第06讲 均值不等式讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）2027届高考数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦均值不等式核心考点，涵盖公式应用、条件判断、构造定值等高考高频内容，按知识要点、解题策略、题型分类、综合应用的逻辑层次构建复习体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破构造定值、验证等号条件等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料创新采用“题型细分+分层突破”策略，如将“1的代换”拆解为基础代换、分母构造、换元型等7类子题型，配合基础过关、能力提升、培优拔尖三层练习，培养学生数学思维和模型意识，助力高效掌握均值求最值方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第06讲 均值不等式 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型01：公式直接应用 5 （一）：一元问题凑定积 6 （二）：一元问题凑定和 7 题型02：公式成立条件 7 题型03：构造“公式型” 9 题型04：“和定求积”型 10 题型05：“积定求和”型 11 题型06：对勾型凑配 11 添加常数构造“对勾型” 12 题型07：“1”的代换：基础代换型 13 （一）“1”的代换：分母和定型 14 （二）一个分母构造型 15 （二）两个分母构造型 16 题型08：“1”的代换：两分母构造凑配系数型 16 题型09：“1”的代换：换元型构造 18 题型10：“1”的代换：分离常数型 21 题型11：“1”的代换：复杂题 22 题型12：“1”的代换：有和有积无常数型 23 题型13：“1”的代换：有和有积有常数型 24 （一） 有和有积有常数型：求“积”型 24 （二）有和有积有常数型：求“和”型 25 题型14：整体化解不等式型 25 题型15：分母构造型：分离型 26 题型16：分母构造型：多元分离型 27 题型17：复杂分式构造 27 题型18：均值易错：连续均值 28 题型19：因式分解型 29 题型20：消元型 30 题型21：三元型不等式 32 题型22：万能“K”型 34 题型23 “平方法” 35 题型24：齐次型 35 题型25：无条件型 35 题型26：“不等式链” 36 均值不等式的应用 36 应用01：比大小 36 应用02：利用均值不等式求恒成立参数型 37 应用03：在常用逻辑用语中的应用 38 应用04：在函数中的应用 38 应用05：在解三角形中的应用 39 应用06：在平面向量中的应用 39 应用07：在数列中的应用 40 应用08：在立体几何中的应用 40 应用09：在直线和圆中的应用 40 应用10：在圆锥曲线中的应用 41 权方和不等式 41 巩固提升 42 基础过关练 42 能力提升练 43 培优拔尖练 44 1. 定位：高考核心工具考点，单选、多选、填空高频；广泛应用于函数、解析几何、导数大题求最值。 2. 命题方向：利用均值求最值；配凑构造定值；判断“一正二定三相等”条件；结合恒成立综合考查。 3. 典型失分点：忽略正数条件、不会构造和/积定值、忘记检验等号能否取到。 1. 熟记二元均值不等式公式，牢牢掌握一正、二定、三相等三大前提。 2. 掌握配凑、换元、“1的代换”常用变形手段，自主构造定值。 3. 能识别均值适用场景，区分均值不等式与函数单调性求最值的适用情况。 一：均值不等式内容 1.若,则,当且仅当时取“等号”. 2.若,则,当且仅当时取“等号”. 3.若,则,当且仅当时取“等号”. 二：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 1.“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； 2.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 3.“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三：均值不等式的一般形式： 1.若,则,当且仅当 时取“等号”,其中为的算术平均数,为,的几何平均数. 2.若,则. 3.若,则三.元均值不等式) 四：均值定理: 已知,则(1)如果是定值,那么当且仅当时,的值最小;(2)如果是定值,那么当且仅当时,的值最大. 用均值定理求代数式的最值可简化为“和定积最大,积定和最小”; 即两正数之和为定值时,其积可求最大值;两正数之积为定值时,其和可求最小值. 五：不等式的综合应用 不等式的综合应用主要体现在不等式内容自身的综合,以及不等式数学知识与其他数学知识的综合上.通常有以下几种命题形式. (1)利用均值不等式比较代数式的大小. (2)灵活运用不等式的性质与均值不等式求函数的定义域、值域. (3)运用均值不等式求最值.在运用公式时应严格按照“一正二定三相等”的原则实施,有时还要进行灵活配凑,创造条件加以运用. (4)利用均值不等式证明不等式、求解不等式恒成立问题. (5)利用均值不等式解决实际应用问题. (6)考查均值不等式在与函数、数列、解析几何等知识交叉的综合题中的应用,尤其是3个“二次”间的转化,方程根的分布,数列的最大项、最小项,解析几何中的最值问题等,体现了在学科知识网络交汇点上设计试题这一思想. 1. 先检验前提：各项均为正数，不满足先变形（乘负、换元）。 2. 核心目标：构造定值 ①和定积最大；积定和最小。 ②常用技巧：拆项配凑、1的代换、整体换元。 3. 求出最值后必须验证等号成立条件，取不到等号改用函数单调性。 4. 多项形式优先考虑二元均值，谨慎连续多次使用均值（需要保证多处等号同时成立）。 速记口诀：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小；取不到等号莫硬用。 题型01：公式直接应用 【典型例题1】若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【典型例题2】若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-】设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【变式训练1-2】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设且，则的最大值为 （一）：一元问题凑定积 模型（1）：，当且仅当时等号成立； 模型（2）：，当且仅当时等号成立； 模型（3）：，当且仅当时等号成立； 【典型例题1】已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【典型例题2】已知，则函数的最小值为_______. 【变式训练1-1-1】万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米. 【变式训练1-1-2】节假日期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． (1)求该车型的平均车长； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？ （二）：一元问题凑定和 模型：，当且仅当时等号成立. 【典型例题】已知，求的最大值. 【变式训练1-2-1】已知，则取得最大值时的值为________． 【变式训练1-2-2】根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长． 题型02：公式成立条件 【典型例题1】下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【变式训练2-1】下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【变式训练2-2】10.若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】下列结论中正确的是（    ） A．当时，无最大值 B．当时，的最小值为3 C．当且时， D．当时， 【变式训练2-5】下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-7】下列不等式的证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，且，则 【变式训练2-8】给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练2-9】若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【变式训练2-10】（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【变式训练2-11】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．若，则函数的最小值等于 C．若，则的取值范围是 D．的最大值是 题型03：构造“公式型” 【典型例题1】若x>1，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【变式训练3-1】设，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【变式训练3-2】已知且，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型04：“和定求积”型 1.公式：若，则（当且仅当时取“=”） 推论：（1）若，则 (2) （3） 2. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。 【典型例题1】若，，，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【典型例题2】已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【典型例题3】已知，，，则的最大值为（       ） A． B．4 C．6 D．8 【变式训练4-1】若，则当取得最大值时，x的值为（       ） A．1 B． C． D． 【变式训练4-2】若，，且，则xy最大值为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 【变式训练4-3】已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【变式训练4-4】已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 题型05：“积定求和”型 【方法技巧总结】 1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。 【典型例题1】已知为正实数，且，则的最小值是（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【典型例题2】已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典型例题3】若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练5-1】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式训练5-3】已知函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】函数的最大值是（    ） A． B．1 C．5 D． 题型06：对勾型凑配 1.对勾型结构： 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 【典型例题1】已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【典型例题2】函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【典型例题3】已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【典型例题4】若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【变式训练6-1】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练6-2】不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式训练6-3】已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 添加常数构造“对勾型” 【典型例题1】若在处取得最小值，则（       ） A．1 B．3 C． D．4 【典型例题2】若实数，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】设，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【变式训练6-5】已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【变式训练6-6】若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型07：“1”的代换：基础代换型 【典型例题1】已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 【典型例题2】已知x，y为正实数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【典型例题3】设（为常数），且的最小值为，则的值为 A． B． C． D． 【变式训练7-1】若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练7-2】已知两个正数a，b满足，则的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练7-3】已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式训练7-5】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是 ①已知，由，求得的最小值为2 ②由，求得的最小值为2 ③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练7-6】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 （一）“1”的代换：分母和定型 【典型例题1】若，则的值可以是 ． 【典型例题2】已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【典型例题3】若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【变式训练7-1-1】函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-1-2】已知，则的最小值为（    ）. A．9 B． C．5 D． 【变式训练7-1-3】 的最小值为（   ） A．2 B．16 C．8 D．12 【变式训练7-1-4】当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式训练7-1-5】函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． （二）一个分母构造型 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典型例题1】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【典型例题2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式训练7-2-1】已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2-2】已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式训练7-2-3】若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ）． A．或 B．或 C． D． （二）两个分母构造型 【典型例题1】已知，且，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典型例题2】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 【变式训练7-3-1】已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练7-3-2】若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【变式训练7-3-3】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【变式训练7-3-4】已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-5】若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型08：“1”的代换：两分母构造凑配系数型 【典型例题1】已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】.若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练8-1】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练8-2】已知正数，满足，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【变式训练8-5】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【变式训练8-6】设正实数满是 ，则的最小值为（　　　） A． B． C． D． 【变式训练8-7】若，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-9】已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-10】已知，，且，则的最小值为 . 题型09：“1”的代换：换元型构造 【典型例题1】已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知，若，则的最小值是 . 【典型例题4】已知均为正实数，，则的最小值是 . 【典型例题5】已知且满足，则的最小值是 . 【变式训练9-1】已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练9-2】已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练9-3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练9-4】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-6】已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-7】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【变式训练9-8】实数a，b满足，，，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C． D． 【变式训练9-9】对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-10】已知实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-11】已知实数满足，且，则的值最小时，实数（       ） A． B． C． D．1 【变式训练9-12】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-13】设，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-14】若实数、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-15】已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练9-16】已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练9-17】已知实数满足，且，则的值最小时，实数（    ） A． B． C． D．1 【变式训练9-18】若，且，则的最小值为 ． 【变式训练9-19】已知为正实数，则的最小值为______. 【变式训练9-20】已知，，且，则的最小值是______. 【变式训练9-21】已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 【变式训练9-22】已知，，且，则的最小值为 ． 【变式训练9-23】.若，且，则的最小值为_____ 题型10：“1”的代换：分离常数型 【典型例题1】已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典型例题2】已知正实数，且，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典型例题】若，，则的最小值是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式训练10-1】设，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最大值为 【变式训练10-2】设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练10-3】已知，则的最小值是（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练10-4】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【变式训练10-6】已知，则的最小值为（       ） A．3 B．2 C．4 D．1 【变式训练10-7】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-9】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式训练10-10】已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练10-11】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-12】已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 题型11：“1”的代换：复杂题 【典型例题1】若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【典型例题2】若正实数满足.则的最小值为 . 【典型例题3】若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为 ， 【变式训练11-1】已知，，，则的最大值为 ． 【变式训练11-2】设，且，，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 题型12：“1”的代换：有和有积无常数型 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 【典型例题1】若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【典型例题2】已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 【典型例题3】若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【典型例题4】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练12-1】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练12-3】若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练12-5】已知，则和的最小值分别是（       ） A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64 【变式训练12-6】已知，，且满足，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练12-7】若实数、、，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 题型13：“1”的代换：有和有积有常数型 基本规律 求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： （一） 有和有积有常数型：求“积”型 【典型例题1】设，，，则ab的最小值是（       ） A．4 B．9 C．16 D．25 【典型例题2】已知，，且，则的最大值为____________． 【变式训练13-1-1】若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-1-2】若正实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． （二）有和有积有常数型：求“和”型 【典型例题1】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-2-1】若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-2-2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式训练13-2-3】已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练13-2-4】已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【变式训练13-2-5】已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2-6】若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【变式训练13-2-7】已知，，，则（ 多选题 ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 题型14：整体化解不等式型 【典型例题】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式训练14-1】已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 题型15：分母构造型：分离型 型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 【典型例题1】若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【典型例题3】函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【变式训练15-1】若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【变式训练15-3】 “”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练15-4】若，则有（       ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值 【变式训练15-5】已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练15-6】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型16：分母构造型：多元分离型 基本规律 多元分式型，构造分母达到分离的目的。 1. 换元构造 2. 常数代换狗仔 3. 凑配构造 【典型例题1】已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【典型例题2】若，，则的最小值是（       ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式训练16-1】已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 【变式训练16-2】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 题型17：复杂分式构造 【典型例题】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（） A． B． C． D． 【变式训练17-1】函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练17-2】已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-3】若实数满足，则的最大值为 . 题型18：均值易错：连续均值 【典型例题1】已知，，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【典型例题2】已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知a，b∈R，且，则的最小值是 ． 【变式训练18-1】设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 【变式训练18-2】已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 【变式训练18-3】已知，，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练18-4】设，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练18-5】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练18-6】已知，，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【变式训练18-7】已知实数x，y满足，若，则z的最小值是 【变式训练18-8】设，则的最小值为 . 题型19：因式分解型 【典型例题1】已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【典型例题2】已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知正数，满足，则的最小值是 ． 【变式训练19-1】已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练19-2】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【变式训练19-3】已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【变式训练19-4】已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练19-5】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-6】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练19-7】已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【变式训练19-8】若实数满足，则的最大值为 . 【变式训练19-9】已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是 ． 题型20：消元型 【典型例题1】正实数，满足，则的最小值是（       ） A． B．1 C． D． 【典型例题2】已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（       ） A．24 B．313 C．913 D．25 【典型例题3】已知，，，则的最小值为（       ） A． B．2 C． D．1 【典型例题4】若实数且，则的最小值为 【变式训练20-1】已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练20-2】已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-3】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-4】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式训练20-5】若实数m，n满足，则的最大值为（    ）． A．2 B．3 C． D．4 【变式训练20-6】若，且，则的最小值为 ． 【变式训练20-7】已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 A．4 B．.6 C． D． 【变式训练20-8】若实数a，b∈（0，1）且，则的最小值为 ． 【变式训练20-9】已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练20-10】已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【变式训练20-11】已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练20-12】已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练20-13】已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练20-14】已知，则的最小值是（ ） A．14 B． C．8 D． 【变式训练20-15】已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 【变式训练20-16】若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练20-17】已知，则的最小值是 ． 【变式训练20-18】已知，且，则的最小值为_______________. 【变式训练20-19】若均为非负实数，且，则的最小值为______. 【变式训练20-20】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型21：三元型不等式 【典型例题1】已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【典型例题2】已知且，，，则的最小值为 A．5 B．10 C．15 D．20 【典型例题3】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【典型例题4】已知a，b，，，则的最小值为 . 【典型例题5】已知，，满足，则的最小值为 . 【变式训练21-1】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式训练21-2】已知实数、、满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练21-3】已知正数满足，则的最小值 A． B． C． D． 【变式训练21-4】已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练21-5】已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练21-6】设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　） A．8 B．4+2 C．5+2 D．4 【变式训练21-7】若，，，，则的最小值为 ． 【变式训练21-8】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【变式训练21-9】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式训练21-10】若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练21-11】已知都是正实数，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练21-12】已知都是正实数，若，则 的最小值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练21-13】设正实数、、满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练21-14】若a，b，c均为正实数，则三个数，，（       ） A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【变式训练21-15】正实数满足，当取得最大时，的最大值为（        ） A． B． C． D． 题型22：万能“K”型 【典型例题1】已知正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．9 【典型例题2】已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知正数满足，则的最大值是 . 【变式训练22-1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【变式训练22-2】已知、，且，则的取值范围是 . 【变式训练22-3】已知正数、满足，则的最大值为 . 【变式训练22-4】已知为正数，且，则的最大值为 ． 【变式训练22-5】已知，若，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式训练22-6】已知正数满足，则的最大值为__________． 【变式训练22-7】已知，，，则的最小值为 A． B． C． D．4 【变式训练22-8】已知，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【变式训练22-9】已知（），则的最小值为（ ） A． B．9 C． D． 题型23 “平方法” 【典型例题】已知，那么的最大值为 A． B． C． D． 【变式训练23-1】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练23-2】对任意的正实数，，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型24：齐次型 【典型例题】若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-1】若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 题型25：无条件型 【典型例题】设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【变式训练25-1】对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 题型26：“不等式链” 【典型例题1】若，且，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【典型例题2】若，下列结论错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 【变式训练26-1】已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式训练26-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 均值不等式的应用 应用01：比大小 【典型例题1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 应用02：利用均值不等式求恒成立参数型 【典型例题1】已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【典型例题2】若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练2-1】不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式训练2-2】已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】当不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（    ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【变式训练2-6】已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 应用03：在常用逻辑用语中的应用 【典型例题】若存在，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 【变式训练3-1】设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-2】“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 应用04：在函数中的应用 【典型例题】奇函数在上单调递增，若正数，满足，则的最小值（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练4-1】设二次函数（）的值域为，则的最大值为 A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 应用05：在解三角形中的应用 【典型例题】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则最小值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．36 【变式训练5-1】已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练5-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．10 应用06：在平面向量中的应用 【典型例题】已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6-1】已知向量，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 应用07：在数列中的应用 【典型例题】已知正项等比数列满足（其中），则的最小值为（    ）． A．6 B．16 C． D．2 【变式训练7-1】已知，，是与的等比中项，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 应用08：在立体几何中的应用 【典型例题】圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】已知三棱柱ABC—A1B1C1的外接球的半径为R，若AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，则三棱柱ABC—A1B1C1的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（    ） A． B． C． D． 应用09：在直线和圆中的应用 【典型例题】若直线 经过圆的圆心，则 的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【变式训练9-1】已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（    ） A．25 B． C．17 D． 应用10：在圆锥曲线中的应用 【典型例题】已知椭圆（）的离心率为，直线交椭圆于两点，点在椭圆上（与点不重合）.若直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练10-1】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练10-2】双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（　　） A． B．2 C．3 D．6 权方和不等式 【典型例题】若正数满足，则的最大值为（　　） A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7 【变式训练1】已知为正数，且，则的最大值为 ． 【变式训练2】已知实数且，则的最小值为__________． 【变式训练3】已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 基础过关练 1.当时，的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 2.函数的最小值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 4.已知x>0，y>0，且xy=10，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 5.已知则函数的最小值为（       ） A． B． C． D． 6.已知，则的最小值为（       ） A． B． C． D．6 7.已知，，，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 8.已知都是正数，且，则的最小值为（       ） A． B．2 C． D．3 9.已知，且，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．6 D．9 10.已知，则的最大值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 11.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D．6 12.已知正数满足，则的最大值是（       ） A． B． C．1 D． 13.负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 14.已知正数x，y满足，则的最小值（       ） A． B． C． D． 15.设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（　　） A．4 B．2 C． D． 能力提升练 1. ，在处取最小值，则（       ） A．1 B． C．3 D．9 2.函数y＝3x2＋的最小值是(       ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 3.已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（       ） A．25 B．50 C．20 D． 4.已知正数，满足，则的最小值是（       ） A．10 B．20 C．15 D．25 5.若，则函数的最小值为（       ） A．4 B．5 C．7 D．9 6.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 7.已知，且 ，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 8.设，为正数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 9..若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（       ） A．9 B．8 C．6 D．3 10.若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 11.已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（       ） A． B． C． D． 12.已知两正实数a，b满足，则的最小值为（       ） A．7 B． C． D． 13.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 14.实数a，b满足，，，则的最小值是（       ） A．4 B．6 C． D． 15.若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 培优拔尖练 1.已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2.．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 3设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（       ） A．3 B． C． D． 4.已知，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 5.若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（       ） A．－ B． C． D．－4 7.若，则的最小值为（       ） A． B． C． D．4 8已知正实数满足，则的最小值为（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 9.已知，条件，条件，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.若正实数，满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 11.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12.若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 13.已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.已知实数，则的最小值是（       ） A．6 B． C． D． 15.已知，，，则 的最小值为（       ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 均值不等式 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型01：公式直接应用 5 （一）：一元问题凑定积 7 （二）：一元问题凑定和 9 题型02：公式成立条件 10 题型03：构造“公式型” 17 题型04：“和定求积”型 19 题型05：“积定求和”型 22 题型06：对勾型凑配 24 添加常数构造“对勾型” 27 题型07：“1”的代换：基础代换型 29 （一）“1”的代换：分母和定型 33 （二）一个分母构造型 36 （二）两个分母构造型 39 题型08：“1”的代换：两分母构造凑配系数型 42 题型09：“1”的代换：换元型构造 49 题型10：“1”的代换：分离常数型 62 题型11：“1”的代换：复杂题 70 题型12：“1”的代换：有和有积无常数型 72 题型13：“1”的代换：有和有积有常数型 77 （一） 有和有积有常数型：求“积”型 77 （二）有和有积有常数型：求“和”型 78 题型14：整体化解不等式型 82 题型15：分母构造型：分离型 83 题型16：分母构造型：多元分离型 87 题型17：复杂分式构造 89 题型18：均值易错：连续均值 92 题型19：因式分解型 97 题型20：消元型 102 题型21：三元型不等式 112 题型22：万能“K”型 121 题型23 “平方法” 126 题型24：齐次型 128 题型25：无条件型 130 题型26：“不等式链” 131 均值不等式的应用 134 应用01：比大小 134 应用02：利用均值不等式求恒成立参数型 136 应用03：在常用逻辑用语中的应用 141 应用04：在函数中的应用 143 应用05：在解三角形中的应用 145 应用06：在平面向量中的应用 147 应用07：在数列中的应用 148 应用08：在立体几何中的应用 150 应用09：在直线和圆中的应用 152 应用10：在圆锥曲线中的应用 153 权方和不等式 155 巩固提升 157 基础过关练 157 能力提升练 162 培优拔尖练 167 1. 定位：高考核心工具考点，单选、多选、填空高频；广泛应用于函数、解析几何、导数大题求最值。 2. 命题方向：利用均值求最值；配凑构造定值；判断“一正二定三相等”条件；结合恒成立综合考查。 3. 典型失分点：忽略正数条件、不会构造和/积定值、忘记检验等号能否取到。 1. 熟记二元均值不等式公式，牢牢掌握一正、二定、三相等三大前提。 2. 掌握配凑、换元、“1的代换”常用变形手段，自主构造定值。 3. 能识别均值适用场景，区分均值不等式与函数单调性求最值的适用情况。 一：均值不等式内容 1.若,则,当且仅当时取“等号”. 2.若,则,当且仅当时取“等号”. 3.若,则,当且仅当时取“等号”. 二：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 1.“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； 2.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 3.“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三：均值不等式的一般形式： 1.若,则,当且仅当 时取“等号”,其中为的算术平均数,为,的几何平均数. 2.若,则. 3.若,则三.元均值不等式) 四：均值定理: 已知,则(1)如果是定值,那么当且仅当时,的值最小;(2)如果是定值,那么当且仅当时,的值最大. 用均值定理求代数式的最值可简化为“和定积最大,积定和最小”; 即两正数之和为定值时,其积可求最大值;两正数之积为定值时,其和可求最小值. 五：不等式的综合应用 不等式的综合应用主要体现在不等式内容自身的综合,以及不等式数学知识与其他数学知识的综合上.通常有以下几种命题形式. (1)利用均值不等式比较代数式的大小. (2)灵活运用不等式的性质与均值不等式求函数的定义域、值域. (3)运用均值不等式求最值.在运用公式时应严格按照“一正二定三相等”的原则实施,有时还要进行灵活配凑,创造条件加以运用. (4)利用均值不等式证明不等式、求解不等式恒成立问题. (5)利用均值不等式解决实际应用问题. (6)考查均值不等式在与函数、数列、解析几何等知识交叉的综合题中的应用,尤其是3个“二次”间的转化,方程根的分布,数列的最大项、最小项,解析几何中的最值问题等,体现了在学科知识网络交汇点上设计试题这一思想. 1. 先检验前提：各项均为正数，不满足先变形（乘负、换元）。 2. 核心目标：构造定值 ①和定积最大；积定和最小。 ②常用技巧：拆项配凑、1的代换、整体换元。 3. 求出最值后必须验证等号成立条件，取不到等号改用函数单调性。 4. 多项形式优先考虑二元均值，谨慎连续多次使用均值（需要保证多处等号同时成立）。 速记口诀：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小；取不到等号莫硬用。 题型01：公式直接应用 【典型例题】若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案. （2）也可以令，取特殊值进行验证排除. 【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D； ∵， 即，排除B. 故选：C. 方法二：因为且，可取，. 则：，，因为. 故选：C. 【典型例题】若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 【变式训练1-】设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【详解】∵ ∴，（当且仅当，取“=”） 故选：C. 【变式训练1-2】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确． 【详解】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误. 故选：B 【变式训练1-3】设且，则的最大值为 【答案】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，则， 解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为， 则， 即的最大值为 故答案为： （一）：一元问题凑定积 模型（1）：，当且仅当时等号成立； 模型（2）：，当且仅当时等号成立； 模型（3）：，当且仅当时等号成立； 【典型例题】已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】，则，当且仅当即时取得最小值4． 【典型例题】已知，则函数的最小值为_______. 【答案】7 【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可． 【详解】，，． 当且仅当，即，即时等号成立. 【变式训练1-1-1】万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米. 【答案】 【分析】根据题意解得参数的值，及函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最小值即可. 【详解】由题意得，当时，，解得， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【变式训练1-1-2】节假日期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． (1)求该车型的平均车长； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？ 【答案】(1)5 (2)80千米/小时 【分析】（1）依题意当时，，代入计算可得； （2）由（1）可得，利用基本不等式计算可得； 【解析】(1)由题意：当时，，，．该车型的平均车长为5米． (2)由（1）知，函数的表达式为（）．，．当且仅当，即时取等号． 故当汽车的平均速度为千米/小时时车流量达到最大值． （二）：一元问题凑定和 模型：，当且仅当时等号成立. 【典型例题】已知，求的最大值. 【答案】. 【解析】，求， 当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为 【变式训练1-2-1】已知，则取得最大值时的值为________． 【答案】          【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】，当且仅当，即时，取等号． 【变式训练1-2-2】根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长． 【答案】． 【分析】用料最省时，即三棱锥体积最大，由垂直关系确定为球直径，由球体积求得，设，表示出棱锥体积，由基本不等式得最大值． 【详解】设球的半径为R，由球的体积，解得．因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．由可知，AC为截面圆的直径，故可设， 在中，，在中，， 所以． 当且仅当，即时，等号成立．所以当用料最省时，． 题型02：公式成立条件 【典型例题】下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误. 【详解】 A：当时，，故A错误； B：，当且仅当，即时取等号，故B正确； C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误； D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误； 故选：B. 【典型例题】（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 【变式训练2-1】下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【答案】A 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A 【变式训练2-2】10.若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为，所以，， 又根据基本不等式可得，， 所以.故选：C. 【变式训练2-3】下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，当时，，且，若，则，B不正确； 对于C，，则，即C不正确； 对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：D 【变式训练2-4】下列结论中正确的是（    ） A．当时，无最大值 B．当时，的最小值为3 C．当且时， D．当时， 【答案】D 【分析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C 【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误； 选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误； 选项C，令，此时，不成立，故C错误； 选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确 故选：D 【变式训练2-5】下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A，取，则，故A错. 对于B，取，则，故B错.. 对于C，取，则，故C错. 对于D，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故选：D. 【变式训练2-6】设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 【变式训练2-7】下列不等式的证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项. 【详解】对于A选项，当时，，所以A选项错误. 对于B选项，如时，，所以B选项错误. 对于C选项，由于，则，，所以C选项错误. 对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确. 故选：D 【变式训练2-8】给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据基本不等式可知，当成立时，则，可知、同号，据此可得出结论. 【详解】由基本不等式可知，要使得成立，则，所以，、同号，所以①③④均可以. 故选：C. 【变式训练2-9】若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0， ∴＜，故选：B 【变式训练2-10】（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 【变式训练2-11】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．若，则函数的最小值等于 C．若，则的取值范围是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”. 【详解】当时，重要不等式成立，故A正确； 选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误； 由于，当且仅当时等号成立. 因此， 即的取值范围是，故正确； 由于， 根据均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 即有最大值为，故D正确. 故选：ACD. 题型03：构造“公式型” 【典型例题】若x>1，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，化简可得，利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即取等号，的最小值为，故选：A. 【典型例题】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【答案】C 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当即时，取得等号，则，解得. 故选：C. 【变式训练3-1】设，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解 【详解】，， ，当且仅当， 即时取等号故选：A 【变式训练3-2】已知且，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，只需求的最小值，再根据基本不等式求解即可. 【详解】∵且，∴. 当且仅当即时取等号，此时取得最小值小3. 故选:A. 题型04：“和定求积”型 1.公式：若，则（当且仅当时取“=”） 推论：（1）若，则 (2) （3） 2. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。 【典型例题】若，，，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵，，∴，， ∴， 当且仅当时，取“=”，故选：D． 【典型例题】已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【答案】D 【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 【典型例题】已知，，，则的最大值为（       ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值 【详解】因为所以，从而． 当且仅当时等号成立. 故选：B 【变式训练4-1】若，则当取得最大值时，x的值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时取“=”. 故选：D. 【变式训练4-2】若，，且，则xy最大值为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】由，，且为定值，利用基本不等式求积的最大值. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 【变式训练4-3】已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴， 当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立． 故选：D. 【变式训练4-4】已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 题型05：“积定求和”型 【方法技巧总结】 1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。 【典型例题】已知为正实数，且，则的最小值是（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正实数且，可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是.故选：B. 【典型例题】已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由基本不等式求解． 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 【典型例题】若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 【变式训练5-1】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数运算可求得，再用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由已知得，. 因为，所以. 故. 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为3. 故选：C． 【变式训练5-2】若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：B 【变式训练5-3】已知函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件找出之间的关系式，然后消去一个元后运用基本不等式可得. 【详解】由题意不妨设，则， ，，．当且仅当时取等号， 故 故选：A． 【变式训练5-4】函数的最大值是（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】将函数等价变换为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：，， 则（当且仅当，即时，取等号）， 即当时，取得最大值. 故选：D. 题型06：对勾型凑配 1.对勾型结构： 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 【典型例题】已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 【典型例题】函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 【典型例题】已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令之后用基本不等式求函数的最值. 【详解】令 当且仅当即时取得. 故选：C 【典型例题】若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【变式训练6-1】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 故选：C 【变式训练6-2】不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 故选：B. 【变式训练6-3】已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C 添加常数构造“对勾型” 【典型例题】若在处取得最小值，则（       ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【典型例题】若实数，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】因为， 取等号时且，即，所以的最小值为， 故选：B. 【变式训练6-4】设，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解 【详解】， ， ， 当且仅当， 即时取等号 【变式训练6-5】已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 【变式训练6-6】若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的单调性求值域. 【详解】令，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又当时，，当时，， 故的值域为. 故选：B 题型07：“1”的代换：基础代换型 【典型例题】已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 【典型例题】已知x，y为正实数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【典型例题】设（为常数），且的最小值为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：先由题得到，再把化成 ，再利用基本不等式求函数的最小值. 详解：由题得， 所以= 点睛: (1)本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对该基础知识的掌握水平和转化能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 【变式训练7-1】若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 【变式训练7-2】已知两个正数a，b满足，则的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案． 【详解】解：根据题意，正数，满足， 则； 即的最小值是；故选． 【变式训练7-3】已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】，，，且， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：D. 【变式训练7-4】已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【详解】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值．故选:A. 【变式训练7-5】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是 ①已知，由，求得的最小值为2 ②由，求得的最小值为2 ③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】根据基本不等式求最值得条件：一正、二定、三相等逐一判断即可. 【详解】对于①，当与同号时，； 当与异号时，，故①不正确. 对于②，， 当，即，等号成立的条件不存在，故②不正确. 对于③，， 当且仅当取等号，由于，积不是定值，故③不正确； 故选：A 【变式训练7-6】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． （一）“1”的代换：分母和定型 【典型例题】若，则的值可以是 ． 【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可） 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则.故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可） 【典型例题】已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 【典型例题】若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 故 ， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故选：D 【变式训练7-1-1】函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 【变式训练7-1-2】已知，则的最小值为（    ）. A．9 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件. 【详解】.，且， ，当且仅当，即时，取得最小值2. 的最小值为.故选B. 【变式训练7-1-3】 的最小值为（   ） A．2 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先构造，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当，即，时“=”成立， 故的最小值为16. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题. 【变式训练7-1-4】当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用， 借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以,, 因为， 所以， ， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：B. 【变式训练7-1-5】函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B （二）一个分母构造型 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 【典型例题】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 【典型例题】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 【变式训练7-2-1】已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】实数，，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式训练7-2-22】已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 【变式训练7-2-3】若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：A. （二）两个分母构造型 【典型例题】已知，且，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2. 故选：A 【典型例题】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 【答案】B 【分析】利用得出，结合基本不等式求解. 【详解】因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 【变式训练7-3-1】已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为，，且， ∴ ，当且仅当，即，即时，等号成立．故选：C 【变式训练7-3-2】若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值. 【详解】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式训练7-3-3】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】因为，所以， 则 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 【变式训练7-3-4】已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【详解】易知 ，所以可得；当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以.故选：D 【变式训练7-3-5】若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 题型08：“1”的代换：两分母构造凑配系数型 【典型例题】已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可． 【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8， 令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8， ∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为.故选：A． 【典型例题】1.若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解： 【典型例题】不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】方程有两个不等的实数根， ， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 【典型例题】已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得. 【详解】因为，均为正实数，且，得， 所以， 又， 当且仅当即时取等号，所以. 故选：B. 【变式训练8-1】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用变形为，将变形后利用均值不等式求解. 【详解】因为, 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D 【变式训练8-2】已知正数，满足，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，利用基本不等式化简即可求得最值，并求得等号成立时的值. 【详解】依题意得，， 由，得. 因此 ，当且仅当， 即时取等号，结合，知，.故选:B. 【变式训练8-3】若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式有解，，且，，当且仅当，即时取“="，，故，即，解得或实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：利用的等式，结合基本不等式是解题的关键. 【变式训练8-4】已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】当时，，，故，不符合题意，故， ，当，即时等号成立. 故选：B 【变式训练8-5】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练8-6】设正实数满是 ，则的最小值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，利用“1”的用法，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得，所以， 因为，所以， 则 ， 即， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式训练8-7】若，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解： ， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故选：C. 【变式训练8-8】已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件. 【详解】非负实数，满足，则， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为.故选：D 【变式训练8-9】已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据值域计算，变换，利用均值不等式得到答案. 【详解】，当时，函数有最小值，故； 即， ， 当，即，时等号成立. 故选：. 【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 【变式训练8-10】已知，，且，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】，展开后利用基本不等式可求． 【详解】∵，，且， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为12． 故答案为：12． 题型09：“1”的代换：换元型构造 【典型例题】已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令，，则，即， ∴ ，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A. 【典型例题】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 【典型例题】已知，若，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解. 【详解】设， 由对应系数相等得 ，得 所以 整理得即 所以 .经验证当 时，等号可取到.故答案为： 【典型例题】已知均为正实数，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】将看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可. 【详解】设，， 原题转化为：已知，，且，求的最小值. 由. 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为4.故答案为：4. 【典型例题】已知且满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值． 【详解】解：， 令，， 则，，且， 所以 当且仅当时取等号，此时的最小值 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【变式训练9-1】已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则，由得， 故， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9，故选：B 【变式训练9-2】已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B 【变式训练9-3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设， 则且，解得. 所以， 因为，所以， 当时取等号，即且， 解得. 故选：B. 【变式训练9-4】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 【变式训练9-5】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果. 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 【变式训练9-6】已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令，，则， 即， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：A. 【变式训练9-7】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，所以， 令，则，且，所以， 当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值是. 【变式训练9-8】实数a，b满足，，，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】令，，则，，且，，， 所以， 当且仅当时取等号.故选：D. 【变式训练9-9】对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求的最大值，从而可求实数k的取值范围. 【详解】令，则， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 故选：B. 【变式训练9-10】已知实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解 【详解】解：实数，满足。化为：。令，，则 解得：， 则： 当且仅当，即时取等号所以的最小值为.故选：A. 【变式训练9-11】已知实数满足，且，则的值最小时，实数（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用换元法,设，即，故，然后利用基本不等式求最值即可． 【详解】设，解得 ，所以 ，即， 设，则，即， 当且仅当，即时取等号，即， 则的值最小时，实数，故选:． 【变式训练9-12】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果. 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 【变式训练9-13】设，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】由条件， 故可设，即， 由于，，故，解得 所以，， 所以,当且仅当时取等号. 故选：D. 【变式训练9-14】若实数、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则，，可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】令，，则，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为.故选：C. 【变式训练9-15】已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设，则， ， 则，则， 即有， 故 ， 当且仅当，即或时取等号， 验证，时，，则，符合题意，； 时，，则，，符合题意， 故选：C 【变式训练9-16】已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且 ，代入中得： 当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B 【变式训练9-17】已知实数满足，且，则的值最小时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用换元法,设，即，故，然后利用基本不等式求最值即可． 【详解】设，解得 ，所以 ，即， 设，则，即， 当且仅当，即时取等号，即， 则的值最小时，实数，故选:． 【变式训练9-18】若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】、，所以， 因为，所以 【变式训练9-19】已知为正实数，则的最小值为______. 【答案】. 【解析】令，则， 当且仅当，即时，等号成立。 【变式训练9-20】已知，，且，则的最小值是______. 【答案】 【解析】，，设，则， ∵，， ∴ 又 当时，，在题目要求范围内， 即 【变式训练9-21】已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 【答案】 【解析】将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值. 【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即 令2，所以 所以x2+y2+x+4y 由均值不等式，当且仅当取等号 所以x2+y2+x+4y的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题. 【变式训练9-22】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先变量替换为，变形后得，再利用换元，结合基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，得， 所以， 记，所以，所以，且， 所以 ，当且仅当即等号成立， 此时，.故答案为： 【变式训练9-23】.若，且，则的最小值为_____ 【详解】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为． 题型10：“1”的代换：分离常数型 【典型例题】已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】x，y为正实数，利用基本不等式求的最小值. 【详解】x，y为正实数，则，当且仅当，即时等号成立. 最小值为6， 故选：A 【典型例题】已知正实数，且，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，，故， 所以， 故， 当且仅当时取得等号，故选：C 【典型例题】若，，则的最小值是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可 【详解】因为，，所以 (当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20. 故选：C 【变式训练10-1】设，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最大值为 【答案】A 【分析】对变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，故， 即取等号.故选：A. 【变式训练10-2】设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，且，所以， 所以 当且仅当，即，或时取等号； 故选：D 【变式训练10-3】已知，则的最小值是（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】，根据结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：， 因为，又，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 即的最小值是7.故选：C 【变式训练10-4】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求的代数式整理为，再利用的代换即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，的取得最小值为，故选：D. 【变式训练10-5】已知为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为为正实数且， 所以， 所以， 因为，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立；故选：D 【变式训练10-6】已知，则的最小值为（       ） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 由均值不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3， 故选：A 【变式训练10-7】已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 则． 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是． 故选：A. 【变式训练10-8】已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：D 【变式训练10-9】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】由于，，且， 则 ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为.故选：C. 【变式训练10-10】已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，，， ，当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为.故选：A 【变式训练10-11】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，，则，因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为.故选：B. 【变式训练10-12】已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值. 【详解】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 题型11：“1”的代换：复杂题 【典型例题】若，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出． 【详解】，且，，，， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为，故选：D． 【典型例题】若正实数满足.则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将化为，然后利用带入可化为，最后妙用“1”可得. 【详解】已知且，整理得...① 而.将①式代入得. 又，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为故答案为： 【典型例题】若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为 ， 【答案】 【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并结合即可求得，便可得出. 【详解】由可得， 由可得，， 所以 ，当且仅当时，等号成立； 即的最小值为； ， 所以，即； 当且仅当时，等号成立；即的最大值为； 所以.故答案为： 【变式训练11-1】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知，，，则， 而，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为： . 【变式训练11-2】设，且，，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】对代数式进行变形处理利用基本不等式即可得解. 【详解】当无限接近0时，为正数，趋近于正无穷大，所以无最大值， 当且仅当即时取等号，即最小值为2故选：C 题型12：“1”的代换：有和有积无常数型 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 【典型例题】若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 【典型例题】已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由可得，， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为9， 故选:C. 【典型例题】若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 【典型例题】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， ∴，当且仅当且时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D． 【变式训练12-1】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是. 故选：C. 【变式训练12-2】若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 【变式训练12-3】若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将，变形可得，构造基本不等式的条件可求的最小值为4，由此可得，由此解得的取值范围． 【详解】根据题意，若两个正实数，满足，变形可得，即， 则有，当且仅当时等号成立， 即的最小值为4﹒ 若不等式恒成立，则，解可得﹒ 故选：B． 【变式训练12-4】若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，则，又，是正数. 所以， 当取得等号，即且时取等号， 所以的最小值为9，故选：B. 【变式训练12-5】已知，则和的最小值分别是（       ） A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64 【答案】D 【分析】运用基本不等式，已知等式进行求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即 当时取等号， 因为， 所以，因此的最小值为； 因为， 所以， ，当且仅当时取等号，也就是当时等号，即时取等号，因此的最小值为， 故选：D 【变式训练12-6】已知，，且满足，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时取等号． 所以的最小值为.故选：C 【变式训练12-7】若实数、、，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D. 题型13：“1”的代换：有和有积有常数型 基本规律 求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： （一） 有和有积有常数型：求“积”型 【典型例题】设，，，则ab的最小值是（       ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可. 【详解】∵，， ∴， 令， 则，即， 解得， ∴，当且仅当时，等号成立. 故选：D 【典型例题】已知，，且，则的最大值为____________． 【答案】2 【分析】根据基本不等式得，解之可求得答案． 【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为2，故答案为：2． 【变式训练13-1-1】若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式将等式转化为关于的不等式即可求解. 【详解】， ，即. ，又因为a，b为正数，所以. ，即，当且仅当等号成立， 故的取值范围是. 故选：C. 【变式训练13-1-2】若正实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解. 【详解】由可得， 因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以，解得：，所以， 当且仅当即时等号成立，的最小值为.故选：D. （二）有和有积有常数型：求“和”型 【典型例题】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，再利用基本不等式即得. 【详解】∵，，， ∴， ∴，当且仅当，即，时“”成立． 故选：A． 【典型例题】若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，且，则，即， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 整理得，即， 因为，所以，所以，解得.故选：D 【变式训练13-2-1】若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合基本不等式得到，解不等式即得解. 【详解】由得， 因为， 所以，所以， 所以或（舍）， 所以.因为存在实数，使不等式成立，所以， 所以，所以或. 【变式训练13-2-2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 【变式训练13-2-3】已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解. 【详解】注意到，等号成立当且仅当， 从而， 因为，是正实数， 所以解得或（舍去）， 即的最小值是4，等号成立当且仅当. 故选：C. 【变式训练13-2-4】已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解. 【详解】根据题意，∵ ，当且仅当时等号成立， 令，有 ， 解得 ，即，； ， ，当且仅当，即，时等号成立， ； 故选：C. 【变式训练13-2-5】已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，得，又，，即，， 则，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，故选：C. 【变式训练13-2-6】若，且，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，且，则，即， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 整理得，即， 因为，所以，所以，解得.故选：D 【变式训练13-2-7】已知，，，则（ 多选题 ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项：由均值不等式得，则， 令，，解得，即，， 当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又， ∴，解得，（舍）， 当且仅当，时，等号成立，故B正确； 对于C，D选项：令，，则， 则可化为，整理， ∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型14：整体化解不等式型 【典型例题】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 【变式训练14-1】已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 【答案】C 【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值. 【详解】利用，则，整理得， 当且仅当，即时取得等号，即的最小值为； 利用，，即，整理得，即， 当且仅当时取得等号，故的最大值为. 故选：C 题型15：分母构造型：分离型 型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 【典型例题】若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】令，所以， 设，， 函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增， 因为，，所以函数在时，最大值为， 要想不等式在区间上有解，只需， 故选：C 【典型例题】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值.故选：A 【典型例题】函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】分离常数后，用基本不等式可解. 【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立. （方法2）令，，，. 将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D 【变式训练15-1】若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 【变式训练15-2】已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 【变式训练15-3】 “”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意知，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为， 当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立， 反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练15-4】若，则有（       ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解. 【详解】又∵－4<x<1，∴x－1<0． ∴－(x－1)>0．∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． 所以有最大值-2，无最小值.故选：D 【变式训练15-5】已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 【变式训练15-6】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 题型16：分母构造型：多元分离型 基本规律 多元分式型，构造分母达到分离的目的。 1. 换元构造 2. 常数代换狗仔 3. 凑配构造 【典型例题】已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值. 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 【典型例题】若，，则的最小值是（       ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可 【详解】因为，，所以 (当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20. 故选：C 【变式训练16-1】已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可. 【详解】由已知条件得，， 当且仅当，即，时取等号， ∴ 的最小值为6；故选：B. 【变式训练16-2】已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为.故选：B. 题型17：复杂分式构造 【典型例题】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为1. 故选：B 【变式训练17-1】函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 【变式训练17-2】已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 【变式训练17-3】若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 题型18：均值易错：连续均值 【典型例题】已知，，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】D 【分析】基本不等式乘1法，构造法解决即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件） 所以， 当且仅当，即且时，等号成立， 故最小值为，故选：D 【典型例题】已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，．又，而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为故选： 【典型例题】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 【典型例题】已知a，b∈R，且，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】两次利用基本不等式即可得出结论. 【详解】∵， ∴ ，当且仅当a＝1＝b时取等号， 其最小值是2，故答案为：2． 【变式训练18-1】设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号 所以的最小值是，则的最大值为. 故选A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目. 【变式训练18-2】已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因，则， 当且仅当且，即时取“=”， 所以当时，取最小值. 故选：B 【变式训练18-3】已知，，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A选项正确. 【详解】当时，，，所以CD选项错误. 当时，，，所以B选项错误. ， 即当且仅当或时等号成立. 则，，解得. 故选：A 【变式训练18-4】设，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 所以，（当且仅当，即时取等号）. 故答案为：D 【变式训练18-5】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为．故选：A． 【变式训练18-6】已知，，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】D 【分析】基本不等式乘1法，构造法解决即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件） 所以， 当且仅当，即且时，等号成立， 故最小值为， 故选：D 【变式训练18-7】已知实数x，y满足，若，则z的最小值是 【答案】8 【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时． 故答案为：8． 【变式训练18-8】设，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当取等号，即取等号， 所以的最小值为6.故答案为：6 题型19：因式分解型 【典型例题】已知实数，满足，，且，则的最大值为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解. 【详解】解：由，变形为，设， ∵，当且仅当时，取等号，即， ∴，∴，即，，∴，∴， 此时，，即，时，的最大值为8.故选：B. 【典型例题】已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得，结合条件可得，进而即得. 【详解】因为，由，可得，又， 可得，化为， 解得，则的取值范围是.故选：A. 【典型例题】已知正数，满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【解析】将已知等式化为，所求式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：10 【变式训练19-1】已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设，则， ， 则，则， 即有， 故 ， 当且仅当，即或时取等号， 验证，时，，则，符合题意，； 时，，则，，符合题意， 故选：C 【变式训练19-2】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 即，所以，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4. 故选：D. 【变式训练19-3】已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【变式训练19-4】已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 【变式训练19-5】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值； 法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值. 【详解】法一：∵， ∴可设，， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，， 代入已知等式得，， ∴ ， 其中，. ∴，所以的最小值为.故选：D 【变式训练19-6】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 【变式训练19-7】已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可 【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 【变式训练19-8】若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得，设，其中. 则，从而， 记，则，不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：. 【变式训练19-9】已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】转化条件为，令，进而可得，转化条件为，结合基本不等式即可得解. 【详解】已知，由得，即， 令，所以，所以， 故 ， 当且仅当即时，取等号.故答案为：． 题型20：消元型 【典型例题】正实数，满足，则的最小值是（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意正数满足，可得，消元化简得，，再利用基本不等式，即可求其最小值. 【详解】因为正数满足，所以， 则，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，故的最小值为.故选：C. 【典型例题】已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（       ） A．24 B．313 C．913 D．25 【答案】D 【分析】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2＝0表示出b，求出a的范围，然后将（a+1）（b+2）中的b消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值． 【详解】因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，所以b，又a＞0，b＞0，所以0，解得a＞2， 又b1，所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4 ＝3a7＝3（a﹣2）13， 当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立， 即（a+1）（b+2）的最小值为25．故选：D． 【典型例题】已知，，，则的最小值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】将转化为，转化为即可利用基本不等式进行求解． 【详解】将转化为， ， 当且仅当，时取等号，即的最小值为2。故选：． 【典型例题】若实数且，则的最小值为 【答案】 【解析】根据，，变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】实数且， 则 当时，即 时取得等号， 所以的最小值为.故答案为： 【变式训练20-1】已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可. 【详解】因为ab+a+2b=7，所以，， 所以，当且仅当时等号成立，故选：A 【变式训练20-2】已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 【变式训练20-3】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 【变式训练20-4】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 【变式训练20-5】若实数m，n满足，则的最大值为（    ）． A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由代入得：，再由均值不等式即可求出最值. 【详解】由可得：，所以即， ，当且仅当即时取等. 故选：D. 【变式训练20-6】若，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， ，当且仅当时，等号成立． 故答案为：3． 【变式训练20-7】已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 A．4 B．.6 C． D． 【答案】D 【解析】根据代入，变形为，等价处理成，利用基本不等式求最值. 【详解】由题：ab，a，b∈（0，1），， ，当且仅当时，取得最小值， 解得当时，取的最小值.故选：D 【变式训练20-8】若实数a，b∈（0，1）且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先根据条件消掉b，将代入原式得，并用“1”的代换法，最后应用基本不等式求其最小值． 【详解】解：因为ab＝，所以b＝， 因此＝，＝＝＝＝ ＝ ＝＝4+， 当且仅当a＝，取“＝”，所以的最小值为， 故答案为： 【变式训练20-9】已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解. 【详解】根据题意可得，由，所以， 由，可得，即， ， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B. 【变式训练20-10】已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】由题意，可知，且，则， 则， 当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A. 【变式训练20-11】已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，得， 所以， 记，所以， 所以，且， 所以 ，当且仅当即等号成立， 此时 ，     .故选：A. 【变式训练20-12】已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可. 【详解】因为ab+a+2b=7，所以，， 所以，当且仅当时等号成立，故选：A 【变式训练20-13】已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解. 【详解】根据题意可得，由，所以， 由，可得，即， ， 【变式训练20-14】已知，则的最小值是（ ） A．14 B． C．8 D． 【答案】A 【解析】因为，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”，所以当时，取最小值14.故选：A 【变式训练20-15】已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值. 【详解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得 因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知 ，由,结合基本不等式可得 ，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。 【变式训练20-16】若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【详解】因为两个不等的实根是和，不妨令， 故可得，解得，则=，故选：C. 【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 【变式训练20-17】已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵∴且，∴， 当且仅当，即时取等号.∴的最小值为. 【变式训练20-18】已知，且，则的最小值为_______________. 【答案】10 【解析】因为,所以, 所以 , 因为,所以, 当且仅当,解得,此时,所以的最小值为:10. 【变式训练20-19】若均为非负实数，且，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】由条件可得，然后将变形为，运用基本不等式即可求出. 【详解】因为，且均为非负实数，所以 所以，当且仅当， 即时取得最小值，所以的最小值为1，此时。 【点睛】当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法. 【变式训练20-20】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】用来表示得，代入得，再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】,，则有， ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故选：B. 题型21：三元型不等式 【典型例题】已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】 利用基本不等式可求最大值. 【详解】 ，，， 所以， ， 因此所求代数式的最大值为1． 故选：A. 【典型例题】已知且，，，则的最小值为 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【详解】∵，∴， ∵， 即,即， ∴， 即解得或(舍)， 当且仅当时取等号． 故选A. 点睛：由≥b≥c，+b+c=12可得≥4，利用（-b）（-c）≥0得出，故而45≥bc+（12-）=，从而解出的范围． 【典型例题】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为a，b，c均为正数， 所以有， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故选：C 【典型例题】已知a，b，，，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解. 【详解】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 【典型例题】已知，，满足，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数，， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 【变式训练21-1】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为1，故选：B 【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键. 【变式训练21-2】已知实数、、满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式可得，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为，所以，， 因为，可得，故当时，取最大值. 故选：A. 【变式训练21-3】已知正数满足，则的最小值 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，题干条件变形利用基本不等式可得，代入所求式子化简整理，再次利用均值不等式即可求解. 【详解】因为正实数，且， 所以，当且仅当时取等号， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故选：． 【变式训练21-4】已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决 【详解】由，可得， 则，则，令，则 ， 又在单调递增，在单调递减 ，， 则，即故选：C 【变式训练21-5】已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设，，，则，，， 且，，， ∴，，， ∴， 令 ，∴. 当且仅当，即，即时等号成立. （如，即时等号成立）.∴的最小值为；故选：B． 【变式训练21-6】设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　） A．8 B．4+2 C．5+2 D．4 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后利用重要不等式和基本不等式可求出的最小值． 【详解】解：，，，均大于零且，， ， 当且仅当，，，即，时取等号， 的最小值为．故选：． 【变式训练21-7】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：，设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为，故答案为： 【变式训练21-8】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为a，b，c均为正数， 所以有， 当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C 【变式训练21-9】实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为1，故选：B 【变式训练21-10】若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：、、均大于0, 当且仅当时取“=”, 的最大值为.故选:C 【变式训练21-11】已知都是正实数，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据解：都是正实数，且，利用基本不等式，由求解. 【详解】解：因为都是正实数，且， 所以， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 【变式训练21-12】已知都是正实数，若，则 的最小值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立. 【详解】由可知 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 以上三个不等式两边同时相乘，可得 （当且仅当时等号成立） 故选：D 【变式训练21-13】设正实数、、满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为.故选：C. 【变式训练21-14】若a，b，c均为正实数，则三个数，，（       ） A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，，至少有一个不小于2，从而可以得结论． 【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误； B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误； C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误. 由题意，∵a，b，c均为正实数， ∴． 当且仅当时，取“=”号， 若，，，则结论不成立， ∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确； 故选：D． 【变式训练21-15】正实数满足，当取得最大时，的最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用均值不等式得到最值时，带入数据化简得到，根据二次函数性质得到最值. 【详解】，故， ， 当且仅当，即时等号成立，此时，故， ， 故当，即，，时有最大值为. 故选：C. 题型22：万能“K”型 【典型例题】已知正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以, 所以， 即 所以，解得， 当且仅当 ，解得 或时等号成立， 所以当时有最大值为9. 故选:D. 【典型例题】已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，可得， 则有，解得， 当且仅当，取到最小值. 故选：B. 【典型例题】已知正数满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案. 【详解】令，因为，，所以. 则， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练22-1】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值. 【详解】解：，， ， 当且仅当时等号成立，，解得， 的最小值为故选：C 故选：A 【变式训练22-2】已知、，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得，将题中等式变形为，在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范围. 【详解】、，，，， ，所以，即， ，解得.当且仅当时，；当且仅当时，. 因此，的取值范围是.故答案为：. 【变式训练22-3】已知正数、满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值. 【详解】因为，所以 即，化简得，① 因为，（当且仅当时取等号）， 所以①式化为，即 解得，由，解得，所以 当且时，的最大值为. 故答案为：. 【变式训练22-4】已知为正数，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】等式化为，两边平方，令，由基本不等式可得，即可求出. 【详解】因为，所以， 所以， 即，令， 则，而，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以的最大值为8. 故答案为：． 【变式训练22-5】已知，若，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：设，则，∴ ∴整理得：，由得 ，当且仅当时取“=”.∴， 【变式训练22-6】已知正数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】，令，，，， 时等号成立，可得最大值为9，故答案为9. 【变式训练22-7】已知，，，则的最小值为 A． B． C． D．4 【答案】C【详解】由题意，知，可得， 则， 当且仅当时，即时取得等号， 所以，即的最小值为，故选C． 【变式训练22-8】已知，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C详解：设，则，，即 整理得：当且仅当 当且仅当时取. 解得或（舍去） 即当时，取得最小值8.故选C. 【变式训练22-9】已知（），则的最小值为（ ） A． B．9 C． D． 【答案】B【解析】，两边同时乘以“”得：，所以，当且仅当时等号成立，令，所以，解得或，因为，所以，即，故选B. 题型23 “平方法” 【典型例题】已知，那么的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将不等式进行等价变形，根据均值不等式即可求得最大值. 【详解】由题可知： 由均值不等式可得 故 ， 当且仅当时取得最大值； 故. 故选：B. 【点睛】本题考查利用均值不等式求代数式的最大值，属基础题. 【变式训练23-1】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合基本不等式化简即可求解． 【详解】， 两边平方得：， ， ， ， 当且仅当，等号成立，故的最小值为 故选：B 【变式训练23-2】对任意的正实数，，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得恒成立，然后利用基本不等式求最值即得. 【详解】依题意得恒成立， 因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 题型24：齐次型 【典型例题】若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D 【变式训练24-1】若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 题型25：无条件型 【典型例题】设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【变式训练25-1】对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 题型26：“不等式链” 【典型例题】若，且，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】D 【分析】根据、、，利用基本不等式依次求解最值即可. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A错误； 对于B，（当且仅当时取等号），，B错误； 对于C，（当且仅当时取等号），，C错误； 对于D，（当且仅当时取等号），，D正确. 故选：D. 【典型例题】若，下列结论错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 【答案】C 【分析】根据均值不等式，重要不等式及其变形，逐项分析即可求解. 【详解】因为，所以， 当且时，的最大值为1，当且时，的最小值为，故A、B正确； 由，可得，当且仅当时取等号，C错误； 因为，当且仅当时取等号，D正确， 故选：C． 【变式训练26-1】已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正数，，满足， 对于A，，当且仅当取等号，A正确； 对于B，，当且仅当取等号，B错误； 对于C，，当且仅当取等号，C正确； 对于D，，当且仅当取等号，D正确. 故选：ACD 【变式训练26-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取“”，A选项正确； 对于B，因为（等号取不到），B选项错误； 对于C，， 当且仅当时取“”，C选项错误； 对于D，，所以， 当且仅当时取“”，D选项正确； 故选：AD. 均值不等式的应用 应用01：比大小 【典型例题】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系． 【详解】分别对，，两边取对数，得，，． ． 由基本不等式，得: ， 所以， 即，所以． 又，所以. 故选：D． 【典型例题】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较. 【详解】由题意，，，， 由换底公式，， ， 由于，根据基本不等式，， 故，即，于是.故选：A 【变式训练1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】设，则在上单调递减， 所以，所以，，， ， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可. 【变式训练1-2】若且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将与常数进行比较，然后通过与比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后通过放缩 【详解】，可得：，， 可得：且 由基本不等式，可得： 又，可得： ，且， 可得：，即 故选：A 应用02：利用均值不等式求恒成立参数型 【典型例题】已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 【典型例题】若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立，由，可得，当且仅当，即时，取得等号， 则，解得.故选：C. 【典型例题】对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 【变式训练2-1】不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】解：因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 【变式训练2-2】已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，．又，而， 当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 【变式训练2-3】当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果. 【详解】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即．故选：A. 【变式训练2-4】当不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可. 【详解】恒成立，即， 又， 上述两个不等式中，等号均在时取到，， ，解得且，又， 实数的取值范围是.故选：B. 【变式训练2-5】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（    ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【答案】C 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当即时，取得等号，则，解得.故选：C. 【变式训练2-6】已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将不等式左边变形后利用基本不等式求出最小值为，再解不等式可得，从而可得结果. 【详解】不等式对任意的正实数x，y恒成立， 则对任意的正实数x，y恒成立， 又，，即， 所有，得，即正实数m的最小值是4．故选：B. 应用03：在常用逻辑用语中的应用 【典型例题】若存在，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意得到任意的，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案. 【详解】由题意得：任意的，成立是真命题， 故在上恒成立， 由基本不等式得：，当且仅当， 即时，等号成立， 故， 故选：A 【变式训练3-1】设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，若，则 ，当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，，但，必要性不满足， 故选：B． 【变式训练3-2】“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据已知可求出“在上恒成立”的等价条件.原式可转化为在上恒成立，令，，则只需即可.根据基本不等式，可求得，所以“在上恒成立”的等价条件时，即可得出结果. 【详解】当时，恒成立. 所以在上恒成立， 可转化为在上恒成立， 令，， 则只需即可. 又， 当且仅当，且时，即时等号成立， 所以. 又是的必要不充分条件， 所以，“”是“在上恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 应用04：在函数中的应用 【典型例题】奇函数在上单调递增，若正数，满足，则的最小值（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据结合基本不等式即可得解. 【详解】因为奇函数在上单调递增，且， 所以，故，即， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练4-1】设二次函数（）的值域为，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞）， 所以，ac=4，c= ， 所以= += =1+ 由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号） 所以1+≤1+ =． 故答案为C 【变式训练4-2】已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】先判断函数是严格递增的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求. 【详解】， 故函数关于对称，又在上严格递增； 即 当且仅当时取得. 故选：B. 应用05：在解三角形中的应用 【典型例题】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则最小值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．36 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】在中，，由正弦定理得， 即，由余弦定理得，而，则， 因角A的内角平分线的长为3，由得：， 即，因此，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值27. 故选：C 【变式训练5-1】已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案. 【详解】已知 由正弦定理可知：， ， 整理得：， 两边同除得：， 根据余弦定理得：，即， ，，，当且仅当，即时等号成立. 又，当且仅当时，等号成立. 综上所述：且， 故得：，此时且， ，. 故选：B 【变式训练5-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】C 【分析】首先根据等面积法建立的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可. 【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则. 则，， 而,代入化简得，，即.则， 当且仅当，即时，等号成立.故最小值为. 故选：C 应用06：在平面向量中的应用 【典型例题】已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合数量积的定义和数量积的运算律整理可得，再利用不等式运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵，则，即， ∴， 又∵，当且仅当时等号成立， 即，整理得：，则， ∴当时，的最大值为2． 故选：B． 【变式训练6-1】已知向量，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得满足的等量关系，结合基本不等式，即可求得结果. 【详解】根据题意，，即，则，又， 故 ， 当且仅当，且，即时取得等号. 故选：A. 【变式训练6-2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值. 【详解】在中，E为重心，所以， 设，，（，） 所以，，所以. 因为M、E、N三点共线，所以， 所以（当且仅当，即，时取等号）． 故的最小值是3． 故选：C． 应用07：在数列中的应用 【典型例题】已知正项等比数列满足（其中），则的最小值为（    ）． A．6 B．16 C． D．2 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为等比数列满足， 所以由等比数列的性质，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：D． 【变式训练7-1】已知，，是与的等比中项，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项定义可求得，将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由等比中项定义知：，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为. 故选：B. 【变式训练7-2】已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】各项为正的数列， ， 时，， 即，化为：， ，， 又，解得， 数列是等差数列，首项为1，公差为2． ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为2． 故选：D． 应用08：在立体几何中的应用 【典型例题】圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆柱底面半径为，圆柱的高为，得到，利用圆柱的体积公式结合均值不等式计算得到答案. 【详解】设圆柱底面半径为，圆柱的高为，则， ，当时等号成立. 故选：A 【变式训练8-1】已知三棱柱ABC—A1B1C1的外接球的半径为R，若AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，则三棱柱ABC—A1B1C1的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设三棱柱的高为，底面三角形的边长为，根据勾股定理结合均值不等式得到，再计算侧面积即可. 【详解】设三棱柱的高为，底面三角形的边长为， 如图所示：易知， 在直角中：，即， 即，当，即时等号成立. 侧面积. 故选：C 【变式训练8-2】已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球的半径为R，圆柱的底面半径和高分别为r，h.由圆柱的侧面积公式可求出，再由均值不等式可求出S的最小值. 【详解】设球的半径为R，圆柱的底面半径和高分别为r，h. 由题意，得，得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 应用09：在直线和圆中的应用 【典型例题】若直线 经过圆的圆心，则 的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】由圆的方程与基本不等式求解， 【详解】圆的圆心为， 则，， 当且仅当时等号成立， 故选：D 【变式训练9-1】已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值. 【详解】由圆 ​， 圆​:​， 得圆 ​与圆​的公共弦所在直线方程为:​， 由​， 解得​， 即​， 又​在直线​上， ​， 即​， 所以，当且仅当时等号成立， ​的最大值为​. 故选: D​. 【变式训练9-2】若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（    ） A．25 B． C．17 D． 【答案】B 【分析】首先利用对称点的求法，表示出对称点坐标，再代入中，得到，再利用基本不等式中的乘法，即可求得. 【详解】设关于直线的对称点为，依据题意可得： ，解方程组得，又对称点在直线上，代入可得 ，且在第一象限，则，则，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：B 应用10：在圆锥曲线中的应用 【典型例题】已知椭圆（）的离心率为，直线交椭圆于两点，点在椭圆上（与点不重合）.若直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设点，然后列出方程利用点差法表示出，根据离心率计算出结果 变换，在利用基本不等式求最值 【详解】设，，则， ∵点，都在椭圆上， ∴， 两式相减得， ∴， 即. ∴. 当且仅当时取“＝”， 故选：A. 【变式训练10-1】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线方程求出点，的坐标，利用三角形面积求出，再根据基本不等式求最值得答案． 【详解】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为， 分别将，代入可得， 即，， 则， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为2，可得双曲线的焦距的最小值为. 故选：B． 【变式训练10-2】双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】由题意利用均值定理可得，再利用双曲线的几何性质求解即可. 【详解】设， 则，，所以， 将曲线方程代入得， 又由均值定理得，当且仅当，即时等号成立， 所以离心率， 故选：B 权方和不等式 【典型例题】若正数满足，则的最大值为（　　） A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7 解：∵正数满足，∴，解得， ∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故选：B． 权方和： 【变式训练1】已知为正数，且，则的最大值为 ． 【答案】试题分析：因为，所以，所以，即，令，则 ，而，所以，即，故应填． 权方和： 【变式训练2】已知实数且，则的最小值为__________． 【答案】【详解】令，，∴，∴ ， 当且仅当，即，即时等号成立. 的最小值为，故答案为. 权方和： 【变式训练3】已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【详解】由题意知，可得：， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为。故选：A． 权方和：.当且仅当时，即时取等号 基础过关练 1.当时，的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】依据均值定理去求的最小值即可. 【详解】由（当且仅当时等号成立．） 可得当时，的最小值为 故选：D 2.函数的最小值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求函数的最小值. 【详解】因为，所以，，利用基本不等式可得 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 3.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式即可求解. 【详解】∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，即，即最小值为. 故选：D. 4.已知x>0，y>0，且xy=10，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】因为x>0，y>0，且xy=10，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为4，故选：C 5.已知则函数的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据基本不等式可求得结果. 【详解】因为所以， 当且仅当，即时，等号成立.故选：C. 6.已知，则的最小值为（       ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由已知得：，且， ∴当且仅当时等号成立. 故选：B. 7.已知，，，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由展开利用基本不等式可求解. 【详解】因为，，，则， 所以 ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 8.已知都是正数，且，则的最小值为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解. 【详解】由题意知，，， 则 ， 当且仅当时，取最小值. 故选：C． 9.已知，且，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A. 10.已知，则的最大值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，从而可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 即，则， 所以，又，所以，所以最大为3. 故选：C. 11.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得． 【详解】因为， 所以，当且仅当时取等号． ，解得或（舍去）， 所以，即的最小值.4．此时． 故选：C． 12.已知正数满足，则的最大值是（       ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 因此 ， （当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号）， 所以. 故选：B. 13.负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故的最小值为.故选：A. 14.已知正数x，y满足，则的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令，，则， 即， ∴ ，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A. 15.设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，根据已知应用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，，∴，又x，y，z为正实数，则， ∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值是4.故选：A 能力提升练 1. ，在处取最小值，则（       ） A．1 B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解，注意“一正二定三相等”，求出的值 【详解】∵ ∴有基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立 故选：C 2.函数y＝3x2＋的最小值是(       ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立.故选：. 3.已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（       ） A．25 B．50 C．20 D． 【答案】B 【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果. 【详解】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50， 当且仅当m=n=±时等号成立. 所以mn的最大值是. 故选：B 4.已知正数，满足，则的最小值是（       ） A．10 B．20 C．15 D．25 【答案】B 【解析】根据题中条件，由基本不等式，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 5.若，则函数的最小值为（       ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C 6.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用基本不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故， 故选：D. 7.已知，且 ，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】 ， 当且仅当，即，又，所以时，等号成立. 故选：C 8.设，为正数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】∵， ∴，即， ∴ ，当且仅当，且时，即 ，时等号成立.故选：. 9..若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（       ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.” 【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴， ∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3. 故选：C. 10.若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 【答案】D 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值. 【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立． 故选：D 11.已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式即可. 【详解】解：正实数，满足等式 （当且仅当时取等号）令则 或（舍弃）故选：． 12.已知两正实数a，b满足，则的最小值为（       ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当时等号成立. 故答案为：B 13.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【分析】根据，变形为，然后由可得，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D. 14.实数a，b满足，，，则的最小值是（       ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，，则，，且，，， 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值是，故选：C. 15.若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值． 【详解】解：根据   ，当且仅当时，取等号， 化简可得，因为，所以，， 所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号， 又因为恒成立，所以，即k的最大值是4 培优拔尖练 1.已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意可知，为真命题， 由于时等号成立， 所以. 故选：D 2.．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【答案】C 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当即时，取得等号，则，解得. 故选：C. 3设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果 【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)， 所以，则，所以，所以故选：D. 4.已知，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.故选：C 5.若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】令，所以， 设，， 函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增， 因为，，所以函数在时，最大值为， 要想不等式在区间上有解，只需， 故选：C 6.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（       ） A．－ B． C． D．－4 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b) ＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立， 因此有－－≤－，即－－的上确界为－．故选：A 7.若，则的最小值为（       ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故选：A 8已知正实数满足，则的最小值为（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 9.已知，条件，条件，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答. 【详解】因为，由得：， 则， 当且仅当，即时取等号，因此，， 因，，由，取，则，，即，， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 10.若正实数，满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对等式直接利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】， ， 当且仅当，即等号成立， 故选：B 11.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围． 【详解】解：，又，，令， 则，，即，当且仅当时，取等号， 的取值范围是，．故选：A． 12.若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得. 【详解】因，且，则，即有，同理， 由得：， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为.故选：D 13.已知正数，满足，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解. 【详解】根据题意可得，由，所以， 由，可得，即， ， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B. 14.已知实数，则的最小值是（       ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，设，化简后用基本不等式得最小值． 【详解】因为，设，则， ． 当且仅当且即，，时等号成立， 故选：D． 15.已知，，，则 的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用 ，然后利用，将化为，再利用基本不等式求出其最小值，从而得到，再化为积为定值的形式后根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为，，，且， 则 ， 由，可得， 当且仅当时，取得等号， 则，当且仅当时，取得等号，则所求的最小值为． 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $