江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期数学综合练习（三）

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（三） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.命题p:3x≥1，x2-x>0的否定是 A.3x<1,x2-x<0 B.3x≥1，x2-x≤0 C./x≥1，x2-x≤0 D.x<1,x2-x≤0 【答案】C 【分析】直接利用存在命题的否定是全称命题，写出结果即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以，命题p:x>1,x2-x>0, 则它的否定是：x≥1，x2-x≤0. 故选C 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 2.已知集合A=x|-1<x<a},B={xx≤2a-1},且A三B,则a的取值范围是() A.(-1,1] B.(1,+0) C.[1,+o) D.(-w,-1]U1,+o) 【答案】D 【详解】集合A={x|-1<x<a},B={x|x≤2a-1}, 当a≤-1时，A=0,满足A≤B,因此a≤-1， a>-1 当A≠o时，由AcB,得2a-1≥a:解得a2l, 所以a的取值范围是(-∞，-1小[1，+∞)： 3.已知函数f(x)的导函数为f'"(x),且f(x)=∫'(I)x-2x,则f'(1)() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【详解】已知f(x)=∫'(1)x3-2x,求导得f(x)=f(1)3x2-2, 试卷第1页，共17页 则f'(1)=3f1)-2, "(1)=1. 故选：C 4.如图，三棱柱ABC-AB,C中，点E,F,G,H分别为BB,CC1,AB,AC1的中点，则下列说法错误 的是() B E B G H A.E,F,G,H四点共面 B.∠EGH=∠FHG C.BB,与FH是异面直线 D.EG,H,AA三线共点 【答案】B 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB;举反例即可判断C:利用平面的基本事实 推理判断D. 【详解】 ⊙ E B G 对于A,在三棱柱ABC-ABC1中，E,F,G,H分别为BB,CC1,AB,AC1的中点， 连接EF,由GH是△4BC的中位线，得GH1/B,G,GH=BG,由BE/GF,且RE=CP,得四边形 B,EFC1是平行四边形，则EF∥B,C,EF1IGH,因此E,F,G,H四点共面，A正确： 对于B,由GH/EF,且GHF可知，四边形EG是棕形，若∠BG动=∠HG,则棕形EHG是等 腰梯形，而题设条件无法得出EG=FH,B错误： 试卷第2页，共17页 对于C,因为BBC平面BB,CC,FH∩平面BB,CC=F,FBB,所以BB与FH是异面直线，C正确： 对于D,延长EG,FH相交于点P,由P∈EG,EGC平面ABB,A,得P∈平面ABBA,由P∈FH,FHC 平面ACCA,得P∈平面ACCA,而平面ABBA∩平面ACCA=A4,则P∈A4,EG,FH,A4三线共点， D正确. 故选：B 5.正四棱台的上、下底面的边长分别为√2,2√2，侧棱长为2，则其体积为() A.10+6V7 B.145 C.14W2 D.145 3 3 【答案】D 【分析】先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为√2,2√2，侧棱长为2， 则上下底面对角线的长度为2和4， 所以该棱台的高h=√2-(2-1)=√3，下底面面积S=8,上底面面积S,=2, 所以该棱台的体积P-4S+8+码)-x5x8+2+82)-14 31 2 故选：D 6.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有() A.420种 B.16种 C.12种 D.8种 【答案】B 【详解】首先由乙和丙之间恰有2人，可知乙丙的站位分为两类： ①乙丙及中间2人占据前四位（即乙丙位置为第1位和第4位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第5位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第2、3位中选择： 第一步，排列乙丙，共有A)=2种排法； 试卷第3页，共17页 第二步，排列甲，从中间2个位置选1个，共有A=2种排法： 第三步，剩余2个位置由剩余2人全排列，共有A=2种排法： 由分步乘法计数原理，该类共有2×2×2=8种排法。 ②乙丙及中间2人占据后四位（即乙丙位置为第2位和第5位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第1位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第3、4位中选择： 同理，该类的排法数也为2×2×2=8种。 由分类加法计数原理，总排法数为8+8=16. 故选：B 7.“函数f(四=P+在区间a-4,a)内存在最小值的充分不必要条件可以是() A.1<a<4 B.0<a<2 C.1≤a<4 D.-2<a<2 【答案】A 【分析】利用导数求出f(x)的单调性和极值点，结合题意，分析可得α的范围，根据充分、必要条件的定 义，结合选项，分析即可得答案」 【详解】由题意f'(x)=x2+2x=x(x+2),令f'(x)=0,解得x=-2或x=0, 当x∈(-0，-2)，(0，+o)时，f"(x)>0,则f(x)单调递增， 当x∈(-2,0)时，f"(x)<0,则f(x)单调递减， 所以f(x)的极小值为f(0)=0, 因为f(x)区间(a-4,a内存在最小值，所以极小值点0在区间(a-4,a内， a-4<0 则 a>0 ,解得0<a<4, 令1)-+=x侵+小0，解得=-3.或=0. 所以a-4≥-3，解得a≥1， 综上，函数f()=x2+x2在区间(a-4,m)内存在最小值时1≤a<4, 要满足函数了)-写式+在区间〔a-4@内布在最小值的充分不必要条件， 即所求为1≤a<4的真子集， 分析选项可得，只有1<a<4符合题意 故选：A 试卷第4页，共17页 8.己知a-n2,b=1,c=】 c=。,则a,b,c的大小顺序为(】 e A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 【答案】D 【分析】根据己知函数结构构造函数)=血x,根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较 【详解1a=n6-26g,e-g 63，令py=血x 则p()=1-血x 2 当x2e时，9)s0,函数)=在[e+四)上单调道减， 又e<3<4,所以p因>p3)>o0,所以he、3,血4，所以a<c<b. e34 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的是() A.若复数z满足日=2，则==+2i B.复数z=-2+4i在复平面内对应的点在第二象限 C.若复数(m2+3m-4)+(2-2m-24)i是纯虚数，则实数m=1或-4 D.若复数z满足2≤≤3，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5π 【答案】BD 【分析】对于A:举反例说明即可；对于B:根据复数的坐标表示求解；对于C:根据纯虚数的概念列式求 解；对于D:根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A:例如z=2也满足=2，故A错误： 对于B:复数z=-2+4i在复平面内对应的点为(2,4)，该点在第二象限，故B正确： m2+31-4=0 对于C:若复数(m2+3-4)+(m2-2-24i是纯虚数，则满足 1m2-2-24≠0 解得m=1,故C错误： 对于D:因为复数z满足2≤≤3，则复数z对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为π(32-2)=5π，故D正确. 试卷第5页，共17页 10.下列说法中正确的是() A.若随机变量X,Y满足Y=2X-1,则D(Y)=4D(X) B.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 C.在回归分析中，决定系数R的值越接近1，模型的拟合效果越好 D.若事件MN满足PM=子P(W-行P(网M-子则Pa)-号 【答案】AC 【详解】选项A:根据方差的运算性质，对任意常数a,b,有D(aX+b)=aD(X),本题中a=2,b=-1, 因此D(Y)=D(2X-1)=4D(X),A正确. 选项B:经验回归直线一定经过样本中心点（仅，），但不需要经过任何一个样本数据点，B错误。 选项C:回归分析中，决定系数R衡量模型对因变量变化的解释能力，R越接近1，说明残差平方和越小， 模型拟合效果越好，C正确. 选项D:由条件移率性质，N0=1-PBM0=子因此P(M=P)PN0-号号产分D 错误。 故选：AC 山，已函故/-2r+x2+b,若f0的解集为-或. 则() A.1=-3 B.f(x)的图象的对称中心坐标为1 C.f(x)在(2，+∞)上单调递增 山.个等大4纱2x1的为持+ 【答案】ACD 【分析】根据题意求得参数，b,结合代入法、整体法逐一判断各项正误. 【详解1国圆为P0伯解类为<或>. 所以x=1为f(x)的零点也是极值点，如图所示： 试卷第6页，共17页 y=f(x) 因为f(x)=6x2+2x,所以f'1)=6+2a=0, 解得a=-3,故A正确； 因为x=1为f(x)的零点，所以f1)=2-3+b=0, 解得b=1, 所以fx)=2x3-3x2+1,则(x)=6x2-6x=6xx-1), 当x∈(2，+0)时，f'(x>0,所以f(x)在(2，+o)上单调递增，故C正确： 设f(x)的对称中心为(m,n),则f2m-x)+fx)=2n, 所以f(x)=f(2m-x),即x2-x=(2m-x)}2-(2m-x), 解得加分，片以了付分即)的图象的对称中心坐标为分，放B错 1 2 因为4fx>2x+1,即42x-3x2+1>2x+1, 所以(2x+12x-12x-3>0, 故D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x-2y+3)的展开式中xy的系数为一 (用数字作答) 【答案】-120 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数 【详解】(x-2y+3)表示5个因式(x-2y+3)相乘，要得到含xy的项， 试卷第7页，共17页 首先，从5个因式中任选3个取其中的x,选法种数为C,对应系数为1； 再从剩余的5-3=2个因式中任选1个取其中的-2y,选法种数为C,对应系数为(-2)： 最后剩余的1个因式取其中的常数项3，对应系数为3 因此x2y的系数为C×13×C×(-2)×3=10×2×(-2)×3=-120 13.若函数f(x)=lnx+a-4x在区间(1,3)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】：品 【分析】求f'(x),根据f'(x)>0分离参数a,构造函数可得a的取值范围， 【详解】：f()=hx+ar-4x,f"(x)=1+2m-4, ,f(x)=hx+ax2-4x在区间(L,3)内存在单调递增区间， :了>0在xeL3)上有解，故2a是是在eL)上有解， 令ew则a=+是-02别， x∈(1,3)，.g(x)<0,即g(x)在(1,3)上为减函数， ∴8闭g间)手号号 9故a 18 14.已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方 向移动一个单位若移动次，则当n=4时，质子位于原点的概率为 ,当n=时，质子位于6 对应点处的概率最大 【答案】 10.375 34或36 8 【分析】根据独立重复试验的概率公式求=4时质子位于原点的概率，再求质子位于6对应点处的概率表 达式并求其最值， 【详解】设第次移动时向左移动的概率为了， 事件=4时质子位于原点等价于事件前4次移动中有且只有2次向左移动， 所以事件n=4时质子位于原点的概率为P= c 事件第2m+6次移动后质子位于6对应点处等价于事件质子在2m+6次移动中向右移了m+6次， 试卷第8页，共17页 2m+6 所以第2m+6次移动后质子位于6对应点处的概率P=Cm46 2m+6 设f(0m叫)=Cm+6 2 f(m) 则 =4Cm6=4(21+6ym+1y+7y4u+1)L+7） f(+1) 中C8 m！(+61 (2L+8) u+7)m+8)1 f(m) 令 >1可得4 (m+1)m+7）>1, f(+1) 21+7)(2m+8) 化简可得4m2+32m+28>42+30+56, 所以m>14,m∈N*,所以f(15)>f(16)>…>f(m)>…, f(m) 令 f(m+1) <1可得m<14,meN*,所以f04)>f13)>…>f0), ,f14=415×211. 又f05)435x36 所以m=14或m=15,即n=34或n=36时，质子位于6对应点处的概率最大. 故答案为：。，34或36 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x-a2+8.x+b,当x=2时f(x)取得极小值0. (1)求，b的值： (2)求f(x)在[1,3]的最大值和最小值. 【答案】(1)a=5,b=-4 (2)最大值为2，最小值为0 【分析】(1)先对∫(x)进行求导，再根据题意列式求解即可： (2)利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值. 【详解】(1)f'(x)=3x2-2ax+8, 由f(x)取得极小值0，可知f(2)=0,即24-4a+b=0, 试卷第9页，共17页 由x=2时f(x)取得极小值，可知f'(2)=0,即20-4a=0, 所以a=5,b=-4: (2)由(1)得f'(x)=3x2-10x+8=(x-2)3x-4), 令∫"()=0，得x=2,或x=4 ) 1 3 3 2 (2,3) f(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 → 所以当x青时，()有极大值： 所以当x=2时，f(x)有极小值0： 又因为f(1)=0,f(3)=2, 所以f(x)的最大值为2，最小值为0. 16.(本小题满分15分)某文旅部门福佑崇文阁统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入y(单位：万 元)，得到以下数据： 月份x 2 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数”判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当r>0.75时，认 为线性相关性较强)，若可以，求出y关于x之间的线性回归方程：若不可以，请说明理由： (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表， 依据=0.001的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 试卷第10页，共17页 24-y-列 参考公式：相关系数”= i= =,参考数据：√10≈3.162. 2K-9y-刀2y-西 线性回归方程：=x+a,其中b= 2,a-b3 x2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' 其中n=a+b+c+d. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可用，线性回归方程为)=2x+5: (2) 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”。 【分析】(1)利用表格中数据求出？并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. (2)完善列联表，求出x的观测值，与临界值比对作答. 【详解】(1)由表格中数据，得x=2+3+4+5+6=4y=10+12+1+12+20=13, 5 24-80-=(-2(-3+(0(+0(-2+1-0+27=20, 2g-=(-2+(+0+1+2=102y-°=(3)+（少+(2y+D+7=64. 4司 20 202.5 因此相关系数”= 0.7950.75. -2g- 5 V10×648103.162 试卷第11页，共17页 所以y与x的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合y与x的关系： 2(s-00y-) 6- 20 =2,a=y-b13-2x4=5, (x- 10 i=1 所以y关于x之间的线性回归方程为少=2x+5. （2)依题意，2×2列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设H：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算X=10040×30-20×10?5 50×50×60×40 ≈16.667>10.828-=x001, 3 依据小概率a=0.001的独立性检验，推断H不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001 17.(本小题满分15分)如图，在四棱台ABCD-ABCD中，DD垂直于底面，上、下底面均为正方形，AD=2, AD=4,DD=2,M,N分别为AB,B,C的中点， 0 M B (1)证明：BD,⊥平面BMN (2)求二面角C1-BM-N的余弦值 【答案】(1)证明见解析： 225 3 【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. 试卷第12页，共17页 (2)建立空间直角坐标系，求出平面BMC,与平面BMN的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】(I)在四棱台ABCD-ABCD中，DD垂直于底面，连接BD,则DD⊥BD, BD=BD+DD2=(2√2)2+22=12，由M是AB的中点，得AM=AB=2, 而AM11AB,则四边形ABM4是平行四边形，BM=A4=V4-2)2+22=2N2, 又DMP=42+22=20,BD2+BM2=DMP,因此BD⊥BM, 同理BD⊥BN,而BM,BNc平面BMN,BM∩BN=B, 所以BD⊥平面BMN. (2)依题意，直线DA,DC1,DD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA D D- C M B 则D(0,0,0),B(2,2,2),C1(0,4,0),M(4,2,0),N(2,4,0), MB=(-2,0,2),MC=(-4,2,0),MN=(-2,2,0), m.B=-2x1+221=0 设平面BMC的法向量为m=(,-),则 m.MC,=-4x,+2y1=0 ,取=1，得m=1,2,1), iMB=-2x2+2z2=0 设平面BMN的法向量为n=(,),则 取x3=1,得n=1,1,1), i-MN=-2x2+2y2=0 显然二面角C1-BM-N的平面角为锐角，设其大小为B, 则c0s6cos(m1=m:u=425 1mln√6V53 所以二面角G-BM-N的余弦值为2V2 3 18.(本小题满分17分)文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜 谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第i次猜中得(4-i)分(i=1,2,3),若 试卷第13页，共17页 三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为p0<p<),乙每次猜中的概率为？，每次猜中与否 3 互不影响，记甲猜谜语的次数X的均值为E(). (1)求乙猜2次的概率： (2)记乙猜谜语的次数专的均值为()，若E(X)>E(),求P的取值范围： (3)已知E(X)= 3,且甲最终的得分为了，若0)>()，则认定甲是猜谜语高手请问是否有理由认定 39 甲是猜谜语高手？ 【谷案】Q号 ②0号 (3)有理由认定甲是猜谜语高手 【分析】(1)利用相互独立事件乘法公式计算即可： (2)先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据E(X)>E()列不等式求解即可； 3》根据80C0-号果出P,再求出甲城终得分的期单，验证是否满足20>(C灯即可判断 【详解11)记乙茄2次为件，剥P0引》号号 所以乙猜2次的概率为 2 (2)甲猜谜语的次数X的可能值为1,2,3 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)月 所以E(X)=1×p+21-p)p+31-p)2=p-3p+3, 乙猜谜语的次数5的可能值为1,2,3因为乙每次猜中的概率为。 所以心-=子，2G=2习=x子-子，P=)=x 3391 339 B(5)=1x2+2x2+3 2 、113 3 9 991 13 7 因为E(X)>E(),所以p2-3p+3> 2 ),解得p<或P>3 2 因为0<P<1,所以0<P<3 (3)因为20)=碧则白2知-p3-碧 51 解得p该p子因为01，所以p 3 3 51 试卷第14页，共17页 甲最终的得分为Y,则Y的可能值为0,1,2,3， u-0w=-}号品 所以E()=0x 1k 8 3x3297 +2x6 25 5125 E()99、3 所以52，所以有理由认定甲是猜谜语高手 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=nx-x(a-x),g(x)=f(x)-x2,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个极值点x,x2,且存在a,使得不等式f(5)+f(x)>m-5-x2成立，求m的取值范围： (3)若关于x的方程g(x)=0恰有两个实根r,s,求证：nr+lns>2. 【答案】(1)当a≤2√2时，f(x)在区间(0，+∞)内单调递增；当a>2√2时，f(x)在区间 0,a-Va-8 内单 4 a-va2-8a+2-8 a+√-8 调递增，在区间 4 内单调递减，在区间 4 内单调递增。 4 (2)(-n,√2-3-ln2) (3)证明见解析 【分析】(1)求导后，将导数符号的判断转化为二次函数在区间(0，+∞)上根的分布问题，通过对判别式△进 行分类讨论来求解单调区间： (2)利用韦达定理进行整体代换，将含双变量的极值问题转化为关于参数α的一元函数求最大值问题： (3)利用两根关系消去参数a,通过换元法构造函数证明出h"+hs>2,最后借助基本不等式放缩完成证 明. 【详解】(1)由f)=nx-a+r(c>0),得f')=a+2x=2-+1 记h=2x2-ax+16>0),对称轴为x= 4 若？s0,即a≤0时，)在区间Q+内单调递增，所以a6)>(0-1, 所以f'(x)>0,f(x)在区间(0，+o)内单调递增. 若号0，即a>0时，当△=d-8≤0，即0<a≤2万时，)≥0恒成立， 试卷第15页，共17页 所以∫'(x)≥0，f(x)在区间(0，+∞)内单调递增； 当△>0，即a>2万时，)-0有两个不等的正实根与a-V厅8，气4+匠8 4 4 令f'(x)>0,得0<x<3或x>x4,令f"(x)<0,得x<x<x4, 所以f(x)在区间(0，x),(x4,+∞)内单调递增，在区间(s,x4)内单调递减. 综上，当a≤2√2时，f(x)在区间(0，+o)内单调递增： 当a>2W时，f(x)在区间 内单调递增，在区间 a-va2-8a+2-8 4， 内单调递减， 4 4 a+vd-8 在区间 内单调递增. 4 (2)由(1)得了2-a1,因为f)有两个极值点，3， 所以方程2x2-x+1=0有两个不相等的正实数根x,x2, △=2-8>0 则+5-号0，解得a≥2， 1 5=2>0 所以f(5)+f(x)+(s+5)=h5+-as+h5+-as3+(s+5) =(:+3)}-2xx3+1-四(+x)+血(x2) a 心g1+1-①a-m2=4+2-1-n2， 2 设回-号号1-ha>2网 则wa@=-a--子h2a>2, 4 所以(a)在区间(2√2，+)内单调递减， 所以@<aw=子(a222-1n2V2-3-h2 2 因为存在a,使得不等式f(:)+∫(5)>n-5-成立， 所以m<f(5)+f(:)++x对ae(2√2，+o)有解， 试卷第16页，共17页 所以m<√2-3-n2,故的取值范围为(-p,√2-3-ln2). (3)证明：g(x)=lnx-ax,不妨设r>s>0, 因为8(r)=8(s)=0, 所以nr-am=0,lns-as=0, 所以hr-lns=a-s),lnr+lns=a(r+s). 要证hr+hs>2, 即证a(+s)>2, 即证h-ns、2 r-s r+s 即证hm'、20-) 5r十5 设1='>，则上式转化为nt>20-D>), t+1 设o0=1nt-2-少，则p0== t+1 t*)>0, 所以)在区间1，+∞)内单调递增， 所以当1>1时，0>n1-20-D=0, 1+1 所以a:29,所以nns>2, 试卷第17页，共17页江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（三） 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.命题p:3x≥1，x2-x>0的否定是 A.3x<1,x2-x<0 B.3x≥1，x2-x≤0 C.x≥1，x2-x≤0 D.x<1,x2-x≤0 2.已知集合A={x|-1<x<a},B={x|x≤2a-1},且A三B,则a的取值范围是() A.(-1,1] B.(1,+n) C.[1,+0) D.（-o,-1]U[1,+∞) 3.已知函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)='(1)x-2x,则f'(1)() A.3 B.2 C.1 D.0 4.如图，三棱柱ABC-AB,C1中，点E,F,G,H分别为BB,CC1,A,B,AC1的中点，则下列说法错误 的是() ⊙ B G A.E,F,G,H四点共面 B.∠EGH=∠FHG C.BB与FH是异面直线 D.EG,H,AA三线共点 5.正四棱台的上、下底面的边长分别为√2,2√2，侧棱长为2，则其体积为() A.10+6√7 B.14V5 C.142 D.14 3 6.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有() A.420种 B.16种 C.12种 D.8种 7.“函数f(x)=二x+在区间(a-4,a)内存在最小值的充分不必要条件可以是（) 3 A.1<a<4 B.0<a<2 C.1≤a<4 D.-2<a<2 试卷第1页，共5页 8.己知a-n2,b=1,c=】 下6，则a,b,c的大小顺序为() e A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的是（) A.若复数z满足=2，则：=±21 B.复数z=-2+4i在复平面内对应的点在第二象限 C.若复数(m2+3m-4)+(2-2m-24)i是纯虚数，则实数m=1或-4 D.若复数z满足2≤≤3，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5π 10.下列说法中正确的是() A.若随机变量X,Y满足Y=2X-1,则D(Y)=4D(X) B.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 C.在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 D.若事件MN满足P(M-号P(=号P网M-背则P)号 Ⅱ.已知唇数e-2x-am+6,若/0解失为-号或≥则() A.a=-3 B.f(x)的图象的对称中心坐标为1 C.f(x)在(2，+∞)上单调递增 D.不等式4fx>2x+1的解为 g* 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x-2y+3)的展开式中x3y的系数为·（用数字作答) 13.若函数f(x)=lnx+a-4x在区间(1,3)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 14.己知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方 试卷第2页，共5页 向移动一个单位若移动n次，则当n=4时，质子位于原点的概率为，当n=时，质子位于6 对应点处的概率最大 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x-a2+8x+b,当x=2时f(x)取得极小值0. (1)求a,b的值： (2)求f(x)在1,3]的最大值和最小值. 16.(本小题满分15分)某文旅部门福佑崇文阁统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入y(单位：万 元)，得到以下数据： 月份x 2 3 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数r判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当r>0.75时，认 为线性相关性较强)，若可以，求出V关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由： (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表， 依据x=0.001的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 试卷第3页，共5页 4-y-) 参考公式：相关系数”= i=1 =,参考数据：√10≈3.162. 层s对空g-时 2K-0y-)2y- 线性回归方程：=x+a,其中b= 2,ay-6 x2= n(adl-bc)月 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 临界值表： 0.010 0.005 0.001 Xa 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分)如图，在四棱台ABCD-ABCD中，DD垂直于底面，上、下底面均为正方形，AD=2, AD=4,DD=2,M,N分别为AB,BC的中点 D R M B (I)证明：BD⊥平面BMN (2)求二面角C1-BM-N的余弦值 试卷第4页，共5页 18.(本小题满分17分)文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜 谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第i次猜中得(4-i)分(i=1,2,3),若 鸟次均末猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为p0<p<),乙每次猜中的概率为，每次猜中与香 互不影响，记甲猜谜语的次数X的均值为E() (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数5的均值为E(5),若E(X)>E(),求P的取值范围： B)记知B()=3碧，且甲最终的得分为Y,若0)>)()，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定 25 甲是猜谜语高手？ 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=hx-x(a-x),g(x)=f(x)-x2,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个极值点x,x2,且存在a,使得不等式f(x)+f(:)>m-;-x2成立，求的取值范围； (3)若关于x的方程g(x)=0恰有两个实根r,s,求证：lnr+lns>2. 试卷第5页，共5页 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习(三) 高二数学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题p：，的否定是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】直接利用存在命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以，命题p：，， 则它的否定是：，． 故选C． 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 2．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】已知，求导得， 则， ． 故选：C 4．如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E，F，G，H四点共面 B． C．与FH是异面直线 D．EG，FH，三线共点 【答案】B 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；举反例即可判断C；利用平面的基本事实推理判断D. 【详解】 对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确； 对于B，由，且可知，四边形是梯形，若，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，B错误； 对于C，因为平面，平面，，所以与是异面直线，C正确； 对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确. 故选：B 5．正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2， 则上下底面对角线的长度为2和4， 所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D 6．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（   ） A．420种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【详解】首先由乙和丙之间恰有2人，可知乙丙的站位分为两类： ①乙丙及中间2人占据前四位（即乙丙位置为第1位和第4位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第5位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第2、3位中选择： 第一步，排列乙丙，共有种排法； 第二步，排列甲，从中间2个位置选1个，共有种排法； 第三步，剩余2个位置由剩余2人全排列，共有种排法； 由分步乘法计数原理，该类共有种排法。 ②乙丙及中间2人占据后四位（即乙丙位置为第2位和第5位，顺序可互换）： 此时剩余的端点为第1位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第3、4位中选择： 同理，该类的排法数也为种。 由分类加法计数原理，总排法数为. 故选：B 7．“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，结合选项，分析即可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 故选：A 8．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列结论正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A：例如也满足，故A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确； 对于C：若复数是纯虚数，则满足， 解得，故C错误； 对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为，故D正确． 10．下列说法中正确的是（   ） A．若随机变量满足，则 B．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 D．若事件满足，则 【答案】AC 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有，本题中，因此，A正确． 选项B：经验回归直线一定经过样本中心点，但不需要经过任何一个样本数据点，B错误． 选项C：回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，C正确． 选项D：由条件概率性质，，因此，D错误． 故选：AC 11．已知函数，若的解集为，则（    ） A． B．的图象的对称中心坐标为1 C．在上单调递增 D．不等式的解为 【答案】ACD 【分析】根据题意求得参数，结合代入法、整体法逐一判断各项正误. 【详解】因为的解集为， 所以为的零点也是极值点，如图所示： 因为，所以， 解得，故A正确； 因为为的零点，所以， 解得， 所以，则， 当时，，所以在上单调递增，故C正确； 设的对称中心为，则， 所以，即， 解得，所以，即的图象的对称中心坐标为，故B错误； 因为，即， 所以， 解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12．的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数. 【详解】表示5个因式相乘，要得到含的项， 首先，从5个因式中任选3个取其中的，选法种数为，对应系数为； 再从剩余的个因式中任选1个取其中的，选法种数为，对应系数为； 最后剩余的1个因式取其中的常数项，对应系数为. 因此的系数为. 13．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 14．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为________，当____时，质子位于6对应点处的概率最大. 【答案】 / 或 【分析】根据独立重复试验的概率公式求时质子位于原点的概率，再求质子位于对应点处的概率表达式并求其最值. 【详解】设第次移动时向左移动的概率为， 事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动， 所以事件时质子位于原点的概率为， 事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次， 所以第次移动后质子位于对应点处的概率， 设， 则， 令可得， 化简可得， 所以，，所以， 令可得，，所以， 又， 所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大. 故答案为：；或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知函数，当时取得极小值0． (1)求的值； (2)求在的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为0 【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可； （2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值． 【详解】（1）， 由取得极小值0，可知，即， 由时取得极小值，可知，即， 所以； （2）由（1）得， 令，得，或， 2 （2，3） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，有极大值； 所以当时，有极小值0； 又因为， 所以的最大值为2，最小值为0. 16．(本小题满分15分)某文旅部门福佑崇文阁统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可用，线性回归方程为； (2) 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 【分析】（1）利用表格中数据求出并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答. 【详解】（1）由表格中数据，得， ， ， 因此相关系数， 所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系； ， 所以关于之间的线性回归方程为. （2）依题意，列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算， 依据小概率的独立性检验，推断不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001. 17．(本小题满分15分)如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱台中，垂直于底面，连接，则， ，由是的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，， 又，，因此， 同理，而平面， 所以平面. （2）依题意，直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然二面角的平面角为锐角，设其大小为， 则， 所以二面角的余弦值为. 18．(本小题满分17分)文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； (3)已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 【答案】(1) (2) (3)有理由认定甲是猜谜语高手 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式计算即可； （2）先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据列不等式求解即可； （3）根据求出，再求出甲最终得分的期望，验证是否满足即可判断. 【详解】（1）记“乙猜2次”为事件，则， 所以乙猜2次的概率为； （2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3 ，， 所以， 乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为， 所以，，， ， 因为，所以，解得或， 因为，所以； （3）因为，则由（2）知， 解得或，因为，所以， 甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定甲是猜谜语高手. 19．(本小题满分17分)已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 【答案】(1)当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后，将导数符号的判断转化为二次函数在区间上根的分布问题，通过对判别式进行分类讨论来求解单调区间； （2）利用韦达定理进行整体代换，将含双变量的极值问题转化为关于参数的一元函数求最大值问题； （3）利用两根关系消去参数，通过换元法构造函数证明出，最后借助基本不等式放缩完成证明. 【详解】（1）由，得， 记，对称轴为， 若，即时，在区间内单调递增，所以， 所以，在区间内单调递增．             若，即时，当，即时，恒成立， 所以，在区间内单调递增；             当，即时，有两个不等的正实根，， 令，得或，令，得， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减． 综上，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在区间内单调递增． （2）由（1）得，因为有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根，， 则，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在区间内单调递减， 所以．                     因为存在a，使得不等式成立， 所以对有解， 所以，故m的取值范围为． （3）证明：，不妨设， 因为， 所以，， 所以，．                要证， 即证， 即证， 即证． 设，则上式转化为，             设，则， 所以在区间内单调递增， 所以当时，， 所以，所以，                 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $