课时规范练4 基本不等式（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过基础应用与综合拓展构建方法体系，强化数学思维与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|基本不等式公式应用、等号条件分析、反例判断|从概念（正定性）到直接应用（求最值、判断不等关系）| |综合提升练|4题|换元法、几何代数法、命题逻辑分析|结合函数单调性、几何意义实现综合拓展|

课时规范练4　基本不等式 (分值:71分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·河北保定二模)已知x,y是非零实数,则的最小值为(　　) A.6 B.12 C.2 D.4 2.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.不存在 3.(2025·北京顺义期中)已知a>0,b>0,则“a+b>2”是“ab>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·山东泰安期中)下列不等式中,正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.x2+≥2 D. 5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(　　) A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 6.(2026·江苏连云港模拟)若直角三角形的面积为72,则两条直角边的和的最小值是(　　) A.5 B.10 C.24 D.20 7.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 8.(多选题)(2025·河北石家庄期末)下列结论正确的是(　　) A.当x>0且x≠1时,ln x+≥2 B.当x>0时,≥2 C.当x≥2时,x+的最小值为2 D.当0<x≤2时,x-无最小值 9.(2025·山东潍坊期中)不等式a2+≥4中,等号成立的条件是　　　　.  10.(2025·江西南昌期中)若a>0,b>0,c>0,则a+b+c　　　 .(用“>”“<”“≥”或“≤”填空) 综合提升练 11.(2025·安徽铜陵期末)已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是(　　) A.) B. C. D. 12.(2026·湖北孝感模拟)下列说法正确的是(　　) A.若0<x<,则x(3-2x)的最大值为1 B.函数y=(x∈R)的最小值为2 C.若x,y>0且x+2y+xy=6,则xy的最小值为2 D.函数y=(x>-1)的最小值为3+2 13.(2025·安徽芜湖期末)几何代数法(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动.作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由FC≥CD可以直接证明的不等式为(　　) A.(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.(a>0,b>0) D.(a>0,b>0) 14.(2025·北京石景山期末)已知命题p:若a+b≥1,则a3+b3≥1.能说明p为假命题的一组a,b的值为a=　　　　,b=　　　　.  参考答案 课时规范练4　基本不等式 1.A　解析 ≥2=6,当且仅当,即|y|=|x|>0时,等号成立,所以的最小值为6. 2.C　解析 由基本不等式得ab≤()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立. 3.B　解析 若a=1.5,b=0.6,满足a+b>2,但ab<1,若a>0,b>0,ab>1,则a+b≥2>2,即a+b>2,所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分条件.故选B. 4.C　解析 对于选项A,当a<0时,a+<4,故A错误;对于选项B,a2+b2≥2ab,故B错误;对于选项C,由基本不等式得x2+≥2,当且仅当x2=时,等号成立,故C正确;对于选项D,当a=1,b=2时,,故D错误.故选C. 5.A　解析 由已知及均值不等式可得ab≤()2=()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,c+d≥2=2=4,当且仅当c=d=2时,等号成立,因此由不等式的性质可得ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A. 6.C　解析 设直角三角形的两条直角边长为a,b,则a>0,b>0,直角三角形的面积为ab=72,故ab=144,则两条直角边的和a+b≥2=2=24,当且仅当a=b=12时,等号成立,故两条直角边的和的最小值是24. 7.C　解析 A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意; B项,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1].因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意; C项,y=2x+22-x=2x+,设t=2x,则t>0,于是y=t+≥2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意. D项,因为当x∈(0,1)时,ln x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意. 8.BD　解析 对于A,当0<x<1时,ln x<0,则ln x+<0,故A错误;对于B,当x>0时,>0,由基本不等式可得≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故B正确;对于C,因为函数y=x+在区间[2,+∞)上单调递增,所以当x≥2时,x+的最小值为2+,故C错误;对于D,因为函数y=x,y=-在区间(0,2]上均单调递增,故当0<x≤2时,x-无最小值,故D正确.故选BD. 9.a=±　解析 由基本不等式可知a2+≥2=4,当且仅当a2=,即a=±时,等号成立. 10.≥　解析 由于a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,故2a+2b+2c≥2+2+2,故a+b+c≥,当且仅当a=b=c时,等号成立. 11.A　解析 (方法1)取x=1,y=2,可得)=,因此最大的是).故选A. (方法2)因为x,y均为正数,且x≠y,所以)>,且. 又,因此有)>)>,故最大的一个数是).故选A. 12.D　解析 因为0<x<,得3-2x>0,x(3-2x)=×2x(3-2x)≤,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,即x(3-2x)的最大值为,故A错误;因为>0,y=≥2=2,由可得x2=-4,方程无解,则y=>2,即函数的最小值不是2,故B错误;由x,y>0,6-xy=x+2y≥2,可得xy+2-6≤0,即()·(+3)≤0,解得-3,因为xy>0,则0<xy≤2,即xy无最小值,故C错误;设x+1=t,因为x>-1,则t>0,y==t++3≥2+3,当且仅当t=,即t=时,等号成立,所以函数y=(x>-1)的最小值为3+2,故D正确. 13.D　解析 连接AD,BD,由题知CD⊥AB,AD⊥DB, 所以∠ADC+∠CDB=∠CDB+∠CBD,即∠ADC=∠CBD.因为∠ACD=∠DCB=90°,所以△ACD∽△DCB, 所以,即CD=.因为AC=a,BC=b,不妨设a>b,所以OF=,OC=a-, 所以FC=,所以由FC≥CD可以证明(a>0,b>0).故选D. 14.(答案不唯一)　解析 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)≥(a+b)3-3(a+b)()2=(a+b)3,当且仅当a=b时,等号成立.所以若a+b≥1,则a3+b3≥,所以p为假命题,所以一组a,b的值为a=,b=(答案不唯一). 2 学科网（北京）股份有限公司 $