y＝1.015x－1 C.y＝tan（－1） D.y＝log11（3x－10） 12.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（　　） A.当x＞1时，乙走在最前面 B.当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面 C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 13.如图，与函数y＝2x，y＝5x，y＝，y＝log0.5x，y＝log0.3x相对应的图象依次为　　　　.（只填序号） 14.某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N*）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 8.2.1　几个函数模型的比较 1.A　根据已知数据可知自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 2.D　由图知该函数可能是y＝log2t.故选D. 3.C　将x＝1，y＝0.2，x＝2，y＝0.4，x＝3，y＝0.76分别代入上述四个选项解析式比较，发现只有y＝近似度最高.故选C. 4.B　由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3. 5.D　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较，故A错误；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立，故B、C错误；对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立，故D正确. 6.AC　在平面直角坐标系中画出y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示.由图象可知，f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度也越来越慢.故选A、C. 7.甲　解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲拟合较好. 8.y＝x2　解析：在区间（1，＋∞）上，当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比xln x增长的要快. 9.④　解析：画出散点图如图所示，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律. 10.解：（1）设f（t）＝kt＋b（k≠0）， 则⇒ ∴P1＝f（t）＝2t＋20. （2）设g（t）＝mat（a＞0，且a≠1）， 则⇒ ∴P2＝g（t）＝20×（）t＝20×. （3）表格中的数据如下表所示： t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 20 40 40 80 图象如图. 由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大. 11.D　对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意；对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432＞3，不符合题意；对于函数y＝tan（－1），不满足单调递增，不符合题意；对于函数y＝log11（3x－10），满足当x∈（6，100]时，函数单调递增，且y≤log11（3×100－10）＝log11290＜log111 331＝3，符合题意. 12.BCD　f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1）相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x＝5时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，f1（5）＞f2（5），A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确. 13.（2）（1）（3）（5）（4）　解析：（1）（2）分别为y＝5x和y＝2x的图象；（3）为y＝的图象；（4）（5）分别为y＝log0.3x和y＝log0.5x的图象. 14.解：根据题意可列方程组 解得 所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70. ① 同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140. ② 再将x＝4分别代入①式与②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g（4）＝－80×0.54＋140＝135（t）. 与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函数较好. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $