第01讲 抛物线定义方程及简单几何性质 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线的定义、标准方程、几何性质等核心考点，按“定义-方程-性质-应用”逻辑层次构建知识体系，通过思维导图梳理脉络、高考分析明确考向、知识要点夯实基础、解题策略提炼方法、题型归纳强化训练，系统帮助学生突破定义应用、焦点弦计算、最值求解等难点。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“定义互化”策略解决距离问题，如利用抛物线定义将焦半径转化为到准线距离，培养学生转化思想。设置基础到综合的分层变式训练，配合典型例题精讲，确保高效突破高考高频题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 抛物线的定义方程性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：抛物线的定义理解 8 题型02：抛物线定义的应用 9 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 13 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 17 题型05：动点轨迹法 18 题型06：抛物线的简单几何性质 22 题型07：根据抛物线的方程求参数 25 题型08：抛物线的焦半径公式 27 题型09：抛物线对称性 34 题型10：抛物线最值问题 35 题型11：抛物线中的范围 40 题型12：抛物线的实际应用 41 1. 高频考点：定义应用、标准方程求法、焦点/准线/焦半径，选择填空必考。 2. 解答题常结合直线考查弦长、定点、最值、范围，难度中等。 3. 侧重数形结合、转化思想，多与向量、不等式综合。 1. 熟记抛物线定义、四种标准方程及对应焦点、准线。 2. 熟练运用定义实现抛物线上点到焦点/准线距离互化。 3. 掌握基本几何性质，能快速求解焦半径、弦长、最值。 4. 会联立直线与抛物线方程，处理交点、韦达定理相关问题。 知识点一：抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点二：抛物线的标准方程 1、标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 参数方程 的参数方程为（参数） 3.知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 知识点三：抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点四：求抛物线标准方程的方法 1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； （2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 知识点五：二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义x y O F A B M N α 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4） 的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 5、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 1. 遇焦点/距离优先用定义，化曲为直求最值、轨迹。 2. 先定位开口方向，再设对应标准方程，待定系数求参数。 3. 焦点弦问题：活用焦半径公式、焦点弦结论简化计算。 4. 直线与抛物线联立：设点设线，巧用韦达定理，注意判别式、斜率不存在情况。 5. 最值问题：几何法（定义）优先，其次函数法。 题型01：抛物线的定义理解 【典型例题1】动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 【典型例题2】抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】设，由抛物线方程化为，得焦点，准线， 由抛物线定义可得，解得. 【典型例题3】抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 【典型例题4】已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【答案】 【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 【变式训练1-1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-3】抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A． B． C．2 D．4 【变式训练1-4】抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A． B． C．2 D．4 【变式训练1-5】（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A． B． C． D．的坐标为 【变式训练1-6】在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【变式训练1-7】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【变式训练1-8】抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 题型02：抛物线定义的应用 抛物线“焦准”互化： 1. 遇到抛物线，涉及到“焦点（或者到点距离） + 距离”，则思考“焦准”互化。 2. 抛物线上任意一点 P到焦点 F 的距离 = 到准线 l 的距离：∣PF∣=d(P,l)这就是焦准互化。 3.看到焦点就想准线，看到距离就想转化，涉及到焦半径就变坐标，焦点弦用坐标公式或者极坐标角度公式。 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】由题意得，，抛物线中， 所以，所以所求距离为. 故选：B 【典型例题2】已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上，， 所以，所以， 所以，所以，解得. 故选：C    【典型例题3】设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 【典型例题5】已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    【变式训练2-1】已知为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到轴的距离为2，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C．6 D．4 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ） A． B． C．6 D．4 【变式训练2-5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练2-6】已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式训练2-8】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-9】已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式训练2-10】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【变式训练2-11】（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【变式训练2-12】已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则 ． 【变式训练2-13】若抛物线上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是 ． 【变式训练2-14】已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 . 【变式训练2-15】已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 【变式训练2-16】抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ． 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 【典型例题1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 【典型例题2】已知抛物线，若斜率为的直线经过点与交于两点，且，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意可得直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得. 根据韦达定理及焦点弦公式，即可求解出的值与抛物线的准线方程. 【详解】由题意可得，直线的方程为， 代入得，. 则，设，， 则. 根据抛物线的定义可知，4，所以， 故抛物线的准线方程为. 故选：B. 【典型例题3】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程. 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 【典型例题4】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 【变式训练3-1】若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 【变式训练3-6】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-8】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，点在上，，且的面积为，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】已知抛物线的焦点为F，第一象限的点在抛物线上，且．若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-10】设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为 ． 【变式训练3-11】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【变式训练3-12】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【变式训练3-13】求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 【典型例题1】已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 ． 【分析】根据题意，得到抛物线C经过（﹣2，1）与两点，设抛物线C的方程为＝2py（p＞0），联立方程组，求得p＝2，即可得到C的方程．【解答】解：因为点（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）两点， 因为在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限， 即抛物线C不可能同时过和（﹣2，﹣2）两点， 所以抛物线C经过（﹣2，1）与两点， 设抛物线C的方程为＝2py（p＞0），则，解得p＝2， 则C的方程为＝4y． 故答案为：＝4y． 【典型例题2】已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对称关系求出点坐标，代入抛物线方程即可求出值，从而得到抛物线方程. 【详解】设，由于点关于直线的对称点为， 所以，解得， 由于点在上，所以，解得或， 由于，所以，则抛物线方程为 故选：D 【变式训练4-1】若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ． 【变式训练4-4】 （1）求焦点坐标分别为且经过点 的椭圆的标准方程； （2）求过点 的抛物线的标准方程． 题型05：动点轨迹法 【典型例题1】点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【分析】由题意得，点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 【解答】解：∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2， ∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等． 根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0）， 由4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 故选：B． 【典型例题2】若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合抛物线定义确定的轨迹，进而写出对应方程. 【详解】设圆的圆心，动圆圆心的，半径为， 作直线为垂足， 圆与相切，故圆到直线的距离，又， 因此到与直线的距离相等， 则的轨迹：焦点为，准线，顶点为且开口向左的抛物线， 所以，方程为. 故选：A 【典型例题3】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为．故选：C. 【典型例题4】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 【典型例题5】平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 【变式训练5-1】动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式训练5-2】已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【变式训练5-3】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【变式训练5-5】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练5-6】已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练5-7】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【变式训练5-9】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【变式训练5-10】 （1）已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为 . （2）动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式训练5-11】已知点满足，则的最小值为________ 【变式训练5-12】已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【变式训练5-13】已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【变式训练5-14】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【变式训练5-15】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【变式训练5-16】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 【变式训练5-17】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【变式训练5-18】已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【变式训练5-19】已知动点与点的距离与其到直线的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【变式训练5-20】在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到轴的距离大.在①和②中选择一个作为条件. 选择条件： ，求曲线的方程. 【变式训练5-21】已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 题型06：抛物线的简单几何性质 【典型例题1】下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 【典型例题2】设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 【典型例题3】已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 【典型例题4】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 【变式训练6-1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练6-2】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练6-3】记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练6-4】已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式训练6-6】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【变式训练6-7】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【变式训练6-8】已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【变式训练6-9】如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，．求曲线和的方程．    题型07：根据抛物线的方程求参数 【典型例题1】将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（     ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得. 【详解】根据题意可得抛物线的焦点坐标为， 抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为， 易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得， 解得. 故选：A 【典型例题2】已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值. 【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q， 过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H， ∴，，由抛物线的定义知， ∵，∴，， ∴，解得． 故选：D． 【典型例题3】已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案. 【详解】由题意点为抛物线上一点可得， 即，则的面积， 解得， 故选：C 【变式训练7-1】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【变式训练7-6】若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 【变式训练7-7】已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 . 【变式训练7-8】已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则 . 【变式训练7-9】已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为 ． 题型08：抛物线的焦半径公式 若为抛物线上任意一点，则； ＋＝ ：= 【典型例题1】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 【典型例题2】已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义计算求参即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 【典型例题3】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 【典型例题4】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 【典型例题5】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练8-3】已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式训练8-6】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式训练8-7】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练8-8】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练8-9】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练8-10】（多选）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【变式训练8-11】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【变式训练8-12】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【变式训练8-13】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【变式训练8-14】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【变式训练8-15】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【变式训练8-16】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【变式训练8-17】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 【变式训练8-18】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . 【变式训练8-19】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【变式训练8-20】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 题型09：抛物线对称性 【典型例题1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或． 故选：C． 【典型例题2】已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 【变式训练9-1】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 题型10：抛物线最值问题 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． （1） 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化， （2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”， （3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解． 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于， 由抛物线定义可知，所以， 则当共线时取得最小值，所以最小值为． 故选：B． 【典型例题2】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 【典型例题3】已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为      B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 【典型例题4】已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 【变式训练10-1】在平面直角坐标系中，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练10-2】【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练10-3】已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式训练10-4】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练10-5】已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为（    ） A．p B．2p C． D．3p 【变式训练10-6】已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【变式训练10-8】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-9】已知且，若定义，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练10-10】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练10-11】已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-12】已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 【变式训练10-13】（多选）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（    ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【变式训练10-14】已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【变式训练10-15】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【变式训练10-16】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【变式训练10-17】已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【变式训练10-18】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【变式训练10-19】已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【变式训练10-20】设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 【变式训练10-21】已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【变式训练10-22】已知O为坐标原点，已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q满足，则直线OQ斜率的最大值是 ． 【变式训练10-23】已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ， 【变式训练10-24】已知抛物线的焦点为，则 ，若点在抛物线上，点，则的最小值为 . 【变式训练10-25】已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点的距离为3，若为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，直线的斜率为 . 【变式训练10-26】已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【变式训练10-27】已知为抛物线：上的一个动点，为的焦点． (1)当时，求的坐标； (2)若点的坐标为，求的最小值． 题型11：抛物线中的范围 【典型例题1】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【典型例题2】已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的 两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上． 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点 为，，其中，且， 则其关于点的对称点为，， 所以这个点在曲线上， 所以，即， 所以，即，此方程的的解必须刚好有且只有两个， 当时，其对称点的横坐标刚好为，故， 于是，且， ，即， 故选：． 【变式训练11-1】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式训练11-2】已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 . 【变式训练11-3】已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是 ． 【变式训练11-4】已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ． 题型12：抛物线的实际应用 【典型例题1】如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出． 【详解】如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的标准方程为：，， ，代入抛物线方程可得：，解得， 由于，得或（舍） 又，化为：， 解得或（舍） . 故选：C. 【典型例题2】神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，即， 又，联立解得或（舍），当时， ， 故的坐标为. （2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即； 令可得或（舍），即； 所以， 所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3. 【变式训练12-1】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【变式训练12-2】（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为 【变式训练12-3】某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【变式训练12-4】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 抛物线的定义方程性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：抛物线的定义理解 8 题型02：抛物线定义的应用 11 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 22 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 30 题型05：动点轨迹法 33 题型06：抛物线的简单几何性质 46 题型07：根据抛物线的方程求参数 54 题型08：抛物线的焦半径公式 59 题型09：抛物线对称性 75 题型10：抛物线最值问题 77 题型11：抛物线中的范围 97 题型12：抛物线的实际应用 99 1. 高频考点：定义应用、标准方程求法、焦点/准线/焦半径，选择填空必考。 2. 解答题常结合直线考查弦长、定点、最值、范围，难度中等。 3. 侧重数形结合、转化思想，多与向量、不等式综合。 1. 熟记抛物线定义、四种标准方程及对应焦点、准线。 2. 熟练运用定义实现抛物线上点到焦点/准线距离互化。 3. 掌握基本几何性质，能快速求解焦半径、弦长、最值。 4. 会联立直线与抛物线方程，处理交点、韦达定理相关问题。 知识点一：抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点二：抛物线的标准方程 1、标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 参数方程 的参数方程为（参数） 3.知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 知识点三：抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点四：求抛物线标准方程的方法 1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； （2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 知识点五：二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义x y O F A B M N α 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4） 的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 5、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 1. 遇焦点/距离优先用定义，化曲为直求最值、轨迹。 2. 先定位开口方向，再设对应标准方程，待定系数求参数。 3. 焦点弦问题：活用焦半径公式、焦点弦结论简化计算。 4. 直线与抛物线联立：设点设线，巧用韦达定理，注意判别式、斜率不存在情况。 5. 最值问题：几何法（定义）优先，其次函数法。 题型01：抛物线的定义理解 【典型例题1】动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 【典型例题2】抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】设，由抛物线方程化为，得焦点，准线， 由抛物线定义可得，解得. 【典型例题3】抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 【典型例题4】已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【答案】 【解析】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 【变式训练1-1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解. 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故， 所以，故选：B. 【变式训练1-2】若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】抛物线的准线为， 而抛物线上的点P到直线的距离等于4， 所以点P到焦点F的距离.故选：D. 【变式训练1-3】抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 【变式训练1-4】抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 【变式训练1-5】（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【解析】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则.故选：ABC. 【变式训练1-6】在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意， 由得， 化简得． 【变式训练1-7】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】根据抛物线的定义得. 故答案为：4. 【变式训练1-8】抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】通过抛物线方程可知其准线方程，设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3，进而利用定义即得结论． 【详解】由题意，抛物线的准线方程为：，焦点坐标为， 设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3， 由抛物线定义可得：，即， 所以，则，所以点的坐标是或. 故答案为：或. 题型02：抛物线定义的应用 抛物线“焦准”互化： 1. 遇到抛物线，涉及到“焦点（或者到点距离） + 距离”，则思考“焦准”互化。 2. 抛物线上任意一点 P到焦点 F 的距离 = 到准线 l 的距离：∣PF∣=d(P,l)这就是焦准互化。 3.看到焦点就想准线，看到距离就想转化，涉及到焦半径就变坐标，焦点弦用坐标公式或者极坐标角度公式。 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】由题意得，，抛物线中， 所以，所以所求距离为. 故选：B 【典型例题2】已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上，， 所以，所以， 所以，所以，解得. 故选：C    【典型例题3】设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 【典型例题5】已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    【变式训练2-1】已知为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到轴的距离为2，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方程，再结合点到焦点和轴的距离建立等式，进而求出的值. 【详解】对于抛物线，其准线方程为. 已知点到的焦点的距离为，由抛物线的定义可知，点到准线的距离也为. 又因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为点到轴的距离加上，即. 对进行求解，移项可得，解得. 故选：C. 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】如下图所示：        根据题意可得抛物线的准线方程为， 若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为， 利用抛物线定义可知. 故选：A 【变式训练2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式训练2-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 【变式训练2-5】已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点分别作准线的垂线，根据题意得到，求得,进而求得点的纵坐标. 【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示， 设准线与轴的交点为， 因为为靠近点的三等分点，可得， 又因为，可得, 又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为， 即点点的纵坐标为. 故选：C.    【变式训练2-6】已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的定义可化简周长为，即可求得，可求直线的倾斜角的正弦值即可求斜率. 【详解】由抛物线的定义可知，，， 则四边形的周长为， 则， 设直线的倾斜角为，则，则或， 则，则直线的斜率为. 故选：C 【变式训练2-7】设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以，的最小值，即的最小值，如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立，而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为.故选：C. 【变式训练2-8】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质和定义得出与的表达式，构造函数并求导，利用导数求出极值点，进而求出取得最小值时的参数值，最后利用斜率公式求解即可． 【详解】如图，作出符合题意的图形，  抛物线的焦点为，准线方程为，设点，根据抛物线的定义得，由两点间距离公式得，则，令， 而函数平方后单调性不变，设，求导得， 令，则，解得（斜率不存在，舍去）或， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到，故当时，最小，即最小， 当时，点，由斜率公式得直线斜率为，故D正确．故选：D． 【变式训练2-9】已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】作，根据差向量的几何意义确定点的轨迹，然后利用抛物线的定义，结合图形求解可得. 【详解】作，因为，所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，， 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图：   由抛物线定义可知， 由图可知，当点在线段上，且垂直于准线时取得最小值， 最小值为.故选：A 【变式训练2-10】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则，当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 【变式训练2-11】（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】由定义将抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，由得，可得是等差数列，从而解得A；利用等差数列定义证明，不是常数，故B错误；利用放缩法列项相消求和判断C；利用并向求和判断D. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线方程为， 又在抛物线上，则， ，根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 准线方程为，则 ，即， 又， ，则，A正确． 对于数列， ，不是常数， 数列不是等差数列，故B错误． 当时，， 当时， ， 综上，故C正确， ，故D正确． 故选：ACD 【变式训练2-12】已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线焦点为,由于在抛物线上，故， 根据题意可得, 由抛物线定义可得， 故答案为：4    【变式训练2-13】若抛物线上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上点A，B到焦点的距离转化为到准线的距离，再转化为与轴的距离即可求. 【详解】由抛物线方程可知，， 设点，， 由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离， 即． 同理． 故，即，得． 故线段AB的中点的横坐标是2． 故答案为：2. 【变式训练2-14】已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可求出，再由余弦定理求出. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为， 设准线与轴交于点，则，所以， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以，则， 又，轴，所以， 则， 在中由余弦定理， 即，解得（负值已舍去）. 故答案为：. 【变式训练2-15】已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】利用抛物线的定义可以判断为等边三角形,利用平面几何知识求解即可. 【详解】因为抛物线C：的焦点为F，所以， 由题意可得, 所以, 又由抛物线定义得：，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点， 在直角中，， 所以. 故答案为：4. 【变式训练2-16】抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ． 【答案】 【详解】抛物线焦点为，点在准线上， 在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，    令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得， 于是， 令，则，解得， 所以点坐标为. 故答案为： 题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程 【典型例题1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 【典型例题2】已知抛物线，若斜率为的直线经过点与交于两点，且，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意可得直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得. 根据韦达定理及焦点弦公式，即可求解出的值与抛物线的准线方程. 【详解】由题意可得，直线的方程为， 代入得，. 则，设，， 则. 根据抛物线的定义可知，4，所以， 故抛物线的准线方程为. 故选：B. 【典型例题3】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程. 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 【典型例题4】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 【变式训练3-1】若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 【变式训练3-2】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【变式训练3-3】已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【变式训练3-4】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【变式训练3-5】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以2p（x1﹣x2），所以， 因为线段AB中点的纵坐标为3，直线l斜率为1，所以6＝2p，所以抛物线C的方程是y2＝6x． 故选：C． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，属于中档题． 【变式训练3-6】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【变式训练3-7】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先根据题目条件求出，，再根据点到点的距离与到直线的距离相等，得到，化简得到，解得. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即，所以， 抛物线的焦点为 ， 由点到点的距离与到直线的距离相等，得到 即，化简得，即， 因为，所以，解得 故选：A 【变式训练3-8】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，点在上，，且的面积为，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据抛物线的定义结合几何关系确定出的大小，然后根据的面积列出关于的方程，由此求解出的值，则准线方程可知． 【详解】由题知的准线过点，如图，过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，则由可知， ∴在中，，得，即 由的面积为，得，则，则， ∴，得，∴的准线方程为， 故选：A． 【变式训练3-9】已知抛物线的焦点为F，第一象限的点在抛物线上，且．若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，再根据两点间距离公式可得，最后代入方程作差可得，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 又因为，可得， 且，两式相减得，即， 平方可得， 且，可得，即 且，即， 所以所求准线方程为. 故选：A． 【变式训练3-10】设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【解析】可化为，其准线方程为. 由题意知或，解得或，故所求抛物线的标准方程为或. 【变式训练3-11】已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 【变式训练3-12】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【答案】 【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得. 【解析】由题意可知，，， 可得， 所以， 由抛物线的定义得， 所以是等边三角形， 所以， 所以抛物线的方程是. 故答案为：. 【变式训练3-13】求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且， 因此所求标准方程为，准线方程为. （2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式， 而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为. 题型04：特定系数法求抛物线的标准方程 【典型例题1】已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 ． 【分析】根据题意，得到抛物线C经过（﹣2，1）与两点，设抛物线C的方程为＝2py（p＞0），联立方程组，求得p＝2，即可得到C的方程．【解答】解：因为点（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）两点， 因为在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限， 即抛物线C不可能同时过和（﹣2，﹣2）两点， 所以抛物线C经过（﹣2，1）与两点， 设抛物线C的方程为＝2py（p＞0），则，解得p＝2， 则C的方程为＝4y． 故答案为：＝4y． 【典型例题2】已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对称关系求出点坐标，代入抛物线方程即可求出值，从而得到抛物线方程. 【详解】设，由于点关于直线的对称点为， 所以，解得， 由于点在上，所以，解得或， 由于，所以，则抛物线方程为 故选：D 【变式训练4-1】若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 【变式训练4-2】边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可. 【详解】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有， 解得，所以抛物线方程为. 故选：C 【变式训练4-3】已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【解析】设抛物线方程为，或.将代入， 分别得方程为或. 【变式训练4-4】 （1）求焦点坐标分别为且经过点 的椭圆的标准方程； （2）求过点 的抛物线的标准方程． 【答案】（1） ；（2）或 【分析】（1）根据焦点位置设出标准方程，再利用椭圆的定义和性质求出方程中的参数； （2）对于抛物线，需要根据点的位置判断抛物线的开口方向，设出相应的标准方程，再代入点的坐标求出参数. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为 方法一：由椭圆的定义知 解得 又，所以 所以椭圆的标准方程为 方法二：因为所求椭圆过点，所以 . 又 可解得所以椭圆的标准方程为 （2）因为点 在第二象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或， 将点 代入，得 解得 所以抛物线方程为 将点 代入，得 解得， 所以抛物线方程为， 综上，所求抛物线的标准方程为 或. 题型05：动点轨迹法 【典型例题1】点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【分析】由题意得，点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 【解答】解：∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2， ∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等． 根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0）， 由4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 故选：B． 【典型例题2】若动圆与圆相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合抛物线定义确定的轨迹，进而写出对应方程. 【详解】设圆的圆心，动圆圆心的，半径为， 作直线为垂足， 圆与相切，故圆到直线的距离，又， 因此到与直线的距离相等， 则的轨迹：焦点为，准线，顶点为且开口向左的抛物线， 所以，方程为. 故选：A 【典型例题3】已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为．故选：C. 【典型例题4】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 【典型例题5】平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 【变式训练5-1】动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【分析】根据题意，得到点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点P的轨迹方程． 【解答】解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x＝﹣2的距离大1， ∴将直线x＝﹣2向左平移1个单位，得到直线x＝﹣3， 可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离． 因此点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线， 设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得 3，得2p＝12， ∴抛物线的方程为y2＝12x，即为点P的轨迹方程． 故选：D． 【点评】本题给出满足条件的动点P，求点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题． 【变式训练5-2】已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，且|BF|＝8， 如图，过点A作准线的垂线，垂足为D， 则|AD|＝|AF|，， 所以， 设|AD|＝|AF|＝m， 则|AB|＝3m， 所以|BF|＝m+3m＝8， 解得|AF|＝m＝2． 故选：B． 【变式训练5-3】设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为，轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为，令，，则， 且，由，得： 展开化简得：分两种情况：当时，，， 即，且由，又由得，即，结合，得定义域：，这是抛物线的一段弧； 当时，，，即，且由，由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧；轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当方程为，即， 要求，即或，若，则，方程为， 平方得，化简得，当时，，无实数解， 若，则，方程为，平方得，化简得，当时，，无实数解，因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 【变式训练5-5】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【变式训练5-6】已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，   平面，平面，故平面平面，故到平面的距离即到的距离，设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线，不妨取正方体边长为中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交，故共有个点满足条件.故选：B. 【变式训练5-7】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立．故选：B． 【变式训练5-8】在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式训练5-9】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为 ；若动点M满足，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为， 设，，，因为动点满足， 所以，即，， 所以，，因为，所以， 所以，即的轨迹方程为. 故答案为：；. 【变式训练5-10】 （1）已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为 . （2）动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 y2＝－8x或x2＝8y y2＝4x 【详解】（1）易得直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)， 当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x； 当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y； 综上：抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y. （2）设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹为抛物线，其中，故轨迹方程为y2＝4x. 故答案为：y2＝－8x或x2＝8y；y2＝4x. 【变式训练5-11】已知点满足，则的最小值为________ 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 【变式训练5-12】已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【答案】 【分析】设外心为，且，，， 根据外心的性质可求点G的轨迹方程. 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 【变式训练5-13】已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设出点和点，由，得到这两个坐标的关系，再根据点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得，的关系，亦即轨迹方程． 【详解】设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 【变式训练5-14】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    【变式训练5-15】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【详解】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 【变式训练5-16】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则_____ 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为， 设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为， 所以，点到点的距离等于点到直线的距离， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设点的轨迹方程为，则，可得， 所以，圆心的轨迹方程为，则， 所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为， 所以，圆的方程为， 故满足条件的一个圆的方程为. 故答案为：（只需满足即可）. 【变式训练5-17】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值. （2）设直线l的方程为：联立，根据垂直得到所以即，整理带入得到答案. 【详解】（1）设，则，，所以，化简得 （2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，， 联立得，所以① 因为，所以即，即， 整理可得，将①代入，得，即， 所以 【变式训练5-18】已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 【变式训练5-19】已知动点与点的距离与其到直线的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1)； (2)，或 【详解】（1）解：由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）解：设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 【变式训练5-20】在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到轴的距离大.在①和②中选择一个作为条件. 选择条件： ，求曲线的方程. 【答案】. 【分析】选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，从而可求其方程． 选②：设动圆的圆心为，则，通过直接法求轨迹方程的方法，列出满足的关系式，化简即可得到点的轨迹方程． 【详解】选①： 如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，    设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为， 在梯形中，由中位线性质可得， 所以，又，所以， 由抛物线的定义知，点是以为焦点， 以直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为：. 选②： 设动圆的圆心为，则， 由圆与轴相切可得， 即，整理可得. 【变式训练5-21】已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【答案】，轨迹是开口向左的抛物线． 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解. 【详解】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4． 设P的坐标为，则点A的坐标为．因此 因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为． 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线． 题型06：抛物线的简单几何性质 【典型例题1】下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 【典型例题2】设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 【典型例题3】已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 【典型例题4】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 【变式训练6-1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【详解】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 【变式训练6-2】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练6-3】记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】不妨设点，由，可得，根据抛物线上点的坐标结合面积公式即可求得的值. 【详解】易知点，由对称性，不妨设点， 因为，所以， 则，即， 则，即， 又，得， 由，得，解得． 故选：B. 【变式训练6-4】已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出直线方程及点，联立抛物线，又，可解p，继而可解的面积. 【详解】如图， 设，则有，化简为，则，则，则，解得时，，代入解得，则． 故选：B． 【变式训练6-5】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案． 【解析】将点代入抛物线方程，可得，故抛物线C的准线为，①错误； 抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确； 由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为，交点，，联立方程，整理可得： ，且， 因为，所以，③正确； 因为，所以 ，所以，④错误 故选：B． 【变式训练6-6】下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．焦点在x轴上 B．焦点到准线的距离等于10 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误； 设是上的一点，则，所以正确； 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为， 若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. 故选：ACD. 【变式训练6-7】已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以，所以，故C正确 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 【变式训练6-8】已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 【变式训练6-9】如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，．求曲线和的方程．    【答案】 (-3≤x≤)， 【分析】设椭圆方程为，，，利用椭圆的定义可求得的值，利用平面内两点间的距离公式、抛物线的定义可求出的值，即可得出的值，由此可得出曲线、的方程. 【详解】解：设椭圆方程为，，， 则，即． 设，因为为钝角，则， 则，两式相减得． 由抛物线的定义可知， 所以，，解得， 因为，所以曲线的方程为(-3≤x≤)， 曲线的方程为． 题型07：根据抛物线的方程求参数 【典型例题1】将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（     ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得. 【详解】根据题意可得抛物线的焦点坐标为， 抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为， 易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得， 解得. 故选：A 【典型例题2】已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值. 【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q， 过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H， ∴，，由抛物线的定义知， ∵，∴，， ∴，解得． 故选：D． 【典型例题3】已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案. 【详解】由题意点为抛物线上一点可得， 即，则的面积， 解得， 故选：C 【变式训练7-1】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：抛物线y2＝2x； 则焦点，准线方程为， 假设等边三角形的边长为a， 所以1﹣acos30°＝a或acos30°+1＝a， 则． 故选：D． 【变式训练7-2】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由F（1，0），得，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x． 设A（x0，y0），则△OFA的面积为，得， 代入y2＝4x，得x0＝3， 过点A作AB⊥x轴于点B，则，|AF|＝x0+1＝4． 在Rt△AFB中，有，则， 则． 故选：A． 【变式训练7-3】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点， 由抛物线的性质可得：， 又|AF|＝2|BF|， 则， 则， 显然A在第一象限， 则， 则， 即， 在△AOF中，由正弦定理可得：， 即sin∠OAF． 故选：B． 【变式训练7-4】已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，利用中点坐标公式求出的值，可得出抛物线的方程，再将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，所以，，解得. 故选：D. 【变式训练7-5】设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 【变式训练7-6】若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 【答案】2 【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为为正实数，则，则， 故答案为：2. 【变式训练7-7】已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果. 【详解】由得，，故， 因为轴，所以，， 又，所以，得，又，所以. 故答案为：. 【变式训练7-8】已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值. 【详解】如下图所示： 不妨设点在第一象限，联立可得，即点 易知轴，则轴，则， 所以，直线的倾斜角为，易知点， 所以，，整理可得，且有，故， 等式两边平方可得，即， 解得（6舍去） 故答案为：. 【变式训练7-9】已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简，通过距离公式可得，利用基本不等式求最值即可求解． 【详解】设， 由题意可得， ，当且仅当时，即时等号成立， m的最大值为 故答案为： 题型08：抛物线的焦半径公式 若为抛物线上任意一点，则； ＋＝ ：= 【典型例题1】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 【典型例题2】已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义计算求参即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 【典型例题3】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 【典型例题4】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 【典型例题5】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【变式训练8-2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 【变式训练8-3】已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为，由重心的性质有， 又由抛物线的定义知， 同理可得， 又因为， 所以， 故选：C． 【变式训练8-4】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【变式训练8-5】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意，得，准线方程为， 设准线与轴交于点K，，则，如图， 因为AF的倾斜角为150°，所以， 故，所以， 故，解得， 所以. 故选：A. 【变式训练8-6】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设，因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即，代入，可得，又因为，解得，所以，又因为，所以，，设，所以，则. 故选：D. 【变式训练8-7】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解. 【详解】由题，抛物线即， 所以点A处的切线方程为，同理点B处的切线方程为，联立，即， 因为，则即，则， 所以 ，所以，所以. 故选：A 【变式训练8-8】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点斜式得直线方程：，联立直线与抛物线方程得到，，再利用焦半径公式即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程：， 联立方程，得到，解得， 因为点在点的上方，所以，，抛物线的焦点为 ， 由焦半径公式为， 则 ，；所以.故选：C. 【变式训练8-9】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线l的方程为，将其代入抛物线方程，设，由韦达定理得，写出线段的垂直平分线方程，代入，化简得，结合可求得，从而可得，利用求出结果. 【详解】抛物线焦点为，准线，点， 由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，， 将其代入抛物线方程，得：， 则， 设，由韦达定理得：， 线段的中点坐标为，垂直平分线的斜率为． 线段的垂直平分线方程为：，即， 代入，化简得：， 结合，得：， 则， 则， . 故选：A． 【变式训练8-10】（多选）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      ∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误. 故选：AC 【变式训练8-11】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 【变式训练8-12】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【答案】 【详解】设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则①， ， 当时等号成立，所以②， 由①②解得或，因为， 所以，即到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 【变式训练8-13】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【答案】 【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，， 由，得，所以， 由抛物线的定义得. 故答案为：    【变式训练8-14】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【答案】10 【详解】依题意， 过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为， 则，. 因为，所以. 由，得，故. 故答案为： 【变式训练8-15】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13 【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为. 联立得方程组，整理，得. 由根与系数的关系可得. 所以 (当且仅当时等号成立). 所以的最小值为13. 【变式训练8-16】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【变式训练8-17】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算. 【详解】 由抛物线的定义得：，，易证， ∴， ∴ ∵， ∴， .∴， ∵， ∴为等边三角形. ∴直线的倾斜角. ∴，. ∴. 故答案为：3 【变式训练8-18】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用抛物线的焦半径公式结合已知条件求出的值，进而得到焦点的坐标. 【详解】已知直线方程，则. 将代入抛物线方程可得： ，展开并化简得：，即. 设，，由韦达定理可得，. 由抛物线的焦半径公式可知，. 已知，则，即. 对进行变形可得： ，即，即，则. 因为，所以，解得. 可得焦点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练8-19】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另解：． 【变式训练8-20】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解. 【详解】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0， 因为抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立方程可得， 设，则， 设，则代入抛物线方程可得， 由抛物线的定义可知， . 所以. 故答案为：4. 题型09：抛物线对称性 【典型例题1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或． 故选：C． 【典型例题2】已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 【变式训练9-1】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 抛物线中时可得，且 则，取（如图）    ， ,又对称性可知. 故选；C. 【变式训练9-2】（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件； 对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足； 对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件； 对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件. 故选：AC 【变式训练9-3】抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 题型10：抛物线最值问题 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． （1） 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化， （2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”， （3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解． 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于， 由抛物线定义可知，所以， 则当共线时取得最小值，所以最小值为． 故选：B． 【典型例题2】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 【典型例题3】已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为      B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 【典型例题4】已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 【变式训练10-1】在平面直角坐标系中，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助向量的坐标运算用点的坐标表示点的坐标，再利用斜率的坐标表示及均值不等式求解作答. 【详解】抛物线的焦点，设， 依题意，由，得，则，    因此直线斜率，当且仅当时取等号， 所以直线斜率的最大值为. 故选：D 【变式训练10-2】【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 【变式训练10-3】已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求平面两点间的距离 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 【变式训练10-4】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 【变式训练10-5】已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为（    ） A．p B．2p C． D．3p 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用抛物线的定义求得，结合图形得到当直线过点时，取得最小值即可求得答案. 【详解】    如图，设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为， 过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， 连接，则有，当直线过点时取等号， 所以，则，即弦的中点到轴距离的最小值为. 故选：B. 【变式训练10-6】已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线定义的理解、轨迹问题——圆 【分析】根据题意，求得点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，再由抛物线得到，转化为，结合图象，得到当且仅当四点共线时，取得最小值，求得，即可求解. 【详解】因为，，且动点满足， 设，可得，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 由抛物线，可得且准线方程为， 又因为点在抛物线的准线方程为的投影为， 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离相等，所以， 所以， 当且仅当四点共线时， 取得最小值，且， 所以. 即的最小值为. 故选：B. 【变式训练10-7】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【变式训练10-8】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 【变式训练10-9】已知且，若定义，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据几何意义将转化为曲线上的点到抛物线上点的距离与抛物线上的点到焦点距离之和的最值性问题. 【详解】 设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点， 易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点， 所以. 故选：D. 【变式训练10-10】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意知，焦点为,当|MA|＋|MF|的值最小时，的周长最小.设点M在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ，因此 的最小值即的最小值.根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于,与抛物线交于,此时 三点共线，此时.又，所以周长的最小值为 故选：B 【变式训练10-11】已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=. 故选：B. 【变式训练10-12】已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，， 所以. 故选：B. 【变式训练10-13】（多选）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（    ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个. 对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点. 对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断. 对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断. 【详解】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误； 设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确； 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确； 如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 【变式训练10-14】已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【分析】由抛物线的定义可知d1＝|PF|，过点F作FE⊥m，交直线m于点E，当P在线段EF上时，d1+d2取得最小值． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 过点F作FE⊥m，交直线m于点E， 点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2， 由抛物线的定义可知，d1＝|PF|，所以当P在线段EF上时， d1+d2取得最小值， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于中档题． 【变式训练10-15】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 【变式训练10-16】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.    【变式训练10-17】已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    【变式训练10-18】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时，取得最小值，此时， 此时 故答案为:. 【变式训练10-19】已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【答案】 4 8 【分析】根据抛物线的定义，求抛物线上的点到的距离和的最小值，确定的值；利用导数，写出抛物线的切线方程，再根据直线与圆的位置关系，确定点纵坐标，结合抛物线的定义，求. 【详解】如图： 设点在的准线上的射影为，则， 要使得取得最小值，即取得最小值， 当三点共线时，取得最小值， 由4，得． 因为，所以. 设，则切线的方程为，即． 因为切线与圆相切， 所以，化简得，解得（舍去）或， 因为，所以． 故答案为：4；8 【变式训练10-20】设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值、求抛物线上一点到定点的最值、求点到直线的距离 【分析】根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为，由图可知，当三点共线时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】    抛物线的焦点为， 则点到直线的距离为， 作垂直于点， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【变式训练10-21】已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、直线与抛物线交点相关问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则，求出代入即可得出答案. 【详解】设圆的圆心为，， 设直线的方程为， 联立可得：，解得：或， 因为是抛物线在第一象限上一点，所以， 所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点， 可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为， 根据椭圆的性质，， 因为焦距为，即， 当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小， 此时，即， 点到直线的距离为：， 到直线的最小值为，即， 所以为最小值. 故答案为：. 【变式训练10-22】已知O为坐标原点，已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q满足，则直线OQ斜率的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数，进而得到抛物线方程，再利用给定条件表示出目标式，再分类讨论并结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为， 因为拋物线的焦点到准线的距离为2， 且该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为. 如图，设，则，    所以，由在抛物线上可得， 即，所以直线的斜率为， 当时，；当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，直线的斜率的最大值为. 故答案为：. 【变式训练10-23】已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ， 【答案】 【详解】设抛物线上任一点P的坐标为，则， 则， 因为，且在此区间上随着x的增大而增大， 所以当x＝0时，取得最小值，最小值为，则的最小值为. 故距离点A最近的点P的坐标为，距离是. 故答案为：， 【变式训练10-24】已知抛物线的焦点为，则 ，若点在抛物线上，点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为， 可得，即，抛物线方程为， 则抛物线的准线方程为， 过作直线的垂线，垂足为， ， 则当三点共线时，取得最小值， 且最小值为（即到准线的距离）. 故答案为：；    【变式训练10-25】已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点的距离为3，若为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，直线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】根据题设可得，则，，若关于准线对称点为，由、的周长为，只需共线周长最小，进而求坐标，即可得直线斜率. 【详解】由抛物线在第一象限内的点到抛物线焦点的距离为3， 所以，即，则，， 若关于准线对称点为，则， 而的周长为，    要使的周长最小，即共线，此时， 若，则，即， 所以直线的斜率为. 故答案为： 【变式训练10-26】已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果. 【详解】如图所示：      由圆的标准方程为可知圆心，半径为， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义可知， 圆外一点到圆上点的距离满足，即； 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立； 即的最小值为． 故答案为： 【变式训练10-27】已知为抛物线：上的一个动点，为的焦点． (1)当时，求的坐标； (2)若点的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由抛物线焦半径公式结合，求出的横坐标，代入抛物线方程，即可得出点的坐标； （2）设，根据两点之间距离公式及抛物线方程，即可求出的最小值． 【详解】（1）由得，， 设，由得，，解得， 当时，，所以的坐标为或． （2）设，得，， 则， 当时，取得最小值，且最小值为． 题型11：抛物线中的范围 【典型例题1】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【典型例题2】已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的 两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上． 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点 为，，其中，且， 则其关于点的对称点为，， 所以这个点在曲线上， 所以，即， 所以，即，此方程的的解必须刚好有且只有两个， 当时，其对称点的横坐标刚好为，故， 于是，且， ，即， 故选：． 【变式训练11-1】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以. 故选：B.    【变式训练11-2】已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：已知点在抛物线上，且为焦点， 由定义知，， 抛物线. 设，由题意知， 则， 当时，取得最小值8， 则的最小值为. 故答案为：. 【变式训练11-3】已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】设，则，， 从而． 因为点在抛物线上，所以， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：5 【变式训练11-4】已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故答案为：. 题型12：抛物线的实际应用 【典型例题1】如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出． 【详解】如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的标准方程为：，， ，代入抛物线方程可得：，解得， 由于，得或（舍） 又，化为：， 解得或（舍） . 故选：C. 【典型例题2】神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，即， 又，联立解得或（舍），当时， ， 故的坐标为. （2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即； 令可得或（舍），即； 所以， 所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3. 【变式训练12-1】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 【变式训练12-2】（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线的方程，不妨设CE上一点为，判断出当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大，求解最大值即可. 【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于. 此时，，， 抛物线的方程为，即， 解得，故A正确； 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为， 故B正确，C错误； 因为，，故， 所以直线的方程为即， 不妨设上一点为，， 当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大. 由可得，故， 解得， 此时点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD.    【变式训练12-3】某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为， 把点代入方程中，得， 所以抛物线方程为 把代入方程中，得， 所以， 所以管柱OA的高度为.    【变式训练12-4】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 【答案】(1) (2)48.4cm 【分析】（1）在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； （2）运用代入法进行求解即可. 【详解】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，    以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； （2）由（1）可得抛物线方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为. 故将代入抛物线方程求得. 此时，探照灯的深度为48.4cm. 1 学科网（北京）股份有限公司 $