课时五十七 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课后练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二倍角公式，通过基础应用、公式变形到综合推理的三层设计，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二倍角公式直接应用|单选1-5、填空10-12，如已知cosx求tan2x，训练公式记忆与基本运算| |提升层|公式变形与综合计算|单选6-7、多选8-9、填空13，如结合诱导公式求sin2α，培养符号意识与推理能力| |综合层|多知识点整合应用|解答题14-17，如函数性质与角变换综合题，发展逻辑推理与问题解决能力|

课时五十七　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课后练习 一、单项选择题 1.已知x∈,cos x=,则tan 2x等于(　　) A. B.- C. D.- 2.已知α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α等于(　　) A.- B. C.- D. 3.若tan=2,则tan 2α等于(　　) A.-3 B. C.- D.3 4.若f(x)=2tan x-,则f的值为(　　) A.- B.8 C.4 D.-4 5.已知sin 2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)等于(　　) A.-2 B.-1 C.- D.- 6．若α∈(0，)，且cos2α＋cos(＋2α)＝，则tan α的值为(　　) A． B． C． D．或－7 7．已知α∈(π，2π)，cos α－3sin α＝1，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 二、多选题 8．(多选)下列选项中，值为的是(　　) A．cos 72°cos 36° B．sin sin C．＋ D．－cos215° 9．(多选)函数f(x)＝sin 2x＋sin2x，x∈R，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(0)＝0 C．f(x)的值域为 D．f(x)的值域为 三、填空题 10.已知sin 2α=,则cos2=　　　　　.  11.已知α为第二象限角,sin α=,则tan 2α=　　　　　.  12.若cos,则sin 2α=　　　　　.  13．若2cos 2α＝sin (－α)，α∈(，π)，则sin 2α＝________． 四、解答题 14.求下列各式的值: (1)cos·cos; (2)-cos2; (3)tan. 15.已知函数f(x)=cos2-sincos. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)=,求sin 2α的值. 16．已知α，β为锐角，且1－cos2α＝sin αcos α，tan (β－α)＝.求： (1)tan α的值；(2)β的值． 17．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，)，sin (β－)＝，β∈(，). (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值． 课时五十七　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课后练习（答案） 一、单项选择题 1.已知x∈,cos x=,则tan 2x等于(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为cos x=,x∈, 所以sin x=-.所以tan x=-. 所以tan 2x==-,故选D. 答案:D 2.已知α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α等于(　　) A.- B. C.- D. 解析:因为α是第三象限角,且cos α=-, 所以sin α=-. 所以sin 2α=2sin αcos α =2×. 答案:D 3.若tan=2,则tan 2α等于(　　) A.-3 B. C.- D.3 解析:因为tan=2, 所以tan α=-3. 所以tan 2α=. 答案:B 4.若f(x)=2tan x-,则f的值为(　　) A.- B.8 C.4 D.-4 解析:因为f(x)==2·, 所以f=8. 答案:B 5.已知sin 2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)等于(　　) A.-2 B.-1 C.- D.- 解析:因为<α<,所以<2α<π. 因为sin 2α=,所以cos 2α=-, 所以tan 2α=-. 所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==-2. 答案:A 6．若α∈(0，)，且cos2α＋cos(＋2α)＝，则tan α的值为(　　) A． B． C． D．或－7 解析：cos2α＋cos(＋2α)＝cos2α－sin2α＝cos2α－2sinαcos α＝＝＝，整理得3tan2α＋20tanα－7＝0，解得tan α＝或tan α＝－7.又α∈(0，)，所以tan α＝.故选C. 答案：C 7．已知α∈(π，2π)，cos α－3sin α＝1，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：因cos α－3sin α＝1，则cos2－sin2－ 6sincos ＝cos2＋sin2，即sin2＝ －3sincos ， 又α∈(π，2π)，即∈(，π)， 有sin >0，cos <0，于是得sin ＝－3cos ， 1＝sin2＋cos2＝10cos2， 解得cos＝－，所以cos ＝－.故选A. 答案：A 二、多选题 8．(多选)下列选项中，值为的是(　　) A．cos 72°cos 36° B．sin sin C．＋ D．－cos215° 解析：对于A，cos36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确； 对于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝，故B正确； 对于C，原式＝ ＝＝＝4，故C错误； 对于D，原式＝－(2cos215°－1) ＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB. 答案：AB 9．(多选)函数f(x)＝sin 2x＋sin2x，x∈R，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(0)＝0 C．f(x)的值域为 D．f(x)的值域为 解析：f(x)＝sin2x＋sin2x＝sin2x－cos 2x＋＝sin (2x－)＋， 所以T＝＝π，所以A错误； f(0)＝×(－)＋＝0，所以B正确； 因为－1≤sin (2x－)≤1， 所以f(x)∈，所以C正确，D错误． 故选BC. 答案：BC 三、填空题 10.已知sin 2α=,则cos2=　　　　　.  解析:cos2=. 答案: 11.已知α为第二象限角,sin α=,则tan 2α=　　　　　.  解析:因为sin α=,且α为第二象限角, 所以cos α=-=-. 所以tan α==-. 所以tan 2α==-. 答案:- 12.若cos,则sin 2α=　　　　　.  解析:因为sin 2α=cos=2cos2-1, 又cos,所以sin 2α=2×-1=-. 答案:- 13．若2cos 2α＝sin (－α)，α∈(，π)，则sin 2α＝________． 解析：由2cos 2α＝sin (－α)得2sin (－2α)＝sin (－α)，即4sin (－α)cos (－α)＝sin (－α)，又sin (－α)≠0，所以cos (－α)＝，所以sin 2α＝cos (－2α)＝2cos2(－α)－1＝－. 答案：－ 四、解答题 14.求下列各式的值: (1)cos·cos; (2)-cos2; (3)tan. 解:(1)cos·cos=. (2)-cos2=-cos=-. (3)tan===-2. 15.已知函数f(x)=cos2-sincos. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)=,求sin 2α的值. 解:(1)因为f(x)=cos2-sincos(1+cos x)-sin x-cos, 所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为. (2)由(1)知f(α)=cos, 所以cos. 所以sin 2α=-cos=-cos=1-2cos2=1-. 16．已知α，β为锐角，且1－cos2α＝sin αcos α，tan (β－α)＝.求： (1)tan α的值；(2)β的值． 解：(1)由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α) ＝sinαcos α，即2sin2α＝sinαcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0， 所以2sin α＝cos α，即tan α＝. (2)tan β＝tan (β－α＋α)＝＝＝1.因为β为锐角，所以β＝. 17．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，)，sin (β－)＝，β∈(，). (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝， 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，又易知2α∈(0，)， 所以cos 2α＝＝，tan2α＝＝. (2)因为β∈(，)，β－∈(0，)， sin (β－)＝，所以cos (β－)＝， 所以sin 2(β－)＝2sin (β－)cos (β－)＝. 又sin 2(β－)＝－cos 2β，所以cos 2β＝－. 又易知2β∈(，π)，所以sin 2β＝. 又cos2α＝＝，所以cos α＝， 所以sin α＝， 所以cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝×(－)－×＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $