2.2 有理数的乘法与除法 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数的乘法与除法，涵盖法则、倒数、符号确定及运算律等核心知识。通过预习链接小学乘法、绝对值等旧知，结合小虫爬行情境引导探索法则，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境化探究培养数学眼光，分步运算指导提升运算能力与推理意识，生活问题应用强化模型意识。结构含预习、探究、巩固环节，分层练习适配不同水平，易错辨析助精准掌握，参考答案便于自主核对。

人教版数学七年级上册 · 2.2 有理数的乘法与除法 导学案 2.2 有理数的乘法与除法 导学案 学习目标 ① 掌握有理数乘法法则，能正确进行两个有理数的乘法运算，理解"同号得正，异号得负"的算理。 ② 理解倒数的概念，会求一个数的倒数（整数、分数、小数），明确0没有倒数。 ③ 掌握多个有理数相乘的符号法则，能正确确定积的符号并计算。 ④ 掌握有理数除法法则，能将除法转化为乘法进行计算，能进行乘除混合运算和加减乘除混合运算。 ⑤ 理解并会运用乘法交换律、结合律和分配律简化运算。 学习重点与难点 重点：有理数乘法法则与除法法则的熟练运用；多个有理数相乘符号的确定；除法转化为乘法。 难点：多个有理数相乘符号法则的理解与应用；乘除混合运算中符号与运算顺序的把控；除法转化为乘法的灵活运用。 第一课时 有理数的乘法 ▌ 一、课前预习 【知识链接】 ▸ 小学阶段：正数乘正数，积为正数。如 3 × 2 = 6，表示2个3相加。 ▸ 绝对值的概念：|-5| = 5，|+3| = 3。 ▸ 相反数的概念：-3的相反数是3，a的相反数是-a。 【预习填空】 (1) 正数×正数=______数；正数×负数=______数。 (2) 负数×负数=______数；任何数×0=______。 (3) 几个不等于0的数相乘，负因数个数是______数时积为负；是______时积为正。 (4) 乘积是______的两个数互为倒数。0______倒数。 (5) 乘法交换律：ab=______；结合律：(ab)c=______；分配律：a(b+c)=______。 【预习检测】 (1) 判断：两数相乘，同号得正，异号得负。（ ） (2) 判断：几个数相乘，积的符号由负因数个数决定。（ ） (3) 填空：(-3)×4=______；(-2)×(-5)=______。 (4) 填空：-2的倒数是______；0.5的倒数是______。 ▌ 二、课中探究 活动1：探索有理数乘法法则 问题情境：一只小虫沿东西向路线爬行，规定向东为正，向西为负。 → 以每分钟3米速度向东爬行2分钟：3×2=6（米）——正数×正数=正数。 → 以每分钟3米速度向西爬行2分钟：(-3)×2=-6（米）——负数×正数=负数。 → 向东爬行2分钟再反向：3×(-2)=-6（米）——正数×负数=负数。 → 向西爬行2分钟再反向：(-3)×(-2)=6（米）——负数×负数=正数。 ⚑ 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0。 字母表示（a、b为正数）：(+a)×(+b)=+ab；(-a)×(-b)=+ab；(-a)×(+b)=-(ab)；(+a)×(-b)=-(ab)。 活动2：两数相乘——典例精讲 【例1】 (1) 5×(-4) (2) (-4)×(-9) (3) (-0.6)×(-5) (4) (3/7)×(-7/9) 解：(1) 5×(-4) → 异号得负 → -(5×4) = -20 (2) (-4)×(-9) → 同号得正 → +(4×9) = 36 (3) (-0.6)×(-5) → 同号得正 → 0.6×5 = 3 (4) (3/7)×(-7/9) → 异号得负 → -(3×7)/(7×9) = -1/3（先约分再乘） 运算三步法： ① 第一步：判断符号（同号→正，异号→负，有0→0）。 ② 第二步：把绝对值相乘（分数先约分再乘）。 ③ 第三步：给结果加上正确的符号。 跟踪练习 (1) (-6)×3=______ (2) (-7)×(-8)=______ (3) 4×(-5)=______ (4) (-2/3)×(-9/4)=______ (5) 0.25×(-4)=______ 活动3：倒数的概念 ⚑ 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。若a≠0，则a的倒数是1/a。0没有倒数。 要点提示： ◇ 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ◇ 求法：整数→写成分数（5→1/5）；分数→分子分母颠倒（2/3→3/2）；小数→先化分数再颠倒（0.5→1/2→2）。 ◇ 倒数等于本身的数是1和-1。若ab=1则互为倒数；若ab=-1则互为负倒数。 跟踪练习 (1) -3的倒数是______ (2) 2/5的倒数是______ (3) -0.75的倒数是______ (4) 倒数是它本身的数有______ (5) -1/4的倒数是______ 活动4：多个有理数相乘的符号法则 ⚑ 多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，负因数奇数个→积为负；偶数个→积为正。有因数为0→积为0。 判断思路： ① 先看有没有0因数——有0则积为0。 ② 再数负因数个数——奇数个→负，偶数个→正。 ③ 最后把所有绝对值相乘，加上符号。 【例2】 判断符号并计算： (1) (-1)×2×(-3)×4 (2) (-2)×(-3)×(-4) (3) (-5)×0×(-3) (4) (-3)×(5/6)×(-9/5)×(-1/4) 解：(1) 负因数2个（偶数）→正；1×2×3×4=24 → 24 (2) 负因数3个（奇数）→负；2×3×4=24 → -24 (3) 有因数0 → 0 (4) 负因数3个（奇数）→负；3×5/6×9/5×1/4 = 9/8 → -9/8 跟踪练习 (1) (-2)×3×(-1)×(-4) 的符号为______（正/负），结果为______。 (2) (-5)×6×(-4/5)×(1/4)=______。 (3) (-1)×(-5/4)×(8/15)×0=______。 活动5：乘法运算律 交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac ◇ 交换律和结合律可推广到多个因数，可任意交换位置或先把几个数凑整。 ◇ 分配律可正向用也可逆向用（提取公因数）：ab+ac=a(b+c)。 ◇ 运用分配律时，括号外因数要乘遍括号内每一项，符号不能漏。 【例3】 用运算律简化计算： (1) (-4)×9×(-2.5) (2) (1/4+1/3-1/6)×(-48) 解：(1) 交换结合：(-4)×(-2.5)×9 = 10×9 = 90 (2) 分配律：1/4×(-48)+1/3×(-48)-1/6×(-48) = -12-16+8 = -20 跟踪练习 (1) 2×3×0.5×(-7)=______ (2) (-5)×(-12)×0.2=______ (3) (1/2-2/3+3/4)×(-12)=______ ▌ 三、课堂巩固（第一课时） 【基础过关】 (1) (-8)×3=______ (2) (-6)×(-7)=______ (3) 0×(-15)=______ (4) (-1/3)×9=______ (5) (-0.4)×(-2.5)=______ (6) (-2/5)×(5/8)=______ (7) (-3)×(-4)×(-5)=______ (8) (-1)×(-2)×(-3)×(-4)=______ 【能力提升】 (9) (-25)×17×(-4)=______（用交换律和结合律） (10) (-36)×(5/9-5/6+7/12)=______（用分配律） (11) 若|a|=3，b=-2，求ab的值。 (12) 已知x、y互为倒数，m、n互为相反数，求(m+n)×2025+xy的值。 第二课时 有理数的除法 ▌ 一、课前预习 【知识链接】 ▸ 小学：除法是乘法的逆运算。如 6÷2=3，因为 2×3=6。 ▸ 倒数回顾：乘积为1的两个数互为倒数。如 3×(1/3)=1。 【预习填空】 (1) 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的______。a÷b=a×______（b≠0）。 (2) 两数相除，同号得______，异号得______，并把绝对值______。 (3) 0除以任何一个不等于0的数都得______。 (4) 0______做除数。 (5) 乘除混合运算，先将______化为______，再确定符号，最后计算。 (6) 混合运算无括号时按"先______后______"的顺序。 【预习检测】 (1) 判断：除以一个数等于乘这个数的倒数。（注意：这个数不能为0）（ ） (2) (-12)÷(-3)=______ (3) 0÷(-5)=______ (4) (-18)÷6=______ (5) (-3/4)÷(-1/2)=______ ▌ 二、课中探究 活动1：探索有理数除法法则 → 因为 (-5)×3=-15，所以 (-15)÷3=-5。 → 因为 (-5)×(-3)=15，所以 15÷(-3)=-5。 → 因为 0×(-3)=0，所以 0÷(-3)=0。 → 发现：(-15)÷3=(-15)×(1/3)=-5 → 除以3等于乘1/3。 ⚑ 除法法则一（通用）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a×(1/b)（b≠0） ⚑ 除法法则二（整除时用）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非零数都得0。 选用技巧：能整除时用法则二更简便；不能整除或遇分数时用法则一更通用。 