4.1 比例线段 强化练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学“比例线段”同步练，以“基础巩固-情境应用-综合拓展”三层设计，覆盖比例性质、黄金分割等核心知识点，强化概念理解与实际应用，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|比例性质、比例线段概念|选择1-4直接考查定义与性质，夯实运算能力| |情境应用|黄金分割应用、比例中项|选择5-7结合叶脉、摄影等生活情境，培养数据意识| |综合拓展|方程思想、函数与几何综合|解答12推导黄金分割数、15结合反比例函数，发展推理能力|

4.1 比例线段 强化练习 一、选择题 1．若2x＝5y，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．若四条线段a，b，c，d成比例，且a＝2cm，b cm，c cm，则线段d的长是（　　） A． cm B．3 cm C． cm D．2 cm 3．若 ，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知线段 ， ，线段 是 ， 的比例中项，则 等于（　　） A．36 B．6 C．-6 D．6或-6 5．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点，且，则线段AC的长是（　　） A． B． C． D． 6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（　　）． A． B． C． D． 7． “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．若 ，则 =　 　. 9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美，如图，点P为的黄金分割点.如果的长度为，那么的长度为　 　. 10．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则　 　． 11．如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为　 　米． 三、解答题 12．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 13． （1）解方程：； （2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值． 14．已知：线段a，b，c，且. （1）求的值； （2）如果对于线段a，b，c，满足a+b+c=36，求a，b，c的值. 15．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点E、点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接、、，求的面积； （3）是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请直接写出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵2x=5y， ∴. 故答案为：B 【分析】利用比例的基本性质，可将等积式转化为比例式. 2．【答案】C 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：四条线段a，b，c，d成比例， ∴ 即 ， ∴ cm. 故答案为：C. 【分析】根据成比例线段的定义先列出比例式，再代值求解即可. 3．【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：B. 【分析】利用比例的基本性质合比性质，进行变形后即可得出结果. 4．【答案】B 【知识点】比例线段 【解析】【解答】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项， ∴ ∴ ∴x=±6，x=−6(舍去). 故答案为：B. 【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 5．【答案】A 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC， ∴， ∴ 故答案为：A. 【分析】根据黄金分割的定义及性质即可得结果. 6．【答案】D 【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割 【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）； ∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点 ∴AB=CD=2x ∵ED和EF都是圆 的半径 ∴EF=ED=x+4a ∴在直角三角形DEC中，，解得x=a； ∴AB=2a 故答案为：D. 【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长. 7．【答案】A 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：点P是的黄金分割点， ， 的长为， ， 解得：. 故答案为：A. 【分析】根据黄金分割点的定义进行计算即可. 8．【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】∵ ∴ ∴原式＝ 故答案为： 【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案. 9．【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：根据题意可得，，且BP=2cm， ∴ AP=. 故答案为：. 【分析】根据黄金分割的含义列出等式，求解即可. 10．【答案】4 【知识点】比例中项 【解析】【解答】解：线段是线段和线段的比例中项， ， ，， ∴b2=16， ∴， ∴b1=4，b2=-4(舍去). 故答案为：4． 【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可. 11．【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比， 所以， 所以米， 故填：． 【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解． 12．【答案】解：设线段的长为，则 即，整理得 解得（不合题意舍去） 黄金分割数为： 【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割 【解析】【分析】根据黄金分割的概念，结合一元二次方程的解法求解即可。 13．【答案】（1）解： ， ∴， ∴解得，； （2）解：∵2，3，6，a成比例， ∴． ∴． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；比例线段 【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便； （2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。 14．【答案】（1）解：∵=， ∴=， ∴==； （2）解：设===k， 则a=3k，b=4k，c=5k， ∵a+b+c=36， ∴3k+4k+5k=36， ∴k=3， ∴a=9，b=12，c=15． 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值； （2）首先设===k，则a=3k，b=4k，c=5k，利用a+b+c=36求出k的值即可得出答案. 15．【答案】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点E的坐标为， 点E在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）解：如图1，连接、、， ， 时，， ， 即，，， ， ； （3）解：存在点P，坐标为， 【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理的应用；矩形的性质；比例的性质 【解析】【解答】解：（3）如图， ， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，进而结合题意根据比例即可得到点E的坐标，再代入函数解析式即可求解； （2）连接、、，进而将x=8代入求出y，从而即可得到，，再根据“”即可求解； （3）设所求点坐标为， 进而结合题意运用坐标系中两点间的距离公式得到，，，进而根据勾股定理结合题意分类讨论：当时，当时，从而即可求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $