2.3.1有理数的乘方 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的乘方”，涵盖乘方概念、运算法则及混合运算。通过正方形面积、正方体体积实例导入，引导学生发现相同乘数乘法的简便记法，搭建从旧知（面积体积公式）到新知（乘方）的学习支架。 以问题探究为主线，让学生经历从具体实例抽象出乘方概念的过程，培养数学抽象能力。通过计算实例自主归纳运算法则，发展推理意识。习题分层设计，含实例运用、变式训练及规律探究（如“快乐数”），提升应用意识，助力学生用数学语言表达现实问题。

姓名: 学科: 日期: 2.3.1有理数的乘方 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年7月4日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，利用正方体的面积与体积公式，引申得出乘方的概念.（数学抽象▪重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握乘方的运算法则以及含乘方的混合运算，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 乘方的概念 （1） 问题探究 如图，边长为的正方形的面积是多少；棱长为的正方体的体积是多少. 探究： 我们知道，边长为的正方形的面积是 棱长为2cm的正方体的体积是 都是相同乘数的乘法.为了简便，我们将它们分别记作.读作“的平方”（或“的次方”），读作“的立方”（或“的次方”）. 同样地， 记作，读作“的次方”； 记作，读作“的次方”. （2） 乘方的概念 一般地，个相同的乘数相乘，即 记作，读作“的次方” 求个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂（power). 在中，叫作底数，叫作指数，当看作的次方的结果时，也可读作“的次幂”. 例如，在中，底数是，指数是，“读作“的次方”，或“的次幂”. 注：一个数可以看作这个数本身的次方，例如，就是，指数通常省略不写. 因为就是个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. 2、 有理数的乘方运算法则 （1） 问题探究 根据乘方的定义，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）. 探究： 根据乘方的定义，可得 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 由上计算可以发现 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数. 0的任何正整数次幂都是0. （2） 有理数的乘方运算法则 由上探究可得：有理数的乘方运算法则为 1.正数的任何次幂都是正数. 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（并对底数的绝对值求乘方）. 3.0的任何正整数次幂都是0. （3） 实例运用 例1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】解：． 例2．计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】 （1）解：； （2）解：； （3）解：原式； （4） 变式训练 变式1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 二、有理数的加减乘除乘方混合运算 （一）实例分析 例3.计算下列各式，你能总结得出什么结论？ （1）； 解： （1） 原式 （2）. 解： 原式 （二）有理数的加减乘除乘方混合运算法则 由上实例分析可以看出： 引入有理数的乘方运算后，做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2．同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号()、中括号[]、大括号{}依次进行. （3） 实例运用 例4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】 （1）解∶ ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例5.观察下面三行数： （1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？ （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ （3）取每行中的第10个数，计算这三个数的和. 分析：观察第①行中的数，发现各数均为2的倍数，联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律. 解： （1）第①行中的数可以看成按如下规律排列： （2）对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中相应的数加2，即 对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应数的，即 （3）每行中第10个数的和是 （4） 变式训练 变式3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）先算乘方，再算乘除，最后再计算加减法． （2）先算乘方，再算括号里面的，然后计算括号外面的乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 3、 达标检测 1．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 3．计算：______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 【详解】解： 4．计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 【答案】(1) (2)625 (3) (4) (5)8 (6)36 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 5．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6．探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【详解】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 7．已知，，，…， ． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 8．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 9．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 10．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.55 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 11．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【难度】0.52 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 12．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【难度】0.62 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 2.3.1有理数的乘方 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年7月4日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，利用正方体的面积与体积公式，引申得出乘方的概念.（数学抽象▪重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握乘方的运算法则以及含乘方的混合运算，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 乘方的概念 （1） 问题探究 如图，边长为的正方形的面积是多少；棱长为的正方体的体积是多少. 探究： 我们知道，边长为的正方形的面积是 棱长为2cm的正方体的体积是 都是 乘数的乘法.为了简便，我们将它们分别记作 .读作“ ”（或“ ”），读作“ ”（或“ ”）. 同样地， 记作 ，读作“ ”； 记作 ，读作“ ”. （2） 乘方的概念 一般地，个 的乘数相乘，即 记作 ，读作“ ” 求个相同乘数的积的运算，叫作 ，乘方的结果叫作 （power). 在中，叫作 ，叫作 ，当看作的次方的结果时，也可读作“ ”. 例如，在中，底数是 ，指数是 ，“读作“ ”，或“ ”. 注：一个数可以看作这个数本身的 次方，例如，就是 ，指数通常 . 因为就是个 ，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. 2、 有理数的乘方运算法则 （1） 问题探究 根据乘方的定义，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）. 探究： 根据乘方的定义，可得 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 由上计算可以发现 负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 .正数的任何次幂都是 . 0的任何正整数次幂都是 . （2） 有理数的乘方运算法则 由上探究可得：有理数的乘方运算法则为 1.正数的任何次幂都是 . 2.负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 （并对底数的 求乘方）. 3.0的任何正整数次幂都是 . （3） 实例运用 例1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 例2．计算： (1)； (2)； (3)． （4） 变式训练 变式1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 二、有理数的加减乘除乘方混合运算 （一）实例分析 例3.计算下列各式，你能总结得出什么结论？ （1）； （2）. （二）有理数的加减乘除乘方混合运算法则 由上实例分析可以看出： 引入有理数的乘方运算后，做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先 ，再 ，最后 ； 2．同级运算，从 到 进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按 ()、 []、 {}依次进行. （3） 实例运用 例4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例5.观察下面三行数： （1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？ （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ （3）取每行中的第10个数，计算这三个数的和. 分析：观察第①行中的数，发现各数均为 的倍数，联系数的乘方，从 和 两方面考虑，可以发现排列的规律. 解： （1）第①行中的数可以看成按如下规律排列： （2）对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中相应的数加 ，即 对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应数的 ，即 （3）每行中第10个数的和是 （4） 变式训练 变式3．计算： (1)； (2)． 变式4．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 3、 达标检测 1．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．计算：______． 4．计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 5．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 6．探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 7．已知，，，…， ． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 8．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 9．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 10．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 11．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 12．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $