精品解析：江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期数学综合练习（三）

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习(三) 高二数学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 与FH是异面直线 C. D. EG，FH，三线共点 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 420 7. “函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 下列说法中正确的是（   ） A. 若随机变量满足，则 B. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 C. 在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好 D. 若事件满足，则 11. 已知函数，若的解集为或，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象的对称中心的纵坐标为 D. 不等式的解为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 14. 已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为________，当____时，质子位于6对应点处的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 16. 咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. （1）求乙猜2次的概率； （2）记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； （3）已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 19. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习(三) 高二数学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】应用存在量词命题的否定判断求解. 【详解】命题，的否定是，. 故选：D. 2. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】已知，求导得， 则， ． 4. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 与FH是异面直线 C. D. EG，FH，三线共点 【答案】C 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；举反例即可判断C；利用平面的基本事实推理判断D. 【详解】 对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，B正确； 对于C，由，且可知，四边形是梯形，若，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，C错误； 对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确. 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2， 则上下底面对角线的长度为2和4， 所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 420 【答案】C 【解析】 【详解】首先由乙和丙之间恰有2人，可知乙丙的站位分为两类： ①乙丙及中间2人占据前四位（即乙丙位置为第1位和第4位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第5位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第2、3位中选择： 第一步，排列乙丙，共有种排法； 第二步，排列甲，从中间2个位置选1个，共有种排法； 第三步，剩余2个位置由剩余2人全排列，共有种排法； 由分步乘法计数原理，该类共有种排法。 ②乙丙及中间2人占据后四位（即乙丙位置为第2位和第5位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第1位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第3、4位中选择： 同理，该类的排法数也为种。 由分类加法计数原理，总排法数为. 7. “函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，结合选项，分析即可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 8. 已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A：例如也满足，故A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确； 对于C：若复数是纯虚数，则满足， 解得，故C错误； 对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为，故D正确． 10. 下列说法中正确的是（   ） A. 若随机变量满足，则 B. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 C. 在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好 D. 若事件满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机变量方差的性质、经验回归直线的概念、决定系数的性质以及条件概率性质和乘法公式，即可逐个选项判断. 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，A正确； 选项B：经验回归直线一定经过样本中心点， 但不一定至少经过其样本数据点中的一个点，B错误； 选项C：回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力， 若越接近，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，C正确； 选项D：由条件概率性质，， 因此，D错误． 11. 已知函数，若的解集为或，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象的对称中心的纵坐标为 D. 不等式的解为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得. 【详解】因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图: 由题意得，则，解得，故A正确. 又因为为的零点,所以，解得， 故，则， 当时，，故在上单调递增，故B正确. 假设的图象的对称中心为，则对， ，则， 即，所以,解得， 而， 所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误. 又因为，得，， 所以，得，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数. 【详解】表示5个因式相乘，要得到含的项， 首先，从5个因式中任选3个取其中的，选法种数为，对应系数为； 再从剩余的个因式中任选1个取其中的，选法种数为，对应系数为； 最后剩余的1个因式取其中的常数项，对应系数为. 因此的系数为. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 14. 已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为________，当____时，质子位于6对应点处的概率最大. 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式求时质子位于原点的概率，再求质子位于对应点处的概率表达式并求其最值. 【详解】设第次移动时向左移动的概率为， 事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动， 所以事件时质子位于原点的概率为， 事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次， 所以第次移动后质子位于对应点处的概率， 设， 则， 令可得， 化简可得， 所以，，所以， 令可得，，所以， 又， 所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大. 故答案为：；或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为0 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可； （2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值． 【小问1详解】 ， 由取得极小值0，可知，即， 由时取得极小值，可知，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 令，得，或， 2 （2，3） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，有极大值； 所以当时，有极小值0； 又因为， 所以的最大值为2，最小值为0. 16. 咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用，线性回归方程为； （2） 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据求出并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答. 【小问1详解】 由表格中数据，得， ， ， 因此相关系数， 所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系； ， 所以关于之间的线性回归方程为. 【小问2详解】 依题意，列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算， 依据小概率的独立性检验，推断不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001. 17. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 在四棱台中，垂直于底面，连接，则， ，由是的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，， 又，，因此， 同理，而平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然二面角的平面角为锐角，设其大小为， 则， 所以二面角的余弦值为. 18. 某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. （1）求乙猜2次的概率； （2）记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； （3）已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 【答案】（1） （2） （3）有理由认定甲是猜谜语高手 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式计算即可； （2）先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据列不等式求解即可； （3）根据求出，再求出甲最终得分的期望，验证是否满足即可判断. 【小问1详解】 记“乙猜2次”为事件，则， 所以乙猜2次的概率为； 【小问2详解】 甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3 ，， 所以， 乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为， 所以，，， ， 因为，所以，解得或， 因为，所以； 【小问3详解】 因为，则由（2）知， 解得或，因为，所以， 甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定甲是猜谜语高手. 19. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 【答案】（1）当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，将导数符号的判断转化为二次函数在区间上根的分布问题，通过对判别式进行分类讨论来求解单调区间； （2）利用韦达定理进行整体代换，将含双变量的极值问题转化为关于参数的一元函数求最大值问题； （3）利用两根关系消去参数，通过换元法构造函数证明出，最后借助基本不等式放缩完成证明. 【小问1详解】 由，得， 记，对称轴为， 若，即时，在区间内单调递增，所以， 所以，在区间内单调递增． 若，即时，当，即时，恒成立， 所以，在区间内单调递增； 当，即时，有两个不等的正实根，， 令，得或，令，得， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减． 综上，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在区间内单调递增． 【小问2详解】 由（1）得，因为有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根，， 则，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在区间内单调递减， 所以． 因为存在a，使得不等式成立， 所以对有解， 所以，故m的取值范围为． 【小问3详解】 证明：，不妨设， 因为， 所以，， 所以，． 下面先证明， 即证， 即证， 即证． 设，则上式转化为， 设，则， 所以在区间内单调递增， 所以当时，， 所以，所以， 因为，所以， 得，当且仅当时取得等号， 又，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $