分层练6 基本不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖基础巩固与能力提升，以题载法系统构建基本不等式求最值的方法体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（含8选择2填空2解答）|等号成立条件验证、配凑法、“1”的代换|从基本不等式概念（正、定、等）到直接应用，构建“概念辨析-简单最值-条件转化”逻辑链| |B级能力提升|4题（含2选择1填空1解答）|恒成立问题转化、实际问题建模|深化参数处理与综合应用，形成“基础方法-变式拓展-实际应用”进阶路径|

分层练6基本不等式 【A级基础巩固】 1.下列函数中最小值为2的是（) y=x+2 y=_x2+3 A B.Vx2+2 C.y=e*+e-x D.y=logx+log,3(0<x<1) 2.己知正数a,b满足a2+b2=13,则aNb+3的最大值为() A.6 B.8 c.4 D.16 3.已知a>0,b>0,若2a+b=4,则ab的最大值为( ) 1 1 A.4 B.4 C.2 D.2 a+b≥a+b a_b 4.若a,b是正常数，a≠b,ye(0,+o),则xyx+y,当且仅当xy时取等号. )=2+.9 利用以上结论，函数 -202取得最小值时x的值为了 、1 1 √2 1 A.5 B.4 C.4 D.3 5.已知x>0,y>0,满足x+2y-2=0,则2x+y的最小值是() √2 √5 A.2 B.V6 C.2 D.3 6.已知a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式正确的是() 1,1 1,1 一十 ≤4 B.Va√ ≥2V2 A.a b C.a2+b221 b+a2b≥} D. 4 1 1=1 7.已知正实数m,n满足m+2n2m+n,则m+n的最小值为() x 1 A.3 B.2 c.1 D.2 8.若a>0,b>0且2ab=2a+b+3,则2a+b的最小值为一 9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 (单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y=-x+18x-25(xeN),则每 台机器为该公司创造的最大年平均利润是一万元. x+2y+3 10.已知正实数x,y满足x+y=1,则 xy 的最小值为一 2x+8 11.(①)当x>1时，求x-1的最小值， x2+8 (2)当x>1时，求x-1的最小值 12.已知x>0,y>0,且2x+8y=y,求 (1)9的最小值； (2)x+y的最小值 【B级能力提升】 19=1 13.已知正实数a,b满足ab,若不等式a+b之-x2+4x+18-m对任意的实数x恒成 立，则实数m的取值范围是（) A.B,+∞）B.(-,3] c.(-o,6]D.[6,+∞） 14.(多选)已知x+y=1,且y≠0，则() Ax+y川≤V2 &小1 2 11 D.丙 <2 clog2x+log2y≤-1 15.若x>0,y>0且x+y=,则x-1y-1的最小值为 16.小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第 二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小 王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25-)万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (②)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？（利润=累计收 入+销售收入一总支出) 参考答案 1.C 2 y=x+二<0 [当x<0时 X,故A错误； x2+3 y= =Vx2+2+ 1 ≥2 Vx2+2 Vx2+2 Vx2+2= 当且仅当 2+2,即x2=-1时取等号，t≠-1，故B错误 y=e+e≥2ee=2,当且仅当e=e,即x=0时取等号，故C正确； 当x∈(0,1)时，片=log,r<0,乃=log,3<0,故D错误] 2.B [a2+b2=13 aNB+3s+2+3_13+3-8 2 2 当且仅当a=VB+3时等号成立 .aNb2+3的最大值为8] 3.D [由题意得4=2a+b≥2V2ab 即2≥V2ab,两边平方得4≥2ab, “b≤2，当且仅当a=1,b=2时，等号成立， ∴.ab的最大值为2] 4.A 949 x1-2x2x1-2x ≥(2+3)2 =25 23 2x+1-2x ,当且仅当2x1-2x, 1 X=- 即5时等号成立] 5.B y=2-x [由+2w-2=0,可得=2x, 2-父>0 因为r>0,y>0,可得2x 解得0<x<V2 2x+y=2x+2-x=3x2+2 2x2x 3x+》25-6 3s2 x=6 当且仅 ,即 时，等号成立， 所以2x+y的最小值为V6] 6.B a=b= 1 a b ,当且仅当 2时，等号成立，A错误； 11 1 22 -22 a+b 1 =22,当且仅当 a=b= 2时，等号成立，B正确； a=b=1 4,当且仅当 2+b2 时，等号成立，则 2,C错误； 时，e+seye-n 7.A 1 1一1 [正实数m,”满足m+2n2m+n, 3(m+n) -=1 故(m+2n)2m+m）, 即3(m+m）=(m+2mn)(2m+n) =[(m+n)+n][(m+m）+m] 所以3(m+m）=2(m+m)2+m ≤2(m+n)2+m+n)2 4 3(m+n)s9(m+n m+n≥ 即 4 ,故 3 当且仅当m=n时取等号] 8.6 .2ab≤ 2a+b2 2 .2a+b+3≤ )(当且仅当2a=b时取等号)， 2 设x=2a+b,x>0,则 +3sX 4 解得x≤-2（舍）或x≥6，即2a+b≥6， .(2a+b)mn=6] 9.8 [每台机器运转X年的年平均利润为 ≤18-225=8 由于x>0,故x 当且仅当x=5时等号成立， 此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元] 10.9+4V5 [由题意可知， x+2y+3_x+2y+3x+3y_4x+5y y Xy xy =4+5+4r+5y≥9+2， 4x 5y y x y x 4x=5y =9+4N5,当且仅当yx 即x=5-2V5,y=25-4时取等号， x+2y+3 故 y 的最小值为9+4√5] 11.解 w2+-c x>1,x-1>0 2x+8≥2×24+2=10 x-1 x-1=4 当且仅当x-1」 2x+ 8 即x=3时，x-1取得最小值10. ,y=2+8_0x-P+26x-1)+9 (2)令x-1 x-1 =(x-1)+9 +2 -1 因为x-1>0 所以 -1=9 当且仅当 x-1 即x=4时，y取最小值为8 12.解 )y=2x+8y≥2V2x-8y 即y≥8y,即y264 当且仅当2x=8y 即x=16,y=4时，等号成立， y的最小值为64. 8+2=1 2)由2x+8y=y,得xy, =10+2x+8y≥10+2 2x8y-18 y x Vy x 2x_8y 当且仅当yx, 即X=12,y=6时等号成立， 所以术+y的最小值为18. 13.D 19=1 [因为a>0,b>0,a+b b9a=16 所以 b9a 当且仅当ab,即a=4,b=12时取等号. 由题意，得16≥-x2+4x+18-m, 即x2-4x-2≥-m对任意的x恒成立， 又x2-4x-2=(x-2}2-6≥-6 所以-6≥-m,即m≥6.] 14.AC [对于A因为2y≤r+y,所以+广+2y≤+少++y=2即(x+≤2.所以 +时小2收含-是 2或 2时取等号，故A正确；对于B,因为 1=4p阿与时5号专aa 国=一2时取等号，故B错误：对于C由B霜 1四行 g:+og:=ogsogr- ,当且仅当 时== 2时取等号，故C 正确；对于D,由B知， 小号 122 ,所以 11 ≥2 丙闪 1≥22 ,当且仅当 州=b以= 2时取等号，故D错误] 15.3+22 [因为x>0,y>0且x+y=y, 则y=x+y>y,即有x>1,同理y>1 由x+y=y得（x-10y-)=1 x+2y=1+1 +2+2 于是得x-ly-1x-12y-1 * 12 =3+22,当且仅当x-1y-1 =1+ 即 2少=1+2 时取“=”， +2y 所以x-1y-1的最小值为3+22] 16.解 (1)设大货车运输到第X年年底，该车运输累计收入与总支出的差为》万元，则 y=25x-[6x+x(x-1)】]-50=-x2+20x-50(0<x≤10，xeN) 由-x2+20x-50>0 可得10-5V2<x<10 因为2<10-5V2<3 所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出. (②)因为利润=累计收入+销售收入一总支出，所以二手车出售后， 小王的年平均利润为 25 x= 当且仅当x, 即x=5时，等号成立， 所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小小王获得的年平均利润最大