第三单元用字母表示（二）（单元自测练习卷）-2026-2027学年数学六年级上册北师大版

**基本信息** 本单元卷聚焦“用字母表示（二）”，通过图形规律、实际问题等情境，考查用字母表示数量关系及规律探究，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/30|用字母表示规律（如三角形小棒m=2n+1）、方程正整数解|结合“双减”政策等情境，通过连续三角形、分子结构图培养数学眼光| |解答题|4/40|图形规律与代数表达（五边形小棒4n+1）、圆锥体积计算|以五边形摆放、正方体削圆锥等问题，发展推理意识与应用能力|

第三单元 用字母表示（二）（单元自测练习卷） 时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________班级：__________分数：__________ 题号 一 二 三 四 五 评分 一、填空题（共30分） 1．（本题3分）如图，用一些小棒拼成连续的三角形，如果一直摆下去，用n表示三角形的个数，m表示小棒的根数，它们之间的关系可以表示为( )，如果要拼99个这样的三角形需要( )根小棒。 2．（本题3分）如图：一种有机化合物的分子结构图，第1个图有4个○，第2个图有6个○，第3个图有8个○，按此规律，第7个图中有( )个○，第( )个图中有412个○。 3．（本题3分）如下图，将若干个棱长是1厘米的正方体按某一方向排成一排。连续摆3个正方体，拼成的长方体的表面积是( )cm2；表面积为30cm2的长方体是由( )个小正方体拼成的：n个小正方体拼成的长方体表面积为( )cm2。 4．（本题3分）方程4x＋5y＝98的所有正整数解中x＋y最大等于( )。 5．（本题3分）某饮品店一天中，共卖出西瓜汁a杯，芒果汁的杯数比西瓜汁的2倍少7杯，共卖出了( )杯芒果汁，如果这一天共卖出芒果汁21杯，卖出的西瓜汁是( )杯。 6．（本题3分）服装厂生产一批校服，如果每天生产120套，需要x天完成。现已经生产了a天，已经生产了( )套，还剩下( )套，这批服装共有( )套。 7．（本题3分）丁丁编写了一个运算程序，输入一个数后会按照固定规律输出结果（如图）。如果输入的数是8，会输出( )；若输入的数为a，会输出( )。 8．（本题3分）如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案……，则第101个图形有( )个十字星图案。 …… 9．（本题3分）如图将一个圆剪成三部分，图形甲的周长为a厘米，图形丙的周长为b厘米。那么原来这个圆的周长是( )厘米。 10．（本题3分）“双减”政策实施后，红山小学五年级参加课后服务的男生有x人，女生人数是男生人数的1.4倍，女生和男生一共有( )人，女生比男生多( )人。 二、选择题（共10分） 11．（本题2分）a、b、c三个数的平均数刚好是中间数b，b比a大2.8，则c比a（    ）。 A．大2.8 B．大5.6 C．小2.8 D．小5.6 12．（本题2分）每张桌子是a元，每把椅子是b元，买45套桌椅应付（    ）元。 A．45a＋b B．45×（a＋b） C．45＋a＋b D．a＋45b 13．（本题2分）欢欢昨天做英语作业用了分钟，做数学作业用的时间是做英语作业的1.3倍，0.3表示（    ）。 A．做数学作业用的时间 B．做英语作业和数学作业一共用的时间 C．做数学作业比英语作业多用时间 D．做英语作业比数学作业多用时间 14．（本题2分）老李a岁，小红（a－18）岁，再过c年后，他们相差（    ）岁。 A．c B．18 C．－18 D．无法确定 15．（本题2分）早在春秋战国时期就有记载，围棋是一种起源于中国的棋类游戏，深受人们的喜爱。下课了，淘气用棋子在棋盘上摆出下面的图形，照这样的规律继续往下摆，第n个图形中有（    ）个●。 A． B．2n C． D． 三、判断题（共10分） 16．（本题2分）苹果的质量比梨多，则梨的质量比苹果少。( ) 17．（本题2分）已知x－2＝4，则2.5x＝15。( ) 18．（本题2分）a、b、c是非0自然数，且a＞b＞c，则。( ) 19．（本题2分）图中一共有10条线段。( ) 20．（本题2分）x2和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。( ) 四、计算题（共10分） 21．（本题10分）计算下面各题，能简便计算就简便计算。                          五、解答题（共40分） 22．（本题10分）下面图形中各有多少个三角形？有什么规律吗？把你思考的过程和发现的规律写下来。 23．（本题10分）用小棒摆五边形，按照下图所示的规律摆。 (1)摆5个五边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 (2)按这个规律摆60个五边形，需要几根小棒？ 24．（本题10分）正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 25．（本题10分）明明用50根小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边形需要四根小棒……他搭了一些三角形和一些六边形后，说自己剩下了15根小棒。他说得对吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． m＝2n＋1 199 【分析】观察发现，图形拼接规律：单独1个三角形用3根小棒，每多增加1个相连三角形，只需要新增2根小棒，相邻三角形共用1根公共小棒，由此推导出小棒的根数与三角形的个数之间的关系，用字母表示，字母简写规则：数字乘字母可省略乘号，写成数字在前、字母在后。含字母式子求值方法：把给定数字替换式子中的字母，按四则运算计算结果。 【详解】1个三角形3根＝2×1＋1 2个三角形5根＝2×2＋1 3个三角形7根＝2×3＋1 …… 推出关系式m＝2n＋1 当n＝99时代入，2×99＋1＝198＋1＝199，拼99个需要199根小棒。 2． 16 205 【分析】由图可知：第1个图有4个○，第2个图有[4＋（2－1）×2]个○，第3个图有[4＋（3－1）×2]个……，第n个图中有[4＋（n－1）×2]个○，按此规律求出第7个图中有多少个即可；令4＋（n－1）×2＝412，解方程即可求出第几个图中有412个○。 【详解】4＋（7－1）×2 ＝4＋6×2 ＝4＋12 ＝16（个） 4＋（n－1）×2＝412 解：4＋2n－2＝412 2＋2n＝412 2＋2n－2＝412－2 2n＝410 2n÷2＝410÷2 n＝205 3． 14 7 4n＋2 【分析】先分析1个、2个、3个正方体拼成的长方体表面积规律，再据此计算特定个数正方体拼成的长方体表面积。 【详解】1个正方体表面积为（平方厘米） 3个正方体拼成的长方体表面积为： （平方厘米） 因为1个正方体的表面积为：（平方厘米） 2个正方体拼成的长方体的表面积为：（平方厘米） 3个正方体拼成的长方体的表面积为：（平方厘米） 所以n个正方体拼成的长方体的表面积为：（）平方厘米 设由n个小正方体拼成，根据规律列方程： 解： 如下图，将若干个棱长是1厘米的正方体按某一方向排成一排。连续摆3个正方体，拼成的长方体的表面积是14；表面积为30cm2的长方体是由7个小正方体拼成的：n个小正方体拼成的长方体表面积为。 4．24 【分析】根据题意，4x＋5y的和是偶数，其中4x是偶数，所以5y也是偶数，所以y的值是偶数。 y可以从2开始，找出符合题意的值。再找出x＋y的最大值。 【详解】把4x＋5y＝98改写成x＝（98－5y）÷4。 根据题意，y是大于0的偶数。 当y＝2时，x＝（98－5×2）÷4＝（98－10）÷4＝88÷4＝22，这时x＋y＝22＋2＝24。 当y＝4时，x＝（98－5×4）÷4＝（98－20）÷4＝78÷4＝19.5，不符合题意。 当y＝6时，x＝（98－5×6）÷4＝（98－30）÷4＝68÷4＝17，这时x＋y＝17＋6＝23。 当y＝8时，x＝（98－5×8）÷4＝（98－40）÷4＝58÷4＝14.5，不符合题意。 综上，y越大时，x＋y的值越小。 因为24＞23， 所以，x＋y最大等于24。 5． 【分析】根据芒果汁杯数＝西瓜汁×2倍-7杯的数量关系，用含字母的式子表示芒果汁的杯数；再把芒果汁杯数21代入式子列出方程，再通过解方程的方法求出的值，也就是西瓜汁的销量。 【详解】杯 解： 共卖出了杯芒果汁，如果这一天共卖出芒果汁21杯，卖出的西瓜汁是14杯。 6． 【分析】求已经生产的套数：用每天生产的套数乘已经生产的天数，即乘。求这批服装共有的套数：用每天生产的套数乘计划完成的天数，即乘。求还剩下的套数：用这批服装的总套数减去已经生产的套数。 【详解】现已经生产了a天，已经生产了套，还剩下套，这批服装共有套。 7． 65 a2＋1 【分析】观察已知的几组数据，发现输入数与输出数之间的运算关系。 输入2，输出5，5＝2×2＋1＝22＋1； 输入3，输出10，10＝3×3＋1＝32＋1； 输入5，输出26，26＝5×5＋1＝52＋1； 输入10，输出101，101＝10×10＋1＝102＋1； …… 发现：输入一个非零数，那么输出的数是这个数的平方，再加1，据此得出规律解答。 【详解】如果输入的数是8，会输出： 82＋1 ＝64＋1 ＝65 若输入的数为a，会输出（a2＋1）。 8．10001 【分析】观察图形可知： 第一个图形有1个十字星图案，1＝（1－1）2＋1； 第二个图形有2个十字星图案，2＝12＋1＝（2－1）2＋1； 第三个图形有5个十字星图案，5＝22＋1＝（3－1）2＋1； 第四个图形有10个十字星图案，10＝32＋1＝（4－1）2＋1； …… 规律：第n个图形有（n－1）2＋1个十字星图案； 按此规律解答。 【详解】规律：第n个图形有（n－1）2＋1个十字星图案。 当n＝101时 （n－1）2＋1 ＝（101－1）2＋1 ＝1002＋1 ＝10000＋1 ＝10001（个） 9．4（b－a） 【分析】观察图形可知，图形甲是一个圆，图形丙是一个圆；图形甲的周长＝圆周长的＋2条半径，图形丙的周长＝圆周长的＋2条半径，那么图形丙与图形甲的周长之差就是圆周长的与圆周长的的差，据此得出b－a与圆的半径之间的关系，再将其代入圆的周长公式C＝2πr中，求出这个圆的周长。 【详解】设圆的半径是r，则圆的周长C＝2πr； 图形甲的周长：a＝×2πr＋2r＝πr＋2r 图形丙的周长：b＝×2πr＋2r＝πr＋2r b－a ＝（πr＋2r）－（πr＋2r） ＝πr＋2r－πr－2r ＝（πr－πr）＋（2r－2r） ＝πr＋0 ＝πr 因为b－a＝πr，所以πr ＝2（b－a）； 那么这个圆的周长：C＝2πr＝2×2（b－a）＝4（b－a）（厘米）。 10． 【分析】用男生人数乘1.4，求出女生人数，再用男生人数加上女生人数可求出总人数；用女生人数减去男生人数即可求出女生比男生多的人数。 【详解】1.4x＋x＝（1.4＋1）x＝2.4x 1.4x－x＝（1.4－1）x＝0.4x 女生和男生一共有2.4x人，女生比男生多0.4x人。 11．B 【分析】根据平均数的定义，三个数的总和等于平均数乘，由此得出、、三个数的和与的关系，可以得到与的和与的关系。再结合已知条件比大，可以得到与的数量关系。 【详解】、、三个数的平均数是，所以。 根据等式的性质1，得； 已知比大，得，代入中，得： 根据等式的性质1，等式两边同时减去，得： 。 因此，比大。 12．B 【分析】要求买45套桌椅共需多少元，先求出买1套桌椅共需多少元，进而乘45得解。 【详解】1套桌椅的价格为（a＋b）元，45套桌椅的总价为（a＋b）×45元，根据乘法交换律，（a＋b）×45＝45×（a＋b）。 13．C 【分析】根据题意可知，做英语作业用的时间为分钟，做数学作业用的时间是做英语作业的倍，即分钟。做数学作业用的时间减去做英语作业用的时间，即为做数学作业比做英语作业多用的时间，据此解答。 【详解】做英语作业用了分钟。 做数学作业用的时间是做英语作业的倍，则做数学作业用了分钟。 做数学作业比做英语作业多用的时间为：（分钟） 所以表示做数学作业比英语作业多用的时间。 A．做数学作业用的时间应为； B．做英语作业和数学作业一共用的时间应为； C．做数学作业比英语作业多用时间为，此选项正确； D．因为，做数学作业用的时间比做英语作业多，不存在做英语作业比数学作业多用时间的情况。 14．B 【分析】两个人的年龄差不会随时间的变化而改变，直接计算现在的年龄差就能得到年后的年龄差。 【详解】现在两人的年龄差： ＝ ＝18（岁） 再过年，两人的年龄同时增加岁，年龄差仍为18岁。 15．A 【分析】通过对图形的观察可知，第一个图形用了4个黑棋子，第二个图形用了6个黑棋子，第三个图形用了8个黑棋子……；后面的图形比前面的图形多用2个黑棋子；据此规律解答。 【详解】第①个图有黑棋子数量：2＋2＝2×1＋2＝4（个）； 第②个图有黑棋子的数量：2＋2＋2＝2×2＋2＝6（个）； 第③个图有黑棋子的数量：2＋2＋2＋2＝2×3＋2＝8（个） …… 第n个图有黑棋子的数量： 2×n＋2＝（2n＋2）个 第n个图形中有（2n＋2）个●。 16． √ 【分析】苹果与梨的质量差为 。根据差值的对称性，若一个量比另一个量多一定值，则后者比前者少相同的值。因此，梨的质量比苹果少 是正确的。 【详解】设梨的质量为千克，则苹果的质量为千克。梨的质量比苹果少千克。因此，题干结论正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立；由题意得，根据等式的性质先将方程x－2＝4的解算出来，然后再代入方程2.5x＝15看是否成立即可。 【详解】x－2＝4 解：x－2＋2＝4＋2 x＝6 2.5x＝2.5×6＝15，所以2.5x＝15。原题说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】比较两个分数的大小，分子相同看分母，分母大的分数反而小。根据a＞b＞c的条件，分析分母a＋b与b＋c的大小关系，举例说明即可。 【详解】假设a＝3，b＝2，c＝1，满足a＞b＞c：，，，说明原式不成立。再举a＝4，b＝3，c＝2：，，，结论一致，即，原题说法错误。 答案为：× 19．√ 【分析】根据题意可知： 两点间有1条线段； 三点间有1＋2＝3条线段； 四点间有1＋2＋3＝6条线段； 五点间有1＋2＋3＋4＝10条线段； 由此可知：线段总数等于从1开始依次加到（端点数－1）。据此判断即可。 【详解】根据分析可得： 1＋2＋3＋4＝10（条） 即图中共有10条线段，原说法正确。 故答案为：√ 20．√ 【分析】x2表示两个x相乘的积，2x表示两个x相加的和，据此解答。 【详解】由分析可得：x2和2x含义不同。但当x＝2时，x2＝2×2＝4，2x＝2×2＝4，它们的值相等。所以原题说法正确。 故答案为：√ 21．；； ； 【分析】（1）按照从左向右的顺序进行计算；先通分，再按照同分母分数相加减计算； （2）利用减法的性质和带符号搬家规则进行简便计算； （3）利用减法的性质进行简便计算； （4）利用带符号搬家规则以及减法的性质进行简便计算。 【详解】 ＝（）－（） ＝1 ＝ 22．1个；3个；6个；10个；图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一） 【分析】观察发现图①有1个三角形，图②有（1＋2）个三角形，图③有（1＋2＋3）个三角形，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，那么图n有（1＋2＋3＋4＋……＋n）个三角形；据此解答。 【详解】图①：1个 图②：1＋2＝3（个） 图③：1＋2＋3＝6（个） 图④：1＋2＋3＋4＝10（个） 图n：1＋2＋3＋4＋……＋n（个） 答：图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一） 23．(1)21根； 摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆n个五边形，需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 (2) 241根 【分析】（1）根据图观察规律： 摆1个五边形，需要根小棒，整理得：； 摆2个相连的五边形，两个五边形共用1条边，因此只需要增加4根小棒，共根，整理得：； 摆3个相连的五边形，再增加4根小棒，共根，整理得：； 由此可得：每多摆1个五边形，需要增加4根小棒，根据规律解答即可。 （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆5个五边形，需要： 4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 摆n个五边形需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 答：摆5个五边形，需要21根小棒。摆n个五边形，需要（4n＋1）根小棒。 （2）把代入公式： 4×60＋1 ＝240＋1 ＝241（根） 结论：摆60个五边形需要241根小棒。 24．94.2立方厘米 【分析】如果要把这个正方体削成一个最大的圆锥，那么圆锥的底面直径为正方体的棱长，高为正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥的体积V＝πr2h，依据正方体以及圆锥的体积公式的联系进行计算。 【详解】设正方体的棱长为厘米，则a3＝360，那么圆锥的底面直径和高为厘米。 ×3.14×（）2× ＝×3.14×× ＝×3.14×2× ＝×3.14×3 ＝×3.14×360 ＝94.2（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是94.2立方厘米。 25．不对，理由见详解； 【分析】一个三角形需要根小棒，一个六边形需要根小棒，结合明明说的还剩根小棒，所以用了根小棒，可以通过列举的方法来验证他的说法是否正确。 【详解】（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） （根），（个）（根） 答：他说得不对，因为都有剩余。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $