第02讲 直线与抛物线位置关系 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与抛物线位置关系核心考点，涵盖位置关系判断、弦长计算、焦点弦性质等17类高考高频题型，按“基础方法—综合应用—创新拓展”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、策略指导、真题精讲、分层训练四环节，帮助学生构建解题框架，突破解析几何难点。 讲义以“数学思维”培养为核心，创新采用“题型归类+结论速记+多解对比”教学策略，如焦点弦问题总结11条性质并结合阿基米德三角形模型深化理解，设置“一题多解”“错题归因”等互动环节，通过限时训练和答题规范指导，提升学生运算求解与逻辑推理能力，为教师提供精准复习节奏把控方案。

第02讲 直线与抛物线位置关系讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 10 题型归纳 10 题型01：直线与抛物线的位置关系 10 题型02：直线方程问题 12 题型03：弦长问题 13 题型04：中点弦问题（点差法） 20 题型05：焦半径公式 24 题型06：焦点弦问题 27 题型07：面积问题 33 （一） 三角形面积 33 （二） 四边形面积 37 （三） 面积的最值范围 41 （四） 面积关系 42 （五） 面积求参 48 题型08：定点问题 54 题型09：定直线问题 65 题型10：定值问题 70 （一） 斜率定值 70 （二） 斜率和，积定值 71 （三） 距离及距离关系定值 73 （四） 面积定值 77 （五） 参数定值 79 （六） 向量定值 82 题型11：切线问题 84 （一）切线方程及切点线方程 84 （二）阿基米德三角形 90 题型12：最值范围 92 题型13：探索 109 题型14：证明 117 题型15：向量结合 122 题型16：参数范围 128 题型17：抛物线与数列 131 一：考查地位 直线与抛物线的位置关系是高考解析几何必考核心考点，属于圆锥曲线大题高频题型，常和椭圆交替考查，难度中等偏上，分值12分（大题），小题也常出多选、压轴单选。 二：高频考法 1. 基础：联立方程、判别式、交点个数、弦长、中点、定点定值 2. 综合：向量垂直/平行、面积最值、范围问题、存在性问题 3. 热点：焦点弦、切线、阿基米德三角形、设而不求、点差法 4. 命题趋势：弱化复杂计算，强化几何性质+代数运算结合，侧重逻辑推理与运算能力。 三：易错点 ①忽略直线斜率不存在的情况 ② 抛物线开口方向不同，设点、设直线形式易错 ③判别式使用、韦达定理符号、弦长公式记错 ④焦点弦性质记混 1. 基础目标 ①会判断直线与抛物线相交、相切、相离三种位置关系 ② 熟练掌握联立方程、判别式、韦达定理（设而不求） 通法 ③熟记弦长公式、中点坐标公式、点差法适用场景 2. 能力目标 ①能解决焦点弦、中点弦、定点、定值、最值、范围类大题 ② 能结合向量、面积、不等式、导数解决综合问题 ③规范书写解析几何大题步骤，减少计算失误 3. 素养目标 培养数形结合、转化与化归、运算求解、逻辑推理核心素养。 知识点一：直线与抛物线的位置关系 1. 直线与抛物线的位置关系的判断方法 当直线斜率存在时，将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 解题的通用流程 S1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． S2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． S3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 2. 直线与抛物线只有一个公共点的问题 ①若点P在抛物线内,则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有一条. ②若点P在抛物线上,则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条. ③若点P在抛物线外,则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有三条；若直线与抛物线有两个交点,则直线与抛物线一定相交;但若直线与抛物线相交,不一定能推出直线与抛物线有两个交点(还可能直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点). 知识点二：有关直线与抛物线的弦长问题 1.要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 2.弦长计算方法： （1）由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得，根据抛物线的定义有，求弦长； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长. 满分技巧 1.一般弦长：设为抛物线的弦，，， （为直线的斜率，且）. 2.焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 3. 代数法解决直线与抛物线相交问题的常用技巧 (1) 巧设方程。如直线AB经过，若设直线方程为 ,则斜率不存在的情况需单独讨论,所以可将直线方程设为。 (2) 巧消未知数。解与抛物线有关的问题用代数法消元时,消去抛物线方程中的一次项计算量更小,如若抛物线方程为,则消去x的计算量更小。 (3) 已知点是抛物线(或)上两点,则(或）。 知识点三：中点弦的有关结论 设为抛物线的弦（弦所在直线的斜率存在且不为0），点为弦的中点，为坐标原点： 标准方程 结论 （为中点的纵坐标） （为中点的纵坐标） （为中点的横坐标） （为中点的横坐标） 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 知识点四：求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 知识点五：焦半径和焦点弦 (1) 焦半径坐标公式 标准 方程 焦半径 （2） 焦半径的倾斜式 若为抛物线上任意一点，则； ＋＝ ：= 知识点六：抛物线的焦点弦问题 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. 知识点七：抛物线的切线方程 1．抛物线的切线 先将抛物线转化为函数的图象，然后直接求导得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以切线方程为．如图． 综上，抛物线在点处的切线方程为． 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 2．抛物线的切线 如图，先将抛物线的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论． ①易得抛物线在原点处的切线方程为． ②抛物线在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在两边对自变量x求导，得到（隐函数求导，详见层数部分大招）．进而得到，因此抛物线在点处的切线方程为，又，所以． ③依葫芦画瓢，当点在x轴下方时，切线方程也为． 结合①②③可得，抛物线在点处的切线方程为． 知识点八：抛物线的硬解定理 1．抛物线的硬解定理 如果与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得到 于是有， 从而． 2．抛物线的硬解定理 如果直线与抛物线有两个交点，．先将直线与抛物线进行联立， 得到，于是判别式， 再根据韦达定理得 于是有， 从而． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 知识点九：取值范围问题 圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 知识点十：取值范围问题 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 知识点十一：与抛物线有关的最值问题 最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决. 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围） 解抛物线选择填空题技巧 （1）定义法（核心）：利用 “抛物线上点到焦点 = 到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复杂联立，小题秒杀首选。 （2）待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数，快速写方程，基础题必用。 （3）韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换，求弦长、中点、面积、定点定值，大题核心解法。 （4）性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦长）。 （5）数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，错解。 （6）坐标转化法：设抛物线上点坐标（如设为），简化向量、距离、斜率计算，减少运算量。 题型01：直线与抛物线的位置关系 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【典型例题2】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式训练1-1】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-3】已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【变式训练1-4】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式训练1-5】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式训练1-6】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式训练1-7】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程 (2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围. 题型02：直线方程问题 有关直线与抛物线的问题，解题方法如下： （1）根据题意，列出等量关系式求得的值，得到抛物线的方程，利用点在抛物线上点的坐标满足抛物线方程，求得的值； （2）根据题意，设出点的坐标，根据重心坐标公式，列出等量关系式，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，联立求得点的坐标，进而求得直线方程. 【典型例题】已知三角形内接于抛物线，抛物线的焦点为F，三角形顶点到抛物线C准线的距离为10． （1）求的值． （2）若的重心恰是抛物线的焦点F，求所在的直线方程． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据抛物线上的点到准线的距离，列出等量关系式，求得的值，得到抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程求得的值； （2）设，利用三角形重心坐标公式得到，根据抛物线上的点满足抛物线方程，求得点的坐标，进而求得直线方程. 【详解】（1）因为A到抛物线C准线的距离为， 代入抛物线，得． （2）由（1）得，设， 则， 故，于是 所以，即． 【变式训练2-1】如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点. (1)求抛物线的方程和点的坐标； (2)求点的坐标及所在的直线方程. 【变式训练2-2】已知点M到点的距离与它到直线的距离相等 （1）求点M的轨迹方程； （2）求过点与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程. 【变式训练2-3】已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5. （1）求抛物线的方程 （2）已知两直线分别经过点和，与抛物线交于两点，与抛物线在第一象限相切于点，且的面积为，求的直线方程 【变式训练2-4】已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程. 【变式训练2-5】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线方程； （2）若直线：与抛物线只有一个交点，求直线方程. 题型03：弦长问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 易知抛物线的焦点为， 设直线l的方程为， 因为直线与抛物线相切， 联立，可得， 则，因为，解得， 设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，故选：C. 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由四边形为菱形，如下图示，，， 由抛物线性质知：，则，故， 又，故，所以. 公式，证明如下： 令直线（斜率存在）为，代入，则， 整理得，若， 而，若直线倾斜角为（不为直角），则， 所以.故选：B 【典型例题3】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点， 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为， 直线AB的方程为， 与抛物线联立得：， 则， 同理可得， 因此， 故选：D. 【典型例题4】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线方程求解； （2）由直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解； （3）结合韦达定理，利用数量积运算证明； 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程是， 所以，解得， 所以抛物线的方程是； （2）由，得， 设， 则， 所以； （3）因为， ， ， 所以， 即. 【典型例题5】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 【典型例题6】已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）设，， 由在抛物线上，则 又为等边三角形，则，从而 因此， 又，所以，从而， 故，关于轴对称. （2）设等边的边长为， 由，解得， 由（1）可知关于轴对称，故，故，， 因为点在抛物线上， 所以， 故抛物线的方程为. 因为，等边三角形的中线与高线重合， 所以边上中线所在直线方程为，即． 由，消去整理得，解得，或， 因此直线与抛物线的另一个交点坐标为， 故弦长为． 【变式训练3-1】设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练3-3】已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【变式训练3-5】点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式训练3-6】若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 . 【变式训练3-7】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长. 【变式训练3-8】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6，求此圆的半径． 【变式训练3-9】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【变式训练3-10】已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【变式训练3-11】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【变式训练3-12】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点N在直线PQ上，且满足，． （1）当P点在y轴上移动时，求动点N的轨迹C的方程； （2）过点作一直线交曲线C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是面积的2倍，求弦长． 【变式训练3-13】在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【变式训练3-14】已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【变式训练3-15】如图，已知抛物线，直线依次与，轴交于点，直线依次与，轴交于点，其中，． (1)若，且，求； (2)若，点关于轴的对称点为，证明： ①；②． 题型04：中点弦问题（点差法） 【典型例题1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x2＝8y，再利用点差法，即可求解． 【解答】解：由抛物线C：x2＝2py的准线为y＝﹣2， 可得， 可得p＝4， 所以x2＝8y， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得，且x1+x2＝﹣4， 两式相减，可得， 可得， 所以直线PQ的方程为， 即x+2y﹣6＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 【典型例题2】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【典型例题3】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】设，则作差得. 因为，所以P是线段AB的中点，所以， 则直线l的斜率.故选：A 【典型例题4】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【解析】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 【典型例题5】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【变式训练4-1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练4-3】已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．的面积为 D． 【变式训练4-4】过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ） A． B． C．5 D．6 【变式训练4-6】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-9】已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-10】已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-11】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【变式训练4-12】已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　　 ． 【变式训练4-13】已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ． 【变式训练4-14】已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【变式训练4-15】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【变式训练4-16】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【变式训练4-17】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【变式训练4-18】已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【变式训练4-19】已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式训练4-20】已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 【变式训练4-21】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 题型05：焦半径公式 【典型例题1】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设，因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即，代入，可得，又因为，解得，所以，又因为，所以，，设，所以，则. 故选：D. 【典型例题2】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解. 【详解】由题，抛物线即， 所以点A处的切线方程为，同理点B处的切线方程为，联立，即， 因为，则即，则， 所以 ，所以，所以. 故选：A 【典型例题3】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【答案】 【详解】设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则①， ， 当时等号成立，所以②， 由①②解得或，因为， 所以，即到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 【典型例题4】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13 【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为. 联立得方程组，整理，得. 由根与系数的关系可得. 所以 (当且仅当时等号成立). 所以的最小值为13. 【典型例题5】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【答案】 【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，， 由，得，所以， 由抛物线的定义得. 故答案为：    【变式训练5-1】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练5-2】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练5-3】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【变式训练5-4】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【变式训练5-5】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【变式训练5-6】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练5-7】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【变式训练5-8】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【变式训练5-9】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【变式训练5-10】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【变式训练5-11】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 题型06：焦点弦问题 【典型例题1】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线焦点，直线方程为。联立，消去得。设，则。焦点弦长，解得，故选B。 【典型例题2】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以.故选：C.    【典型例题3】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【典型例题4】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【典型例题5】已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果. 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 【变式训练6-1】已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（    ） A．8 B．8或24 C．12 D．12或24 【变式训练6-2】已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【变式训练6-3】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练6-4】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线轴相切 C．为定值 D．若，则 【变式训练6-6】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【变式训练6-7】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【变式训练6-8】过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-9】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练6-10】已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练6-11】设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-12】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【变式训练6-13】设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 【变式训练6-14】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【变式训练6-15】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 【变式训练6-16】已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练6-17】（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【变式训练6-18】（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【变式训练6-19】倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式训练6-20】直线过抛物线的焦点交抛物线于、两点.若，为原点，则的重心的横坐标为（    ） A．4. B．8 C．16 D．24 【变式训练6-21】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（    ） A．40 B．36 C．28 D．24 【变式训练6-22】已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练6-23】已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-24】过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为 A．2 B． C．4 D．8 【变式训练6-25】（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 【变式训练6-26】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【变式训练6-27】抛物线的通径长为_______ 【变式训练6-28】若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________. 【变式训练6-29】已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______. 【变式训练6-30】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 【变式训练6-31】过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________． 题型07：面积问题 （1） 三角形面积 【典型例题1】已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 【典型例题2】点为抛物线上一点，为其焦点，已知． (1)求与的值； (2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积． 【解析】（1）由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为. 又在抛物线上，所以，故，． （2）设过M点的方程为， 由，消去得，即， 令，解得，所以切线方程为. 令，得，即,又，，.      【典型例题3】已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】(1)抛物线，焦点坐标； (2) 【详解】（1）由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； （2） 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 【变式训练7-1-1】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-2】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-3】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【变式训练7-1-4】在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【变式训练7-1-5】设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【变式训练7-1-7】已知F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为1的且过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，求△PAB的面积． 【变式训练7-1-8】已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【变式训练7-1-9】如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．    (1)求抛物线C的方程； (2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积． 【变式训练7-1-10】设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4. (1)求抛物线的方程； (2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积. 【变式训练7-1-11】已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． （2） 四边形面积 【典型例题1】如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 【典型例题2】已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵，∴ 又∵ ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 【变式训练7-2-1】已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练7-2-2】（多选）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．的取值范围为 【变式训练7-2-3】如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. （3） 面积的最值范围 【典型例题】已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B． (1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标； (2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值． 【解析】（1）当的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：， 由题意可得直线的方程为：，即， 代入抛物线的方程可得解得（舍）或6， 所以，的坐标为 （2）法一：设直线的方程：，即， 设直线与轴的交点为，，，由 可得，，， 因为为线段的中点，所以 令，，即，所以 则的面积， 把代入上式，， 当时，，所以的面积的最大值为2． （2）法二：。可得，，， 因为为线段的中点，所以，设点到直线的距离为，则， ，把代入上式，， 所以，当时，的面积的最大值为2 【变式训练7-3-1】在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （ⅰ）设AB中点为M，求证：轴； （ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围． 【变式训练7-3-2】已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值. 【变式训练7-3-3】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． （4） 面积关系 【典型例题1】（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数、抛物线的焦半径公式 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点． （1）设为抛物线上的动点，求的取值范围； （2）记的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设， 则， 因此， 而，即有，则当，即时，， 当，即时，， 所以的取值范围是. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去并整理得，显然， 设，，则，即， 令为点，于是的面积为， 的面积为， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【典型例题3】已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，得，则， 故椭圆的方程为. （2）    由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. （3）由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程为：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 【变式训练7-4-1】已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若，则与的面积之比为 . 【变式训练7-4-2】已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【变式训练7-4-3】已知抛物线的焦点为F. (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点，试判断与的面积之比是否为定值，并说明理由． 【变式训练7-4-4】已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【变式训练7-4-5】在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值； 【变式训练7-4-6】已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. （5） 面积求参 【典型例题1】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果. 【详解】依题意，抛物线焦点为， 则直线的方程为， 设， 联立，整理得， 则恒成立， 所以， 则， 所以梯形的面积 ， 解得.    故选：C 【典型例题2】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； （2）①易得的斜率不为0，设，，， 由，得，得，故，纵坐标的乘积为. ②由， 所以，则，故的斜率为. 【典型例题3】在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，且面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，由求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得原点到直线的距离和弦长AB，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为抛物线上一点， 到焦点的距离为1， 所以解得， 所以抛物线的方程； （2）设直线的方程为， 与抛物线方程联立，，消去x得， 由韦达定理得， 原点到直线的距离为：， 弦长， ， 所以， 解得， 所以直线的方程为：. 【典型例题4】已知点在抛物线上，直线过点与的焦点，交于点 . (1)求抛物线的方程与点的坐标； (2)若动点在上，且 . ① 求面积的最大值； ②若，直线交直线于点，直线交直线于点，求使得与面积相等的点的坐标. 【答案】(1)抛物线的方程为， (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线的交点坐标、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标； （2）①求出，利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得结果； ②求出直线、的方程，进而可求出点、的坐标，求出、的表达式，根据求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的标准方程为，易知点， 设点，则，所以，直线的方程为，即， 联立可得，由韦达定理可得，可得，即点. （2）由（1）可知，，且直线的方程为， 易知，即点， 所以，点到直线的距离为， 因为，则， 则， 当且仅当时，取最大值， 所以，，即面积的最大值为； ②如下图所示： 由①可知，， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， ，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，即点， 因为，则，可得， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得，解得， 故使得和的点的坐标为. 【变式训练7-5-1】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【变式训练7-5-2】已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且. (1)求抛物线C的方程. (2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 【变式训练7-5-3】在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）. (1)若直线的斜率为，求的面积. (2)若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点）， （i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值； （ii）设的面积分别为，若，求直线的方程. 【变式训练7-5-4】已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【变式训练7-5-5】已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 【变式训练7-5-6】已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足. （1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点； （2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率. 【变式训练7-5-7】已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【变式训练7-5-8】已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N． （1）求抛物线C的方程： （2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点） 【变式训练7-5-9】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 题型08：定点问题 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点. 【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为． （2）设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则， 代入可得：，故． 直线的方程为，与的方程联立得． 设，则， ， 所以， 所以． 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，的方程为， 由抛物线的对称性，可知定点在轴上， 令，则， 所以，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【典型例题2】已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 【典型例题3】已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 【变式训练 8-1】已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练 8-2】已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练 8-3】已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点 【变式训练 8-4】已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 【变式训练 8-5】设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为 ． 【变式训练 8-6】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【变式训练8-7】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【变式训练8-8】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【变式训练8-9】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切． (1)求动圆的圆心所在轨迹的方程； (2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式训练8-10】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【变式训练8-11】已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【变式训练8-12】已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【变式训练8-13】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【变式训练8-14】已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． (1)求W的方程． (2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． (3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【变式训练8-15】已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【变式训练8-16】已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【变式训练8-17】已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【变式训练8-18】已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【变式训练8-19】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【变式训练8-20】如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练8-21】已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【变式训练8-22】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练8-23】已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练8-24】已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【变式训练8-25】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点． 【变式训练8-26】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【变式训练8-27】已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【变式训练8-28】已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【变式训练8-29】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【变式训练8-30】已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 题型09：定直线问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上，理由见解析 【分析】（1）根据焦半径公式即可求出； （2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程； （3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上． 【详解】（1）根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； （3）直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 【典型例题2】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【详解】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 【变式训练9-1】如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【变式训练9-2】经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 【变式训练9-3】已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式训练9-4】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【变式训练9-5】已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【变式训练9-6】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【变式训练9-7】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式训练9-8】在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练9-9】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【变式训练9-10】已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练9-11】已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【变式训练9-12】已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式训练9-13】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式训练9-14】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 题型10：定值问题 （1） 斜率定值 【典型例题】已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程. (2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】（1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式训练10-1-1】已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. （1）求的方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值. （2） 斜率和，积定值 【典型例题1】已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【解析】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【变式训练10-2-1】已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【变式训练10-2-2】已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【变式训练10-2-3】已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【变式训练10-2-4】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【变式训练10-2-5】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式训练10-2-6】已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. （3） 距离及距离关系定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故，故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【变式训练10-3-1】已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【变式训练10-3-2】过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 【变式训练10-3-3】已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【变式训练10-3-4】已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 【变式训练10-3-5】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练10-3-6】在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． (1)求的轨迹的方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． (1)求曲线的方程； (2)设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 【变式训练10-3-7】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【变式训练10-3-8】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （4） 面积定值 【典型例题】已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. (1)求抛物线C的方程； (2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； (3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【详解】（1）由题意得，则. ∴. （2）设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵的角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. （3），， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 【变式训练10-4-1】中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． （5） 参数定值 【典型例题1】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 【解析】根据条件可得F（1，0）， 则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝1，因为，， 所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝，λ2＝， 所以.故选：D. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 【变式训练10-5-1】如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【变式训练10-5-2】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【变式训练10-5-3】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【变式训练10-5-4】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. （6） 向量定值 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【变式训练10-6-1】如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 题型11：切线问题 （一）切线方程及切点线方程 【典型例题1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为（　　） A． B．2x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D． 【解答】解：因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，且|AF|＝4， 所以：yA4，可得yA＝4﹣1＝3， 故xA2， 又yx2，可得y′x， 故x＝2时，k＝y′． 可得抛物线C在点A处的切线方程为：y﹣3（x﹣2），即x﹣y﹣3＝0． 故选：A． 【典型例题2】已知点R（x0，2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|RF|＝3，则下列不正确的是（　　） A． B．C的准线方程是y＝﹣1 C．点Q在抛物线上 D．点P在C的准线上 【分析】根据焦半径公式求出p的值，即可得抛物线方程及其准线方程，从而判断选项A和B；设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2），将其与抛物线方程联立，结合中点坐标公式表示出Q点坐标，即可判断选项C；利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求得P点坐标，即可判断选项D． 【解答】解：选项A，由题意知，，准线方程为， 因为|RF|＝3，所以，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y， 将点R（x0，2）代入抛物线方程，有，解得，故选项A错误； 选项B，抛物线的准线方程为y＝﹣1，故选项B正确； 选项C，设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2）， 联立，得x2﹣4kx﹣4＝0， 则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， 所以AB的中点Q的横坐标，纵坐标，即Q（2k，2k2+1）， 显然成立， 所以点Q在抛物线上，故选项C正确； 选项D，由，得， 所以抛物线C在A，B两点处的切线方程分别为，， 两直线方程相减得，， 解得， 所以， 即P（2k，﹣1）， 所以点P在抛物线C的准线上，故选项D正确． 故选：A． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，熟练掌握抛物线的几何性质，焦半径公式，切线方程的求法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【典型例题3】抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意，反射光线轴，和，得到，即，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为， 如图所示，由光学性质，入射光线，则反射光线轴，所以， 又因为，所以， 因为轴，，则，所以， 即，所以，解得.故选：A     【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线的斜率为 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与抛物线交点相关问题、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义判断A，根据导数的几何意义求切线斜率可判断B，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系判断C，根据不等式的性质及抛物线的定义判断D. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A对， 因为，即，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，所以选项B错； 由，消得到， 则，得到，所以选项C正确； 对于选项D，因为， 得到，所以当时，， 又，所以，则，故选项D正确． 故选：ACD 【典型例题5】已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________ 【分析】由抛物线方程得到坐标；设过的抛物线的切线方程为：， 联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，不妨设， 利用抛物线焦半径公式求得，勾股定理求出；由双曲线定义可知，又焦距，可求得离心率. 【详解】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：， 联立得：，得，令，得， 即，不妨设，由双曲线的定义得， ，则该双曲线的离心率为，． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是利用联立直线与抛物线的方程，利用判别式得出的值，从而得到所需的焦半径的长度. 【典型例题6】已知F为抛物线C：x2＝﹣8y的焦点，过直线l：y＝4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P，Q，则直线PQ过定点 　　 ． 【解答】解：已知， 则， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则切线MP的方程为， 即， 同理切线MQ的方程为， 设M（x0，4）， 则， 即直线PQ的方程为， 即直线PQ过定点（0，﹣4）． 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 【变式训练11-1-1】已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-2】设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-3】已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练11-1-4】已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-5】已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-6】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-7】（多选）已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-81】抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 . 【变式训练11-1-9】写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【变式训练11-1-10】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【变式训练11-1-11】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【变式训练11-1-12】已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【变式训练11-1-13】位于第一象限的一点满足，过作的切线，切点为，且满足，设为关于的对称点. (1)证明： (2)（i）若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，证明：为等差数列. （ii）由ⅰ所设且，求的值. 【变式训练11-1-14】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【变式训练11-1-15】抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. （二）阿基米德三角形 设抛物线的一条焦点弦为 AB，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 P，由点 P 和焦点弦 AB 围成的△PAB，称为抛物线的阿基米德三角形。 要注意，AB 必须是抛物线的焦点弦，若 AB 为普通弦，围成的三角形并非阿基米德三角形。以标准抛物线y2=2px(p>0)为例） 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p/2​,0)，焦点弦AB，切线PA、PB交于P(x0​,y​)，以下为必记性质： 性质 1：切线交点 P 的位置特征 点 P必在抛物线的准线x=−P/2上.结论延伸：若点 P 在准线上，则以 P 为切线交点的切点弦 AB 必为抛物线的焦点弦。 性质 2：阿基米德三角形的垂直关系 PA⊥PB，且PF⊥AB（PF 是阿基米德三角形的高，也是 AB 的中垂线）。 性质 3：阿基米德三角形的面积公式 S△PAB​= .。 推论：当AB 为通径时，阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2。 性质 4：焦点 F 的位置特征 焦点 F 是阿基米德三角形△PAB 的垂心（三条高线的交点），且∣PF∣=∣AB∣/2（由直角三角形斜边中线性质推导）。 【典型例题】（多选）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（   ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若为正三角形，则其面积为 C．若，则的面积的最小值为 D．一般情况下，的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率，所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设，由，所以直线切线的方程分别为：，两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：，直线的方程与抛物线方程联立得： .对于A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，因为过抛物线的焦点，所以，而，显然点一定在抛物线的准线上，故A正确； 对于B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，则，因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：，因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以，因此正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，故B正确； 对于C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，所以，即，化简得，直线的方程为：，所以点坐标为，点 到直线的距离为： ，又 ，因为，所以 ， 因此直角的面积为：，当且仅当时，取等号，所以其面积有最小值，故C正确； 对于D：因为，所以点到直线的距离为： ， 所以阿基米德三角形的面积为，故D不正确. 故选：ABC. 【变式训练11-2-1】（多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【变式训练11-2-2】（多选）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3. B．点与点的纵坐标相等. C．若点在直线上，则直线过点. D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为. 【变式训练11-2-3】（多选）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 题型12：最值范围 【典型例题1】设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为抛物线的准线为，焦点为， 所以过点作抛物线的切线，设切点， 所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即， 又因为点在准线上，则，， 设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：， 所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以， 所以，故选：C. 【典型例题2】已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案. 【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，， ∵，∴,由题意得，直线与直线的距离， 即，解得，∴, 【典型例题3】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【典型例题4】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【解析】设：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； ：过，故B对； 设定点， ，当且仅当时，取等号，故C对； 又， 不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对. 故选：BCD. 【典型例题5】已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 【典型例题6】（多选题）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确； 【典型例题7】设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线中的参数范围问题、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】（1）根据题设有，设，应用两点距离公式及导数求距离最小值； （2）由题设有，结合，应用差角正切公式得，分类讨论求的范围，即可的取值范围； （3）结合（2）的分析有，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则抛物线， 设点，则， 记，则， 因为，所以，解得. 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，故的最小值为. （2） 依题意及（1），知， 由或， 根据到角公式，得：. 当时，，则； 当时，， 所以，则； 当时，， 所以，则. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，且，所以. 【典型例题8】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图， 由可得：，所以， 所以，代入直线方程得：，又当时，由得， 在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：； (2)由（1）可知直线：，由   得：， 直线与抛物线交于，两点，即 则，   ， ，又， 令， ，，由得（负根舍去）， 知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值， 时，. 【典型例题9】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解； （2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围， 再根据，求取值范围即可. 【解析】 (1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为． 将点代入，得，所以点A的坐标为． (2)直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或．设，则有，则，即，又． 所以，则 因为，设，则， 因为，则，所以 因为或，所以k的取值范围是。 （一）单选题 【变式训练12-1】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练12-2】已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 【变式训练12-3】设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练12-5】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-6】已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练12-7】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【变式训练12-8】直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．32 D．36 【变式训练12-9】，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．64 （二）多选题 【变式训练12-1】已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【变式训练12-2】已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【变式训练12-3】已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 【变式训练12-4】已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或 C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3 【变式训练12-5】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练12-6】已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（    ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【变式训练12-7】（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【变式训练12-8】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练12-9】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练12-10】已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 （三）填空题 【变式训练12-1】在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【变式训练12-2】已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________. 【变式训练12-3】已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________． 【变式训练12-4】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，记.当取最大值时，直线的方程为 . 【变式训练12-5】抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______. 【变式训练12-6】已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________. 【变式训练12-7】已知O为坐标原点，已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q满足，则直线OQ斜率的最大值是 ． 【变式训练12-8】已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 【变式训练12-9】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 . 【变式训练12-10】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【变式训练12-11】已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【变式训练12-12】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【变式训练12-13】已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ． 【变式训练12-14】已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______. （四）解答题 【变式训练12-1】已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【变式训练12-2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 【变式训练12-3】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【变式训练12-4】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围. 【变式训练12-5】已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G. (1)若直线的斜率为求直线l的方程; (2)设点，若恒为锐角，求的取值范围. 【变式训练12-6】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【变式训练12-7】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【变式训练12-8】设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围． 【变式训练12-9】已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围. 【变式训练12-10】已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 【变式训练12-11】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线． (1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值． 【变式训练12-12】已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【变式训练12-13】已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、． (1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式训练12-14】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【变式训练12-15】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【变式训练12-16】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【变式训练12-17】设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【变式训练12-18】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的标准方程． （2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【变式训练12-19】 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【变式训练12-20】已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 【变式训练12-21】在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 【变式训练12-22】已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 【变式训练12-23】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 题型13：探索 抛物线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法. 【典型例题1】设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点） (1)求抛物线C的方程； (2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合三角形面积求解作答. （2）联立直线与抛物线C的方程，结合弦长公式求出，由已知建立关系推理作答. 【详解】（1）抛物线C：的焦点，直线的方程为， 由消去y并整理得：，设， 则，， 因此，而，解得， 所以抛物线C的方程为.    （2）存在，使得为定值. 依题意，直线，直线， 由消去y并整理得，设， 则，，， 设，同理，且有， 由，得，即，而，则， 所以存在，使得为定值0. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 【典型例题2】已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）设出直线方程，根据直线与圆相切求出斜率，然后联立抛物线方程求出的坐标，然后可求得三角形面积； （2）设出直线，联立抛物线方程求出的坐标，由斜率公式可得； （3）利用特例求出，然后点、、，写出直线的方程，结合圆心到直线的距离等于半径即可得证. 【详解】（1）当时，圆与轴不相切， 设过原点与圆相切的直线方程为， 联立消去得：， 由得， 不妨记直线的方程为，代入得：， 解得或，所以，由对称性可知，， 所以. （2）由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数， 设直线的方程为，即，， 联立得， 则，，即， 同理可得，又， 所以直线的斜率. （3）设，由题意可知，圆与抛物线没有交点， 当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称， 若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合， 此时直线方程为，直线的方程为，即， 依题意，，得 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则， 下证时，直线始终与圆相切： 如图，由上可知，三点的横坐标各不相等， 设点、、， 则直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，即， 同理由直线与圆相切得， 则、为方程的两个不等的实根， 则，， 点到直线的距离为， 即直线与圆相切， 综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切. 【典型例题3】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. （3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. 【变式训练13-1】设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．    (1)求与的方程； (2)若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值； (3)是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-2】已知椭圆： ()的左、右焦点分别为，为椭圆上的一点，的周长为6，的最小值为1，为抛物线的焦点. (1)求椭圆与抛物线的方程； (2)过椭圆的左顶点的直线交抛物线于两点，点为原点，射线分别交椭圆于两点，的面积为，的面积为，则是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练13-3】已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3. (1)求抛物线的准线方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练13-4】已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【变式训练13-5】过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由. 【变式训练13-6】已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练13-7】已知抛物线 的准线经过点 ． （1）求抛物线C的方程． （2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-8】如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【变式训练13-9】已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-10】已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． (1)证明：是常数； (2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-11】如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练13-12】已知在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线交于，两点，当平行于轴时，. (1)求的值； (2)是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与交于异于，的，两点，其中点在第四象限，直线，直线与轴的交点分别为（与不重合），设线段的中点为，求实数的取值范围. 题型14：证明 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）过点D作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义得，，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）证明：直线l：，令得，所以点， 因为直线平行于直线l：，且过点， 所以直线：， 设直线：， 联立，得， 所以，设点，， 由韦达定理可得，， 所以直线PB的方程为，直线QB的方程为， 联立解得， 同理可得， 所以 ， 因为，所以，即A是线段MN的中点． 所以． 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 【典型例题3】过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积. （2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可； （3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等. 【详解】（1） 由题意，直线不与轴重合，设的方程. 代入，并整理得. 由，得或. 设点，，则，. 所以. （2）由弦长公式，得. 线段的中点到轴的距离. 又，故. 由，得，解得（均满足）. 所以直线的方程为. （3）设点，，同理可得. 又直线的斜率. 由，，得. 设点，由，，三点共线，得. 化简，得. 又直线的斜率，故. 所以，故与的面积相等. 【变式训练14-1】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【变式训练14-2】已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【变式训练14-3】已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. (1)求抛物线的方程. (2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【变式训练14-4】已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与相切，与相交于两点（在轴的上方），且. (1)求的方程； (2)设过且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，过线段的中点的直线与轴交于点，且点在点的右侧，，证明：. 【变式训练14-5】已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【变式训练14-6】设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，． (1)求的方程； (2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0． （ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点． 【变式训练14-7】已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设的面积为，证明：． 【变式训练14-8】已知抛物线上的点到其焦点的距离为． (1)求和的值； (2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆． 【变式训练14-9】已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论 题型15：向量结合 【典型例题1】已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为， 联立，消得，设，则， 所以，圆的圆心坐标为，半径为1， 由已知可得，所以    故选：A. 【典型例题2】已知抛物线C的方程为，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（    ） A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短 B．为定值 C．当PM与C的准线垂直时，必有 D．至少存在两个点P，使得 【解析】如图所示，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，此时垂直于轴，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，直线的方程为，令，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形的中位线， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，所以满足的点恰好有一个，所以D错误. 故选：AB.      【典型例题3】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 【解析】   由题意易知，可设， 由，可得Q为AM中点，则， 又由可得:， 即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在， 故， 联立抛物线与直线AB可得 所以有 由抛物线定义得，故答案为：4 【典型例题4】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【变式训练15-1】已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练15-2】在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】已知过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若D为线段AB的中点，连接OD并延长交抛物线C于点M，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】（多选）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-5】（多选）已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ） A．当点在轴上时， B．当点在轴上时，点A的坐标为 C．当点A与点关于轴对称时， D．若，则点A与点关于轴对称 【变式训练15-6】（多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为 【变式训练15-7】已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 【变式训练15-8】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【变式训练15-9】已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式训练15-10】已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 【变式训练15-11】已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 题型16：参数范围 【典型例题1】已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A， 则， 所以的周长为.得，令，则， 有，即，解得(舍去)或， 所以，由解得.故选：A. 【典型例题2】已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，设直线的方程为，由， 得．设，， 则，，所以，． 因为为锐角，所以恒成立，即， 整理得，所以， 而，所以对于任意恒成立，所以． 由，解得，所以的取值范围为．故选:A． 3．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称， 设所在的直线方程为， 联立方程组，整理得，其中， 设，则，则， 又因为的中点在直线，可得，即， 将代入，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：B. 【变式训练16-1】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-3】已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-4】已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-5】（多选）已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．时，的最小值为 B．的取值范围是 C．当点是弦的中点时，直线的斜率为 D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有 【变式训练16-6】如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是 ． 【变式训练16-7】已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 【变式训练16-8】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 题型17：抛物线与数列 【典型例题1】已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； （2）因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； （3）由（2）得， 所以，而， 所以 . 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． (1)求的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）画出图形，根据圆的几何性质即可列方程求出，从而得到抛物线方程； （2）①设，求导，写出点作的垂线，联立抛物线方程得的横坐标为，从而得出，累加即可得证；②先得到，即当时，，从而通过放缩裂项求和的方法即可得证. 【详解】（1） 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； （2） ①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 【典型例题3】平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. （2）（i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 【变式训练17-1】已知抛物线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，再过点作斜率为的直线与交于点，记的坐标为． (1)证明：数列是等差数列； (2)设的面积为． （ⅰ）证明：数列为常数列； （ⅱ）为何值时，取得最大值，并求出该最大值． 【变式训练17-2】已知点在抛物线上，的焦点为． (1)点在上，且满足，求． (2)设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 【变式训练17-3】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． (1)求t的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积． 【变式训练17-4】已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【变式训练17-5】已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第02讲直线与抛物线位置关系讲义 目 录 思维导图… 02 高考分析…。 …2 学习目标… 3 知识要点 3 解题策略 10 题型归纳 10 题型01：直线与抛物线的位置关系 10 题型02：直线方程问题… .14 题型03：弦长问题… 18 题型04：中点弦问题（点差法） …37 题型05：焦半径公式… .48 题型06：焦点弦问题… .56 题型07：面积问题… 78 (一）三角形面积 .78 (二) 四边形面积 91 (三)面积的最值范围 98 (四)面积关系… 103 (五)面积求参 115 题型08：定点问题 133 题型09：定直线问题… .177 题型10：定值问题.… .196 （一）斜率定值… 196 (二)斜率和，积定值… ..199 (三) 距离及距离关系定值 205 (四)面积定值… …216 (五)参数定值 219 (六)向量定值… 226 题型11：切线问题。 ..229 (一）切线方程及切点线方程 229 (二)阿基米德三角形… ..252 题型12：最值范围. 258 题型13：探索. 313 题型14：证明 338 题型15：向量结合… .354 题型16：参数范围 367 题型17：抛物线与数列， …374 思维导图 十六：抛物线与数列 一：直线与抛物线的位置关系 十五：抛物线与向量 二：抛物线弦长问题 十四：证明 三：中点弦问题（点差法） 十三：探索问题 四：焦半径公式 直线与抛物线位置 十二：最值问题 关系 五：抛物线焦点弦问题 十一：抛物线的阿基米德三角形 六：面积问题 十：抛物线切线及切点弦 七：抛物线题型定点问题 九：抛物线题型定值问题 八：抛物线题型定直线问题 高考分析 一：考查地位 直线与抛物线的位置关系是高考解析几何必考核心考点，属于圆锥曲线大题高频题型，常和椭圆交替考查，难 度中等偏上，分值12分（大题），小题也常出多选、压轴单选。 二：高频考法 1.基础：联立方程、判别式、交点个数、弦长、中点、定点定值 2.综合：向量垂直/平行、面积最值、范围问题、存在性问题 3.热点：焦点弦、切线、阿基米德三角形、设而不求、点差法 4.命题趋势：弱化复杂计算，强化几何性质+代数运算结合，侧重逻辑推理与运算能力。 三：易错点 ①忽略直线斜率不存在的情况 ②抛物线开口方向不同，设点、设直线形式易错 ③判别式使用、韦达定理符号、弦长公式记错 ④焦点弦性质记混 学习目标 1.基础目标 ①会判断直线与抛物线相交、相切、相离三种位置关系 ②熟练掌握联立方程、判别式、韦达定理（设而不求）通法 ③熟记弦长公式、中点坐标公式、点差法适用场景 2.能力目标 ①能解决焦点弦、中点弦、定点、定值、最值、范围类大题 ②能结合向量、面积、不等式、导数解决综合问题 ③规范书写解析几何大题步骤，减少计算失误 3.素养目标 培养数形结合、转化与化归、运算求解、逻辑推理核心素养。 知识要点 知识点一：直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系的判断方法 当直线斜率存在时，将直线的方程y=+m与抛物线的方程yP=2px(p>O)联立成方程组，消元转化为关于 x或y的一元二次方程，其判别式为4. ky-2py+2pm=0 若k=0,直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若k≠0 ①4>0一直线和抛物线相交，有两个交点； ②4=0台直线和抛物线相切，有一个公共点； ③4<0台直线和抛物线相离，无公共点· 解题的通用流程 S1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即 x=x。)的情况；抛物线方程优先用标准形式。 $2、联立消元将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消y或x),得到关于另一个变量的一元方程 (可能是一次或二次方程). S3、判断方程类型： (1)若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切 线) (2)若得到一元二次方程：设其一般形式为Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0),计算判别式 △=B2-4AC,通过△判断位置关系来判断. 2.直线与抛物线只有一个公共点的问题 ①若点P在抛物线内，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有一条。 ②若点P在抛物线上，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条 ③若点P在抛物线外，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有三条若直线与抛物线有两个交点则 直线与抛物线一定相交；但若直线与抛物线相交，不一定能推出直线与抛物线有两个交点（还可能直线与抛物线的 对称轴平行，只有一个交点)， 知识点二：有关直线与抛物线的弦长问题 1.要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB=x+x+p，若不过焦点，则必须用一 般弦长公式 2.弦长计算方法： (1)由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得x1十2，根据抛物线的定义有|AB|=x1+2+P, 求弦长； (2)联立直线与地物线方程，结合弦长公式求弦长 满分技巧 1.一般弦长：设AB为抛物线y2=2px(p>0)的弦，A(x1,1),B(x2,y), AB=+k:-女三江+山-为(k为直线AB的斜率，且k≠O 2焦点弦长：如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x,)，B(x2,)，,AB的中点M(x,), 过点A,M，B分别向抛物线的准线1作垂线，垂足分别为点A,，B，M1, 根据抛物线的定义有AF=AA,BF=BB,AB=AF+BF=AA+BB, 故AB=AF+BF=AA+BB,. 又因为MM1是梯形AAB,B的中位线，所以AB=AA+BB,=2MM1, 从而有下列结论； (1)以AB为直径的圆必与准线1相切 2)=2七+号度点弦长与中点关利 A 7A(x1y1) (3)4B=x+x+p M M(xoyo) B B(x2,y2) (4)若直线AB的倾斜角为a,则AB=2? sina (5)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即x= 4，y2=-p2 2 (6) 为定值 AF BF 3.代数法解决直线与抛物线相交问题的常用技巧 (1)巧设方程。如直线AB经过F二，0 （2 若设直线方程为)y=号》 ,则斜率不存在的情况需单独讨论，所以 可将直线方程设为x=my+?。 2 (2）)巧消未知数。解与抛物线有关的问题用代数法消元时，消去抛物线方程中的一次项计算量更小，如若抛物线方 程为y°=2x,则消去x的计算量更小。 (③)已知点405，，B(,,)是抛物线y°=2x(或x=2p四)上两点则ko=2(成ka=三)。 y+y 2p 知识点三：中点弦的有关结论 设AB为抛物线的弦（弦AB所在直线的斜率存在且不为O),点M为弦AB的中点，O为坐标原点： 标准方程 结论 y2=2x(p>0) (y为中点M的纵坐标) yo y2=-2px(p>0) k=-卫 yo （,为中点M的纵坐标) x2=2p(p>0) 飞。=（为中点M的横坐标） x2=-2p(p>0) kB=-点(x,为中点M的横坐标) 已知直线y=+m与y2=2px(p>0)交于A(:,),B(x2,y2)两点，中点M(x,yo) 2=2p%① 将A,B两点代入抛物线方程，→ y22=2px2② ①-②→乃-业=2p,即k=卫 -x2乃+2 yo 结论①：在抛物线中，弦中点M(x,)与斜率k的关系式为：k=卫； yo 结论②：抛物线上一点P(o,)处的切线方程为：6y=p(x+),斜率（存在时）k=卫； 结论③：过抛物线外一点P(x，y)引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：oy=p(x+xo)· 1 结论④弦长公式：4B=+Fx-xF+以-化a=太≠0) 结论⑤直线AB的方程为y-。=卫(c-x,) 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为y-,=-(x-x) A 知识点四：求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4法) (1)少=A(A≠0)焦点为(0)，准线为x=- 4 (2)r=4A≠0)焦点为0，月，准线为y= 4 如y=4x2,即x2=y」 1 4 焦点为0，专，准线方程为)=16 16 知识点五：焦半径和焦点弦 (1)焦半径坐标公式 标准 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2(p>0) x2=-2py(p>0) 方程 焦半径 M=名+号 网=-+号 MF=⅓+ 2 =-光*+号 (2)焦半径的倾斜式 若P(X,y)为抛物线y>=2m(p>0)上任意一点，则PF=+号；1-0osa 卫 1 +1=2 BFI P FA:FB-1+cos 1-cose 知识点六：抛物线的焦点弦问题 过焦点F的直线I(倾斜角为B)与抛物线交于A,B两点，A(x,),B(x,),M(,y)为AB中点，过 A,B,M两点，分别做准线的垂线交垂线于A,B,N两点，则有以下结论： (1)x,= 4；4=-p2. (2)盘半径坐标式：+号BF卡出+号B非++P, 2 )焦轻倾式：叶1ogF卡1osaB-g 112 sn9,且4o+Fp 45ne4Bd-2p号m0=,” 2 sin20 2 2sine (5)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者BF为直径的圆与Y轴相切； (6)A,O,B三点共线，B,O,A三点共线. 6 ()AB≤90,4FB-号 B (8)kAB·=卫. (9)过A,B分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为N,且MN与x轴平 M 行 E A19 4 (10)AN⊥BN,AB⊥NF. (11)SMABN≥p. 知识点七：抛物线的切线方程 1.抛物线x2=2py(卫>0)的切线 先将抛物线x=2p四(P>0)转化为函数)= 2p的图象，然后直接求导得到)-方，因此抛物线=2m0>0)在点 P(x,)处的切线方程为少-片=(x-）,又=2m,所以切线方程为x=p(+）.如图. 4 综上，抛物线x=2py(p>0)在点P(,)处的切线方程为xx=p(y+y). 抛物线y°=2x(p>O)的切线方程为yy=p(x+x),(x,y)为切点 切点弦方程为y=p(x+),点(x,y)在抛物线外 2.抛物线y=2px(p>0)的切线 如图，先将抛物线y=2px(卫>0)的图象一分为三，x轴上方为一部分，x轴下方为一部分，原点处单独讨论. ①易得抛物线y°=2px(p>0)在原点处的切线方程为x=0. ②抛物线y°=2px(p>0)在x轴上方的部分可以看成y关于x的某个函数的图象，于是在y°=2px两边对自变 量x求导，得到2-2印（隐函数求导，详见层数部分大招）.进面得到广号，因此抛物线y°=2p>0 在点P(%)处的切线方程为y-%=(-x),又片=2匹，所以y=px+x). ③依葫芦画瓢，当点P(x,)在x轴下方时，切线方程也为y=p(x+x). 结合①②③可得，抛物线y2=2px(p>0)在点P(x,y)处的切线方程为yy=p(x+x). 知识点八：抛物线的硬解定理 1.抛物线y=2px(p>0)的硬解定理 如果Ax+By+C=0(A≠0)与抛物线y=2px(p>O)有两个交点E(x,),F(x,y).先将直线 Ax+By+C=0(A≠O)与抛物线y°=2px(p>0)进行联立， 得到2D广+B+C=0,于是判别式4=B-24C>0, A 卫 片+=-2PB 再根据韦达定理得到 A, y3= 2pC A 于是有(-)=(+⅓)°-4，=42△ 2.抛物线x=2y(p>0)的硬解定理 如果直线Ax+By+C=0(B≠0)与抛物线x=2y(p>O)有两个交点E(x,),F(x,).先将直线 Ax+y+C=0(B≠0)与抛物线x°=2py(p>0)进行联立， x++C=0,于是判别武4=A-2C>0, 得到2p 2DA x1+x2=- B 再根据韦达定理得 2pC Xx2= B 于是有(，-)广=（化+x户-4xx=42△ B2, 2PNA+B2N公 B (实际上与抛物线y°=2px(p>O)的硬解定理的区别就是把A,B对调了一下) 知识点九：取值范围问题 圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围。 知识点十：取值范围问题 求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参 数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点(xo,yo),常利用直线的点斜式方程y0=k(x-x)或截距式y=kx+b来证明. 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关· 2、直接推理法①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程包 含直线方程中的常量当成变量，将变量x,y当成常量，将原方程转化为k(x,月+ Sx,月=O的形式(k是原方程中的常量；②根据直线过定点时与参数没有关即直 线系方程对任意参数都成立，得到方程组x,月=0，③以②中方程组的解为坐标 x,)=0; 的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决· 知识点十一：与抛物线有关的最值问题 最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之 和大于第三边”，使问题得以解决。 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原 理解决. 求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式； ②利用△>O求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最 值（范围） 解题策略 解抛物线选择填空题技巧 (1)定义法（核心）：利用“抛物线上点到焦点=到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复杂联立， 小题秒杀首选。 (2)待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数卫，快速写方程，基础 题必用。 (3)韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换+x,xx,求弦长、中点、面积、定点定值， 大题核心解法。 (4)性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦长 AB2p sine (5)数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，错解。 (6)坐标转化法：设抛物线上点坐标（如y=2匹设为（宁，）)，简化向量、距离、斜率计算，减少运算量。 2D 题型归纳 题型01：直线与抛物线的位置关系 【典型例题1】已知抛物线C:y°=4x的焦点为F,过点A(0,2)且与抛物线C有唯一公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为y=4x知F(1,0) 当过点A的直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与地物线C有唯一公共点. 当过点A的直线斜率为0时，直线方程为y=2，满足直线与抛物线C有唯一公共点· 当过点A的直线斜率存在且不为O时，设直线方程为y=a+2, y=+2, 由=4，得关于x的方程kr+(4-4)x+4=0, 10 1 令△=(4k-4)2-4×4×k2=0,解得k= 此时满足条件的直线有1条。 综上，过点A与抛物线C有唯一公共点的直线有3条， 故选：C 【典型例题2】“K= ”是“直线y=:+1与抛物线y=2x只有一个公共点”的（) 2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得歌x+(2k-2)x+1=0，分k=0和k≠0，讨论方程只有一个解可得歌=0 或K= 2,再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案 【详解】若直线y=a+1与抛物线y=2x只有一个公共点， 则方程(a:+1)=2x只有一个解， 即方程k2x2+(2k-2)x+1=0只有一个解， 当k=0时，-2x+1=0恒有一个解； 当k≠0时，(2k-2)2-4k2=0,得k= 2’此时方程只有一个解。 即直线y=+1与抛物线y=2x只有一个公共点，可得k=0或k= 放k=2”是“直线)》c+1与抛物线广=2x只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式训练1-1】已知抛物线C:y°=2x,直线1过点P(0,1)且与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l的条数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】判断过点P可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点P(0,1)在抛物线C外，显然过P可作两条直线与C相切， 过P可作一条与C的对称轴（即x轴）平行的直线，它与C也只有一个公共点. 所以满足条件的直线1有3条， 故选：C 【变式训练1-2】过点(1,4)且与抛物线y°=4x恰有一个公共点的直线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与尤轴平行时，直线与x轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况， 结合△=0，即可求解 【详解】当直线过点(1,4)，且与x轴平行时，此时直线y=4与抛物线y=4x只有1个公共点； 11 当直线过点(1,4)，且与x轴垂直时，此时直线x=1与抛物线y=4x有2个公共点； 当直线过点化)，斜率存在且不为0时，设直线y-4=(x-)→x=1+”,代入抛物线旷=4，得： y-4y+164=0, k 因为a-(-404小=162+-6 由△=0→k2-4k+1=0,因为(-4)-4×1×1>0，所以方程k2-4k+1=0有两根， 故过点(1,4)可以作两条直线与抛物线相切， 综上，过点(1,4)共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 【变式训练1-3】已知抛物线C1:y°=4x与抛物线C:x=4y,则() A.过C与C焦点的直线方程为x+y=4B.C1与C只有1个公共点 C.与x轴平行的直线与C1及C最多有3个交点D.不存在直线与C1和C都相切 【答案】C 【分析】对于A,利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B,联立方程组求解方程组即可判断；对于C, 利用抛物的性质即可判断；对于D,根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断 【详解】由题意可知C1的焦点为(1,0)，C的焦点为(0,1)， 过C与C焦点的直线方程为+片=1，即x+)=1,A错误： y2=4x 「x=0「x=4 x=4y,解得y=0或y=4: 由 所以C1与C有(0,0)，（4,4)2个公共点，B错误； 由抛物线C1:y°=4x知，开口向右，对称轴为x轴， 所以与x轴平行的直线与C1有1个交点， 由抛物线C:x=4y知，开口向上，对称轴为y轴， 所以与C最多有2个交点，C正确； C1与C关于直线y=x对称，若存在直线与C1和C,都相切，则该切线也关于直线y=x对称，不妨设为y=-x+t, 与x°=4y联立得x2+4x-4t=0,由△=0得t=-1, 所以直线y--x-1与C1和C都相切，D错误. 12 故选：C 【变式训练1-4】对于抛物线C:y°=4x,若点(x,y)满足y6<4x,,则直线1：y=2(x+x)与抛物线C() A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.有一个或两个公共点 D.没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用△的符号判断交点个数 y2=4x 【详解】联立 y=2(x+x)' 消去x得：y°-2y。+4x。=0, 所以△=4y6-4×4x。=4(y-4x), 因为y%<4x, 所以△<0，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式训练1-5】已知直线1与抛物线x°=2y(p>0)只有一个公共点，则直线1与抛物线的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确， 故选：D 【变式训练1-6】已知直线1：y=k(x+1),抛物线C:y=4x,1与C有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应修的取值个数即可. 【详解】联立直线1：y=k(x+1)和抛物线C:y2=4x方程可得k(c+1)=4x, 整理可得kx2+(2k2-4)x+k2=0, 直线1与C有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当k=0时，方程为-4x=0仅有一解，符合题意； 当k≠0时，一元二次方程x2+(2k2-4)x+k=0仅有一解， 即△=(2k2-4）-4k2·k2=0,解得k=±1， 所以满足题意得直线有三条，即y=0,y=x+1和y=-x-1. 故选：C 21.过点M(0,4)作直线1与抛物线y°=8x只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0, 此时与抛物线y=8x只有一个公共点(0,0)，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=+4, y=kx+4 由y=8x，得kx+8k-0x+16=0, 当k=0时，符合题意； 当k≠0时，由△=64(k-1)°-64k2=0,可得= 2, 1 即当k=)时，符合题意.综上，满足条件的直线有3条。 【变式训练1-7】在平面直角坐标系Oy中，点M到点F(1,O)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C. (1)求轨迹为C的方程 (2)设斜率为k的直线1过定点P(-2,)，求直线1与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围. 【解析】(1)设M(x,月是轨迹C上的任意一点， 因为点M到点F(1,O)的距离比它到y的距离多1，可得M=x+1, 即V(x-1)?+y2=x+1,整理得y°=2+2x, 4x,x20 所以点M的轨迹C的方程为y°= 0,x<0· (2)在点轨迹C中，记C1:y=4x(x≥0)，C2:y=0(x<0), 因为斜率k的直线I过定点P(-2,),不妨设直线l的方程为y-1=k(x+2), y-1=k(x+2) 联立方程组y=4x ,整理得2-4y+4(2k+1)=0, 当k=0时，y=1,此时x=4,可得直线：y=1与轨迹C恰好有一个公共点(41； 当k≠0时，可得△=-16(2k2+k-1),不妨设直线I与x轴的交点为(x,0), 令0，解得6=-2水+1 k' △=-16(2k2+k-1)<0 若直线1与轨迹C恰好有一个公共点，则满足 j=2k+1<0 k 解得k<-1或k>2: 、1 综上，当k∈(-0，-U(3+U0)时，直线I与轨迹C怡好有一个公共点 14 题型02：直线方程问题 有关直线与抛物线的问题，解题方法如下： (1)根据题意，列出等量关系式求得p的值，得到抛物线的方程，利用点在抛物线上点的坐标满足抛物线方程，求得的值； (2)根据题意，设出点的坐标，根据重心坐标公式，列出等量关系式，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，联立求 得点的坐标，进而求得直线方程 【典型例题】已知三角形ABC内接于抛物线C:y2=2pxp>O),抛物线的焦点为F,三角形顶点A(2,m(m>O)到 抛物线C准线的距离为10， (1)求m,p的值. (2)若△ABC的重心恰是抛物线的焦点F,求BC所在的直线方程. 【答案】(1)m=8,p=16;(2)1Rcy=-4x+40, 【分析】(1)根据抛物线上的点A(2,m(m>O)到准线的距离，列出等量关系式，求得p的值，得到抛物线的方程， 将点的坐标代入抛物线方程求得m的值； (2)设B(x2,y2),C(x3,y3),利用三角形重心坐标公式得到2+x3=22y2十y3=-8,根据抛物线上的点满足抛 物线方程，求得点的坐标，进而求得直线方程。 【详解】(1)因为A到抛物线C准线的距离为10=卫+2→p=16, 2 A(2,ml(m>0)代入抛物线Cy2=32x,得m=8. (2）由(1)得F8,O),A(2,8,设B(x2,y2,C(x3,y3, 则2+x2+x3=24,8+y2十y3=0, -=语 x3=11+V21 所以k=2=8V21=-4,即1Bcy=-4x+40 X2-X3 -2V21 【变式训练2-1】如图，点A(2,8,B(x1y1小，Cx2y2在抛物线y2=2px上，且抛物线的焦点F是△ABC的重心， M为BC的中点， B 15 (1)求抛物线的方程和点F的坐标； (2)求点M的坐标及BC所在的直线方程. 【答案】(1y2=32x;F(8,0) (2)M(11,-4);4x+y-40=0 【分析】(1)将A(2,8)代入y2=2px求得p值，得到点F的坐标； (2)设点M的坐标为xO,yo),根据AF=2FN即可求出线段BC中点M的坐标； 由二32x1得kC=-4,再求出直线BC所在直线的方程 y22=32x2 【详解】(1)由点A(2,8)在抛物线y2=2px上，有82=2p×2,解得p=16. 所以抛物线方程为y2=32x,焦点F的坐标为(8，O). (2)由于F是△ABC的重心，M是线段BC的中点， 所以A=2FM,设点M的坐标为(xO,yO), 则AF=(6,-8),FM=(x-8,y0, 6=2x98,解得x0=1y0=-4,所以点M的坐标为11，， 由32y2+yy2y=32xx· 2=32x2 因为M(11,-4)为为BC的中点，故y1十y2=-8, 所以2=-4=kBc, X2-X1 因此BC所在直线的方程为-(-4)=-4(x-11), 即4x+y-40=0. 【变式训练2-2】已知点M到点F(色，0)的距离与它到直线：x=-三的距离相等 2 (1)求点M的轨迹方程； (2)求过点C(O,-2)与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程 【答案】(1)y2=6x;(2)x=0或y=-2或3x+4y+8=0. 【分析】(1)用定义法判断M的轨迹为抛物线，写出轨迹方程； (2)设出直线方程，利用只有一个交点（分斜率不存在、斜率存在及与x轴平行或重合）求出直线方程即可. 【详解】解：(1)由点M到点F(已，0)的距离与它到直线：x=三的距离相等， 可得点M的轨迹为以F(,O)为焦点x=-3为准线的抛物线 16 ∴.M的轨迹方程为y2=6x (2)①当过点C(0,-2)的直线斜率不存在时 方程x=0与v2=6x恰有一个交点，符合题意. ②当过点C(0,-2)的直线斜率存在时，设方y=kX-2 联立5kKx2消去y整理得，k2x2-(4k+6x+4=0 当k=0时，方程为灯=-2解得x=子，有一个交点气，-2)，符合题意 3 当k≠0时，△=(4k+6)2-4×4K2=0解得k=号 方程为y=-3x-2即3x+4y+8=0 4 综上，过点C(O,-2)与点M的轨迹怡有一个交点的直线 方程为x=0或y=-2或3x+4y+8=0. 【变式训练2-3】已知抛物线E:x2=2pyp>O)上一点P的纵坐标为4，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线E的方程 (2)已知两直线11l2分别经过点F和H(O,-1),1,与抛物线E交于A,B两点，12与抛物线E在第一象限相切于点M,且 △ABM的面积为8V5,求1，的直线方程 【答案】(1)x2=4y(2)y=2x+1 【分析】(1)根据抛物线的定义，由4+卫=5求出P,得到抛物线方程； (2)根据12与抛物线E在第一象限相切于点M,利用△=0求出12，得到M点坐标， 根据点到直线距离及弦长AB可得△ABM的面积，即可求出斜率，得到直线，方程 【详解1(1)因为抛物线的准线为=号则4+号=5， 2 解得p=2, 所以抛物线的方程为x2=4y (2)由已知设直线1y=kx+1,由三1消去封得x2-4kx4=0, x2=4y 这时△=16k2+1)>0恒成立， IABl=V1+k2V16k2+1)=4k2+1) 同理可得直线2y=kx-1,由ykX消去y得x2-4kx+4=0 (x2=4y △=16k'2-1)=0, 解得k2=1 点M第一象限，则k=1 9 +1 yw-1山=4 =1 XM XM 六Xw=2 M2,1, 12kl 则M到1，的距离d= V1k2+1 21k ÷S=1×4k2+1)× =8W5, 2 V1k2+1 解得k=2, 故直线11方程为y=2x+1. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积，属于中档 题 【变式训练2-4】已知抛物线C:y2=2pp>O)的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于A,B两点，弦AB的中点 的横坐标为，AB=5. (I)求抛物线C的方程； (Ⅱ)若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线C相切的直线方程 【答案】(I)y2=4x(Ⅱ)y=2x+1 2 【分析1(1)由题产=子再利用地物线的定义求p的值，即得抛物线c的方程：(）设直线的方程为 2 y=k(x-1),k>O.根据已知求出k=2,设与直线1平行的直线的方程为y=2x+b,根据直线和抛物线相切求出b 的值得解 【详解】(I)设A(x1y1,B(x2y2,， 因为AB的中点的横坐标为，所以十型=3 2 2 根据抛物线定义知ABl=IAFl+|BF=p+x1+x)=5. 所以p+3=5,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (Ⅱ)设直线的方程为y=k(x-1),k>0. 则由y兰k2-22+4x+K=0 所以1+=2兰，即2=3，解k=2. 1k2 设与直线1平行的直线的方程为=2x+b, (y22x。得4<+4b-4k+b=0 18 依题知△=(4b-42-1662=0,解得b= 2 故所求的切线方程y=2x+ 2 【点晴】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力， 【变式训练2-5】已知抛物线y2=2pxp>0)的焦点与双曲线yY2=1的一个焦点重合. (1)求抛物线方程； (2)若直线1：y-kX-2=0与抛物线只有一个交点，求直线方程. 【答案】(1)y2=8x;(2)y-2=0,或x-y+2=0 【解析】(1)利用抛物线Cy2=2pxD>0)的焦点与双曲线y2=1的一个焦点重合，求出p,即可求抛物线C的 标准方程； (2)联立直线与抛物线方程，消去x得-ky2+8y-16=0,分二次项系数为零与不为零两种情况讨论，即可求出参 数k的值，从而得到直线方程； 【详解】解：（1)双曲线写y2=1的一个焦点为2,0， 卫=2，p=4, 2 ·抛物线C的标准方程为y2=8x; (2)因为直线y-kx-2=0与抛物线只有一个交点， 联立方程得Y28x0，消去x得-kv2+8y-16=0, 当k=0时，8y-16=0显然有一个交点，满足条件，此时直线方程为y-2=0; 当k≠0时，△=82-4×(-k)×(-16)=0,解得k=1,此时直线方程为x-y+2=0; 综上可得，直线方程y-2=0或x-y+2=0 【点晴】本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系求参数的值，属于中档题 题型03：弦长问题 【典型例题1】已知抛物线E,:y°=4x的焦点为F,过F且斜率大于零的直线1与E,及抛物线E:y°=-4x的公共 点从右到左依次为点A、B、C,则AB=() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 19 F 【解析】如下图所示： O 易知抛物线E,:y°=4x的焦点为F(1,O), 设直线1的方程为x=my+1(m>0), 因为直线1与抛物线E,相切， x=my+1 联立广-4r，可得y+4m+4=0, 则△2=16m2-16=0,因为m>0,解得m=1, 设点A(,y)、B(x2,y）, x=y+1 联立y4红，可得x-6x+1=0,△，=36-4>0， 由韦达定理可得x+x2=6,AB=大+x2+2=8,故选：C 【典型例题2】已知抛物线C:y°=2x的焦点为F,准线为1，过F的直线交抛物线C于A,B两点，AF的中垂线 分别交1与x轴于D,E两点(D,E在AB的两侧)，若四边形ADFE为菱形，则AB=() 16 8 4 A. B.3 C.3 D.2 3 y E 【答案】B 【解析】由四边形ADFE为菱形，如下图示，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5， 由抛物线性质知：AD=AF,则∠4=∠2，故∠1=∠2=∠5， 又4+∠2+∠5=180°，故4=60°，所以4B=2P=8 sin2∠13 公式AB到=2p sn∠1，证明如下： 令直线AB(斜率存在)为y=kx-孕，代入少=2px,则k(x-号=2m, 20 整理得kx-pk+2r+P=0,若+，=p+ 2p 4 3, 而ABxA+g+p=2p0+园)， 若直线倾斜角为8（不为直角），则k=tan0, 1 所以AB=2P1+,一 )=2p sin20+cos20 2p tan? 1+tan20=2p:9 tan sin20 sn0·故选：B 1 1 【典型例题3】已知抛物线广=4的焦点是F,直线AB,CD均过焦点F且互相垂直，则AB十CD的值是 1 A. 2 C. 4 B. D.4 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公 式求解AB和CD即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， A B A 该抛物线的焦点F(1,O), 因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 1 设AB的斜率为k,则CD的斜率为， 直线AB的方程为y=k(x-1), 与抛物线联立得：k(x-1)2=4x→k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 则1AB=x++P 2k+4+2=4k+D k2 同理可得CD上4(k2+1), k2 1k2+11 因此，AB+CD4k+)4k2+)4K+D4 故选：D. 【典型例题4】已知抛物线y2=2pxp>01的准线方程是x=之直线xy-2=0与抛物线相交于M、N两点。 (1)求抛物线的方程； (2)求弦长|MN|; 21 (3)设O为坐标原点，证明：OM1ON, 【答案】(1y2=2x; (2)2V10; (3)详见解析. 【分析】(1)根据抛物线的准线方程求解； (2)由直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解； (3)结合韦达定理，利用数量积运算证明； 【详解】(1)解：因为韆物线=2px>01的准线方程是x=号 所以-卫=-1 解得p=1, 2 所以抛物线的方程是y2=2x; 22,02-6x+1=0, 设M(x1y1),N(x2,y2), 则x1+X2=6x1'X2=4, 所以MN=V2V(x1+x)2-4x1‘x2=2V10; (3)因为OM.ON=x1'x2+y1‘y2' =2x1°X22(x1+x2)+4, =2×4-2×6+4=0, 所以OM⊥ON, 即OM⊥ON. 【典型例题5】已知A,B两点的坐标分别是(-1，-1)，(1，-1)，直线AC,BC相交于点C,且直线AC的斜率与直线BC 的斜率的差是2. (1)求点C的轨迹Γ的方程； (2)已知T上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线y=。x+m对称 2 ①求m的取值范围； ②若aPOR为等边三角形，求PO. 【答案】(1)x=-y(x≠±1) ②105 11 【详解】(1)设点C(x,y),x≠±1. 因为直线4C的斜率与直线BC的斜率的差是2，所以+)！2， x+1x-1 (y+1)(x-1)-(y+1)(x+1)=2x2-1, 22 化简得：x=-y(x≠1). (2)①因为P,2关于直线y=2c+m对称，所以直线P的斜率为-2. 设直线P的方程为y=-2x+n,P(x,),(x,y2), y=-2x+n, 联立 y=-x2, 消去y可得x2-2x+n=0. △=4-4n>0, 所以 x+x2=2, 所以PQ中点坐标M(1,n-2),n<1. 因为点M在直线y=x+m上，所以m=n 2 53 因为n<1,所以m=n- 2<-2, 因为曲线方程x=-y(x≠±1)，即曲线上要挖掉两点A(1,-1),B(1,-1), 即直线PO不能经过点A,B, 11 若直线PQ过点A,则m= 2’ 3 若直线PQ过点B,则m= 2 除上所法的取位能可足告引 v--2x+n ②因为△PR为等边三角形，所以点R在直线y=x+m上. 设。.则--G-w-日4， pe=+=5+x)-4x=2v5-n. 所以-Pe,pK-=2w5-, 化简得，(x。-1)=12(1-n)①. 23 因为点只在直线y+以3上，所以关+n 1 由①②消n得，11x,+8x。-19=(x。-1)(11x。+19)=0. 因为西1，所以心。=一， 所以g2yRu-25,55-1o5 X 311 11 【典型例题6】已知O为坐标原点，A,B是抛物线y=2x(p>O)上异于原点的两个动点 (1)若△AOB为等边三角形，证明：A,B关于x轴对称； (2)设点A位于第一象限，在)的条件下，若△AOB的面积为3V3,求OB边上的中线所在直线截抛物线的弦长. 【答案】(1)证明见解析； 10 231 【详解】(1)设A(x,y),B(x,y)(≠y2), 由A,B在抛物线y=2x(p>0)上，则 片=2px, y:=2px,, 又△AOB为等边三角形，则OB=OA,从而+y=x+y 因此y+4py=y+4p2·y→(y,-y2)(y+y2)(y++4p）=0, 又乃≠y2,所以当=一2，从而x=x2, 故A,B关于x轴对称. (2)设等边△AOB的边长为a, 由8.as=)asn60°=35，解得a=25, 1 由(1)可知A,B关于x轴对称，故yA=V5,=-V3,故A33),B3-5), 因为点A3V3)在抛物线y=2px(p>0)上， 所以(=2p32p, 故抛物线的方程为y=x. 因为V 3，等边三角形的中线与高线重合， 所以OB边上中线所在直线方程为y-V3=V3(x-3),即V5x-y-23=0. y2=x 由 V3x-y-25=0'消去y整理得3-13x+12=0,解得x=3,或x= 3， 24 因此直线与抛物线的另一个交点坐标为 42v5 3 4 故弦长为 5+ 23 10 【变式训练3-1】设抛物线C:y°=2x的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于A,B两点，则AB的最小值为 () A. B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到y+》=2m,y3=-1,再利用弦长公式表示出弦 1 1 长，进面求出最小值，方法二利用二级结论得到丽十丽之，再对条件合理交形4=4F+BF,再利用基本 不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【详解】方法一：由已知得F 2 ,0,直线1的斜率不为0， 1 如图，设A(x,),B(x,y),设直线1的方程为x=m四+ 2, F OXB y2=2x 联立方程组 ,1,得到y-2y-1=0,且易得△>0， x=my+- 则由韦达定理得片+y,=2m,y3=-1, 由弦长公式得AB到=V1+m2以-=1+m2.Vy+)-4y,=21+m)≥2， 故当m=0时，AB取最小值，且该值为2，故C正确 故选：C. 1 12 方法二：由二级结论得AFBF可 =二=2，易得AB=AF+BF, 11-1+BF++D 面，AF+BFA丽B丽厂20+MBF (1+ ≥1+2 2 BF×A+D)=2,当且仅当AF例=BF=l时等号成立，故C正确， AF BF 故选：C 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而AB≥2p=2,故C正确， 故选：C 【变式训练3-2】已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线1过F且与C交于A,B两点，若 直线M的斜率为，则4B=() 25 A.5 B.21 C.1 4 D. 4 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物 线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. YA 【详解】M O 如图作AE垂直于准线，垂足为E,可知设AE=AF=r, 直线M的斜率为亏得，an∠E4M=tan∠AF- 5 则ME=,由勾股定理得：AF=ME+(4E-MF), 4 即产-（3+-2，化简得4-25r+25=0, 解得=5或=4’ 当直线AB斜率存在时，设为y=k(x-1),与抛物线C:y=4x联立消元得： r-(2k+4x+=0,设交点A6y).B(3,）,则西+2=24 2,5=1, 2k2+2+2 1 11+1=x+x+2 :t? =1, 而4F+BFx+1x+1(G+10+)1+2k+2+1 k2 当直线AB斜率不存在时，AF=BF=2, 综上，AF十F1, 26 由4-5得B-,此时4B=4+B- 4 25 由4例=得BF=5,此时B=4F+BF= 故选：D. 【变式训练3-3】已知抛物线C:x2=2y(p>0)过点M(2,1),过M且与OM.(O为坐标原点)垂直的直线1与抛物 线C交于另一点N,则N=() A.125 B.65 C.5 D.25 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线MN的方程，再联立两个方程求出弦长 【详解】由抛物线C:x=2py过点M(2,1),得p=2,抛物线C的方程为x=4y, 直线OM的斜率为2，则直线MN的方程为y-1=-2(x-2),即y=-2x+5, y=-2x+5 由 x2=4y 消去y得x2+8x-20=0,解得=-10，x=2, 所以MN=V1+(-2)2|x-x,=12N5 故选：A 【变式训练3-4】过抛物线C:y=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点，其中点A在第一象限，且AF=4,则AB () 6 A.3 0 B.6 C.3 D.8 【答案】A 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点A坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长 【详解】易知l的斜率存在，设A(x,乃1)，B(x,y2), 则4=+号+1=4，得=3， 因为点A(3,)在C上，所以=4×3=12， 又点A在第一象限，故=2V3,所以A32, 又FL0),所以k=k知-25：0-5， 3-1 所以直线1的方程为y-0=V3(x-1),即y=V3(x-1). y=3(x-1), 联立 y2=4x, ，得3x-10x+3=0,则写+x=10 27 由抛物线的定义，得AB=x,+x+p= 0+2=16 1 故选：A 【变式训练3-5】点A(与原点O不重合)在抛物线y°=4x上，直线OA与抛物线的准线交于点B,过点B且平行 于x轴的直线交抛物线于点C,则AC的最小值为() A.2N2 B.4 C.4v2 D.8 【答案】B 【份析令4公m且m0,进面求得C,,应用两点距离公式并整理我 m AC /1 m° +m)+4，应用换元法、二次函数性质求最值即可 【详解】令4( m)且m≠0，则04)产，联立港物线准线x=1,可得(1-马 m 令4r=16 m24、 4 2+(m+ m 4 m2 m m㎡+1+0m+16)+4, 16、 所以ACF V16 m 令t=m2+ 216 m≥2m2. 16. =8，当且仅当m=±2时等号成立， ￥m 所以ACF +t+4= V16 t+8)在[8，+∞)上单调递增， 16 所以AC的最小值为4. 故选：B B 【变式训练3-6】若直线1经过抛物线x=4y的焦点，与该抛物线交于A,B两点，且线段AB的中点的纵坐标为 3,则线段AB的长为· 【答案】8 【解析】抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),直线1与抛物线交于两点，则其斜率存在， 设1的方程为y=a+1,A(x,),B(,》), x2=4y 则由 y=kx+1 得x2-4a-4=0, +x2=4k,xx=-4, 又+片=x+x)+2,所以业-1，即3=2水+1，=， 2 2 28 所以AB=V1+k2x-x,=1+1×V(x+x,)2-4x2=V2×V16-4×(-4)=8. 【变式训练3-7】在平面直角坐标系x0y中，已知如点F0,3E2,-3,动点c满足关系式0F心=3C (1)求动点C的轨迹M的方程； (2)过点F作一直线AB交M于A,B两点，若△BOF的面积是△AOF的面积的2倍，求弦长|AB|. 【答案】(1)×2=12y;(2)2 【分析1()设动点cxy,则有oF=0,3Ec=(x-2y+3.c=(x,3-y由l6.Ed-3l可得动点c的 轨迹M的方程； (2)设A(x1,y1),B(x2,y2,由SABOF=2SAAo得到x2=-2x1:将其代入韦达定理可解得k,进而由弦长公式得到 弦长|AB 【详解】(1)设动点C(x,y,则有0F=(0,3),EC=(x-2,y+3),CF=(-x,3-y) 又由lod=3lcl 得13y+31=3Vx2+3-y2, 化简得x2=12y.故所求动点C的轨迹M的方程为x2=12y: (2)如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),由SABOF=2 SAAOF 得loFlIx2=2×l0Fllx1,且x1x2<0,可得x2=-2x①. 由于直线AB过点F(O,3),显然直线AB与x轴不垂直， 设直线AB的方程为y=kx+3,代入方程x2=12y中， 整理得x2-12kx-36=0,其△>0显然成立， 由韦达定理得x1十x2=12k②，x1x2=-36③ 由①②得x1=-12kx2=24k,代入③得k=±2 4 由弦长公式得ABl=V1+k2·x1-X2=V1+k2·|36k=22 2 29 【点晴】关键点点睛：第(2)问的关键点是：设A(x1,y1),B(x2,y2),由SABOF=2S△Aor得到x2=-2x1 【变式训练3-8】已知直线1经过抛物线v2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点。 (1)若直线的倾斜角为60°，求AB的值； (2)若以线段AB为直径的圆截y轴所得到的弦长为6，求此圆的半径. 【答案】(1)1AB=8;(2)5 4 【分析】(1)由倾斜角求直线的斜率k,抛物线方程求F点坐标，由直线过地物线焦点F,写出直线方程，联立直 线与抛物线方程，应用韦达定理得x1十x2,结合抛物线定义知AB|=x1十x)+p即可求弦长； (2)先讨论直线的斜率不存在时得不满足条件，再讨论直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x-(k≠o, 联立方程得以线凤B为直径的周的网心为兰，引，半径为r=人8=兰，进面根振题意得9+g2 2k21 =(@9,解方程得k=土2，代入r=ABl=即可得答案， 2k2 21k2 【详解1解：(1)由直线1的倾斜角为60°，则斜率k=tan60°=V3.又F(已，0)， 直线的方程为y=V3(x) y2=6x 联立yV3x到，消去y得x2-5x+?=0. A 若设A(x1y1),B(x2,y2.则x1+x2=5, 而IAB1=IAF1+IBF1=x1+号+x2+号=x1+x+p,且D=3, lABl=5+3=8. (2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=号1AB=2p=6, 此时以线段AB为直径的圆的方程为x+y=9,截轴所得到的弦长为3V3,不满足条件； 1 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x-Gk≠o), y2=6x 联立yk(x 消去y得k2x2-(6+32)x+k2=0, 设AK1y.B(xy2-则1+=色，X=号 所以y1+y2=k(x1-)+k(2-)=kx1+x)广3k=+6-3k=, k 所以|AB|=x1十2十p=x1+X2=+6+3=62+6 1k2 1k2 所以以线段AB为直径的圆的圆心为，引，半径为r=AB=, 21k21k 2k2 3 因为以线段AB为直径的圆截y轴所得到的弦长为6 所以(2±92+32-(（2+2，整理得9K2K2-)=0,解得k2=4, 2k2 22 所以圆的半径r=ABl=66=-5 21k2 84 【点睛】关键点点睛： 【变式训练3-9】已知抛物线广=2x(p>0)的准线方程是x=-} 2 (1)求抛物线的方程； (2)设直线y=k(x-2)(k≠O)与抛物线相交于M,N两点，若MN=2N10,求实数k的值 【解析】(1)因为抛物线少=2x(p>0)的准线方程为x=-?, 2 所以号2，每得P=1, 所以抛物线的方程为y°=2x (2)如图，设M(:,),N(x,) 将y=k(x-2)代入y=2x, 消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. 当△=4(2k2+1)2-4k2.4k2>0时， X1十2= 2(2k2+1_4k+2,xx=4. k2 IMIN=1+=+k)-4x MN=1+k (4k2+2 -16=2√10， k4 化简得：(1+k2)16k2+4)=40k4,解得k=1, 经检验，此时△>0，故k=1 【变式训练3-10】已知抛物线C的焦点F是直线x+y-2=0与x轴的交点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点F的直线1交C于A,B两个不同点，且AB=16,求直线I的方程 【答案】(1)y2=8x (2)y=x-2或y=-x+2 【详解】(1)根据题意，直线x+y-2=0与x轴的交点为(2,0)， 所以抛物线C的焦点F(2,O), 31 则抛物线C的标准方程为y=8x; (2)设A(x,),B(x2,y2), 当直线I的斜率不存在时为x=2,此时AB=8,不符合题意： 故设y=k(x-2)(k≠0)， 联立方程组 。2，得x-42+2x+4 y2=8x 4(k2+2) 则x+= 根据能物线定义1B=4+B-十2++2-4公+2引+4-16， 得k=±1，所以直线1的方程为y=x-2或y=-x+2; 【变式训练3-11】已知抛物线=2r(p>0)的准线方程是x=-} 2 (1)求抛物线的方程； (2)设直线y=k(x-2)(k≠O)与抛物线相交于M,N两点，若MN=2N10,求实数k的值 【解析】(1)因为搅物线少=2(p>0)的准线方程为x=-号 2 所以号1 22’解得p=1, VA N 所以抛物线的方程为y°=2x (2)如图，设M(,),N(,). 将y=k(x-2)代入y°=2x, 消去y整理得kx2-2(2k2+1)x+4k2=0. 当△=4(2k2+1)2-4k2.4k2>0时， X1+x2= 2(2k2+1）_4k+2,xx=4. IMIN=+k=+k+x)-4xx (4k2+2 MN=+k k4 --16=210, 化简得：(1+k2)16k+4)=40k,解得k2=1, 32 经检验，此时△>0，故k=±1 【变式训练3-12】已知点M(-3,O),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点N在直线PQ上，且满足M丽.P =0,PN=P0, 2 (1)当P点在y轴上移动时，求动点N的轨迹C的方程； (2)过点T(2,O)作一直线交曲线C于A,B两点，O为坐标原点，若△AOT的面积是△BOT面积的2倍，求弦长 ABI. 【答案】(1)y2-3xK>0;(2)3W0 2 2 【解析】(1)设N(x,y),由已知向量的数量关系及位置关系得3,2y)·(区，-y)=0,即可知N的轨迹C的方程； (2)由直线与抛物线相交关系，令直线AB的方程为：X=my+2,Ax1y,B(x2y2小，联立方程，应用根与系 △>0 数关系有y1+y2=号m,结合已知条件、弦长公式即可求AB1. y1y2=-3 【详解】(1)设点Nx,y,由PN=P可，得PO,2y),Q(2x,0, 2 由M.PN=0得3,2y)·(x,-y=0, 所以y2=子x.又因为点Q在x轴的正半轴上， y2=3xx>01. 2 (2)设直线AB的方程为：x=my+2,A(x1y1,B(xy2, △>0 x=my+2 联立y=三x，消去x得：2y2-3my-6=0,y1+y2=m, 2 y1y2=-3 又△AOT的面积是△BOT面积的2倍，得y1=-2y2,联立方程解得m2= 3 由弦长公式可得：1AB=V1+m2·ly1y2l=i0 2 【点睛】关键点点睛： (1)由向量的数量关系，应用向量的坐标表示求动点轨迹方程. (2）根据直线与抛物线相交，设直线方程x=my+2并联立抛物线方程，得到y1十y2y1y2结合已知求参数m, 根据弦长公式求弦长， 【变式训练3-13】在平面直角坐标系xOy中，点P到直线y=- 2的距离与它到点0,2的距离相等，记动点P的 轨迹为W. (1)求W的方程； 3 2)直线I:y=2x+b与P交于点A,B, 33 ①求b的取值范围； ②直线1与y轴的交点为2，若AO=5B0,求AB. 【答案】(1)x=2y 9 20-8+②3 【详解】(1)因为点P到直线y=-) 的距离与它到点02 的距离相等， 所以点P的轨迹是以0,2 为焦点的抛物线， 所以W的方程为x=2y; y=。x+b (2)① 2 三x2-3x-2h=0, x2=2y 3 因为直线：y=2x+b与W交于点4，B, 所以△=(-3)+8b>0→b>-9 8 9 因此b的取值范围为8+0氵 ②设A(x,),B(x2,y2), 3 在y=2x+b中，令x=0,得y=b,即Q(0,b) Ag=5B0→(0-x,b-1)=5(0-x2,b-y3）→-x=-5x2→x=5x2, 1 5 由①可得， +,=3=6x→2 xx2=-2b=5x b=- 8 1 34 【变式训练3-14】已知抛物线C:x2=2y,其焦点为F,M(2,yo)是C上的一点. (1)求MF; (2)直线I交C于A,B两点，koa'koB=-2且△OAB的面积为16，求直线l的方程. 5 【答案1(1) (2)y=±2v2x+4 【详解】(1)将M(2,)代入C:x=2y,得=2，其中p=1, 所以MF例=+=2+ 15 2 22 (2)直线1的斜率显然存在，设直线：y=a+m,A(x,乃)、B(x,), y=kx+m 由x2=2y 得：x2-2ac-2m=0, ∴.x1+x=2k,xx2=-2m,△=4k2+8m>0, 由于乃= 2=2 xx 所以ko6ko8=上.上=2.2=5=-m=-2, 1x2xx342 解得m=4, 即直线I方程为：y=a+4,所以直线1恒过定点(0,4)， 4 原点O到直线l的距离d= V1+k2, 1 .S.ABO= dx4B 1 4 2V1+k2 1+kx+x)-4x, =2N4k2+32=16, 42+32=64,解得k=±2V2, 所以直线1方程为：y=±2V2x+4, 35 B A 0 【变式训练3-15】如图，已知抛物线：y=2px(p>0),直线：x=y+a依次与T,x轴交于点A,B,E,直线 l:x=内+b依次与T,x轴交于点C,D,F,其中k>0,b>a>0. (1)若b=2a=2p,且42=5 S△ACF 2，求k; (2)若AB=DC,点C关于y轴的对称点为G,证明： ①AC⊥BD;②CE·DG=AFBG. 【答案】(1)2 (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】(1)由直线：x=+a,直线12：x=+b,可知∥1， 如图，设两平行线之间的距离为d， G 则点A到边CF的距离与点C到边AE的距离都等于d, 1 AE d AE 所以 S 由b=2a=2p,得a=p,b=2p △ACF CFd CF, 联立直线：x=+a与抛物线T:y°=2px(p>0),设A(x,乃)，E(x,), x=ky+a 由y=2m,消x得y-2-2ap=0, △=4k2p°+8ap=4p(k2p+2a)=4p(k2+2),由p>0,可知△>0. 为+y2=2p 由韦达定理知 y2=-2ap’ 则AE到=V1+k以-=1+ky+y)°-4y =+k (2kp)-4(-2ap)=+k4p+8p =2p+k+2, 由直线：x=y+b,b=2P, 同理可得CF列=1+k(2仰)°-4(-2bp)=V1+kV4kp+16p =2pV1+k2Vk2+4, 则g=AEe+25 S.ACR CF k+42,解得=4，又k>0,则k=2. (2)设C(x,),F(x4,y4),由题意可得B(a,O),D(b,O), ①由AB=DC,得(a-,-乃)=(x-b), a-x=x3-b x+x3=a+b 则 -=3 ，即 y=-y3 ，所以=， 由A,C都在抛物线y°=2px(p>0)上， 得2Px1=2Px3,=3,故AC⊥BD； ②由①知，出=5=0+b, 2’ 由b>a>0,则x=x3>0,且乃=-y≠0. 由(1)可知，=-2卿，=其且-4知 2p2p 4p2 =a, 则5=a 2吧 ； b2b2 同理可得x4= 。5，y2迎22 y3 y1 37 所以化（任j〔买j i. e5a-,22oa-+2 x 2px 由点C(,)即(：，-)关于y轴的对称点G的坐标为G(-x,-y), 则GB=(-x-a)+y=(x1+a）)+2px, 故ca-aGf； x 同理到0,6-化+8+2，hw-a0: 所以r.Gmrr色G x2 又由5=Q+6 所以CE·GD=AF·GB, 则CEGD=AFGB,得证. 题型04：中点弦问题（点差法） 【典型例题1】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线为y=-2,点P,Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为 (-2,4),则直线PQ的方程为() A.x+2y-6=0 B.x+3y-10=0 C.2x+y=0 D.2x+3y-8=0 【考点】抛物线的中点弦.版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x2=8y,再利用点差法，即可求解. 【解答】解：由抛物线C:x2=2py的准线为y=-2, 38 可得号=-2， 可得p=4, 所以x2=8y, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 可得说的，且x1+2-4 两式相减，可得x3-=(K2-x1)X2+×,)=8y2-y), =2义=x= 可得kpQ=x,-x, 8 2 所以直线PQ的方程为y-4=-x+2), 即x+2y-6=0. 故选：A. 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题. 【典型例题2】直线y=x-1被抛物线y=4x截得的线段AB的中点坐标是(). A.(2,1) B.(3,2) c.(6,5) D.(4,3) 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解 y=x-1 【详解】联立y=4x →x2-6x+1=0,则△=(-6)-4×1×1=32>0， 设直线y=r-1与抛物线交点A(x,乃)，B(x,y》), 则x+x2=6,故+y2=(x-1)+(x2-1)=x+x2-2=4, 所以线段AB的中点坐标是(3,2) 故选：B. 【典型例题3】已知抛物线C:y=8x,过点P(2,-1)的直线1与抛物线C交于A,B两点，若AP=BP,则直 线1的斜率是() 1 1 A.-4 B.4 C.- 4 D4 【答案】A 【解析】设A(x,),B(,), 8x·作差得-片=86-￥) 则 y=8x2 因为AP=BP,所以P是线段AB的中点，所以+=-2， 则直线1的斜率k=占上=8 x1-x2y1+y3 =-4，故选：A 【典型例题4】已知抛物线y=4x与过焦点的一条直线相交于A,B两点，若弦AB的中点M的横坐标为)，则弦 AB的长|AB= 【答案】5 【解析】由题意抛物线焦点F(1,O),且直线AB斜率不为0，设AB:x=y+1, 联立抛物线得y°-4少-4=0，△>0，故yA+y。=4,yya=4, 3 1 所以4+，=0+)+2=2×23，即r= 4 则B卡1+f-⅓F1+f0,+为-4=54p16=5. 39 【典型例题5】已知斜率为2的直线与曲线C:y2=8x交于A,B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程为() A.y=4x>2) B.x=4(-4V2<y<4V2) 1 C.y=2x> 72 D.x=2(-4<y<4) 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得y=2，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围 y2=8x 【详獬】设A(xy),B(x)M(x,y),则 y=8x.' 两式相减得：（片+y)(y-y)=8(x-x), 即出业= 8 x-xy+y’ 因为直线4B的斜率为2，所以2，所以+4， 因为乃+=2y,所以y=2. y2=8x 设直线AB的方程为y=2x+m,由1 y=2x+m' 可得：4x+(4m-8)x+m=0,△=(4m-8)-4×4m2>0,解得：m<1. M(x2)在直线AB上，则2=2x+m,x=1- 2,所以x1 2 所以y=2x>2 1 故选：C 【变式训练4-1】已知直线1交抛物线C:x2=-18y于M,N两点，且MN的中点为(3，-2)，则直线1的斜率为() 1 A.-3 1 B.- C. D. -1 6 9 3 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为k,点4，N两点的坐标，代入揽物线方程=-18y,作差，可得上上-5七三 x-x318’ 又MN的中点为(3，-2)，即求出k. 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线I的斜率为k,M(:,乃)，N(x,), 518两式相减得5-￡=-18-，整理得式= 则 x=-18y2, x-318, 因为MN的中点为(3，-2)，则x+x=2×3=6, 所以k=占乃=-6.1 1 -七183，即直线1的斜率为 故选：D. 40 M B 【变式训练4-2】已知抛物线y=4x上的点M到其准线的距离为5，直线1交抛物线于A，B两点，且AB的中点 为N(2,1),则M到直线1的距离为() A.5或9V5 B. 5 5 C. v5 D. 【答案】B 【详解】根据题意设A(x,),B(x,y),由点差得到 =4→k=2 -=2 y=4x, 1+y3 故直线1可以写成y=2(x-2)+1→y=2x-3 点M到其准线的距离为5，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4， 由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为5或 95 5 或 5· 故答案为B 【变式训练4-3】已知直线1：2c-2y-仰=0与抛物线C:y°=2x(p>0)相交于A、B两点，点M(-1,-1)是抛物 线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是() A.p=2 B.k=-2 C.△MAB的面积为5V5 D.AB=5 【答案】C 【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得P的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段AB的中点坐标， 根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判 断CD选项的正误 【详解1由题意知，抛物线C的准线为x=-1,即号-1，解得卫=2，故选项A正确： 2 因为卫=2，所以抛物线C的方程为y=4x,其焦点为F(1,0), 又直线1：2ka-2y-p=0,即y=k(x-1),所以直线l恒过抛物线的焦点F(1,0), 设点A(:,乃)、B(x,y),因为A、B两点在抛物线C上， =4x1 联立方程】 4-y=4=k, =4纸，两式相酸可得，名-店片+以 设B的中点为(，)，则%=当+业=2 2 2 因为点(%)在直线上，解得=+1， 2 2 所以点Q 是以AB为直径的圆的圆心， 41 由抛物线的定义知，圆Q的半径r= AB-x,+x+2_2x,+2_2 2 k? 2. 2 因为QM= =,所以 解得k=-2,故选项B正确； 因为k=-2,所以AB=5,直线1为y+2(x-1)=0,即2x+y-2=0, 由点到直线的距离公式可得，点M到直线1的距离为d=上2125， V22+12 所以S。分4-片5x5-5,散途项C错误，D正确 故选：C 【变式训练4-4】过抛物线y°=2px(p>O)的焦点F,且倾斜角为一的直线与抛物线交于A,B两点，若弦AB的垂 直平分线经过点(0,2)，则p等于() A.5 B.3 c.5 D.3 【答案】C 【分析1写出弦4B所在直线方程为y=x号，可设4，，，)，直线B的方程和地物线方程联立消去 可得到关于》的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦4B的中点坐标为口号，而孩4B的垂直平分线方程可写 出为y-2=-x,弦中点坐标带入该方程便可求出P的值. 【详解1地物线的焦点F坐标是（号0），直线4B方程为：y=x号 2 设A(x,),Ex2,y),联立 y=x 2',则x2-3m+卫 =0, y2=2p 4 所以6+出=3p,出+八=出 + 2 =x1+x3-p=2p, 2 p-2=1 枚4B中点坐标为号，)，由两直线互相垂直有3卫一。 2 故选：C 【变式训练4-5】已知斜率为k的直线1过抛物线C:y°=2x(p>O)的焦点，且与抛物线C交于A,B两点，抛物线C 的准线上一点M(-1,-1)满足A.B=0,则AB=() A.3V2 B.4v5 C.5 D.6 【答案】C 【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标设直线1：y=k(x-1),用点差法表示出AB的中点为Q(x,),利 用半径相等得到：H2M,解出k,即可求出AB 2 【详解1由题意知，抛物线C的准线为x=-1,即号-1，得P=2, 2 42 所以抛物线C的方程为y°=4x,其焦点为F(1,0) 因为直线1过抛物线的焦点F(1,0), 所以直线1的方程为y=k(x-1): 因为M.B=0, 所以M在以AB为直径的圆上 y2=4x 设点A(,乃)，B(x2,y2),联立方程组 y=4x,’ a乃-2=4 一=k, 两式相减可得一七，乃+ 设AB的中点为2(x,),则%= 因为点Q(x,)在直线1上， 2 所以，= 2 +1，所以点+l是以B为直径的圆的圆心 由抛物线的定义知，圆已的半径r= AB_+x+2_2x,+2-2 2 2 +2, 所以弦长4B=2r=2片+2=2←+2=5 4 故选：C 【变式训练4-6已知抛物线C:y°=2px(p>0)与直线I:x-y-3=0交于A,B两点，且线段AB中点的横坐标为7， 则=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解 【详解】设A(x,),B(x,),则 片=2px1 y=2px,’ 整理得占上。 2p-=1, x1-x21+y3 因为线段AB中点的横坐标为7， 所以线段AB中点的纵坐标为4，则乃+y,=8, 从而可得卫=4， 故选：D. 【变式训练4-7】已知抛物线y=2px(p>0),过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB 的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为() 1 3 A.x=- 2 B.x=-1 C.x=- D.X=-2 【答案】B 【分析】设A(x,),B(x,y2),进而根据题意，结合中点弦的斜率得p=2,进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设A(x,),B(x2,y2),所以=2px①，y=2px②， 43 所以，①②得：(3-+)=2p(-x),即k=-上=2p -x2乃+y3’ 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以k4=-上=2 x-x2 y+y2 。=p=2,所以抛物线y=4x,准线方程为x=-1。 故选：B x2 【变式训练4-8】斜率为1的直线与双曲线C:y2=1(a>0)交于A,B两点，若线段AB的中点为(3,1)，则 a=() A.V2 B.V3 C.V6 D.2V3 【考点】抛物线的中点弦.版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y-1=x-3,即x=y+2, 联立2y2三，化简整理可得，y2(1-2)+4y+4-a2=0, x=y+2 若线段AB的中点为(3,1)， 则，=1×2，解得=V5(负值舍去). 故选：B 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题。 【变式训练4-9】已知动点P到定点F(2,0)的距离比它到直线x+1=0的距离大1，直线1与动点P的轨迹交于A,B 两点，且线段AB的中点为(4,2)，则直线1的方程为() A.x-2y=0 B.x-y-2=0 C.2x-y-10=0 D.2x-y-6=0 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案 【详解】由题意动点P到定点F(2,0)的距离比它到直线x+1=0的距离大1， 则动点P到定点F(2,O)的距离与它到直线x+2=0的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为y=8x, 设A(x,),B(x,2),则y=8x,y=8x2, 则-=8x1-8x,则（片+y)(-y)=8(-x), 由于线段AB的中点为(4,2)且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，x≠x,, 故kB=当五=88 2, x-2y+y34 故直线1的方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0, 故选：D 【变式训练4-10】已知抛物线Cy=2x,过点M的直线1与C相交于A,B两点，且M为弦AB的中点， 则直线1的方程为() A.6x+6y-7=0 B.6x-6y-1=0 C.2x-6y-5=0 D.12x-6y-5=0 【答案】D 【分析】设出直线1的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线1的方程. 然直线1不垂直于少，设直线1的方程为x 44 1 ,2 由 :0?+与消去r,广-20+1手0，由弦B的中点为M写为 y2=2x 32, 2,此时方程2-y- 1 得t= 。0有两个不等实根， 21 所以直线的方程为x- 520-2,即12x-6y-5=0. 故选：D 【变式训练4-11】已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1,直线1与抛物线C交于M,N两点，若线段MW 的中点为(1,1)，则直线1的方程为 【答案】2x-y-1=0 【解析】因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1,所以易得抛物线的方程为y=4x, 设M(x,乃)，N(x,y),因为线段MN的中点为Q(1,1), =4x 故+x2=2,+3=2,则x≠x,由 y=4x2’ 两式相减得听-乃=4(s-),所以占上=，4 =2, x-x2+y2 故直线1的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0」 【变式训练4-12】已知抛物线：y2=2x,直线1与交于A,B两点，M(2,1)为弦AB的中点，则直线1的斜 率为 【解答1解：设点A(x1,y1,B(2,y2,则=21，所以y,2-y2=2pK1-Xg 2=2px1 整理得22=2p,即y1+y2)kAB=2p, (x,-xl 由抛物线标准方程为y2=2x,以及M(2,1)为弦AB的中点知，2kAB=2,所以kAB=1. 故答案为：1. 【变式训练4-13】已知A,B是抛物线C:y°=4x上的两点，线段AB的中点为M(2,2),则直线AB的方程 为 【答案】x 【解析】依题意，设A(x,),B(x2,), 若=七，则直线AB:x=2, 由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为(2，O),显然不符合题意，故x≠x, 因为A,B是抛物线C:y=4x上的两点， 4 所4，两式相诚得，乃44比，整理得王一本+少 因为线段AB的中点为M(2,2), 所以少=2，即y+为=4， 2 又。公兰，所似。 4=1, 所以直线AB的方程为y-2=x-2,即x 【变式训练4-14】已知抛物线x°=2y上两点A,B关于点M(2,t)对称，则直线AB的斜率为 【答案】2 【解析】设A(x,1),B(x,y)代入抛物线x=2y, x=2y1 得定29，则-=2(y)①， 因为两点A,B关于点M(2,)对称，则≠x,+x=4, 所以D宁子告-2， 直线AB的斜率为2. 则直线AB:y-t=2(x-2)与代入抛物线x°=2y联立， 得x2-4x+8-2t=0,△=16-4(8-2t)>0,解得t>2 所以直线AB的斜率为2. 【变式训练4-15】直线1：-y-(a+5)=0(a是参数)与抛物线f:y=(x+1)的相交弦是AB,则弦AB的中点 轨迹方程是 【答案】y=2x-7(x(-2或x4) 【解析】设A(x,八B(x,2),AB中点M(x,y),则+x=2x 1a(x-l)-(+5)=0,l过定点1-5)，ka=k=y x-1 又y,=(x,+1),(1)y=(x+1),(2) (1)-(2)得：-y2=(x,+1)-(x+1)=(-x)(x++2), k_少-y=x+x+2.于是x-=2+2，即y=2x2-7. X1-X, 又弦中点轨迹在已知抛物线内， y=2x2-7 联立 .x1=-2,x2=4 y=(x+1)2 故弦AB的中点轨迹方程是y=2x°-7x(-2或x)4) 故直线1的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 【变式训练4-16】已知抛物线Cy2=2pxp>O的焦点为F,点A(6,yo)在抛物线C上，且AFl=10. (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线交抛物线C于M,N两点，且点(4,2)为线段MN的中点，求直线的方程. 【答案】(1y2=16x (2)4x-y-14=0 【分析】(1)利用抛物线定义可求得即=8，即可求出抛物线C的方程； (2)由弦中点坐标为(4.2)并利用点差法即可求得直线的斜率为4，便可得直线方程. 【详解】(1)点A(6.vn在抛物线C上， 由抛物线定义可得AFl=6+=10,解得D=8, 故抛物线C的标准方程为y2=16x. (2）设M(x1y1,Nx2y2),如下图所示： 46 （4,2) ○ M 1, 两式相减可得y-y=16(x1-x2), 即(v1-v)v,+v)=16(x1-x), 又线段MN的中点为(4.2)，可得1+y2=4; 则2=4，故直线的斜率为4， x1-Ko 所以直线1的方程为y-2=4(x-4), 即直线1的方程为4x-y-14=0. 【变式训练4-17】已知F是抛物线Cx2=2pyp>O)的焦点，M(4,yo)是抛物线C上一点，且MF|=4. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线1与地物线C交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为8,12)，求直线1的斜率. 【答案】(1)x2=8y (2)2 【分析】(1)根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； (2)设出A,B坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【详解】(1)由题可知， 0+9,解得8，故抛物线c的方程为x2=8Y 2)设AK1y,B(o2,则8，两式相减得子-G=8y1y。 x2=8v2 即=之因为线段B的中点坐标为8,12，所以x1+2=16,则之=2， 8 K1-X0 故直线1的斜率为2 YA 8,12) 【变式训练4-18】已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线11,12分别交C于A,B两点，交C 的准线1于P,Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，AR与FQ平行吗？ (2)若△PQF的面积是△ABF的2倍，求AB中点的轨迹方程. 【答案】(1AR//FO; (2)y2=x-1. 47 【分析】(1)求出抛物线C的焦点坐标准线方程，设出直线11,2的方程，并求出点A,B,P,Q,R的坐标，利用共线向 量的坐标表示推理作答。 (2)根据给定条件，求出直线AB与x轴的交点坐标，设出AB的中点坐标，利用共线向量的坐标表示求解作答 【详解】(1)抛物线Cy2=2x的焦点F,0,准线1x=,如图， R O 1F 设1y=a,2y=b,则ab≠0，得A号a,B号，b,Pa,0-b,R-), ,a-bl,FA=(食1。 则BA=包2_2」 ,,a,由F在线段AB上，得BA/F不， 于是a号号=a-b),显然a≠b,整理得ab=-1, G=岁=a2-aba-b)=当a,o=1,-b=ab,-bl=-bla, 因此RA/OF,显然点R不在直线QF上， 所以AR//FO: (2)如图，设直线AB与x轴相交于点D(x1.O), B 由(I)知，△AB的面积S△ABe=a-bFDl=a-blk1-引△PQF的面积S△Or=, 2 依题意，S△oe=2S△A,即，=a-blK1-引，面a-b+0,解得x1=0或1=1， 1 2 由于x1=0时，点D与A,B之一重合，有ab=0,矛盾，则点D的坐标为(1.0， 设AB的中点为E(x,则DE=x-1,DE/B欧，得号号=a-blK1, 即y=x-1,又=y,于是y=x-1, 所以所求的轨迹方程为y2=x-1. 【变式训练4-19】已知抛物线C:x2=-2py>O)的焦点为F,A(xo,-9)是抛物线C上的点，且AF=15. (1)求抛物线C的方程： (2)已知直线1交抛物线C于M,N两点，且MN的中点为(6，-4)，求直线1的方程. 【答案】(1)x2=-24y (2x+2y+2=0 【分析】(1)根据抛物线的定义求解； (2)设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程； 48 【详解】(1)因为AFl=9+号=15， 所以p=12, 故抛物线C的方程为x2=-24y. (2) N 易知直线1的斜率存在，设直线的斜率为k,M(x1,y1),N(x2.y2), 则924y1 xg=-24v2, 两式相减得x好-x号=-24(y1y2,整理得之=乡 X1-Xo 24 因为MN的中点为6，-4，所以k=2=立=-， X1-Xo 24-23 所以直线1的方程为却+4=x-6,即x+2y+2=0, 【变式训练4-20】已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)与焦点的距离为2 (1)求p和m; (2)若在抛物线C上存在点A,B,使得MA1MB,设AB的中点为D,且D到抛物线C的准线的距离为5，求点D 的坐标。 【答案】(1p=2,m=2 2号，或，-3 【分析】(1)根据抛物线的性质，求出p=2,然后将M(1.m)代入抛物线的方程即可求出m; (2)根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将MA1MB转为k1k2=-1,从而得到1y2=-2y1+y2) -20,两者结合即可求出y1+y2,即可求出点D的坐标。 【详解】(1)设抛物线C的焦点为F,根据题意可知MFl=1+号=2，解得p=2. 故抛物线C:y2=4x. 因为M在抛物线C上，所以m2=4.又因为m>0,所以m=2. (2)设A任yB(三).Do,直线MA的斜率为水1，直线MB的斜率为k y1-2y2-2 易知k1,k2一定存在，则1一运k2一正 由MA1MB,得kk=-1,即子豆1 y1-2y2-2 =-1,化简得(y1+2)y2+2)=-16,即y1y2=-2(y1+y2)-20. 因为D到抛物线C的准线的距离d,=X0+1=步，所以Xo=乡=品， 2 则x1+x2=13,即+安=13，y+y=52. 44 (y1+2=52+2y1v=52+2[-2v,+v2)-20l,即(v1+y)2+4(v,+v)-12=0, 解得1十y2=-6或y1十y2=2,则0=2=-3或yo=n2=1. 故点D的坐标为号，)成号，-3 【变式训练4-21】已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,%)在抛物线C上，且AF=10 (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线1交抛物线C于M,N两点，且点(4,2)为线段MN的中点，求直线1的方程. 【答案】(1)y°=16x;(2)4x-y-14=0 【解析】(1)点A(6,)在抛物线C上， 9 4,2) 由抛物线定义可得AF=6+=10,解得P=8, 2 故抛物线C的标准方程为y=16x. (2)设M(x,乃)，N(x,y),如下图所示： y片=16x =16,，两式相减可得-片=16(s-), 则 即(-y2)(+y2)=16(x-x), 又线段MN的中点为(4,2)，可得y+=4; 则：上=4，故直线1的斜率为4， x1-3 所以直线1的方程为y-2=4(x-4), 即直线1的方程为4x-y-14=0. 题型05：焦半径公式 【典型例题1】已知A,B是抛物线y=2px(p>0)上不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标 原点)的重心恰为F,若AF=5,则AB=() A.8 B.4V5 C.4v5 D.4V6 【答案】D 3p x1+x2= 【分析】根据重心可得 ，结合对称性可得-？，再根据抛物线的定义运算求解得出口=4，最后行 1=-y2 出弦长即可， x+x3+0-卫 3p 【详解1设4，X),.B(,).F号0，因为△0AB的重心怡为R,则 X1+X= 当+y+0 ，解得 2, .=0 y1=-y2 3 由片=-乃可知AB关于x轴对称，即出=出，代入：+x=2x=3 2，可得x= 3 4，又因为 4p=x+号-卫=5，解得p=4,所以少=8x,又因为=，=3，所以=24，片=24，设y<0乃>0， 24 所以片=-26，y=26,则4B到=以-y,=-2V6-26=46 故选：D, 【典型例题2】设F是抛物线C:x=2py(p>O)的焦点，A,B是C上不同于C的顶点的两点，以A和B为切点的 50 两条切线相交于点D,若AF=2DF=4,则BF=() A.1 B. C.2 D.22 【答案】A 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出P 2’2p 再利用题意和焦半径 公式求出x=8p-p,再代入DF=4求出x即可由焦半径公式求解 【详解】由题F0, 抛物线Cx=2y(p>O即y=2Dp之0)→y=P D 以点A处的切发方穆：：》，：》同理点处的切线万理 x=xx+xp 4:y=(x-)+豆=x p 2p 2 2ppx2p,联立 XA十xgx4Xa y=2x ,即D 2’2p p 2p 2p 因为=20=4，则+号4即⅓=4号，则务-4号安-3即-p, 8pp）是，8pP)店+卫=2p+2=4,所以写-42pP=(2-p)p=2p-p,所以 4 4 4p2 4 2 %+号+号-号号号 1 B 2 22 故选：A 【典型例题3】已知抛物线E:y=2px(其中p>1)的焦点为F,点A(:y),B(xy2)在抛物线上，若=-2，且 11 F4+FB的最小值为？，则点F到抛物线E的准线的距离为一 【答案】3 【详解】设直线AB的方程为x=m四+t, x=my+t 由y=2m消去x并化简得y-2pmw-2p1=0, △=4pm°+8pt>0,pm°+2t>0, 51 则y+y,=2pm,y2=-2pt=-2,pt=1①， FA+FB=x+x,+p=m(y+y)+2t+p=2pm2+2t+p22t+p, 当m=0时等号成立，所以21+卫=3②， 11 由0②解得p=3或p= 3,因为p>1, 所以卫=3，即F到抛物线E的准线的距离为3 故答案为：3. 【典型例题4】已知抛物线C:y°=4x的焦点为F过点(2,0)的直线1与抛物线分别交于A,B两点，则AF+4BF的 最小值为 【答案】13 【解析】设A(xy,B(c,)由抛物线的定义，知AF=+1,BF=x+1. 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,则AF+4BF=3+4×3=15 当直线1的斜率存在时，直线1的方程可设为y=k(x-2)(k≠0) y+k=(x-2) 联立得方程组 y2=4x ,整理，得kx2-(4k+4)+4=0. 由根与系数的关系可得xx=4 所以4F+4BF=,+1+4(x+1)=x+4x+5≥2、4xx,+5=13(当且仅当x=4x=4时等号成. 所以AF+4BF的最小值为13. 【典型例题51已知F为抛物线E:y=4x的焦点，A,B,C为E上的三点，若正-，(B+AC),则 AF+BF+CF= 【答案】6 【详解】由题意知F(1,0),设A,B,C的横坐标分别为X,X2，,x, 由F=(+4C,得1-=-+，所以++写=3， 由抛物线的定义得AF+BF+CF=x+1+x+1+x+1=x+出+：+3=6. 故答案为：6 52 【变式训练5-1】已知O为坐标原点，F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，点M(x,4)在C上，且MF=2OF, 则吧=() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】由揽物线定义及F=2OF得。=号，进而将点M(4)代入抛物线方程即可得 【详解】由抛物线的定义，知Mr=+号，又20F=P,M=2OF, 所以无+号-P,即 2, 由点M(x,4)在C上，得16=2px,=p°， 结合卫>0，解得卫=4. 故选：C 【变式训练5-2】设抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B,若 cos∠BAF=3 IAF卡10，则P=() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析1根据抛物线的定义得4F=AB=10,由余弦定理可得BF=45,则AF=x4+?=10,在Rt△BEF中， 2 由勾股定理即可求解 【详解1由题意可知：地物线C的焦点F(号0，准线为x=一号，且4-4-10， 因为cos∠BAF=) 所以由余弦定理得2斗4-2hHos∠B4F=201引-s0-BF, 即BF=4v5; 由4=+号=10，所以=10-号，2=2匹=20p-p; 设E为准线与x轴的交点，EF=p, 则EF+y=p°+20p-p°=BF=80,则p=4 53 故选：C 【变式训练5-3】已知抛物线E:y°=2px(其中卫>1)的焦点为F,点A(xM),B(x)在抛物线上，若1=-2， 11 且FA+FB的最小值为3，则点F到抛物线E的准线的距离为 【答案】3 【详解】设直线AB的方程为x=my+t, x=my+t 由y=2m消去x并化简得广-2pmw-2p1=0, △=4pm°+8pt>0,pm°+2t>0, 则y+y,=2pm,2=-2pt=-2,pt=1①， FA+FB=x+x,+p=m(y +y)+2t+p=2pm2+2t+p22t+p, 当m=0时等号成立，所以2t+卫=？②， 2 由①②解得P=3或卫=3，因为P>1, 所以p=3,即F到抛物线E的准线的距离为3， 故答案为：3。 【变式训练5-4】已知抛物线C:y°=4x的焦点为F过点(2，O)的直线1与抛物线分别交于A,B两点，则AF+4BF 的最小值为 【答案】13 【解析】设A(:,),B(x,y)由抛物线的定义，知AF=x+1,BF=x+1. 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,则AF+4BF=3+4×3=15. 当直线1的斜率存在时，直线1的方程可设为y=k(x-2)(化≠0). y+k=(x-2) 联立得方程组 y2=4x ，整理，得kx2-(4+4)+4k=0. 由根与系数的关系可得xx=4。 所以AF+4BF=x+1+4(x+1)=:+4x+5≥2V4xx+5=13(当且仅当x=4x=4时等号成立. 所以AF+4BF的最小值为13. 54 【变式训练5-5】已知F为抛物线E:=4的焦点，A,B,C为E上的三点，若A正=(B+4C),则 AF+BF+CF= 【答案】6 【详解】由题意知F(1,O),设A,B,C的横坐标分别为x,2,七， 由丽-（丽+C),得1-g化-x+),所以无+无+=3， 由抛物线的定义得AF+BF+CF=x+1+x+1+x+1=x+:+:+3=6. 故答案为：6 【变式训练5-6】过点(1,0)且倾斜角为45°的直线1交曲线C:y=4x于A,B两点（点A在点B的上方），F为C的 24B 焦点， 则-B丽（） A.4 B.2v2 C.2 D.2 【答案】C 【分析】由点斜式得直线方程y=x-1,联立直线与抛物线方程得到x4=3+2V2,x2=3-2V2,再利用焦半径公 式即可求解 【详解】直线的倾斜角为45°，故斜率为k=tan45=1,由点斜式得直线方程：y=x-1, y=x-1 联立方程，2-4，得到x-6x+1=0,解得x=3±22，O八B 因为点A在点B的上方，所以x4=3+2V2,x=3-2V2,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0), 由焦半径公式为AF=x4+1=4+2N2,BF=X2+1=4-2N2, 的 则|AB月AF1+BF卡8，|AF|-|BF=4V2;所以 V21AB1-2× AF-BF 42 =2故选：C 【变式训练5-7】已知抛物线E:y°=2px(其中p>1)的焦点为F,点A(x),B(xy)在抛物线上，若y=-2, 11 且F4+FB的最小值为？，则点F到抛物线E的准线的距离为 【答案】3 【详解】设直线AB的方程为x=my+t, x=my+t 由y=2m消去x并化简得广-2pm-2pr=0, △=4p'm2+8pt>0,pm2+2t>0, 则4+y=2pm,y2=-2pt=-2,pt=1①， FA+FB=x+x +p=m(y +y)+2t+p=2pm'+2t+p22t+p, 当m=0时等号成立，所以2t+p三，②. .2 由①②解得P=3或P=3,因为P>1, 所以卫=3，即F到抛物线E的准线的距离为3 故答案为：3. 【变式训练5-8】已知抛物线C:y=4x的焦点为F过点(2,0)的直线1与抛物线分别交于A,B两点，则AF+4BF 的最小值为」 【答案】13 【解析】设A(c,),B(x2,y2)由抛物线的定义，知AF=x+1,BF=x+1. 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,则AF+4BF=3+4×3=15. 当直线1的斜率存在时，直线1的方程可设为y=k(x-2)(k≠0). y+k=(x-2) 联立得方程组 y2=4x ,整理，得k2x2-（42+4+4k=0. 由根与系数的关系可得xx=4. 所以AF+4BF=x+1+4(x+1)=+4x+5≥2、V4x3+5=13(当且仅当x=4x=4时等号成立. 所以AF+4BF的最小值为13. 【变式训练5-9】已知F为抛物线E:y=4x的焦点，A,B,C为E上的三点，若AF=(AB+AC),则 AF +BF +CF= 【答案】6 【详解】由题意知F(1,0),设A,B,C的横坐标分别为X,2,七， 56 由丽=（丽+4C),得1-x（出-出+-），所以+x+￥=3， 由抛物线的定义得AF+BF+CF=出+1+x,+1+x+1=出+x+x+3=6. 故答案为：6 【变式训练5-10】过抛物线y=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若AF卡3，则BF= 【解析】解法一：抛物线y°=4x的准线1：x=-1. 设∠AFx=0(0<O<π)，BF=m. :4F卡3，根据抛物线的定义，点A到准线1：x=-1的距离为3,3=2+3c0s日，即cos0= 又由BF=m,得m=2+mcos(π-)，即m=, 23 1+cose 2 1 12 解法三：根据EBD山，又AF卡3，则BF=)·(显然解法三计算量小)》 112 【评注】(1)过抛物线的焦点F作直线1交抛物线于AB两点，则FAFBIp,p是焦准距（焦点到对应准线 的距离)； (2)掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷. 【变式训练5-11】已知抛物线)y=2(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线与P,D两点，且PF 1 FO =8,则抛物线的准线方程为 1 【答案】x= 8 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线PQ与x轴的夹角为C,不妨设PFQF|,设抛物线的准线与x轴的交点为E,过点P 作准线与x轴的垂线，垂足分别为P',H，过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G，进一步可以得到 IPFHPP'HEH曰EF|+|FH=p+|PFcosa,进而求出PFI,同理求出|OFI,最后解得答案 【详解】 设直线PQ与x轴的夹角为(0<x≤)，根据抛物线的对称性，不妨设PFQF,如图所示设抛物线的准线与x 2 轴的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为P',H, 57 G/a H F Q 过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G, 由抛物线的定义可知，|PFHPP'HEH EF|+|FH=p+|PFcosa→PF= 1-cosa' 同理：|OFHO0HEGHEF1-|GF=p-|QFIcosa→QFF,P 1+cosa 1 于是，PFOF 1-c0s&+1+c0sc-2=8→p= p ,则抛物线的准线方程为：x=} 8 1 故答案为：x=- 8 题型06：焦点弦问题 【典型例题1】过抛物线v2=2pxp>O)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线交于A,B两点，若|AB|=8,则 p的值为() A.1B.2C.3D.4 答案：B 解柝抛物线焦点F 直骏方程郑=③x明联立3头消去什3x-5x+0.设A ,B(x2,则k1+=。焦点弦长AB=X1+X2+p=+p=2=8,解得=3，故选B。 3 3 【典型例题2】已知抛物线C1:y=4x的焦点为F,过F且斜率大于零的直线1与C1及抛物线C2:y=-4x的所 有公共点从右到左分别为点A,B,C,则AB=() A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】由题意可得F(1,0),设直线l的方程为x=y+1(m>0), 58 由题意可得直线1与抛物线C1必有2个交点， x=my+1 与抛物线C2相切，联立方程组 y2=-4r，可得y+4+4=0, 所以△=16m2-16=0,解得m=1,故直线l的方程为x=y+1, x=y+1 与抛物线C方程联立y=4x，得r-6x+1=0, 设A(x,),B(x2,y2),则x+=6,所以AB=x+x2+2=8.故选：C. 【典型例题3】设F为抛物线C:y=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，AB=() A.12 B.10 C.9 D.6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点F 0, 所以直线AB:y=33 -X- 34 y2=3x, 21 9 ,33)得x2一21x+=0△= -X+ -4× 3 >0 216 2 16 4 设A(x,),B(2,y2),x+x2= ,则由抛物线的几何性质，得AB=5++p=2)+?-12, 2 22 方法二：由于2p=3,因为4B=220=30,所以AB=3 sin sn30=12.故选：A. 【典型例题4】已知抛物线广=2m(P>0)的焦点为P,过焦点F的直线交抛物线与B,Q两点，且P阿十FQ8 则抛物线的准线方程为 1 【答案】x= 8 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线PO与x轴的夹角为，不妨设PF≥QFI,设抛物线的准线与x轴的交点为E,过点P 作准线与x轴的垂线，垂足分别为P',H，过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G，进一步可以得到 IPF曰PP'HEH EF|+|FH=p+|PF|cosa,进而求出PFI,同理求出|OFI,最后解得答案. 【详解】 59 设直线PQ与x轴的夹角为(0<α≤)，根据抛物线的对称性，不妨设PFQF引，如图所示设抛物线的准线与x 轴的交点为E,过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为P',H, E 过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G 由抛物线的定义可知，IPF曰PP'曰EH曰EF|+|FH卡p+|PF cosa PF 1-cosx’ 同理：|OF HOOHEGHEF1-|GF=p-|QF1cosa→QF卡，P 1+cosa 1 1 于是，PFOF -cos21+c0s228pA,则抛物线的准线方程为： 81 1 故答案为：x= 8 【典型例题5】已知抛物线C的焦点为F,准线为1，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在1上的投影为D, AF 若AB=BD|,则BF =() 3 A.2 B.2 D.3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点H为AD的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果 【详解】过点B作BE上I,垂足为E,作BH⊥AD,垂足为H,如图， H 又因为AD⊥1，所以四边形BEDH为矩形，所以BE=DH, 因为AB=BD,BH L AD,所以点H为AD的中点， 所以DH=AH,故AD=2DH=2BE, 60 AF 由抛物线的定义可得AF=AD,BF=BE,所以AF=2BF,即 =2 BF 故选：B 【变式训练6-1】已知点M(6,2)到抛物线y=°的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦） 长是() A.8 B.8或24 C.12 D.12或24 【答案】B 【分析】考虑a>0和a<0两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案 1 【详解】y=2,即=2y, a 1 ☑>0时，准线方程为y,故2+三4，a3，抛物线方程为=8 4a 焦点F(0,2),当y=2时，x=±4，通径长为8； 1 当a<0时，准线方程为y=4a,故40 12=4,a=-,抛物线方程为x=-24y,焦点F0,-6,当y-6 时，x=±12，通径长为24. 综上所述：通径长为8或24. 故选：B 变式训练62】已知地物线Cx=-2P>0]的焦点F与+的一个焦点重合，过焦点F的直线与C 于A，B两不同点，抛物线C在A,B两点处的切线相交于点M,且M的横坐标为4，则弦长AB=() A.16 B.26 C.14 D.24 【解析】由题意可得，F(0,-2),则卫=4，抛物线方程为x=-8y,准线方程y=号=2. 2 由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=c-2, 设A(出，八B(3,乃)，其中片=- 8,得少= 、三一3，由三5 4 “在点A处的切线方程为y-月=年(x-,化简得)= 48，① 同理可得在点B处的切线为)y=一宁x+ 联立①②得w-龙，由M的横坐标为4，得5十：=8， 2 将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8-16=0, .△=64k2+64>0,x1+x2=-8k=8,得k=-1,∴月+》2=k(x+x)-4=-1×8-4=-12, 则4B=45+BF=号-y+号-y=p-(0+)=4(12)=16.故选：A 【变式训练6-3】已知抛物线y=4x焦点为F,过F的直线1与抛物线交于A,B两点（点A在第一象限），其准线 61 与x轴交于点K,若线段BF的垂直平分线恰好过K,则AB=()】 8v5 4. B. 4V5 C.3 D.2 3 3 【答案】A 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线1的方程为y=k(x-1),将其代入抛物线方程，设A(x,y),B(x,2),由韦达定理得 2k2+4 +x2= 2S=1,写出线段BF的垂直平分线方程，代入一10)，化简得+，结合 巧+5 2k2+4 k2,=1可求得=3+25，从而可得+七，利用46=x+x+P求出结果 【详解】抛物线y=4x焦点为F(1,0),准线x=-1,点K(-1,0), 由题意直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x-1),k≠0， 将其代入抛物线方程，得：k2(x-1)=4x→k2x2-（2k2+4)x+k2=0, 则△=（2k2+4)-4k2×k2=16k2+16>0, 2k2+4 设A(x,),B(x,),由韦达定理得：+x2= k2,=1, +1y2 1 线段BF的中点坐标为 、2’2 ，垂直平分线的斜率为衣· 线段BF的垂直平分线方程为：y-=-本+】 1 2 k 2即八-1 2 2/, k2-3 代入K(10),化简得：-k(s-)=出+3→=2+1’ 2k2+4 结合为十x2= k2+1k2-3_2k2+4 2=1,得：+， 则k4-6k2-3=0→k2=3+23, 则x+x2= 23+23)+485 3+2V3 2 3 AB=x+x+卫= 8v5-2+2-8v5 3 故选：A. 62 【变式训练6-4】已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点，若|AF=4BF|,则AB 的中点到准线的距离为() A号 21 25 29 B. 6 c. D. 8 8 【答案】C 【解析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可， 已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点， 设抛物线的准线交x轴于点N,AB的中点为P, E M D 过A,B,P作准线的垂线使得AC⊥CD,BD⊥CD,PO⊥CD,BE⊥AC,BE⊥x轴于M, 设BFFt,又|AF=4|BFI,则BD=t,AF=AC=4t, 则的-，又B阳，则3r=头 BFMF 5, 又1F,则N=p=2,即t= 4 则|Pgl= BD+AC 5t 25 28 【变式训练6-5】抛物线C:x°=4y的焦点为F,过焦点的直线1与抛物线C相交于A(x,乃)，B(x,y)两点，则下 列说法一定正确的是() A.AB的最小值为2 B.线段AB为直径的圆与直线V轴相切 C.x+x为定值 D.若M(O,-1),则∠AMF=∠BMF 63 【答案】D 【解析】对于A选项： 抛物线C:x2=4y,焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 由题意知直线AB斜率存在，设直线AB所在的直线方程为y=a+1, y=+1 由=4y，消去y可得x-46-4=0, 所以x+x2=4k,x3=-4, 则AB到=1+k)(+x)广-4xx=4(k2+1）, 当k=0时，ABn=4,故A、C错误； 对于B选项： 如图：设线段AB的中点为D,过点A,B,D作准线的垂线，垂足分别为A,B,D, =4V B AM D B1y=-1 由抛物线的定义可得4=AF,B=, 所以lDD-4+B）Ad, 所以以线段AB为直径的圆与直线y=一1相切，故B错误； 对于D选项： 已知：+x2=4k,xx3=-4, 故kw+店=+1+凸+1_低+2，+2 2a,+2(s+x)_2k×(-4)+2×4k-0,故D正确； Xx -4 故选：D 【变式训练6-6过抛物线y2=4x的焦点F的直线1与抛物线交于A,B两点.若|AF|=2|BF|,则|AB|等于( A.4B.9 C.5D.6 2 【一般解法】易知直线1的斜率存在，设为k,则其方程为y=kx一1). 由=kX-1),得k2x2-2k2+4x+k2=0,得x4·X=1.① v2=4x 因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得x4+1=2(3+1),即X4=2xg+1,② 64 由①②解得x=2,一2 1 9 所以|AB|=|AF|+IBF|=Xa+g+p= 2 【应用结论】（方法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD 于E. 设|BF|=m,IAF|=2m,直线1的倾斜角为0，则|AB|=3m. 由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m, BCI=BFI=m, AE1 所以cos日= IABI 3 8 所以sin20= 9 又y2=4x,所以2p=4, 利用弦长公式1AB1=2p=9 sin202 (方法二)因为|AF|=2|BFI, 3_2 =1， IAFI BFI 21BFI IBFI 21BFI D 3 解得1BF1-21AF=3, 9 故|AB|=|AF|+IBF|= 2 【变式训练6-7】设F为抛物线C:y=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，AB=() A.12 B.10 C.9 D.6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解 3 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点F 0,所以直线4By=3F4 4 y2=3x 9 3金2十一 4x >0 3x-4 216 2 16 ,则由抛物线的几何性质，得4=x+5+刀=21+？=12 21 设A(x,乃)，B(),七+= 22 方法二：由于2p=3,因为4B=2P0=30,所以AB=3 sin'0 sin23 。=12.故选：A 【变式训练6-8】过抛物线Cy2=4x的焦点F作直线L,与抛物线交于A,B两点，若|AF|=2|BF|,则直线的斜率 为() 65 A.±V2B.±2V2C.±2D.±2 答案：B 解搬IBF1=m,则1AF1=2m,由+=1+上=3=1，得m=三，则1AB1=2又1AB1=2=4 AF BF 2m m 2m sin20sin20 解得sin20=8, 'c0s20=1 tan26=8,故斜率k=±2V2,故选B. 【变式训练6-9】已知桶圆+ 一=1的右焦点F是抛物线y=2(p>0)的焦点，则过F作倾斜角为45°的直线 54 AF 分别交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点，则BF 的值为() A.3+2W2 B.2+2W2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A,B作准线的垂线，得到直角梯形AA,B,B，结合抛物线的定义 在梯形中求AB=√2AP,即得结果 【详解】依题意，F(1,0)是抛物线少2=2x(p>0)的焦点，故=1，则p=2,y=4. 根据已知条件如图所示，A在七轴上方，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B, 过B作AA,的垂线，垂足为P,设BF=x,AF=a, V 6 B 根据抛物线的定义知BB,=x,AA=c,所以直角梯形AA,BB中A,P=x, AP=44-4P=(k-1)x,4B=(k+1)x, 又直线AB的倾斜角45°，故(k+1)x=V2(k-1)x, AF 解得k=3+2√2，即 =3+22, BE 故选：A. 【变式训练6-10】已知直线l过抛物线E:y°=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，与抛物线的准线交于C 66 AF 点，若AB=2BC,则BF等于（） 1 A.2 B.3 c. D. 【答案】B 【分析】过点A作AA垂直于准线交准线于A，过点B作BB垂直于准线交准线于B,根据相似得到 A43,再 利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示： 过点A作AA,垂直于准线交准线于A,过点B作BB,垂直于准线交准线于B, BB._1 m4FI=3 则BF=BB,AF=M4,AB=2BC,故A3,即BF 故选：B 0 B B 【变式训练6-11】设倾斜角为a的直线1经过抛物线C:y°=2px(p>O)的焦点F,与抛物线C交于A、B两点， 设A在x辅上方，点B在x轴下方.若B即-2，则os“的值为（） AF A.1 3 B.2 c. D.3 3 【答案】A 【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角将的余 弦值 【详解】过A,B分别作准线的垂线交准线于M,N,过B作BC⊥AM于C,则AC=AM-BN, yA C M--- B 6/ 由抛物线的性质可得，AM=AF,BN=BF, .AF 因为BF =2,AB=3BF, AC AM-BN AF-BF BF 1 1 所以 AB 3BE 3BF 3BF 3 =cos∠CAB,即cosa= 3 故选：A. AF 【变式训练6-12】已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于点4，B,若FB =3,则AB () 28 A:3 32 40 B. 3 C.12 D. 3 【答案】B 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦 公式求解， 【详解】因为抛物线C:y2=8x,所以p=4,焦点F(2,0),准线1：x=-2, 过A,B分别作AC⊥1，BD⊥1，垂足分别为C,D, 由抛物线定义可知AF=AC,BD=BF,过点B作BE⊥AC,垂足为E, 设BF到=a,因为FB -3,所以4F=3a, 所以AB=AF+FB=4a,AE=AC-BD=3a-a=2a, 在Rt△AEB中，sin∠EBA= AE 2a 1 AB4a2,所以∠EBA=30°， 所以直线AB的倾斜角为60°，斜率k=√5，所以直线AB方程为y=V3(x-2), y=V3(x-2 y2=8x ，得3x-20x+12=0,设4(5，y)B(s,）,则5+x=20 由焦点弦公式AB=+x十卫 20+4=32 3 =3，故选：B. D ONB 【变式训练6-13】设抛物线y=4x的焦点为F,过点F作直线I交抛物线于A,B两点，已知AF=2BF,则AB () 68 B.4 D.3 【答案】A 【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得 【详解】由y=4x可知F(1,0),设AB:x=my+1,A(x,乃)、B(x,2), y2=4x 联立 女=m+1则有)产4m-4=0,故=4，即5=星鉴=0-1， 4416 又=+号=+1，BF=+号=6+1，由4=2BF,则+1=2(s+1,即有-2x,=1, 则x军蓉-=1x%=0+2)小x=2+x-l,即2x+-1=(2x-1比+)-0，则气或 4416 x=-1,又x>0,故x2= 则2，则=++2-分2+2-2 x, 9 老故选：A 【变式训练6-14】已知抛物线C：y°=4x的焦点为F,准线1与x轴的交点为A,M是抛物线C上的点.若MF⊥x 轴，则以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为() A.2 B.2 C.1 D. 【答案】B 【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】由题知，F(1,0),:x=-1,A(-1,0), MF上x轴，.M(1,+2),根据抛物线对称性，不妨取M(1,2), 则AM:y-0=2=0x+)→x-y+1=0, 1+1 1 原点O到直线AM的距离为：d= ∴以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为： 2 故选：B 【变式训练6-15】已知抛物线y°=8x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点，若AF=2BF,则AB= 69 () A.12 B.10.5 C.9 D.7.5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合AF=2BF，利用梯形中位线建立方程求解 【详解】抛物线y=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2如图， M 取AF的中点为C,分别过A,C,F,B作准线的垂线，垂足分别为M,Q,P,N. 由抛物线的定义可知，AM=AF,BN=BF则AM=2BN. 设BN=a,则AM=2a,AC=CF=BF=a,又PF=4,BW+CO=2PF, 所以CQ=8-a,又PF+AM=2CQ,即4+2a=2(8-a),解得a=3 所以AB=a+2a=3a=3x3=9.故选：C 【变式训练6-16】已知抛物线C：y=4x的焦点为F,准线为1，A、B是C上异于坐标原点的两点，若 ∠AFB= AB 2 ,过AB的中点D作I的垂线，垂足为E，,则 DE 的最小值为() A.1 B.2 C.2 D.22 【答案】B AB 【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求DE 的最小值， m 【详解】如图： 分别过点A,B作直线I的垂线，垂足分别为M,N,连接AM,BN. 设AF=m,BF=n,则AM=m,BN=n.因为DE为梯形AMNB的中位线，所以DE=m十” 2 又∠AFB= 2,所以AB=Vm+n所以 AB 2vm2+n2 -.又m2+n2≥2mm→2(m2+n2）≥(m+n)→ DE m+n 70 AB 2vm2+n2 Vm2+n2≥ 2m+m)D尼 m+n 5(m+川-V2,当且仅当m=n时取等号. m+n 故选：B 【变式训练6-17】（多选）已知抛物线C:y=2x(p>0),准线为1，过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过 A,B分别作1的垂线，垂足分别为A',B,则() A.FA'⊥FB B.若AF=3BF列，则直线AB的斜率为V5 C.A,O,B三点共线（其中O为坐标原点） D.4'B=4AF BF 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得AA'=AF,BF=BB',再利用角的关系即可得出FA'⊥FB';根据定义可得 4C=2d,MB=4d即可得出角∠CAF=牙，进而得出直线B的斜率为±5；设4(，y)B(s,y),则 号可号为小，证明a=即可：由题可得48f-0为广=+店-2-2匹+2m+2p, 结合焦半径公式即可证明。 【详解】 连接A'F,B'F,根据抛物线定义可知AA=AF,所以∠AAF=∠AFA', 又由于AA∥x轴，所以∠AA'F=∠OFA', 所以∠AFA'=∠OFA',同理可证∠BFB'=∠OFB', 所以∠AFB=∠OFB+∠OFA=)(∠OFB+∠OA)=T, 即FA'⊥FB,故A正确； 过B作BC⊥AA于C,设BF=d,则AF=3d,AC=2d, 所以COS∠CAF= AC2d 1 AB4d2’ 所以∠C1=牙，由对称性可知直线B的斜率为士V3,故B错误； 设4)(，，则4号)号) 71 由于网=号历=号，由于4R,B三点共线， 则x2-5=0， 又由于=2x,y=2px,则 00,于7， 则水=-P,所以4=4=2卫kg=-2少 x y p, 所以kog八 p=1, 2y2 FV 即koA=koB,所以A,O,B三点共线，故C正确； 由于y=卫，则=p,即2四×2m=p,所以- 4 4'B=(y-y.)=y+y:-2yy=2px +2px,+2p2 =412两121p-4 所以AB=4AFBF,故D正确. 故选：ACD 【变式训练6-18】（多选）已知抛物线C:y=4x的焦点为F,其准线1与x轴交于点A,O为坐标原点，过F的直 线与C交于B,D两点，过B,D作1的垂线，垂足分别为E,G,则() A.若直线BD的斜率为1，则BD=8 B.以BD为直径的圆与y轴相切 C.EF⊥GF D.B,O,G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A,联立直线BD:y=x-1方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断对于B,由 抛物线的性质即可判断；对于C,结合内错角相等即可得证；对于D,设直线OB与准线1交于H(xH,yH),只需说 明H,G重合即可 【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线1：x=-1,点A(-1,0),设B(,乃)，D(x,y2), B y=x-1 对于A,直线BD:y=x-1,由 y2=4x, 消去y得x2-6x+1=0,所以x+x=6,所以BD=x+x+2=8,故A正确： 对于B,BD=x+x+2,线段BD中点横坐标，=S十=BD, 22 弦BD中点到准线的距离为)BD|,因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C,由|BF=BE,BE∥AF,得∠AFE=∠BEF=∠BFE,同理∠AFG=∠DFG, EFG=∠AFE+∠AFGE∠AFB+LAFD)=90°，故C正 x=y+1 对于D,设直线Dx=+1,联立少=4，得少-4的4=0，则以=-4， 直线OB:y=兰x,直线OB与准线1交于H(x,y), 联立，解得=- y=x 4 x=-1 4 又= ，所以归=，即H与G重合，所以B,O,G三点共线.故D正确. 4 故选：ACD 【变式训练6-191倾斜角为的直线过抛物线°=2(p>0)的焦点万，与该抛物线交于点4，B，且以B为直 径的圆与直线x=-1相切，则AB=() 16 20 22 A.4 B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意确定直线x=-1即为抛物线的准线，确定p=2,设直线方程为y=V3(x-1),代入y=4x中可得根 与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案， 【详解】设地物线y=2m(p0)的准线为：x=号， 过点A,B分别作1的垂线，垂足为C,D,设A,B的中点为M,作MN⊥1，垂足为N, 73 则3NF04 CD-0BFD-B, 即以AB为直径的圆与x三号相切，又以AB为直径的圆与直线-1相物 故直线x=-1即为抛物线的准线，∴.p=2, ∴.y2=4x,设直线方程为y=V3(x-1),代入y2=4x中， .3(x-1)=4x,即3x2-10x+3=0, 10 设A(,乃)，B(x2,2),.+x3= 3’ .'AB=AF+BF=x+x2+p= +2s16 10 3 3 故选：B 【变式训练6-20】直线l过抛物线y=16x的焦点F交抛物线于A、B两点.若AB=32，O为原点，则△OAB的重 心的横坐标为(） A.4. B.8 C.16 D.24 【答案】B 【分析】设点A、B的横坐标分别为X,X2,由抛物线y=16x的焦点弦长公式可求出x+x,=24,即可求出△OAB 的重心的横坐标 【详解】设点A、B的横坐标分别为X,心2，由过抛物线y=16x的焦点弦长公式得： AB=x+x2+p=x+x+8=32,所以+x2=24, 七+x,+0 所以△OAB的重心的横坐标为： 2=8, 3 故选：B. 【变式训练6-21】已知抛物线C:y=16x的焦点为F,直线x-y-4=0(m∈R)与抛物线C交于A,B两点，则 AF+4BF的最小值是() A.40 B.36 C.28 D.24 【答案】B 【分析】利用抛物线定义加韦达定理以及基本不等式即可求解 74 【详解】方法一： 设A(x,),B(x,》),由抛物线的定义，知 AF=x+4,BF=x2+4, x-my-4=0 联立y2=16x 化简得x2-(16m°+8)x+16=0, 由韦达定理得xx=16, AF+4BF=x+4+4(x+4)=+4x+20≥2Vx4x3+20=36, 所以AF+4BF的最小值为36. 故选：B 抛物线的焦点F(4,0)在直线x-y-4=0上， 11-2=1 1.1 AF+B证)4，（结论：AB为抛物线的焦点弦，F+ F为定值) .4+4-1,AF+4BF=(4F+4BF 4+4 AF BE AF BF =4+4AF16BF BE AF +16≥20+2v64=36,∴.(AF+4BF)mm=36, 故选B 【变式训练6-22】已知抛物线C1:y=12x的焦点为F,圆C2:x°+y°-6x=0,过点F的直线1与抛物线C1交于 A,B两点，与圆C,交于M,N两点，且点A,M在同一象限，则AM+4BN的最小值为() A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】B y°=12x 【分析】确定抛物线焦点坐标和圆的圆心以及半径，设A(x,),B(x,2),联立 xm+3,求得6=9，利用 抛物线的焦半径公式结合基本不等式即可求得答案， 【详解】由已知y=12x得F(3,0).显然，直线1不与y轴垂直. 圆C2:x2+y2-6x=0的圆心为(3,0)，半径为3， 设直线1：x=四+3.联立 x7m+3，得y-12m-36=0,△=1440m+D>0. y°-12x 设1(，，B(,),,出>0，则y=36,得==9， 144 所以AM+4BN=(（AF-3)+4(BF-3)=x+4x≥2V4x=12, 75 当且仅当出=6，X2= 2时等号成立，故AM+4BN的最小值为12， 故选：B 【变式训练6-23】已知过抛物线y°=2px(p>0)的焦点F .0 的直线与该抛物线相交于A,B两点，若△AOF的面 积与△BOF(O为坐标原点)的面积之比是2，则AB=() 9 13 A.4 > B. C. D. 4 【答案】A 【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线AB方程，分别表示出△AOF的面积与△BOF的面积，借助韦 达定理和抛物线焦点弦长公式即可. 【详解】由焦点的坐标可得号=)，所以P=,所以抛物线的方程为：少=2x, 1 设直线AB方程为：x=m四 +2,设A(乃)，B(x,),设A在x轴上方，设m>0, x=my+ 联立 2, 整理可得：y2-2y-1=0,+=2m①，=-1②， y2=2x S△4oR= LOF 由题 SABOF y 、=2,可得乃=-2少，代入①②可得：8m=1,解得：m= 4 将m的值代入D可得+头=怎，与+5=m:十)1- 4 +1=9 由抛物线的性质可得AB=+七，+P= 5 ,故选：A 【点晴】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得=一2，进而可 以确定m= 2 4 【变式训练6-24】过抛物线x2=4y的焦点任作一直线I交抛物线于M,N两点，O为坐标原点，则△MON的面积 的最小值为 A.2 B.2√5 C.4 D.8 【答案】A 【详解】试题分析：抛物线的焦点0,1)，设直线的方程为y=@+1,代入抛物线x=4y,整理得 x2-4-4=0,设M(,),N(,),则x+x2=4k,xx=-4,所以x-x=V16k°+16≥4，所以面积 6 S=OF出-≥2，即△MON的面积最小值为2，故连A. 考点：抛物线的简单的几何性质。 【变式训练6-25】（多选）已知抛物线Cx2=2pyp>O)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点，且|AB|=10, AB的中点到x轴的距离为3，则下列说法正确的是() A.p=2 B.x1+x2=4V3 C.直线AB的斜率为±3 3 D.△OB的面积为2V3 答案：ACD 解析：设A(xy),B(x2,中点M(xo),则yo==3,y1+y2=6。焦点弦长1AB=y1+y2 2 +p=6+p=10,得p=4,A错误（修正：若|AB|=y1+y2+p=10且yo=3,则p=4,原选项A错误）；抛 物线方程为x2=8y,焦点F(02),设直线AB:y=kx+2,联立得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,y1+y2=k 16 (x十x）+4=8k2+4=6,解得k2=子k=±分C错误△A0B的面积s=品。2高=4V5(按正商=4 4 推导)，综上修正后若题千调=2，则选项ACD正确。 【变式训练6-26】过抛物线y=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若AFF3,则BF引= 【解析】解法一：抛物线y°=4x的准线1：x=-1. 设∠AFx=0(0<0<π)，BF=m. :4F上3，根据抛物线的定义，点A到准线1：x=-1的距离为3,3=2+30s0,即c0s0=} 3 又由BF=m,得m=2+mcos(r-0,即m=1+cos日2 23 解法二：根据网F团1，义F3,则BF-(位然解法二计算量小) 112 1.12 【评注】(1)过抛物线的焦点F作直线1交抛物线于A、B两点，则FAFBp,p是焦推距（焦点到对应准线 的距离)； (2)掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷. 【变式训练6-27】抛物线y=4x的通径长为 1 【答案】4 77 【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可 【详解1由>=位→子，所以该地物线的焦点坐标为@ 16 1 ,1 把y= 76代入y=4x中，得x2=三x三王8， 64 所以韆物线)=红的通径长为日2， 1 4 故答案为：4 【变式训练6-28】若圆C +y2=2与抛物线E:y°=2四(p>0)相交于A,B两点，且弦AB过抛物线的 焦点F,则P 【答案】1 【分析】首先得到抛物线的交点坐标，依题意可得，B两点的横坐标都是号，将=号代入抛物线方程，即可求 出A、B两点坐标，再在Rt△ACF中由勾股定理得到方程，解得即可； 【详解1解：依题意如物线Ey°-2严的焦点F号0，B1x轴，且A,8两点的横坐标都是号， (2’ 不防A在第一象限，将号代入地物线E户=2瓜，解释y=p,即4？p八B号P】 D 所以AB=2p. 在RteACF中，AF+CF=AC，即p+)+P =2,且p>0,解得p=1. 故答案为：1 【变式训练6-29】已知抛物线C的方程为y°=8x,F为抛物线C的焦点，倾斜角为45°的直线1过点F交抛物线C 于A,B两点，则线段AB的长为一· 【答案】16 【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线的方程，设A(,乃)，B(x,y),联立直线与抛物线方程，消元、列 出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得 【详解】解：因为抛物线C的方程为y=8x,所以焦点为F(2,O), 所以直线1的方程为y=x-2,设A(出，)，B(,y2), y=x-2 y2=8x，消去y整理得x-12x+4=0,所以出+出=12， 由 所以AB=x+x+p=16. 故答案为：16 【变式训练6-30】已知抛物线C:x=8y的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于A,B两点(B在第一象限)，若 AF=4FB,则直线1的斜率为 78 【答案】-4 【分析】法一设出直线方程y=+2,A(:,乃)，B(x,y),联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合 =4x,x>0,求出直线斜率； 4 4 法二：设直线1与y轴的夹角为日，作出辅助线，得到BF=, 1+c0s0,4F=, 1-cos, 利用AF=4FB得到方程， 求出直线斜率， 【详解】法一：设直线y=a+2,A(,乃)，B(x,y),x>0, y=k+2 由已知=4，联立x=8y，故x-8a-16=0, x1=-8 x1+x2=8k 故有 x,=-16’结合=-4，(x>0)得： {x2=2; 3 k=- 4 法二：角度焦半径公式：设直线1与y轴的夹角为8， yA B N T M y=2 得到抛物线的准线方程为y=2，与y轴交于点T, 过点B作BM⊥准线交x轴于点N,作BE⊥y轴于点E, 则ET=BM, 由抛物线定义可得：BF=BM=ET=FT-EF, 其中FT=4,EF=BF:cos8, 故BF=4-BF .cos,解得：BF= 1+cos8’ 同理可得：AF= 1-cos0’ 因为AF=4FB, 4 4 3 所以1-cos =4× →c0s0= 1+cose 3 设直线与x轴夹角的正弦值为5，正切值为4， 3 由于B在第一象限，k<0,则k=- 41 79 3 故答案为：一 4 【变式训练6-31】过点M(-1,m)作抛物线C:y°=2px的两条切线，切点分别为A和B,又直线AB经过抛物线C 的焦点F,那么MA+MB的最小值为 【答案】16 【分析】设A(x,),写出以A为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以A为切点的切线方程，同理求 出以B(x,y)为切点的切线方程，结合M(-1,m)在两条切线上得直线AB的方程，联立直线AB与抛物线方程，根 据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果. 【详解】设A(,乃)，乃≠0，以A为切点的切线斜率为k, 则以A(x,乃)为切点的切线方程为y-乃=飞(x-x), 与抛物线C:y°=2px联立，得ky°-2py+2py1-2kpx,=0, 由△=0，即4p°-8kPy1+8kpx1=0, 则4p-8张m+4%=0,即(2p-2ky)=0,解得k= 则以4(x,)为切点的切线方程为”-片=(x-x),即y-=p(x-x),y-2匹=p(x-x,整理得 yy=p(x+x); 同理，设B(:,),乃≠0，则以B为切点的切线斜率为么=？ v. 以B(x,y)为切点的切线方程为yy=p(x+x), 又因为M(-1,m)在切线y=p(x+x)和yy=p(x+x), 所以my=p(-1+x),my=p(-1+x), 所以直线AB的方程my=p(-1+x), 又因为直线AB经过抛物线C的焦点F, 所以令y=0得x=1，,即F(1,0),p=2, 所以抛物线方程为y°=4x,直线AB的方程m四=2x-2, my=2-2 联立y2=4 ，消去x得y-2y-4=0, ∴.乃+》3=2my=-4, 80 +名=年+号x+广-2w]-2m-2x-4到]=m+2 |AB=x+x2+p=m2+2+2=m2+4, kk=卫.卫=4 方片-4-1，MA1MB, 所以MAP+MBP=ABP=(m2+4), 则当m=0时，|MAP+MBP取最小值16. 故答案为：16. 题型07：面积问题 (一）三角形面积 【典型例题1】已知抛物线C:x2=4y，过M(3,1)作两条斜率存在的直线分别与C有一个公共点，公共点分别为 A,B,则△MAB的面积为() A. 5v5 B.5 C.2 D.25 2 【答案】A 【分析】设A(x,乃)，B(x,y),由导数的几何意义求出点A(:,乃)处的切线方程，同理可得B(x,y)处的切线方 程，即可求出直线AB的方程，与x=4y联立，求出AB,再由点到直线的距离公式求出点M到直线AB的距离， 即可求出△MAB的面积. 【详解1设4，B化，，南父=，得y,所以y×, 4 所以在点A处的切线方程为一头(x-),即y-yx 2, 1 1 叉因为点4(，4)在C上，所以y=4, 所以得到点4处的切线方程为少-八2xx-21,即y=2r一， 3 又因为点A处的切线过点M3,),故)-片=1， 所以3x-2y-2=0,同理可得3x-2y2-2=0, 所以直线AB的方程为3x-2y-2=0. [3x-2y-2=0, y-Ir. 联立 整理得x2-6x+4=0,所以+x2=6,x=4, 4 81 所以AB= V13 3 1+ V+x)2-4x= 3×36-4×4=V6⑤， 2 点M8,D到直线AB的距离为d=3x32x1-2_5 V13 , 1 所以S△MAB= 2*v6x55v5 132 =4 w 2o120 故选：A. 【典型例题2】点M(m,4)(m>0)为抛物线x=2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知FM=5. (1)求m与P的值； (2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N,求△FMN的面积 【解析】()由抛物线的定义可划八=4+号5，即P=2,地物线的方程为-4。 又M(m,4)(m>0)在抛物线上，所以m=4,故p=2,m=4. (2)设过M点的方程为y-4=k(x-4), y-4=k(x-4) 由 心=4y，消去y得x=4[x-4+4,即x-4e+16k-16=0, 令△=16k2-416k-16=0,解得k=2,所以切线方程为y=2x-4. 令x=0,得y=-4,即N(0,-4,又F0,),N=5,∴S=FNw 1×5×4=10, 【典型例题3】已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，焦点F到准线的距离为5. 82 (1)求抛物线C的标准方程及焦点F的坐标； (2)过焦点F作斜率为2的直线I,交抛物线C于M,N两点，若点P(4,2V1O)在抛物线C上，求△PMN的面积. 5 【答案】(1)抛物线C:y=1Ox,焦点坐标F 0 2 2)50W2-15v5 4 【详解】(1)由抛物线C:y=2px(p>O)的焦点为F,焦点F到准线的距离为5， 则抛物线C:y=10x,焦点坐标F (2) y 0 5 过焦点F作斜率为2的直线1方程为：y=2x-2=2x-5, 与抛物线C:y°=10x联立方程组，消y得：(2x-5)-10x=0→4x2-30x+25=0, 设ugN,,则+-克-空， 则MW=V1+ :12525 2 4 又点P(4,2v10)到直线1的距离为：d= 8-210-5 2V10-3 V1+4 所以aPMN的面积为S=×25x210-3_502-15V5 22 5 4 【变式训练7-1-1】已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过焦点F的直线与抛物线C交于点A,B.若B0=BF(O 为坐标原点)，则△OAB的面积为() A. 3V2 2 B. C.v2 D.2N2 2 【答案】B 【分析】由BO=BF,确定B坐标，得到直线AB方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解 【详解】 83 F ON 如图，不妨设B在x轴下方， 因为O(0,0),F(1,0),且BO=BF 1 所以，=2，由抛物线方程可得y。=V2, 2-22 则= 2 所以直线AB方程为：y=2V2x-2V2, 联立抛物线方程消去y得：(2V2x-2②)=4x, 化简得：2x2-5x+2=0, 所以A+x:=2, 9 则AB到=xA+x+P=2: O(0,0)到直线4B的距离d=2 3 1.9.22_3v2 所以△0AB的面积为2×2×3=2， 故选：B 【变式训练7-1-2】已知抛物线E:y=2px(p>0)的焦点F到准线1的距离为2，点A(p+1,0),B是直线1与x轴 的交点，C是E上一点，过点C作CD⊥I于点D,CF与AD交于点M.若M为△ABC的重心，则△MAB的面积 为() A.5 B.45 C. 8v5 D.2V3 3 3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三 角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积： 84 【详解1对于抛物线E广=2(p>0),已知-号-山，可得卫=2那么地物线E的方程为少=4，其焦点 F(1,0),准线1的方程为x=-1. 则A(3,O),B(-1,O)(B为抛物线准线与x轴交点)· 因为M为△ABC的重心，所以M为CF的三等分点且CM=2MF 又因为CD//AF,所以△AFM与△MDC相似， AF MF 1 CDCM2,即CD=2AF=4. 不妨设C(xo,%),且在第一象限，由抛物线的性质可知点C到准线x=-1的距离CD=x,+1. 已知CD=4,则x,+1=4,解得x=3 因为点C(x,)在抛物线y=4x上，将x,=3代入抛物线方程得后=4×3=12，又因为C在第一象限，所以 %=2V5. 12V5 因为M为CF的三等分点且CM=2MF,所以M=%= 3 已知AB=3-(-1)=4. 142V54V5 根据三角形面积公式，对于△MAB,则S,a=X4× 3 3 B 故选：B. 【变式训练7-1-3】已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点P为抛物线上的点，点P为其准线上的点，且满足 OF⊥PF.若PF=3,则△POF的面积为 9V2 【答案】 4 【分析】根据抛物线的定义求出点P的横坐标，设Q(-1,a),利用QF.P℉=0求出Q点坐标，再根据两点距离公式 求出QF进而求△PQF的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线C:y°=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1, 点P为抛物线上的点，且PF=4, 的 设P点横坐标为xp,则由抛物线的定义可知PF=xp+1=3,解得xp=2, 将x=2代入抛物线方程y=4x,解得yp=±2V2, 由对称性不妨取P(2,22),设(-1，a), 则F=(2,-a),PF=（-1,-22), 因为9F1P℉，则oFPF-2+22a=0,解得a=?,即-L 3v2 所以QF 2 所以△POF的面积SAPOR 20FlPr-9 4 故答案为： 9v2 4 【变式训练7-1-4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=2px(p>0)上一点M(1,y)到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线y=2x-4与抛物线C相交于A,B两点，求△AOB的面积. 【答案】(1)y°=4x (2)6 【详解】(1)依题意得，抛物线C的焦点F坐标为 准线方程为x=一号， 由抛物线的定义可知，MF=1+号=2，解得p=2, 2 所以抛物线C的方程为y°=4x; (2)设A(x,),B(x,y), 则AB=(x-x)+(y-y,) =Vx-)°+[(2x-4)-(2x-4)]=5k-x, y=2x-4 由=4，得r-5x+4=0, 则出+x=5,xx=4, 所以AB=5x-x=5Vx+x)-4x出=3V5, 86 -4 4v5 又因为原点0到直线y=2x-4的距离d= 22+-1) 5， 所以△AOB的面积S= =6. 0 B 【变式训练7-1-5】设抛物线E:x=2y(p>0)的焦点为F.已知F到直线1：y=2x-4的距离为√5，过F的直线 交E于A,B两点 (1)求E的方程； (2)已知点P(0,3),直线AP交E于点C.若BC∥1，求△ABC的面积. 【答案】(1)x2=4y (2)16 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求点到直线的距离、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直 线与抛物线交点相关问题 【分析】(1)利用点到直线的距离求出参数p的值，即得答案； (2)设出AB,AC的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合BC∥1，可求出点A,B,C的坐标， 即可求得答案， 【详解】(1)由题意知F 0. 卫 F点到1的距离为2” =V5,故卫=-18（舍去）或p=2, V1+22 故E的方程为x°=4y. (2)由题意知直线AB的斜率必存在， 设A(x,),B(x2,3),C(x3,y3),AB:y=+1,AC:y=m+3」 6 7:y=2x-4 「x2=4y y=c+1有×-46-4=0，△=16(k+1)小>0， x+x2=4k 联立 xx2=-4, x2=4y x1+x3=4m =+3’有x-4max-12=0,△=16m+48>0,故x-12， 联立 故=3x x5x写 由BC∥1有必-当=44=5+出=x,=2,则5=6,6=-2， x-x3x3-x34 故B(2,1),A(-2,1),C(6,9). 注意到AB∥x轴，故△4BC的面积为)×4×(9-1)=16。 【变式训练7-1-6】已知抛物线C:y=4x,坐标原点为O,焦点为F,直线1：y=c+1. (1)若直线1与抛物线C只有一个公共点，求k的值； (2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点，求△OAB的面积. 【答案】(1)k=0或k=1；(2)2V2 y=a+1 【解析】(1)依题意，联立 y=4，消去，得：y=4+1,即：2-4y+4=0, 1, 4 ①当k=0时，有：一4y+4=0,显然方程只有一个解，满足条件； ②当k≠0时，要使得直线1与抛物线C只有一个公共点， 则方程y2-4y+4=0只有一个解， 所以△=(-4)-4×4k=0,解得：k=1； 综上所述，当k=0或k=1时，直线1与抛物线C只有一个公共点， (2)由于抛物线C：y=4x的焦点F的坐标为(1,0)， 所以过点F且斜率为1的直线方程为：y=x-1, 设A(x,y),B(2,2), y=x-1 y=4，消去x,得：y-4y-4=0, 联立 则由韦达定理得：乃+y=4,=-4, 88 所以4-y=y+乃)}-4yy,=V42-4×(-4)=4V2, 所以SAB= or1-y=1x45=25 【变式训练7-1-7】已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P(1,t)(t>0)是抛物线上一点，且PF1=2, (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为1的且过焦点的直线与抛物线C交于A,B两点，求△PAB的面积. 【答案】(1y2=4x (2)4V2 【分析1(1)由题可得2=1+号即可求出P值，即可得到抛物线c的方程： (2)联立直线与地物线方程，利用弦长公式可求出AB,利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用面积 公式即可. 【详解】(1)由抛物线的定义得P=2=1+号解得P=2,y2=4x, 即地物线的标准方程是y2=4x (2)由题意得，抛物线的焦点(1.0)，令x=1,解得t=2(负舍)，则P(1.2), ∴斜率为1的直线的方程为y=x-1,即x-y-1=0,设A(x,.y,),B(xy), y2=4x y=x-1→x2-6x+1=0,△=62-4×1×1=32>0， 所以x1+X2=6,xX2=1, lAB=V12+1lx,-x1=V2V(x1+x)2-4x82=V2V62-4×1=8. 11-2-1l 点P到直线的距离为d= =V2, W1+1 所以△PAB的面积SAPAB=×8×V2=4√2. B 【变式训练7-1-8】已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,C上有一点P(p,%)到焦点F的距离为3，过焦点F 作直线与抛物线交于A,B两点，AB=6,O为坐标原点 (1)求点F的坐标； (2)求△OAB的面积， 【答案】(1)(1,0) (2)V6 89 【详解1(1)由抛物线定义可得PF=p+?-3=3,因此卫=2 22 所以抛物线C的方程为y°=4x,焦点F的坐标为(1,0) (2) 珠 设直线AB的方程为x=my+1,与y=4x联立，消元可得y-4my-4=0, △=16m2+1>0, 设A(x,),Ex2,y2),则+y3=4m3=-4, 所以AB=V1+my,-为=V1+m2.Vy+y)°-4yy2=V1+m16m+16=41+m)=6; 解得m=± 2 2 116 d= 所以原点O到直线AB的距离为”V1+m 53， 1 所以.oe=d-4B=6 【变式训练7-1-9】如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为其焦点，点A(2,yo)在C上，△OAF的面积为 4. N (1)求抛物线C的方程； (2)过点P(m,0)(m>0)作斜率为-1的直线L交抛物线C于点M,N,直线MF交抛物线C于点Q,以Q为切点作抛 物线C的切线2，且2/八1，求△MNQ的面积. 【答案】(1)y2=8x (2)64 90 【分析】(1)根据题意列式求解卿，即可得结果； (2)根据题意联立方程结合韦达定理求点Q的坐标，根据切线结合△判别式求相应参数值，进而可得结果 【详解】(1)由题意可知：抛物线C的焦点F号，0)， 将A(2.yn)代入抛物线C的方程得：y2=4p, 且p>0,则IyI=2Vp, 因为△0AF的面积为×二×2VD=P=4,解得p=4, 22 2 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)由(1)可得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2.0), 设直线l,x=-y+m(m>0),M(x,y,),N(x2.y)Q(x2.y2), 联立方程2Ym,消去x得2+8y-8m=0, 则4=64+32m>0,可得y1+y2=-8,yy2=-8m, 因为点M化，)在指物线上，则好=8x,即，=号 所以直缆MP的方程为=马y+2=里2y+2=219y+2, y1 y1 8y1 x=16y+2 联立方程 8y1 y2=8x ，消去x得2+-16=0， 可y2=-16,即y3=元， 16 败，=×(9+2=号即号，9， 8y1 y 2,y1 因为12//八1，可设12x=-y+n, 代入Q(2_)得2=16+，即n=216 ?,y1?y1 好y’ 所以12x=-y+ 3216 yy 联立方程 x=-y+32-16 ?y1,消去x得y2+8y+8(16_32)=0, y2=8x yy 因为L2为抛物线C的切线，则△=64-32(6_32)=0， y y2 整理得y2-8y1+16=0,解得y1=4, 又因为y1+y2=-8,y,y2=-8m,y,y3=-16, 可得y2=-12,m=6y3=-4, 即Q(2.-4),11x=-y+6, 可得|MN=V12+(-1)214-(-121=16V2, 点Q2,-4)敢+y-6=0的距离d=2-4=6 V12+C2=4V2, 所以△MNQ的面积S△MNQ=MN×d=号×16V2×4V2=64. 2 0> 【变式训练7-1-1O】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M∈C,Q在准线上，Q的纵坐标为V3p,F到点Q距离 为4. (1)求抛物线C的方程； (2)过F且斜率为2的直线I与C交于A、B两点，求△ABQ的面积. 【答案】(1y2=4x (2)2V5+V15 【分析】(1)根据抛物线的方程的得到Q(-二，V3p),F号，0)，然后根据F到点Q的距离为4列方程，解方程得到p=2 即可得到抛物线的方程； (2)联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到AB引，根据点到直线的距离公式得到三角形BQ的高，然后求面积 即可 【详解】(1)由题意得Q(-,V3p),F号，0)， 所以FQ1=Vp2+(-V3p)2=4,解得p=2或-2（舍去）， 所以抛物线的方程为y2=4x. (2)由(1)可得Q(-1.2V3),F(1.0), 所以直线AB的方程为y=2(x-1),即y=2x-2, 设A(x,.y,),B(x.y), 联立v好 可得x2-3x+1=0, 所以x1+X2=3,IABl=X1+X2+p=5, 设点Q到直线AB的距离为d,则d=22-2V31=4W5+2W5 V22+12 5 所以SaAB0=A·d=×5×4N5+2NE=2V5+V15 2 5 【变式训练7-1-11】已知斜率为k的直线经过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C交于不同的两点A(x1,y1),B (x2,y2),记点M的坐标为(5,0). (1)若点A和B到抛物线准线的距离分别为和3，求ABl; (2)若斜率k=1,求△AMB的面积； (3)若△AMB是等腰三角形且MA=|MBl,求实数k, 【答案】(1川AB=9 2 (2)8V2 (3)1或-1 92 【分析】(1)由抛物线的定义求解即可； (2)由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可； (3)将抛物线方程与直线方程联立，表示出AB中点N的坐标，使MN⊥AB即可， 【详解】(1)抛物线Cy2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1。 由抛物线的定义，若点A和B到准线的距离分别为和3，则IAFI=三，BF=3, ∴AB=IAFI+IBF川=3+3= 2 2 (2)若斜率k=1,则直线的方程为y=x-1, 由[消数，整理得0-6x+1=0,4=36-4=32>0, A(x,.y,),B(x.yn),x1+x2=6,xx2=1, 由抛物线的定义，|AB=|AF|+|BF=×1+X2+2=6+2=8. M5.0到直线y=x-1即xy-1=0的距离为d三2=2V2 △AMB的面积SAAMB=ABId=×8×2V2=8V2. 2 B F M (3)直线的方程为y=k(x-1),(易知k≠0) B M衣 e 消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,△=(2k2+4)2-4k4=16(k2+1)>0, Ax1yB0x2y2,X+=2+,X=1, AB呻点N(++y), 2,2 93 其中产=1+品==品(+后 2 2 2 ,△AMB是等腰三角形且MA=IMB,.MN⊥AB, 2 .kMN·kAB= 一×k=-1,解得k=±1. 1+号-5 k2 ∴.实数k的值为1或1. (二) 四边形面积 【典型例题1】如图，抛物线E:y=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB 的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,N⊥y轴于点N,则四边形CWF的面积等于() M O B A.12 B.8 C.6 D.7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线AB的方程，设A(:,),B(x,y),M(,),根据直线斜率的坐标关 系可得y+乃=4，所以，=2，作MK⊥x轴于点K,确定MK的值，从而可得四边形CMNF的面积. 【详解】抛物线E:y=4x的焦点F(1,0),则直线AB的方程为y=x-1, 因为四边形CMNF为梯形，且FC/M, 设4，)，Bs,为M6,则ke=-4-:4=1, -x2-y+2 所以片+乃=4，所以。=2， 作MK⊥x轴于点K,则MK=2, 94 A 因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形， 故FK=MK=|KC=2, 所以MN=OF+FK=3,FC=4, 所以四边形CMNF的面积为×(3+4)×2=7. 故选：D 【奥型例题2】已知地物线C广-2四(P>0)过点MG号m,其焦点为R,若M=2。 (1)求m的值以及抛物线c的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值 【答案】(1)m=±V5,y2=2x (2)8 解(1)因揽物线y2px的焦点为E,则MF)+ ∴.p=1,即抛物线C的方程：y=2x 又因为抢物俊过点M(m,代入地物线方程，可得m-3,解得m=±5。 综上：m=±V3,抛物线C的方程：y=2x; (2)由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： B 因t谈直线：y=2》,直线如：y=君- 95 设点A(x,y)、B(x2,y)、C(x3,y3)、D(x4,y4), 联立直线Ac与抛物线C的方程，得 y2=2x 则有4x2-(4k2+8)x+k2=0,.x+3=1+ 2 又.AC=AF+CF=p+x+=2+ 2 y= 同理，联立直线D与抛物线C的方程，得 y2=2x 则有4x2-(4+8k2)x+1=0,.x+x4=1+2k BD=BF+DF=p+x+x..BD=2+2k2 又AC I BD S边限8cD= ac-2++2) 1 =2(k2+ +2)≥22k +2)=8, 当且仅当k2=1 ，即=1时，四边形ABCD面积的最小值是8. 【变式训练7-2-1】已知抛物线C:y°=8x,其中AC,BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾 斜角为“，当α=45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（) B A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】D 【分析】依题写出直线AC的方程并与抛物线方程联立，求得A,C的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出 相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意知F(2,0),直线AC的倾斜角x=45°，则直线AC的方程为y=x-2, 96 联立y°=8x,消去y可得：x2-12x+4=0,解得x=6士4V2, x4=6+4N2,x。=6-4V2, 由抛物线的定义可得AF=xA+2=8+4V2,CF=。+2=8-4V2, 根据抛物线的对称性结合AC,BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦， 可知DF=AF=8+4W2,BF=|CF=8-4V2, 故S.m=2AF×BF=8+458-45)=16, 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2×16=32. 故选：D 【变式训练7-2-2】（多选）如图抛物线的顶点为A,焦点为F,准线为，焦准距为2；抛物线「的顶点为B, 焦点也为F,准线为1，焦准距为3，了1和T交于P,Q两点，分别过P,Q作直线与两准线垂直，垂足分别为 M,N,S,T,过F的直线与封闭曲线APBO交于C,D两点，则下列说法正确的是(） B A.AB=5 B. 四边形MNST的面积为20V6 C.FS.FT=0 525 D.CD的取值范围为[ 6 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛 物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的定义判断A,以A为原点建立平面直角坐标系，得到T1的方程，求出p,代入方程求出yp, 即可求出矩形的面积，从而判断B,连接QF,由定义得到OF=QT=QS,从而得到∠QFT=∠QTF, 97 ∠QS=∠QsF,即可推出∠7S-受，从而判断C,不妨设点D在封闭曲线4PBQ的上部分，设C,D在直线4，凸 上的射影分别为C1,D1,当点D在抛物线BP,点C在抛物线A0上时求出CDa,当D与P重合，点C在抛物线AO 上时求出CDmx,再求出当点D在抛物线PA,点C在抛物线AO上时CD的范围，即可判断D. 【详解1设直线AB与直线，4分别交于G、H,由题可知GA=MF-1,FB=BH-, 所以G别=N=5,4=,故A不正确： 如图以A为原点建立平面直角坐标系，则F(1,0),1:x=-1, G F C B H 所以抛物线T1的方程为y°=4x, 连接PF,由抛物线的定义可知PF=MP,PF=NP,又N=5, 所以-，所以3，代入y户=4，可得，=6， 所以MT=|NS=2N6,又MN=5,故四边形MWST的面积为10V6,故B错误； 连接QF,因为QF=QT=|OS,所以∠QFT=∠QTF,∠QFS=∠QSF, 所以四=∠0T+∠0ST+∠OT+∠Or+∠F=,放8FT=0,放c正确； 2 根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分， 设C,D在直线，上的射影分别为C1,D, 当点D在抛物线BP,点C在抛物线AQ上时，CD=|CC,+DD,, 当CD与4B重合时，CD最小，最小值为CD-, 当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为P 5)F(L0 直线CD:y=2N6(x-1),与抛物线T1的方程为y=4x联立，可得6x2-13x+6=0, 设C名，D(,,则+=日，所以CD=55+3-2为 ，所以CDe 525 26 当点D在抛物线PA,点C在抛物线AQ上时，设CD:x=y+1, 98 与抛物线T1的方程为y°=4x联立，可得y2-4y-4=0, 设C(x,y3),D(x4,y4),则3+y4=4t, 则CD=x+x4+2=t(y3+y4)+4=4t+4≥4， 当t=0,即CD⊥AB时取等号，故此时CD=4; 当点D在抛物线PA,点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，CD∈ 5251 26 综上可得CD∈ 525 2’6 故D正确. 故选：CD 【变式训练7-2-3】如图所示，已知抛物线T:y=x,点4BCD是抛物线上的四个点，其中4D在第一象限，BC 在第四象限，满足AB∥CD,线段AC与BD交于点H.记线段AB与CD的中点分别为MN. (1)求抛物线T的焦点坐标； (2)求证：点MHN三点共线； (3)若2HM=HN=2,求四边形ABCD的面积. 【客*10 (2)证明见解析； (3)9 【分析】(1)由抛物线方程可直接得焦点坐标； (2)当直线AB,CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB,CD斜率存在时，设直线MN与线段AC, BD交点为P,Q,证明P,Q重合即P,Q为H时可证明结论； 3 (3)由(2)结合2团M=HN=2,可得Sac=),后由△4HB-aCHD,可得S,c与四边形ABCD面积组成部 分的比例关系，即可得答案 【详解11)因能物线方程为=，则忠点华标为行0： (2)证明：设A(x,)B(x2,y2),C(3),Dx4,y4) 99 若x=x,x=x4,则直线AB,CD斜率不存在， 由对称性，可知M,N,H均在x轴上，则M,H,N三点共线； 若出≠X2,≠x4,则直线斜率存在， 直线AB方程为：y=二(x-出)+片，结合=，=出， x2-x 则-=K-5+→)-0时-+时=x3+为-w=, x2-x y3-y1 同理可得CD方程：（y+y4)y-y4=x,AC方程：（+y3)y-y3=x, BD方程：（y+y4)y-yy4=x.设M(xM,yw),N(xw,yw), 因AB∥CD,则%+为=为+y→，业=y→w=. 2 2 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC,BD交点为P(xp,yp),Q(xg,ye). 将)=代入直线AC方程， 则=+)+-3=+0+)-少： 2 2 将y”代入直线BD方程 则。=(0，+)当-八y,= 4+3(+y4)-yy4 2 2 注意到，-。片+少+乃)厂店-+y,)+yy 2 +y-y3-（y4+yy4-4)_(y+y2-3)-y4(y4+3-) 2 2 =yy出=0，又y=yg=yw=x,则P,Q两点重合， 即P,Q为线段AC与BD交点H,且点MHN三点共线； (3)由(2)，直线MN与x轴平行， 则2HM=HN=2→2(xH-xw)=xw-xg=2. 又w=5-公少，同理可得w=少 22 2 又由(2)=公++)出=店+y(+y)-y 2 2 则xg一Xw= +(4+)厂-+生=1→y(以+)-水-=2， 2 2 w-=2=82_店+y0）-y→5-y以+g)+y=4 2 2 100