活动2：两数相除——典例精讲 【例1】 (1) (-36)÷9 (2) (-12/25)÷(-3/5) (3) 0÷(-8) (4) (-0.25)÷(-4) 解：(1) 异号得负 → -(36÷9) = -4 (2) 同号得正 → +(12/25÷3/5) = +(12/25×5/3) = 4/5 (3) 0÷非零数 → 0 (4) 同号得正 → +(0.25÷4) = +(1/4÷4) = 1/16 跟踪练习 (1) 32÷(-8)=______ (2) (-7/8)÷(-3/4)=______ (3) (-3/16)÷(+1/4)=______ (4) (-3)÷0.001=______ (5) 0÷(-125)=______ 活动3：除法转化为乘法 核心思想：通过"乘倒数"将除法统一为乘法，即可利用乘法的一切法则和运算律。 【例2】 计算：(-16)÷5×(1/5) 解：乘除同级，从左到右依次计算 (-16)÷5×(1/5) = (-16)×(1/5)×(1/5) = -(16×1/5×1/5) = -16/25 注意：不能先算 5×(1/5)=1！乘除同级必须从左到右。 活动4：多个因数乘除混合运算 运算步骤： ① 第一步：将所有除法转化为乘法（乘倒数）。 ② 第二步：确定积的符号（数负因数个数）。 ③ 第三步：先约分，再把绝对值相乘。 【例3】 (1) (-25/7)÷(-5/3)÷(-15/14) (2) (-3.5)÷(7/8)×(-0.75) 解：(1) 全变乘法：(-25/7)×(-3/5)×(-14/15) 负因数3个（奇数）→ 符号为负 绝对值：(25/7)×(3/5)×(14/15) = 1050/525 = 2 结果：-2 (2) 全变乘法：(-7/2)×(8/7)×(-3/4) 负因数2个（偶数）→ 符号为正 绝对值：(7/2)×(8/7)×(3/4) = 168/56 = 3 结果：3 跟踪练习 (1) (-6)÷(-4)÷(-6/5)=______ (2) (-2.5)×(-5/6)÷(-3)=______ (3) (-12)÷(-3/4)×(-1/2)=______ 活动5：加减乘除混合运算 ⚑ 运算顺序：有括号先算括号内（小→中→大）；无括号按"先乘除，后加减"从左到右计算。 【例4】 计算：(-3)×(-5)+(-28)÷7 解：先乘除，后加减 (-3)×(-5) = 15；（同号得正） (-28)÷7 = -4；（异号得负） 原式 = 15+(-4) = 15-4 = 11 跟踪练习 (1) (-4)×6-(-18)÷(-3)=______ (2) (-2)×(-3)×(-4)+(-12)÷(-2)=______ (3) [(-6)+2]×(-3)-(-16)÷4=______ ▌ 三、课堂巩固（第二课时） 【基础过关】 (1) (-24)÷(-6)=______ (2) 18÷(-3)=______ (3) (-5/6)÷(5/3)=______ (4) 0÷(-100)=______ (5) (-8)÷(-2)÷(-2)=______ (6) (-3)×4÷(-6)=______ 【能力提升】 (7) (-36)÷(-4)×(-1/3)=______ (8) (-2/3)÷(-1/2)×(-3/4)=______ (9) (-5)×(-4)+(-20)÷5=______ (10) [(-8)-(-2)]×3+(-12)÷(-4)=______ (11) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m=-2，求a+b-cd+m的值。 (12) 某商店购进一批商品，每件成本50元。第一天以60元售出8件，第二天以40元售出5件，第三天以55元售出6件。这三天总盈利或亏损多少元？ ▌ 四、拓展延伸 1. 易错辨析 ✗ 乘除混合必须从左到右依次计算，不能随便加括号改变顺序。如(-16)÷4×2≠(-16)÷(4×2)。 ✗ 带分数参与运算要先化为假分数。如2又1/3×(-3)=(7/3)×(-3)=-7。 ✗ 分配律使用时括号外因数要乘遍括号内每一项。如(-12)×(1/3-1/4)=-4-(-3)=-1。 ✗ 0不能做除数！a÷0无意义。但0可以做被除数：0÷a=0（a≠0）。 2. 规律探索 观察：1×(-2)=-2；(-1)×(-2)=2；(-1)×(-2)×(-3)=-6；(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24…… 规律：从-1开始连续n个整数相乘，负因数个数为n，绝对值=n!，符号由n的奇偶决定。 3. 生活链接 (1) 水库水位每天下降0.3米，连续下降5天，水位共变化多少米？（用有理数乘法表示） (2) 海拔每升高1000米气温下降6°C。某山海拔3500米，山顶比山脚气温低多少度？ (3) 某股票连续3天每天下跌0.5元，总跌幅用有理数乘法如何表示？结果是多少？ ▌ 五、总结归纳 ★ 同号得正，异号得负，绝对值相乘 ★ 乘法法则：两数相乘→定符号→绝对值相乘。多个因数→数负因数个数（奇负偶正）→有0则0。 ★ 除以一个数 = 乘这个数的倒数 ★ 除法法则：a÷b=a×(1/b)（b≠0）。两数相除→同号得正/异号得负→绝对值相除。0不能做除数。 ★ 先乘除，后加减；同级从左到右 ★ 运算顺序：有括号先算括号内；无括号先乘除后加减；乘除同级从左到右依次。 运算律小结： ◆ 交换律：ab=ba（交换位置，积不变）。 ◆ 结合律：(ab)c=a(bc)（先乘哪两个，积不变）。 ◆ 分配律：a(b+c)=ab+ac（分别相乘再加）。逆用：ab+ac=a(b+c)。 全部题目参考答案 ▎ 第一课时 · 课前预习答案 预习填空：(1)正；负 (2)正；0 (3)奇数；偶数 (4)1；没有 (5)ba；a(bc)；ab+ac 预习检测：(1)√ (2)√（前提是无0因数时） (3)-12；10 (4)-1/2；2 ▎ 第一课时 · 课中探究跟踪练习答案 活动2：(1)-18 (2)56 (3)-20 (4)3/2 (5)-1 活动3：(1)-1/3 (2)5/2 (3)-4/3（因-0.75=-3/4，倒数为-4/3） (4)1和-1 (5)-4 活动4：(1)负；-24 (2)6 (3)0 活动5：(1)-21 解析：2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3×(-7)]=1×(-21)=-21 (2)12 解析：(-5)×(-12)×0.2=[(-5)×0.2]×(-12)=(-1)×(-12)=12 (3)-7 解析：(1/2)×(-12)+(-2/3)×(-12)+(3/4)×(-12)=-6+8+(-9)=-7 ▎ 第一课时 · 课堂巩固答案 (1)-24 (2)42 (3)0 (4)-3 (5)1 (6)-1/4 (7)-60 (8)24 (9)1700 解析：(-25)×17×(-4)=(-25)×(-4)×17=100×17=1700 (10)-11 解析：原式=(-36)×(5/9)+(-36)×(-5/6)+(-36)×(7/12)=-20+30-21=-11 (11) 6或-6 解析：|a|=3→a=3或-3；当a=3时ab=-6；当a=-3时ab=6 (12) 1 解析：xy=1，m+n=0；原式=0×2025+1=1 ▎ 第二课时 · 课前预习答案 预习填空：(1)倒数；1/b (2)正；负；相除 (3)0 (4)不能 (5)除法；乘法 (6)乘除；加减 预习检测：(1)×（必须强调除数不为0） (2)4 (3)0 (4)-3 (5)3/2 ▎ 第二课时 · 课中探究跟踪练习答案 活动2：(1)-4 (2)7/6 (3)-3/4 (4)-3000 (5)0 活动4：(1)-5/4 解析：(-6)÷(-4)÷(-6/5)=(3/2)×(-5/6)=-15/12=-5/4 (2)-25/36 解析：(-2.5)×(-5/6)÷(-3)=(-5/2)×(-5/6)×(-1/3)→负因数3个→负；(5/2)(5/6)(1/3)=25/36→-25/36 (3)-8 解析：(-12)÷(-3/4)×(-1/2)=(-12)×(-4/3)×(-1/2)→负因数3个→负；12×4/3×1/2=8→-8 活动5：(1)-18 解析：(-4)×6=-24；(-18)÷(-3)=6；-24+6=-18 (2)-18 解析：(-2)×(-3)×(-4)=-24；(-12)÷(-2)=6；-24+6=-18 (3)16 解析：[(-6)+2]=-4；(-4)×(-3)=12；(-16)÷4=-4；12-(-4)=16 ▎ 第二课时 · 课堂巩固答案 (1)4 (2)-6 (3)-1/2 (4)0 (5)-2 (6)2 (7)-3 解析：(-36)÷(-4)=9；9×(-1/3)=-3 (8)-1 解析：全变乘法 (-2/3)×(-2)×(-3/4)；负因数3个（奇数）→负；绝对值(2/3)×2×(3/4)=1；结果为-1 (9)16 解析：(-5)×(-4)=20；(-20)÷5=-4；20+(-4)=16 (10)-15 解析：[(-8)-(-2)]=(-6)；(-6)×3=-18；(-12)÷(-4)=3；-18+3=-15 (11)-3 解析：a+b=0；cd=1；m=-2；原式=0-1+(-2)=-3 (12)盈利60元 解析：第一天(60-50)×8=80；第二天(40-50)×5=-50；第三天(55-50)×6=30；80-50+30=60 ▎ 拓展延伸答案 生活链接1：(-0.3)×5=-1.5（米），水位下降1.5米。 生活链接2：(3500÷1000)×(-6)=3.5×(-6)=-21（°C），山顶比山脚低21度。 生活链接3：(-0.5)×3=-1.5（元），总跌幅1.5元。 — 第 页 — 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