精品解析：江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期数学综合练习四

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（四） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得 因此，所以. 3. 已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线，直线，，则可以平行，相交或者垂直，不一定有两个平面垂直. 已知直线，直线，，只能说明两个平面的二面角为直角，平面内任意两条直线不一定垂直. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 已知随机变量且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】随机变量，则， 因为，所以. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算4人全排列的总情况数，再利用捆绑法计算甲乙相邻的情况数，二者作比得到所求概率。 【详解】首先计算所有基本事件总数：四名同学排成一排的全排列数为种。 再计算甲与乙相邻的符合条件的事件数：采用捆绑法，将甲、乙看作一个整体，此时相当于对个元素（甲乙整体、丙、丁）进行全排列，排列数为种； 同时甲、乙二人内部存在顺序差异，排列数为种， 因此符合条件的事件总数为种。 根据古典概型概率公式，所求概率. 7. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由模型，可得，即， 因为变换后得到经验回归方程为， 所以，即，故. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为​. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，…，的方差是1，则，，…，的标准差是9 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与互斥，且，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A，由标准差的公式可判断B，由独立性的定义可判断C，由概率加法公式可判断D. 【详解】因为，所以数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5，A正确； 设数据，，…，的均值为，记，则， ，故标准差是3，B不正确； 由事件的独立性可知事件与相互独立，则，C正确； 因为事件与互斥，且，，所以，D正确. 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点， 可得，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C正确； 对于D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质结合韦达定理，或将已知根代入方程利用复数相等的充要条件，即可求解的值。 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得：  ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组：  ， 解得. 13. 若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 14. 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】①利用条件概率公式求解即可；②求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】①设事件为“第二次取出的球为黄球”，设事件为“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的球为黄球”与“第一次取出的球不是黄球”，两种情况，故， 事件为“第二次取出的是黄球且第三次取出的是红球”，可分为“第一次取出的是黄球”或“第一次取出的是白球”或“第一次取出的是红球”， 所以，所以， 所以第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为. ②的可能取值为，，， ， , ， 所以的分布列为： 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. 【小问2详解】 使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【小问1详解】 由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 17. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （2）求导，得到函数单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 由题知， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，由得，（舍负）， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 因为，， 因为，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， ，， 由于，则， 故时，的最小值为，最大值为. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：； （2）已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质和线面垂直的判定定理，证明平面，从而得到结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到平面的距离；（ⅱ）先求平面的法向量，再根据和P是矩形上的条件，转化为向量夹角问题求解. 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）设，依题设以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 因为，所以，即，解得， 则，， 得，， 设平面的法向量为， 由，得，令，所以， 又，所以点到平面的距离； （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 由，得，令，所以， 取中点Q，则，连接，， 因为，，所以， 在中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，为半径的半圆， 设，则，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. （2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）当时，；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知乙对甲可以以、、获胜，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，求出、，结合条件概率公式求解即可； （2）记，推导出 ，，作差，对和的大小进行分类讨论，即可得出与的大小. 【小问1详解】 （ⅰ）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙获胜，则乙对甲可以以、、获胜， 若乙以获胜，则前局全是乙赢； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为. （ⅱ）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜””，， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为 . 【小问2详解】 设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则 . 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则. 因此. 因为，可得 ， 又， 所以. 当时，可得，即； 当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（四） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 3. 已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知随机变量且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ） A. B. C. D. 7. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，…，的方差是1，则，，…，的标准差是9 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与互斥，且，，则 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 14. 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 17. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求在区间上的最小值和最大值. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：； （2）已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. （2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $