1.2.1有理数的概念 导学案 2026-2027学年初中数学人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的概念”，引导学生理解有理数的定义及按定义、性质两种分类方式，通过课前预习回顾小学自然数、分数、小数知识，结合生活实例（如温度、收支）引入负数，搭建新旧知识衔接的学习支架。 特色在于注重分类思想培养，以生活情境抽象数的概念发展数学眼光，用集合语言表示分类提升数学语言能力，习题分层设计覆盖基础与提升，助力学生形成严谨思维和应用意识，落实核心素养。

人教版数学七年级上册 · 1.2.1 有理数的概念 导学案 1.2.1有理数的概念 导学案 学习目标 ① 理解有理数的概念，能将有理数进行分类（按定义分、按性质分），并能用集合语言表示。 ② 掌握正整数、零、负整数、正分数、负分数的概念，明确整数和分数统称有理数。 ③ 能判断一个数是属于哪一类有理数，并能将给出的数按要求分类。 ④ 通过分类过程体会数学中"分类讨论"的思想方法，培养严谨的思维能力。 学习重点与难点 重点：有理数的概念及分类（按定义分、按性质分）。 难点：有理数分类中"零"的特殊地位；分数与有限小数、循环小数的关系；分类时不重不漏的原则。 一、课前预习 ▌ （一）知识链接 回顾小学学过的数： ◇ 自然数：0, 1, 2, 3, …（用于计数和测量） ◇ 分数：1/2, 3/4, 2/3, …（用于表示部分与整体的关系） ◇ 小数：有限小数（0.5）和循环小数（0.333…） 思考：随着生活实际需要，我们逐渐遇到了小学里没有的数的类型，如零下温度（-5℃）、亏损金额（-200元）等。这些数有什么共同特征？它们与小学学过的数有什么关系？ ▌ （二）新课预读 阅读教材第6—7页，完成以下填空： 1 正整数、______、负整数统称整数。 【答案】零（或0） 2 正分数和______统称分数。 【答案】负分数 3 ______和______统称有理数。 【答案】整数；分数 4 有理数按性质（符号）可分为______、______、______三类。 【答案】正有理数；零；负有理数 5 0既不是______数，也不是______数。 【答案】正；负 ▌ （三）预习检测 1 判断：0是自然数。（　　） 【答案】正确。0是自然数，也是整数，但不是正数也不是负数。 2 判断：-3是整数也是有理数。（　　） 【答案】正确。-3是负整数，负整数属于整数，整数属于有理数。 3 判断：所有小数都是分数。（　　） 【答案】错误。只有有限小数和循环小数才是分数；无限不循环小数（如π）不是分数，也不是有理数。 4 判断：有理数包括正数、负数和零。（　　） 【答案】正确。按性质分，有理数可分为正有理数、零、负有理数。 5 判断：1/2是正整数。（　　） 【答案】错误。1/2是分数，不是整数。正整数是指1, 2, 3, …等。 二、课中探究 ▌ 活动1：从生活实例中认识负数 情境一：某地冬季某天最高气温为5℃，最低气温为-3℃，温差是多少？ 情境二：小明家本月收入3000元，支出-500元表示什么意思？ 情境三：电梯地面以上5层记作+5，地面以下2层记作什么？ 【探究】 ▸ 以上情境中出现了哪些小学没学过的数？它们有什么共同点？ 【答案】出现了-3、-500、-2等数。它们都是在正数前面加上"-"号得到的，表示与正数意义相反的量。 ▸ 这些数的出现说明了什么数学思想？ 【答案】说明数学来源于生活需要。当正数不足以表达所有实际量时，就需要引入新的数——负数。这体现了数学的"实际需要驱动"原则。 ▌ 活动2：正数与负数的定义 阅读教材，归纳正数和负数的定义： 定义：大于0的数叫做正数（如+3, +5, 7等）；在正数前面加上负号"-"的数叫做负数（如-3, -5, -1/2等）。 注意：0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。 符号：正数前面的"+"号可以省略不写（如+5写作5），但负数前面的"-"号不能省略。 ★ 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1) 带"+"号的数都是正数。 【答案】错误。+0=0，0不是正数。带"+"号的数不一定是正数，还要看是否大于0。 (2) 带"-"号的数都是负数。 【答案】错误。-0=0，0不是负数。带"-"号的数不一定是负数，还要看是否小于0。 (3) 没有最小的正数，也没有最大的负数。 【答案】正确。正数可以无限接近0但大于0，负数可以无限接近0但小于0，因此不存在最小正数和最大负数。 (4) 正数一定大于负数。 【答案】正确。正数大于0，负数小于0，所以任何正数都大于任何负数。 ▌ 活动3：有理数的分类（按定义） 请同学们根据以下数进行分类： 3, -5, 0, 1/2, -2/3, 7, -1, 0.4, -3.5, 100 思考：这些数可以分成几大类？每一类有什么特征？ 【探究过程】 → 第一步：找出所有没有小数部分的数——3, -5, 0, 7, -1, 100。这些叫什么？ 【答案】这些叫整数。其中3, 7, 100是正整数；-5, -1是负整数；0是零。 → 第二步：找出其余有小数部分的数——1/2, -2/3, 0.4, -3.5。这些叫什么？ 【答案】这些叫分数。其中1/2, 0.4是正分数；-2/3, -3.5是负分数。注意0.4=2/5，-3.5=-7/2，有限小数可以化为分数。 → 第三步：整数和分数合起来叫什么？ 【答案】整数和分数统称有理数。 ★ 有理数 = 整数 + 分数 ★ 按定义分类： 有理数 ┬ 整数 ┬ 正整数（如1, 2, 3, …） │ ├ 零（0） │ └ 负整数（如-1, -2, -3, …） └ 分数 ┬ 正分数（如1/2, 0.3, 2/3, …） └ 负分数（如-1/2, -0.3, -2/3, …） ▌ 活动4：有理数的分类（按性质/符号） 换一个角度，按数的正负性质分类： → 所有大于0的有理数归为一类，叫什么？包括哪些？ 【答案】叫正有理数。包括正整数（1, 2, 3, …）和正分数（1/2, 0.5, 2/3, …）。 → 0归为哪一类？ 【答案】0既不是正有理数，也不是负有理数。它是正数和负数的分界。 → 所有小于0的有理数归为一类，叫什么？包括哪些？ 【答案】叫负有理数。包括负整数（-1, -2, -3, …）和负分数（-1/2, -0.5, -2/3, …）。 ★ 有理数 = 正有理数 + 零 + 负有理数 ★ 按性质分类： 有理数 ┬ 正有理数 ┬ 正整数 │ └ 正分数 ├ 零（0） └ 负有理数 ┬ 负整数 └ 负分数 ▌ 活动5：两种分类的关系与辨析 比较"按定义分"和"按性质分"两种分类方法： ◇ 两种分类的"维度"不同：按定义分关注"数的形式"（整数还是分数），按性质分关注"数的符号"（正、零、负）。 ◇ 两种分类的结果一致：无论哪种方法，最终都将有理数划分为五大类——正整数、零、负整数、正分数、负分数。 ◇ 分类的原则：不重不漏。每个有理数都必须且只能归入一个类别。 ◇ 关键提醒：0是整数，是有理数，但不是正数也不是负数。在任何分类中，0的位置要特别注意。 ▌ 活动6：易错辨析 ① π是有理数吗？ 【答案】不是。π是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，因此不属于分数，也不属于有理数。π是无理数。 ② 0.333…（循环小数）是有理数吗？ 【答案】是。0.333…=1/3，是循环小数，可以化为分数，因此是有理数。 ③ -2/3是分数还是整数？ 【答案】-2/3是负分数，不是整数。整数包括正整数、零、负整数，不包括分数。 ④ 自然数都是有理数吗？ 【答案】是。自然数（0, 1, 2, 3, …）都是整数，整数都是有理数。 ⑤ 有理数都是自然数吗？ 【答案】不是。有理数还包括负整数和分数，如-2, 1/2等都不是自然数。 三、课堂巩固 ▌ （一）基础过关 ★ 下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？ 数：-3, 5, 0, 2/3, -1/4, 7, -8, 0.6, -0.2, 100 【答案】正整数：5, 7, 100 【答案】负整数：-3, -8 【答案】正分数：2/3, 0.6（0.6=3/5） 【答案】负分数：-1/4, -0.2（-0.2=-1/5） 【答案】注意：0是整数，但既不是正整数也不是负整数。 ★ 将下列各数填入相应的集合圈中： 数：-5, 3, 0, -2/3, 4.5, -1, 1/2, -3.2, 6, 0.75 【答案】正整数集合：{3, 6} 【答案】负整数集合：{-5, -1} 【答案】正分数集合：{4.5, 1/2, 0.75}（4.5=9/2, 0.75=3/4） 【答案】负分数集合：{-2/3, -3.2}（-3.2=-16/5） 【答案】整数集合：{-5, 3, 0, -1, 6} 【答案】有理数集合：以上所有数都是有理数。 ▌ （二）能力提升 ① 下列说法正确的有多少个？ （1）0是最小的整数；（2）-1是最大的负整数；（3）有理数包括正有理数、负有理数和零；（4）分数都是有理数；（5）有理数都是分数。 【答案】正确的有（2）（3）（4），共3个。 【解析】（1）错误，没有最小的整数（负整数可以无限小）；（2）正确，-1是最大的负整数；（3）正确；（4）正确，分数都是有理数；（5）错误，整数也是有理数但不是分数。 ② 把下列各数填在相应的大括号内： 数：-3.14, +5, 0, -2, 3/7, -0.5, 8, -4/5, 1.2, -100 【答案】正数集合：{+5, 3/7, 8, 1.2} 【答案】负数集合：{-3.14, -2, -0.5, -4/5, -100} 【答案】整数集合：{+5, 0, -2, 8, -100} 【答案】分数集合：{-3.14, 3/7, -0.5, -4/5, 1.2} ③ 某工厂生产零件，规定标准重量为100g。以下数据表示各零件与标准的偏差（单位：g）：+2, -1.5, 0, +0.5, -3, +1, 0, -0.5。请将这些数据分类，并说明正数、负数、零各表示什么含义。 【答案】正数（+2, +0.5, +1）表示零件重量超过标准100g；负数（-1.5, -3, -0.5）表示零件重量低于标准100g；零（0, 0）表示零件重量恰好等于标准100g。 【答案】按有理数分类：正整数+2，正分数+0.5和+1，负整数无，负分数-1.5、-3、-0.5，零0。 四、拓展延伸 ▌ （一）数学文化 负数的引入是世界数学史上的一件大事。中国古代数学名著《九章算术》中已系统使用负数，比欧洲早了一千多年。刘徽在注《九章算术》时说："今两算得失相反，要令正负以名之。"即用正负数表示相反意义的量。印度数学家婆罗摩笈多在7世纪也独立引入了负数概念。而在欧洲，直到文艺复兴时期，负数才被数学家们广泛接受。 ▌ （二）分类思想的深化 分类讨论是数学中重要的思想方法。在有理数分类中，我们遵循两个原则： ◇ 同一标准：每次分类只能用一个标准（如按定义或按性质），不能混用。 ◇ 不重不漏：每个对象都要归入且仅归入一个类别。 思考：如果将有理数按"整数和非整数"分类，结果会怎样？ 【答案】整数包括正整数、零、负整数；非整数包括所有分数（正分数和负分数）。这与"按定义分为整数和分数"本质相同，只是表述不同。 ▌ （三）数系扩充的展望 随着学习的深入，我们会发现有理数仍不足以表达所有量。例如： ◇ √2 不能表示为分数——它是无理数。 ◇ π 是无限不循环小数——也是无理数。 ◇ 有理数 + 无理数 = 实数。 将来我们还会学到复数、向量等更广阔的数系。数学的发展，就是不断突破旧框架、建立新体系的过程。 ▌ （四）生活链接 举出生活中用正负数表示相反意义的量的三个例子，并说明正数和负数各表示什么。 【答案】例1：温度。+5℃表示零上5度，-3℃表示零下3度。零上为正，零下为负。 【答案】例2：海拔。+8848m表示高于海平面8848米，-155m表示低于海平面155米。高于海平面为正，低于为负。 【答案】例3：账户。+2000元表示存入2000元，-500元表示支出500元。收入为正，支出为负。 五、课后检测 ▌ （一）选择题 1. 下列各数中，属于负分数的是（　　） A. -3 B. -0.5 C. 0 D. 2/3 【答案】选B。-3是负整数不是分数；-0.5=-1/2是负分数；0是整数；2/3是正分数。 2. 下列说法正确的是（　　） A. 正数和负数统称有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 0既不是整数也不是分数 【答案】选B。A错误（遗漏0）；B正确（有理数的标准定义）；C错误（遗漏0）；D错误（0是整数）。 3. 在-2, 0, 3, -1/2, 0.5, -3, 1/3中，非负整数有几个？（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】选B。非负整数即正整数和零。符合条件的有0和3，共2个。 4. 下列关于0的说法正确的是（　　） A. 0是最小的正数 B. 0是最小的整数 C. 0既不是正数也不是负数 D. 0是最大的负数 【答案】选C。0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。没有最小的整数，也没有最大的负数。 5. 下列各数中，哪些是有理数？ A. π B. 0.333… C. √2 D. -2/7 【答案】选B和D。0.333…=1/3是循环小数（有理数）；-2/7是分数（有理数）。π和√2是无理数。 ▌ （二）填空题 1. 有理数按定义可分为______和______两大类。 【答案】整数；分数 2. -3.14是______数（填"正"或"负"），属于______（填"整数"或"分数"）。 【答案】负；分数（-3.14=-314/100=-157/50） 3. 最大的负整数是______，最小的正整数是______。 【答案】-1；1 4. 把下列各数填入相应集合：3, -5, 0, 2/5, -1.2, 7, -3/4, 0.8 【答案】正整数：{3, 7} 【答案】负整数：{-5} 【答案】正分数：{2/5, 0.8}（0.8=4/5） 【答案】负分数：{-1.2, -3/4}（-1.2=-6/5） ▌ （三）解答题 1. 将下列各数按要求分类： -4, 5/6, 0, -3, 2, -0.25, 100, -7/8, 1.5, -10 【答案】正整数：{5/6不对，5/6是分数。正整数：{2, 100} 【答案】负整数：{-4, -3, -10} 【答案】正分数：{5/6, 1.5}（1.5=3/2） 【答案】负分数：{-0.25, -7/8}（-0.25=-1/4） 【答案】注意：0是整数，但既不正也不负，单独归类。 2. 用正数和负数表示下列相反意义的量： （1）向东走50m记作+50m，则向西走30m记作什么？ （2）收入200元记作+200元，则支出80元记作什么？ （3）水位上升2cm记作+2cm，则下降5cm记作什么？ 【答案】（1）向西走30m记作-30m。 【答案】（2）支出80元记作-80元。 【答案】（3）下降5cm记作-5cm。 【答案】规律：先规定正方向，与正方向相反的量就用负数表示。 3. 小明做以下判断题，请帮他改正错误的说法： （1）"有理数就是正有理数和负有理数"（错误） （2）"0是最小的整数"（错误） （3）"分数都是有理数"（正确） 【答案】（1）改正：有理数包括正有理数、零、负有理数。遗漏了零。 【答案】（2）改正：没有最小的整数。负整数可以无限小（如-100, -1000…）。 【答案】（3）正确，无需改正。有限小数和循环小数都能化为分数，都是有理数。 六、总结归纳 ▌ （一）核心概念梳理 ★ 整数（正整数、零、负整数） + 分数（正分数、负分数） = 有理数 ★ ★ 正有理数 + 零 + 负有理数 = 有理数 ★ 两条分类线索：按定义分（整数/分数）和按性质分（正/零/负），结果一致，角度不同。 — 第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $