（小升初衔接）2.3.1 有理数的乘方预习讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

初中数学预备课（7上） （预习）第15天 有理数的乘方 知识点1 乘方的概念 我们知道，边长为 2 cm 的正方形的面积是 2×2=4（cm²）；棱长为 2 cm 的正方体的体积是 2×2×2=8（cm³）． 　　2×2，2×2×2 都是相同乘数的乘法．为了简便，我们将它们分别记作2²，2³．2² 读作“2 的平方”（或“2 的 2 次方”），2³ 读作“2 的立方”（或“2 的 3 次方”）． 同样地， (−2)×(−2)×(−2)×(−2)记作(−2)⁴，读作“−2 的 4 次方”； (−)×(−)×(−)×(−)×(−)记作(−)⁵，读作“− 的 5 次方”。相同的乘数作底数，相同乘数的个数作指数。 一般地，n 个相同的乘数 a 相乘，即 （n 个 a），记作 aⁿ，读作“a 的 n 次方”。a为负数或分数时要加括号 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂（power）。在 aⁿ中，a 叫作底数，n 叫作指数，当 aⁿ 看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作“a 的 n 次幂”。例如，在 9⁴中，底数是 9，指数是 4，9⁴ 读作“9 的 4 次方”，或“9 的 4 次幂”。 【例】(1)在7⁴中，底数是 7 ，指数是 4 ；在(−)⁵中，底数是 −，指数是 5 ． 　　(2)把8×8×8×8×8×8写成乘方的形式为 8⁶ ，读作 8的6次方/幂 ；(−3)×(−3)×(−3)×(−3)写成乘方的形式为 (−3)⁴，读作 −3的4次方(或−3的4次幂) ；−(3×3×3×3)可以表示为 −3⁴，读作 3的4次方的相反数(或3的4次幂的相反数) ．练一练 1、填空 底数a -1 2 - 指数n 3 5 4 幂an （-4）² 0.34 知识点 2 乘方的运算 因为 an就是 n 个 a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. 例2 计算： (1)(−4)³；　　(2)(−2)⁴；　　(3)(−)³． 解 (1)(−4)³=(−4)×(−4)×(−4)=−64； (2)(−2)⁴=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16； (3)(−)³=(−)×(−)×(−)=−． 思考：结合之前所学内容，你认为(−2)⁴与−2⁴的含义相同吗？它们的结果相同吗？ 解：不同，(−2)⁴指的是−2的4次方，结果为16；−2⁴指的是2的4次方的相反数，结果为−16。 练一练 2. 计算： (1)(−8)²；　　　　　(2)−8²；　　　　　(3)(−5)³； (4)(−)³；　　　　(5)(−0.5)²；　　　(6)0³． 知识点 3 乘方的符号变化规律 探究： 请再举一些计算乘方的例子，结合例2，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？ 指数为奇数时，负数的幂为负，指数为偶数时，负数的幂为正。 根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 显然，正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。 【例】(1) ，，，，是正数还是负数？ (2)当 n 是偶数时，(−1)ⁿ 等于多少？当 n 是奇数时，(−1)ⁿ 等于多少？ 解：(1) 正，正，负，正，负． 0乘任何数仍等于0，故n(n 为正整数) 个0相乘仍等于0，所以0的任何整数次幂等于0. (2) 1；-1． 练一练 3. 请判断下列各式计算结果的正负. (1) (-2)⁹; (2) -3¹⁰; (3) (-0.002)⁷; (4) . 思考·交流 某种细胞每过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个。经过 5 h，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？ 其它 方法指导： 底数的符号不要漏掉，带负号或者为分数的底数记得加括号。 注意！ aⁿ 与 −aⁿ 互为相反数，故我们在表述 −aⁿ 时，可以表述为 aⁿ 的相反数。 方法指导： 乘方是多个有理数 的乘法运算，在运算时转化成有理数的乘法运算. 例：(-2)1=-2; (-2)²=(-2)×(-2) =4; (-2)³=(-2)×(-2)×(-2)=-8; (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16. 方法指导： 有理数乘方运算的符号规律： 先观察底数的正负性，底数若为正，正数的任何次幂均为正；底数若为负，再确定指数的奇偶性，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 课堂总结 1. 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂．a 叫作底数，n 叫作指数． 2. 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数． 同步练习 1．的运算结果是（　　） A． B．4 C． D．1 2．表示的意义是（　　） A．4个相乘 B．3个相乘 C．4个3相乘的相反数 D．3个4相乘的相反数 3．下列各数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 4．《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，，文中的鸟巢共有（　　） A．36个 B．27个 C．个 D．个 5．计算：　　 ． 6．定义一种新运算：新定义运算，则的结果是 　　． 7．设与互为相反数，与互为倒数，比较大小则：　　 （请填“”、“ ”或“” ． 8．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 附加题 进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）． 表示进制数从右起，第一位为，第二位为，第三位为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数． （1）二进制数转换为十进制数等于　　 ； （2）十进制数862转换为八进制数为　　 ． 答案详解 1．解：． 故选：． 2．解：表示的意义是4个3相乘的相反数， 故选：． 3．解：、，不是负数，错误； 、，不是负数，错误； 、，不是负数，错误； 、，是负数，正确； 故选：． 4．解：（个． 故选：． 5．解：原式 ． 故答案为：0． 6．解： ， 故答案为：18． 7．解：与互为相反数，与互为倒数， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） ． 9.解：（1）一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数， ， 故答案为：26； （2）；；；， ， 十进制数862转换为八进制数为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $