6.1 因数和倍数-【随堂笔记】2026-2027学年五年级上册数学（苏教版·新教材）

六因数与倍数 第 课时 因数和倍数 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 因数和倍数的意义（教材第75页例1) 用12个同样大的正方形拼成一个长方形，用乘法算式表示不同的拼法。 拼法一：每排摆4个，摆3排→4×3=12。拼法二：每排摆6个，摆2排 6×2=12。拼法三：每排摆12个，摆1排→12×1=12。 在算式4×3=12中，(4)和(3)是（12)的因数，（12)是（4)和 (3)的倍数。同理（6,2,12,1)都是(12)的因数，（12)是（6,2， 12,1)的倍数。 重点心 知识点②找一个数的因数的方法及一个数的因数的特点（教材第 75页例2) 找出16的所有因数。 学 方法一：依次列举积是16的乘法算式。 新 从一个乘数是1开始，按顺序依次列举。1×16=16,2×8=16,4×4=16。 知 （1,2,4,8,16)都是16的因数。 方法二：依次列举被除数是16的除法算式。 从除数是1开始，按顺序依次列举。16÷1=16,16÷2=8,16÷4=4。（1， 2,4,8,16)都是16的因数。 发现：一个数因数的个数是（有限的），其中最小的因数是(1)，最大 的因数是（它本身）。 重点@ 知识点3找一个数的倍数的方法及一个数的倍数的特点（教材第 76页例3) 找3的倍数。 3和非0自然数相乘所得的积都是3的倍数。用3分别乘(1,2,3，·）。 3×1=3,3×2=6,3×3=9,…可以列出的乘法算式有（无数）个，因此 3的倍数有（无数)个。 发现：一个数倍数的个数是（无限的），其中最小的倍数是（它本身）， 没有最大的倍数。 理 因数和倍数的意义 找一个数的倍数的方法 思 找一个数的因数的方 因数和倍数 及一个数的倍数的特点 路 法及一个数的因数的 特点 97 随堂笔记·数学·五年级·上册·SJ 课堂·听课笔记 精批注 用12个同样大的正方形拼长方形，有几种不同的拼法？你能用乘法算式表示不同的拼 法吗？ 拼法一： 拼法二： 每排摆4个，摆3排。 每排摆6个，摆2排。 4×3=12 6×2=12 拼法三： 每排摆12个，摆1排。 12×1=12 因裁和倍裁是相互依存的关系。不能单独说某个戴是因数，也不能单独说某个製是倍数。 女须说清楚：谁是谁的因裁，谁是谁的倍数。 4×3=12,4是12的因数，12是4的倍数；3是12的因数，12是3的倍数。 根据6×2=12，你能说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？根据 12×1=12呢？ 6和2都是12的因裁，12是6的倍数，也是2的倍裁。 12和1都是12的因数，12是12的倍数，也是1的倍数。 5是12的因数吗？20是4的倍数吗？为什么？ 5不是12的因数，因为5×2.4= 12,2.4不是自张数：20是4的 你还能用其他例子说说哪个数是哪个数 倍数，因为20÷4=5，商是整裁 的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？ 且无余数。 研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。 总结：如果a×b=c(a、b、c是非0自然裁)，那么a和b是c的因裁，c是a和b的倍裁。 2国 找出16的所有因数，说说是怎样找的。 方法一 方法二 依次列举积是16 也可以依次列举被除 的乘法算式。 数是16的除法算式。 1×16=16 16÷1=16 2×8=16 16÷2=8 4×4=16 … 16÷4=4 我一个裁的因数的方法；(1)列乘法算式，看娜两个数相乘等于这个数，这两个数就是 孩最的因数；(2)列除法算式，看这个数除以几，商是整数且没有余裁，那么除裁和商 都是该裁的因数。 98 六因数与倍数 在下面的直线上用“△”画出16的所有因数。 0个23④567891011121314151617181920 方法一列举法。 在我一个数的因数时，如果有 16的因数有：1,2,4,8,16。相同的因数，只写一个。 也可以把16的所有因数填在圈里。 方法二用集合图表示。 怎样找可以做到 2 48 16 不重复、不遗漏？ 一对一对地有序我。 16的因数 你能分别找出15,18的所有因数吗？在直线上用“○”“△”分别画出来。 0么@4⑤678及10121314西16781920 15的因数有：1,3,5,15 18的因数有：1,2,36,9,18。 观察上面几个例子，说说一个数的因数有什么特点。 一个数最小的因数是1， 一个数因数的个 最大的因数是它本身。 数是有限的。 12是3的倍数，还有哪些数是3的倍数？ 找3的倍数，可以用3 分别乘1,2,3，… 从3的1倍开始依次列举。 3×1=3 3,6,9，… 3×2=6 。 在下面的直线上依次圈出3的倍数。 012g456789101234$16178920→ 我一个费的倍裁的方法：用这个裁依次与非0自然裁 相乘，所得的积都是这个数的倍数。 99 随堂笔记·数学·五年级·上册·SJ 方法一：列举法。 3的倍数有：3,6,9,12,15,18，… 方法二：用集合图表示。 3的倍数的个数是无限的，所以用省略号表示。 3 69121518… 把3的倍数填在左边的圈里 3的倍数 你能分别找出2,5的倍数吗？在直线上用“○”“△”分别画出来。 01②34567⑧9011121314151617181920 2的倍数有：2,46,8， 5的倍数有：5,10,15,20.· 观察上面几个例子，说说一个数的倍数有什么特点。 一个数的最小倍数是它 一个数倍数的个 本身，没有最大的倍数。 数是无限的。 练一练 1.下面的数中，哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数？ 3 6 11 36 24 3是6,36和24的因数；6是36,24的因裁。6,36和24是3的倍裁；36,24是6的倍数。 2.在直线上圈出28的所有因数，并在28的最小因数上画“△”，最大因数上画“○”。 023456⑦89101112131415161718192021222324252627282930 你知道吗？ 6的因数有1,2,3,6，这几个因数之间的关系是：1+2+3=6。像6这样的数叫 作完全数（也叫作完美数)。 公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯已经知道6和28是完全数。公元1世纪， 尼科马修斯发现第3个、第4个完全数是496,8128。而第5个完全数直到15世纪才 被发现。随着计算机的问世，寻找完全数的工作有了较大进展。目前发现的51个完全 数都是2的倍数，个位上是6或8。 100 六因数与倍数 学方法 ©运用推理法解决与因数或者倍数有关的实际问题 把50本科技书和35本故事书平均分给阅读小组的同学，结果科技书剩2本，故事书差1本， 阅读小组最多有多少名同学？ 行技书 故事书 先分别列举相关数的所有因裁，然后我出它们 相同的因数，最后确定最大的因数。 思路分析：根据题意可知，科技书减少2本（即48本)，故事书增加1本（即36本）， 正好可以平均分给阅读小组的同学，也就是说阅读小组的人数是48的因数，也 是36的因数。分别找出48和36的因数，再找出相同的因数中最大的数即可。 正确解答：50-2=48（本)35+1=36（本) 48的因数有1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。 36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36。 48和36的相同的因数有1,2,3,4,6,12，其中最大的因数是12。 答：阅读小组最多有12名同学。 ©根据因数的特征解决实际问题 阳光小学综合实践课上，李老师要求利用一张大的图纸剪出面积是24平方厘米的长方形， 同学们纷纷开始讨论、操作。在展示作品的时候，同学们发现，很多人的剪法不一样，你 知道都有哪些剪法吗？（长方形的长和宽都是整厘米数) 思路分析：思路一长方形的面积是由长和宽决定的，因此要想剪出面积是24平方厘米的 长方形，就必须确定它的长和宽，可以运用列表的方法来找出它的长和宽。 面积/平方厘米 24 24 24 24 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 2 3 4 由上表可以得出，面积是24平方厘米的长方形一共有四种剪法。 思路二运用找24的因数的方法解决问题。 24=24×1=12×2=8×3=6×4,这些成对的因数分别是长方形的长和宽的数 值，因此面积是24平方厘米的长方形一共有四种剪法。 正确解答：共有四种剪法，长方形的长和宽分别是24厘米和1厘米，12厘米和2厘米， 8厘米和3厘米，6厘米和4厘米。 解决这类实际问题时，先要读懂题意，把题目转化成“我一个数的因数”的问题，再选出 所有符合条件的因裁。 101 随堂笔记·数学·五年级·上册·SJ 课后·提升笔记 巧总结 ©易错点：误以为一个数小，它的倍数就小它本身，泛有最大的倍悬。 一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是 判断：2的倍数一定比5的倍数小。 () 易错解读：此题易因5>2而误认为这句话正确。实际上，2的倍数有2,4,6,8,10， 12,…,5的倍数有5,10,15,20，…，其中2的倍数中6,8,10,12等都比5的倍数 中的5大，所以2的倍数不一定比5的倍数小。所以本题的正确答案为×。 举一反三： 判断。 (1)因为5×6=30，所以5是因数，30是倍数。 ( (2)一个数的倍数一定大于这个数的因数。 (3)8的倍数比4的倍数大。 ( 提素养 提示：我一个数的倍数，用这个最依 次与非0自然数相乘，所得的积都是 1.按要求写出50以内（包含50）符合要求的数。 这个数的倍数。 6的倍数 8的倍数 既是6的倍数， 又是8的倍数 2.阳光小学五(1)班同学外出秋游，李老师为同学们准备了50瓶矿泉水。有以下几种包装方式， 选择哪种包装方式正好能把这些矿泉水装完？选择这种包装方式需要几个包装盒？ 方式 ① ② ③ ④ 数量 4瓶/盒 5瓶/盒 10瓶/盒 12瓶/盒 3.下面是某公司的一个电话号码，请你根据给出的信息，写出该电话号码。 ※※※※ A B CD E F C A—2的倍数中最大的一位数 B一最小的自然数 C一5的最大因数 D—既是6的倍数，又是6的因数 E—所有的因数是1,3 F—最小的倍数是3 G—8的最小因数 102四 小数乘法和除法（一) 第1课时小数乘整数 举一反三 (竖式略)56.35154.9120 Q提素养 1.85.685608560000 676700 6700000 2.6001404805000351000 3.1.5×2×2=6(千米) 6×5=30(千米) 第2课时 小数除以整数 举一反三 (竖式略)6.68.91.56.1 O提素养 1.（改正略)X × 2.甲数：10.8÷(10-1)=1.2 乙数：1.2×10=12 第四单元要点总结 要点①练习 (竖式略)34.822.810.7364.8 要点2练习 (竖式略)1.20.631.71.08 要点3练习 甲数：29.7÷（10+1)=2.7 乙数：2.7×10=27 五 可能性 第1课时 确定现象和不确定现象 举一反三 × ②提素养 1.CA A 2.（部分答案不唯一)》 (1) (2) (3 3.（1)13种（2)2种 （3)26种 本书练习题参考答案 第2课时可能性的大小 举一反三 X Q提素养 1.(1)A(2)C 2.小江说得对。 理由：数字19中双数有2,4,6,8共4个，单 数有1,3,5,7,9共5个，所以摸到单数的可 能性大，小宁说得不对。数字1~9中大于5的数 有6,7,8,9共4个，小于5的数有1,2,3， 4共4个，所以摸到大于5的数和摸到小于5的 数的可能性相同。 第五单元要点总结 要点①练习 (涂色略)第1个全涂红色，第2个全都不涂红色， 第3个不涂绿色，可以一部分涂红色，一部分涂黄 色 要点2练习 1.（涂色略)第一个涂的蓝色和红色一样多，第二 个涂的红色比蓝色多，第三个涂的蓝色最多。 2.(1)文文(2)明明(3)③ 六因数与倍数 第1课时因数和倍数 举一反三 (1)×(2)×(3)× Q.提素养 1.6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48 8的倍数：8,16,24,32,40,48 既是6的倍数，又是8的倍数：24,48 2.5和10是50的因数。 50÷5=10(个)50÷10=5（个） 选择包装方式②、③均正好能把这些矿泉水装完。 方式②需要10个包装盒，方式③需要5个包装盒。 3.※※※※-8056331 53