培优专题函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用课后同步练习- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习聚焦函数y=Asin(ωx+φ)性质，分三级分层设计，从基础概念到综合应用再到创新探究，构建完整知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|图象变换、周期、对称性等单一性质|选择题为主，聚焦基础运算与概念辨析，如平移伸缩变换（题1）、由图象求参数（题2）| |B级|性质综合应用、参数范围、变式探究|选择与填空题结合，强化推理能力，如单调性与平移对称综合（题9）、零点与最值关联（题12）| |C级|解析式求解、方程根问题、学科素养|解答题形式，突出创新意识，如含参数方程根的讨论（题14），体现数学思维与语言表达|

培优专题　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用 A级　必备知识基础练 1.将函数y=sin(4x+)图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再沿着x轴向右平移个单位长度,得到的函数图象的一个对称轴方程可以是(　　) A.x= B.x= C.x= D.x= 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,为了得到g(x)=Asin(ωx-)的图象,可以将f(x)的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 3.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列说法正确的有(　　) A.函数y=f(x)的最小正周期为π B.函数y=f(x)的图象关于点(-,0)中心对称 C.函数y=f(x)在[-,-]上单调递减 D.函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin 2x的图象 4.将函数f(x)=cos(2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 5.将y=cos x的图象向左平移个单位长度,再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)得到函数f(x)的图象,若f(x)在区间[0,π]上恰有1个最小值和3个零点,则ω的取值范围为　　　　　.  6.已知函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　.  7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)在一个周期内,当x=时有最大值2,当x=时有最小值-2,则ω=　　　　　,φ=　　　　　.  B级　关键能力提升练 8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则ω的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 9.(2026江西吉安期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),且在[-]上是单调函数,其图象向左平移个单位长度后与f(x)的图象关于x轴对称,则ω可能的取值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 10.(多选题)将函数y=sin(x+φ)图象F上所有的点向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为(,0),则φ的取值不可能是(　　) A. B. C. D. 11.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)中心对称,x0∈[0,],则x0=　　　　.  12.已知f(x)=sin2(ωx+)-cos2(ωx+)(ω>0),f(x1)=f(x2)=0,且|x1-x2|min=,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,若g(x)在[0,mπ]上恰有4个零点和2个最大值点,则m的取值范围为　　　　　.  13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值. C级　学科素养创新练 14.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求出函数f(x)的单调递增区间及|f(x)|取得最大值时x的集合; (3)若关于x的方程9f2(x)+acos(2x+)-a-=0在(0,)上有四个不同的实数根,求实数a的取值范围. 答案 1.D　将函数y=sin(4x+)图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再沿着x轴向右平移个单位长度,可得y=sin[4×(x-)+]=sin 2x的图象,令2x=+kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,当k=1时,对称轴方程为x=.故选D. 2.B　因为,T=π,所以ω==2.由题图得2×+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin(2x++2kπ)=Asin(2x+),k∈Z,g(x)=Asin(ωx-)=Asin(2x-),注意到f(x-)=Asin[2(x-)+]=Asin(2x-),所以为了得到g(x)=Asin(ωx-)的图象,可以将f(x)的图象向右平移个单位长度.故选B. 3.AD　A=2,T=,则T=π,A正确;因为ω>0,所以T==π,则ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).又2×+φ=π,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+).因为f(-)=-2≠0,故y=f(x)的图象不关于点(-,0)中心对称,B错误;当x∈[-,-]时,2x+∈[-π,0],故y=f(x)在[-,-]上不单调,C错误;函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,可得f(x-)=2sin[2(x-)+]=2sin 2x的图象,D正确.故选AD. 4.A　由题意有f(x-φ)=cos[2(x-φ)+]=cos[2x+(-2φ)],又f(x-φ)为奇函数,所以-2φ=+kπ,k∈Z,解得φ=,k∈Z,又φ>0,所以当k=0时,φ取最小值,此时φ=.故选A. 5.[)　将y=cos x的图象向左平移个单位长度,可得y=cos(x+)的图象,再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,可得f(x)=cos(ωx+)的图象.因为x∈[0,π],且ω>0,则ωx+∈[,πω+],由题意可得≤πω+<3π,解得≤ω<,所以ω的取值范围为[). 6.-　由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z). 因为-<φ<,所以k=0,φ=-. 7.2　　由题意知,最小正周期T=2×()=π, 又ω>0,所以ω==2.又因为当x=时有最大值2, 所以f()=2sin(2×+φ)=2sin(+φ)=2, 所以+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|≤,所以φ=. 8.C　由题图知,f(x)图象过点(0,),(2π,-),所以f(0)=sin φ=,又|φ|<,所以φ=,又点(2π,-)在函数f(x)的减区间内,由f(2π)=sin(2ωπ+)=-,得到2ωπ++2kπ,k∈Z,所以ω=+k,k∈Z,令k=0,得到ω=,结合各个选项可知,C正确,其他选项不满足ω=+k,k∈Z,故选C. 9.A　设函数f(x)的最小正周期为T,因为函数f(x)在[-]上单调,则-(-)=,可得T≥,又ω>0,所以0<ω≤6.因为函数f(x)的图象向左平移个单位长度后与f(x)的图象关于x轴对称,所以只需平移(n+)个周期,则(n∈N),即ω=4n+2(n∈N).因为0<ω≤6,所以ω=2或ω=6.ω=2满足条件,A正确.故选A. 10.ABC　图象F'对应的函数为y=sin,因为F'的一个对称中心为(,0),所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.故φ的取值不可能是. 11.　由f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,所以ω=2,又图象关于点(x0,0)中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈[0,],则x0=. 12.[)　f(x)=-[cos2(ωx+)-sin2(ωx+)]=-cos(2ωx+),ω>0.记T为f(x)的最小正周期,由|x1-x2|min=,可得,则T=π=,所以ω=1,故f(x)=-cos(2x+),将f(x)的图象向左平移个单位长度后可得y=-cos[2(x+)+]=cos(2x+)的图象,即g(x)=cos(2x+).由题意得x∈[0,mπ],则2x+∈[,2mπ+].因为g(x)在[0,mπ]上恰有4个零点和2个最大值点,所以结合y=cos x的图象, 可得4π≤2mπ+,解得≤m<, 故m的取值范围是[). 13.解 ∵f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x), 即函数f(x)的图象关于y轴对称, ∴f(x)在x=0时取得最值,即sin φ=1或-1. 依题设0≤φ≤π,∴解得φ=. 由f(x)的图象关于点M对称, 可知sin=0,解得ω=,k∈Z. 又f(x)在上是单调函数, ∴T≥π,即≥π.∴ω≤2, 又ω>0,∴当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2. 故φ=,ω=2或. 14.解 (1)由题图可知A=,周期T=()×4=π,故ω==2,则f(x)=cos(2x+φ), 代入()可得,cos(+φ), 即cos(+φ)=1,故+φ=2kπ,k∈Z, 解得φ=-+2kπ,k∈Z. 由于|φ|<,故φ=-,所以f(x)=cos(2x-). (2)令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. 由|f(x)|=可得,cos(2x-)=±, 故2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z, 故|f(x)|取得最大值时x的集合为{x|x=,k∈Z}. (3)由9f2(x)+acos(2x+)-a-=0可得cos2(2x-)+acos(2x+)-a-=0⇒sin2(2x+)+acos(2x+)-a-=0⇒1-cos2(2x+)+acos(2x+)-a-=0, 即cos2(2x+)-acos(2x+)+a+=0在(0,)上有四个不同的实数根, 令t=cos(2x+),则t2-at+a+=0,因为x∈(0,),则2x+∈(),t∈[-1,), 令z=2x+∈(),则t=cos z,如图, 要使cos2(2x+)-acos(2x+)+a+=0在(0,)上有四个不同的实数根,则需要t2-at+a+=0在(-1,)上有两个不相等的实数根,故t2+=a(t-)在(-1,)上有两个不相等的实数根,由于t=时,t2+=a(t-)无解,故t≠,则=a,令t-=s,则s∈(-)且s≠0,故a=s+. 由于函数y=s+在s∈(0,)上单调递减,此时a=s+至多有一个实数根,不符合题意, 故s∈(-,0),如图. 当s=-时,y=-×(-)+=-, y=s+=-(-s+)+≤-2=-1,当且仅当s=-时,等号成立, 故-<a<-1, 即a的取值范围为(-,-1). 2 学科网（北京）股份有限公司 $