2.2 有理数的乘法与除法-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的乘除法，涵盖乘法法则、除法法则及混合运算，通过观察算式规律引导学生归纳法则，衔接有理数加减法，为后续运算学习搭建基础支架。 资料以观察归纳培养抽象能力，结合气温变化等实际情境发展模型意识，分层练习与检测提升运算能力，助力学生理解数学原理，培养理性思维，适合自主学习与教学评估。

2.2 有理数的乘除法 知识框架： · 有理数的乘法 · 有理数的除法 · 有理数加、减、乘、除混合运算 1、 有理数的乘法 1. 观察下面的乘法算式，能发现什么规律吗？ （1）3×3＝9，3×2＝6，3×1＝3，3×0＝0． （2）3×（－1）＝－3，3×（－2）＝ 3×（－3）＝ ． 归纳：正数乘正数，积为正数；正数乘负数 ，积为负数；负数乘正数，积为负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 2. 利用上述结论计算下面的算式，又发现了什么规律？ （1）（－3）×3＝ ，（－3）×2＝ ，（－3）×1＝ ，（－3）×0＝ ． （2）（－3）×（－1）＝ ，（－3）×（－2）＝ ，（－3）×（－3）＝ ． · 总结出有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数与0相乘，都得0． 例题讲解 例1：计算（1）（－3）×9； （2）8×（－1）； （3）×（－2）． 解：（1）（－3）×9（异号两数相乘）=－（3×9）（积为负，把绝对值相乘） ＝－27； （2）8×（－1）（异号两数相乘）＝－（8×1）（积为负，把绝对值相乘）＝－8； （3）×（－2）（同号两数相乘） ＝＋（积为正，再把绝对值相乘）＝1． 例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为－6℃，攀登3km后，气温有什么变化？ 解：（－6）×3=－18．答：气温下降18℃． 思考：观察下列各式，它们的积是正的还是负的？ 2×3×4×（－5）； 2×3×（－4）×（－5）． 2×（－3）×（－4）×（－5）； （－2）×（－3）×（－4）×（－5）． 解：2×3×4×（－5）＝－120．2×3×（－4）×（－5）＝120． 2×（－3）×（－4）×（－5）＝－120．（－2）×（－3）×（－4）×（－5）＝120． 总结：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数． 练习1 计算：（1）（－125）×（－2）×（－8）．（2）． （3）22×（－33）×（－4）×0．（4）． 检测1 1．一个有理数和它的相反数的乘积（　　）． A．必定为正数　　　　 B．必定为负数 C．一定不大于0　　　　D．一定不小于0 2．有两个有理数，它们的和为正数，它们的积也为正数，那么这两个有理数（　　）． A．都是正数　　　　B．都是负数 C．一正一负　　　　D．符号不能确定 3．两个有理数的积是负数，和为零，那么这两个有理数（　　）． A．一个为0，另一个为正数　　　　B．一个为正数，一个为负数 C．一个为0，另一个为负数　　　　D．互为相反数且不等于0 4．如果两个有理数的积小于0，和大于0，那么这两个有理数（　　）． A．符号相反 B．符号相反且绝对值相等 C．符号相反且负数的绝对值大 D．符号相反且正数的绝对值大 5．如果abc＝0，那么一定有（　　）． A．a＝b＝0　　　　　B．a＝0，b≠0，c≠0 C．a、b、c至少有一个为0　　　　　　　　D．a、b、c最多有一个为0 6．若ab＞0，且a＋b＜0，则a＿＿＿＿0，b＿＿＿＿0． 7．若c，d互为倒数，则＝＿＿＿＿. 8．a，b是什么有理数时，下式成立：a×b=|a×b|． 计算并归纳： （1）和 （2）和 （3）5×[3＋（－7）]和5×3＋5×（－7）． · 乘法交换律：ab=ba． · 乘法结合律：（ab）c=a（bc）． · 乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋ac． 例题精讲 用两种方法计算：． 解法1：＝＝＝－1． 解法2：＝＝3＋2－6＝－1． 作业1 1．计算下列各题． （1）（－0.125）×（－18）×（－8）×0×（－1）； （2）；（3）（－6）×45＋（－6）×55． （4）；（5）； （6）． 2．a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求的值． 检测2 1．大于－3且小于4的所有整数的积为(　　)． A．－12 B．12 C．0 D．－144 2．3.125×(－23)－3.125×77＝3.125×(－23－77)＝3.125×(－100)＝－312.5，这个运算运用了(　　)．A．加法结合律 B．乘法结合律 C．分配律 D．分配律的逆用 3．下列运算过程有错误的个数是(　　)．A．1 B．2 C．3 D．4 ①＝ ②－4×(－7)×(－125)＝－（4×125×7） ③×15＝×15＝150－ ④[3×(－25)]×(－2)＝3×[(－25)×(－2)]＝3×50 4．绝对值不大于2 011的所有整数的积是__________． 5．在－6，－5，－1，3，4，7中任取三个数相乘，所得的积最小是________，最大是________． 6．计算： （1）；　　　（2）(－11)×＋(－11)×＋(－11)×． 2、 有理数的除法 计算，总结规律． （1）8÷4＝；　（2）8×＝； （3）（－36）÷9＝；　（4）（－36）×＝． 可知： 8÷4＝8×；（－36）÷9＝（－36）×． 试一试8÷（－4）＝？ 因为除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”，使（？）×（－4）＝8 显然有－2×（－4）＝8，所以8÷（－4）＝－2． 还知道8×＝－2．即8÷（－4）＝8×． · 得出有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数． 可以表示为：a÷b=a·（b≠0） 例题精讲 例1　计算：（1）． （2）．　（3）． （4）． 解：（1）（2） （3）（4） 类似于乘法法则可得： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．零除以任何一个不等于0的数，都得0． 例2 化简下列分数：（1）； （2）． 解：（1）；（2）=3.75． 例3 计算：（1）； （2）． 解：（1）（2） 练习2 1．（1）＿＿＿＿的0.12倍等于－14.4； （2）的＿＿＿＿倍等于； （3）＿＿＿＿的等于； （4）＿＿＿＿的80%等于－2.15． 2．计算：（1）－6÷（－0.25）÷；（2）； （3）． 3．求下列各数的倒数，并用“<”号把它们连接起来：，，，0.5，－1.6． 3、 有理数加、减、乘、除混合运算 例题精讲 例1　计算：（1）； （2）． 解：（1） （2）． 例2 某公司去1～3月平均每月亏1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？ 提示：可记盈利为正数，亏损为负数． 解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额（单位：万元）为： 答：这个公司去年盈利3.7万元． 练习3 1．计算：（1）3×（－4）＋（－28）÷7； （2）； （3）；（4）；（5）． 检测3 1．若两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数(　　)． A．一正一负 B．都是正数 C．都是负数 D．不能确定 2．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数(　　)． A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数 3．计算(－12)÷[6＋(－3)]的结果是(　　)． A．2 B．6 C．4 D．－4 4．若＝1，则m__________0. 5．若＜0，＜0，则ac__________0. 6．计算：(1)(－10)××(－0.1)×6； (2)－3×××(－0.25)； (3)－15÷(－5)÷； (4)－8－． 答案 练习1 解：（1）原式＝－（125×2×8）＝－2 000．（2）原式＝＝ （3）原式＝0．（4）原式＝＝－18． 检测1 1．C． 2．A． 3．D． 4．D． 5．C．6．＜；　＜．　7．． 8．分3种情况（1）当a>0，b>0时，等式a×b=|a×b|成立； （2）当a<0，b<0时，等式a×b=|a×b|成立； （3）当a，b两数中至少有一个数为零时，等式a×b＝|a×b|成立． 作业1 1．（1）（－0.125）×（－18）×（－8）×0×（－1）＝0； （2）＝＝－8＋6－9＝－11； （3）（－6）×45＋（－6）×55＝（－6）×（55＋45）＝（－6）×100＝－600． （4）（－0.25）×0.5××4＝＝ ＝＝＝＝． （5）（－0.125）××（－8）××（－5）＝ ＝＝． （6）－12×＝－12× ＝＝＝． 2．因为a与b互为相反数，所以，因为x与y互为倒数，所以， 因为c的绝对值等于2，所以． 则或． 检测2 1．C． 2．D． 3．A．4．0．5．－168；210． 6．（1）． （2）(－11)×＋(－11)×＋(－11)× ＝. 练习2 1：（1）－14.4÷0.12＝－120．　（2）＝－1．　 （3）．　（4）－2.15÷80%＝－2.687 5． 2：（1）原式＝． （2）原式＝＝＝． （3）原式＝＝＝． 3：的倒数为．∵，∴的倒数为． ∵＝＝，∴的倒数为．∵0.5=，∴0.5的倒数为2． ∵－1.6＝＝，∴－1.6的倒数为．∴－． 练习3 1：（1）原式＝－12＋（－4）＝－16．（2）原式＝－28＋3＝－25． （3）原式=． （4）原式=． （5）原式=． 检测3 1．C． 2．D． 3．D．4．＞． 5．＞． 6．解：（1）－2．（2）．（3）．（4） 学科网（北京）股份有限公司 $