第04讲 抛物线的焦点弦 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线焦点弦核心考点，涵盖焦半径公式、弦长计算、通径性质等13类题型，按知识要点、解题策略、题型归纳的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建系统知识网络，突破高考高频难点。 资料以抛物线定义为核心，通过推导焦半径倾斜式、焦点弦几何性质等结论培养学生数学思维，设置基础目标与进阶目标分层训练，如题型03弦长公式结合韦达定理强化运算能力。典型例题与变式训练结合，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第04讲 抛物线的焦点弦 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：焦半径的坐标公式 8 题型02：焦半径的倾斜式 12 题型03：焦点弦的弦长公式 13 题型04：焦点弦长的倾斜式 17 题型05：抛物线的通径问题 18 题型06：AF,BF数量关系 19 题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题 20 题型08：面积 23 题型09：横纵坐标之积定值 24 题型10：焦点弦的几何性质 24 题型11：梯形转化 27 题型12：焦点弦的最值问题 31 题型13: 解答题 32 1.高考地位 抛物线焦点弦是圆锥曲线最高频、套路最强、性价比极高的考点，新高考、全国卷必考： ①选择题、填空题：直接考焦点弦长、角度、定值、最值、二级结论，难度中等偏易 ②解答题：常作为第一问或关键中间步骤，结合定点、定值、范围、向量、中点弦综合考查 ③常和点差法、韦达定理、焦半径、定义转化捆绑出题 2.命题特点 （1）. 核心依托抛物线定义（抛物线上点到焦点距离=到准线距离），几乎所有焦点弦结论都从定义推导。 （2）. 高频考查方向： ①焦点弦长公式、最短焦点弦（通径） ②焦半径公式、倾斜角表示弦长 ③焦点弦端点坐标关系、倒数和为定值 ④定点、垂直、直角、中点、轨迹问题 3.易错点： ①忽略直线斜率不存在（垂直x轴，通径） 特殊情况 ②混淆倾斜角与斜率关系 ③直接背结论不推导，大题被扣分 4.难度与分值 ①选择填空：5分，秒杀题，熟练二级结论可直接秒 ②解答题：4–6分，中档难度，计算量适中，属于必须拿满分板块 一.基础目标（必掌握） 1. 能熟练运用抛物线定义，把焦半径、焦点弦长转化为到准线距离，不用死记硬背。 2. 掌握焦点弦长2套公式： 3. 记住通径：过焦点垂直对称轴的弦，是最短焦点弦。 二.进阶目标（高分必备） 1. 熟练推导并能默写焦点弦经典二级结论（大题可简单推导，小题直接用）： 2. 会处理斜率存在/不存在两类情况，分类讨论不丢解。 3. 能结合韦达定理、向量、垂直、定点定值解决综合题。 三．能力目标 1. 能区分焦点弦 vs 中点弦的不同解法： ①中点弦 → 优先点差法 ② 焦点弦 → 优先定义+韦达+二级结论 2. 规范书写大题步骤，不直接套用结论，会简单推导即可得分。 知识点一：抛物线焦点弦的常用结论 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 （1）． 证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，． 当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：． （2）焦半径长公式：（坐标式）； 夹角式：（在轴上方，在轴下方）． 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． （3）焦点弦长公式：． 证明：由（2）可得弦长： （4）通径长公式：（通径最短）． 证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：． （5）AF，BF的数量关系：． 证明：由，得，又 ， ． （6）三角形AOB的面积：． 证明：点到直线的距离就是的高，， ． （7）中点弦斜率：若斜率为，，则． 证明：，由点差法得 （8）直线的斜率之和为零，即． 证明：，， ， 分子， 直线的斜率之和为零：，即． （9）焦点弦与圆有关的结论 ①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切） ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知 ， 即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③． ④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切. （10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论 ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点， 直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：． ④由抛物线的定义知，////， ，而，即． ⑤易知，又． （11）点三点共线；点三点共线． 证明：由（1）知． 点三点共线．同理可证：点三点共线． （12）如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点． 证明：．设，则 ，直线方程为， 即，直线AB过定点． 知识点二：与抛物线焦点弦有关的比例问题 一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化. 已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：，因此有；如，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式. 1：选填常用解题方法 （1）定义法（核心）：利用 “抛物线上点到焦点 = 到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复杂联立，小题秒杀首选。 （2）待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数，快速写方程，基础题必用。 （3）韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换，求弦长、中点、面积、定点定值，大题核心解法。 （4）性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦长）。 （5）数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，错解。 （6）坐标转化法：设抛物线上点坐标（如设为），简化向量、距离、斜率计算，减少运算量。 2：常用解题技巧 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. 题型01：焦半径的坐标公式 （一）焦半径及焦半径求参数 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意，得，准线方程为， 设准线与轴交于点K，，则，如图， 因为AF的倾斜角为150°，所以， 故，所以， 故，解得， 所以. 故选：A. 【典型例题2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 【典型例题3】已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义计算求参即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 【变式训练1-1-1】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式训练1-1-2】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1-1-3】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练1-1-4】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1-1-5】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【变式训练1-1-6】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . （二）焦半径坐标式求值，最值和范围 【典型例题1】若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：，得. 所以.故选：B. 【典型例题2】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【典型例题3】已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，， 设，则，且，当直线的斜率不存在时，则直线为，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， 所以，得，所以抛物线E的准线方程为， 故选：D 【变式训练1-2-1】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2-2】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练1-2-3】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练1-2-4】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练1-2-5】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【变式训练1-2-6】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【变式训练1-2-7】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 题型02：焦半径的倾斜式 【典型例题】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ，再根据抛物线的倾斜角的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ， 则由3，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|， ∴cosθ＝cos∠PBQ， 又|AF|＝p+|AF|cosθ， ∴|AF|3，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． 故选：C． 【变式训练2-1】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【变式训练2-3】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 题型03：焦点弦的弦长公式 弦长（为弦所在直线的斜率）. 【典型例题1】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线焦点，直线方程为。联立，消去得。设，则。焦点弦长，解得，故选B。 【典型例题2】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以.故选：C.    【典型例题3】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8，所以，解得，所以抛物线，焦点.设，直线的方程为, 联立方程组，可得，, 则,，所以 ，当且仅当时等号成立, 所以的最小值为.故选:D. 【典型例题4】（多选）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      ∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误. 故选：AC 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【变式训练3-2】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3-3】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【变式训练3-4】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【变式训练3-7】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线轴相切 C．为定值 D．若，则 【变式训练3-9】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【变式训练3-10】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【变式训练3-11】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【变式训练3-12】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【变式训练3-13】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 【变式训练3-14】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 题型04：焦点弦长的倾斜式 【典型例题1】抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线，即，，所以，故选D. 【典型例题2】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【变式训练4-1】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【变式训练4-2】过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 【变式训练4-4】抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的面积为，且，则的值为（） A． B． C． D． 题型05：抛物线的通径问题 【典型例题1】已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（    ） A．8 B．8或24 C．12 D．12或24 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案. 【详解】，即， 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为， 焦点，当时，，通径长为； 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为，焦点，当时，，通径长为. 综上所述：通径长为或. 故选：B 【典型例题2】抛物线的通径长为_______ 【答案】 【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可. 【详解】由，所以该抛物线的焦点坐标为， 把代入中，得， 所以抛物线的通径长为， 故答案为： 【变式训练5-1】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【变式训练5-2】直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练5-3】（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【变式训练5-4】若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________. 题型06：AF,BF数量关系 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的，焦点。由抛物线焦点弦性质，代入，得，解得，故选A。 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式训练6-2】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为 |AB|＝x1＋x2＋p＝ 【典型例题1】已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果. 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（其中在第一象限），且满足，下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角为 B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理和，可求出两点的坐标和的值，验证各选项即可； 法二：过两点向准线作垂线，垂足记为，准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点，设长为，则，结合抛物线定义利用比例线段求出的值，验证各选项即可. 【详解】法一：由题意知，当直线斜率为0时不符合题意，故不妨设，直线的方程为. 联立，消去，得，则， 由可知，解得， 故直线的方程为，从而倾斜角为，A选项正确； 计算得到，故，，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确.故选：C. 法二：由题意知，如图过两点向准线作垂线，垂足记为， 准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点. 由可知，不妨设长为，则. 结合抛物线定义，有，则，计算得， 所以，得，由平行知直线的倾斜角也为，A选项正确； 因为，且，即故， 所以，而，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确. 故选：C. 【变式训练7-1】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练7-2】已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练7-3】设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【变式训练7-5】设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 【变式训练7-6】直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-7】已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点. (1)请写出一组满足的点，的坐标； (2)证明：； (3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积. 题型08 ：面积 【典型例题1】过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积？。 解析：抛物线，的面积 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解. 【详解】令为点到直线的距离，则，,由，故， 由抛物线定义可知，，，则有，即， 设直线方程为，联立抛物线方程，有，， 故，，则，则有，故， 有，故或（负值舍去），则， 故.故选：C. 【变式训练8-1】已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为 A．2 B． C．4 D．8 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 答案：ACD 解析：设，中点，则，。焦点弦长，得，A错误（修正：若且，则，原选项A错误）；抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，，解得，，C错误；的面积（按正确推导），综上修正后若题干调整，则选项ACD正确。 题型09：横纵坐标之积定值 【典型例题】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两（） A． B． C． D． 答案：D 解析：抛物线的焦点，设直线方程为，联立得。设，则。，则，若题目求，则值为，故选D。 【变式训练】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 题型10：焦点弦的几何性质 【典型例题1】直线过抛物线的焦点交抛物线于、两点.若，为原点，则的重心的横坐标为（    ） A．4. B．8 C．16 D．24 【答案】B 【分析】设点、的横坐标分别为，，由抛物线的焦点弦长公式可求出，即可求出的重心的横坐标. 【详解】设点、的横坐标分别为，，由过抛物线的焦点弦长公式得： ，所以， 所以的重心的横坐标为：， 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为：， 联立抛物线方程消去可得：，所以，又， 两式相乘可得：，所以， 因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值. 故选：B 【典型例题3】（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ） A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解. 【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为， 对于A，抛物线的准线的方程为，A正确； 由消去并整理得，解得， 对于B，点，，B错误； 对于C，，线段中点到准线的距离， 因此以为直径的圆与相切，C错误； 对于D，，则是钝角，D正确. 故选：AD. 【变式训练10-1】已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练10-2】已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式训练10-3】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【变式训练10-4】已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【变式训练10-5】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【变式训练10-6】（多选）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【变式训练10-7】已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______. 【变式训练10-8】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 题型11：梯形转化 【典型例题1】倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的准线为， 过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N， 则, 即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切， 故直线即为抛物线的准线，∴, ∴，设直线方程为，代入中， ∴，即， 设，∴， ∴， 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 【典型例题3】（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 【变式训练11-1】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【变式训练11-2】过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． 【变式训练11-3】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 【变式训练11-4】已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练11-5】如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（   ）    A． B．1 C． D． 【变式训练11-6】过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【变式训练11-7】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【变式训练11-9】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-10】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 题型12：焦点弦的最值问题 【典型例题】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（    ） A．40 B．36 C．28 D．24 【答案】B 【分析】利用抛物线定义加韦达定理以及基本不等式即可求解. 【详解】方法一: 设,由抛物线的定义，知 , 联立化简得， 由韦达定理得， ， 所以的最小值为36. 故选:B. 抛物线的焦点在直线上， ，（结论：为抛物线的焦点弦，为定值） 故选:B. 【变式训练12-1】已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练12-2】已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【变式训练12-3】过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________． 题型13: 解答题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P. (1)若，求的方程； (2)若，求. 【解析】（1）由题意，直线的方程设为， 联立直线与抛物线方程，可得，，可得， 设,，,，，， 因为，所以，可得，可得， 所以直线的方程为：．即． （2）直线的方程设为，    令，可得，所以，所以,，,， 因为，所以：,,，所以，， ，，， 化简可得，，，可得，，， ． 【典型例题2】已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点，所以直线的方程为：，即， 联立得，设，，所以，， 所以 （2）因、在抛物线上，所以，， 两式相减得：，得，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 【变式训练13-1】已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率. 【变式训练13-2】设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q. (1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角； (2)求的值. 【变式训练13-3】已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线. 【变式训练13-4】已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 抛物线的焦点弦 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：焦半径的坐标公式 8 题型02：焦半径的倾斜式 18 题型03：焦点弦的弦长公式 20 题型04：焦点弦长的倾斜式 32 题型05：抛物线的通径问题 33 题型06：AF,BF数量关系 35 题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题 38 题型08：面积 44 题型09：横纵坐标之积定值 47 题型10：焦点弦的几何性质 47 题型11：梯形转化 54 题型12：焦点弦的最值问题 66 题型13: 解答题 68 1.高考地位 抛物线焦点弦是圆锥曲线最高频、套路最强、性价比极高的考点，新高考、全国卷必考： ①选择题、填空题：直接考焦点弦长、角度、定值、最值、二级结论，难度中等偏易 ②解答题：常作为第一问或关键中间步骤，结合定点、定值、范围、向量、中点弦综合考查 ③常和点差法、韦达定理、焦半径、定义转化捆绑出题 2.命题特点 （1）. 核心依托抛物线定义（抛物线上点到焦点距离=到准线距离），几乎所有焦点弦结论都从定义推导。 （2）. 高频考查方向： ①焦点弦长公式、最短焦点弦（通径） ②焦半径公式、倾斜角表示弦长 ③焦点弦端点坐标关系、倒数和为定值 ④定点、垂直、直角、中点、轨迹问题 3.易错点： ①忽略直线斜率不存在（垂直x轴，通径） 特殊情况 ②混淆倾斜角与斜率关系 ③直接背结论不推导，大题被扣分 4.难度与分值 ①选择填空：5分，秒杀题，熟练二级结论可直接秒 ②解答题：4–6分，中档难度，计算量适中，属于必须拿满分板块 一.基础目标（必掌握） 1. 能熟练运用抛物线定义，把焦半径、焦点弦长转化为到准线距离，不用死记硬背。 2. 掌握焦点弦长2套公式： 3. 记住通径：过焦点垂直对称轴的弦，是最短焦点弦。 二.进阶目标（高分必备） 1. 熟练推导并能默写焦点弦经典二级结论（大题可简单推导，小题直接用）： 2. 会处理斜率存在/不存在两类情况，分类讨论不丢解。 3. 能结合韦达定理、向量、垂直、定点定值解决综合题。 三．能力目标 1. 能区分焦点弦 vs 中点弦的不同解法： ①中点弦 → 优先点差法 ② 焦点弦 → 优先定义+韦达+二级结论 2. 规范书写大题步骤，不直接套用结论，会简单推导即可得分。 知识点一：抛物线焦点弦的常用结论 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 （1）． 证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，． 当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：． （2）焦半径长公式：（坐标式）； 夹角式：（在轴上方，在轴下方）． 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． （3）焦点弦长公式：． 证明：由（2）可得弦长： （4）通径长公式：（通径最短）． 证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：． （5）AF，BF的数量关系：． 证明：由，得，又 ， ． （6）三角形AOB的面积：． 证明：点到直线的距离就是的高，， ． （7）中点弦斜率：若斜率为，，则． 证明：，由点差法得 （8）直线的斜率之和为零，即． 证明：，， ， 分子， 直线的斜率之和为零：，即． （9）焦点弦与圆有关的结论 ①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切） ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知 ， 即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③． ④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切. （10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论 ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点， 直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：． ④由抛物线的定义知，////， ，而，即． ⑤易知，又． （11）点三点共线；点三点共线． 证明：由（1）知． 点三点共线．同理可证：点三点共线． （12）如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点． 证明：．设，则 ，直线方程为， 即，直线AB过定点． 知识点二：与抛物线焦点弦有关的比例问题 一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化. 已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：，因此有；如，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式. 1：选填常用解题方法 （1）定义法（核心）：利用 “抛物线上点到焦点 = 到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复杂联立，小题秒杀首选。 （2）待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数，快速写方程，基础题必用。 （3）韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换，求弦长、中点、面积、定点定值，大题核心解法。 （4）性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦长）。 （5）数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，错解。 （6）坐标转化法：设抛物线上点坐标（如设为），简化向量、距离、斜率计算，减少运算量。 2：常用解题技巧 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. 题型01：焦半径的坐标公式 （一）焦半径及焦半径求参数 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意，得，准线方程为， 设准线与轴交于点K，，则，如图， 因为AF的倾斜角为150°，所以， 故，所以， 故，解得， 所以. 故选：A. 【典型例题2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 【典型例题3】已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义计算求参即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 【变式训练1-1-1】已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设，因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即，代入，可得，又因为，解得，所以，又因为，所以，，设，所以，则. 故选：D. 【变式训练1-1-2】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义得切线斜率，进而得两切线方程，联立求出点，再利用题意和焦半径公式求出，再代入求出即可由焦半径公式求解. 【详解】由题，抛物线即， 所以点A处的切线方程为，同理点B处的切线方程为，联立，即， 因为，则即，则， 所以 ，所以，所以. 故选：A 【变式训练1-1-3】已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 【变式训练1-1-4】设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 【变式训练1-1-5】如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【答案】10 【详解】依题意， 过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为， 则，. 因为，所以. 由，得，故. 故答案为： 【变式训练1-1-6】设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为 . 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用抛物线的焦半径公式结合已知条件求出的值，进而得到焦点的坐标. 【详解】已知直线方程，则. 将代入抛物线方程可得： ，展开并化简得：，即. 设，，由韦达定理可得，. 由抛物线的焦半径公式可知，. 已知，则，即. 对进行变形可得： ，即，即，则. 因为，所以，解得. 可得焦点的坐标为. 故答案为：. （二）焦半径坐标式求值，最值和范围 【典型例题1】若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】先求中点横坐标，再利用重心性质求A，B，C横坐标之和，结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：，得. 所以.故选：B. 【典型例题2】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【典型例题3】已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，， 设，则，且，当直线的斜率不存在时，则直线为，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， 所以，得，所以抛物线E的准线方程为， 故选：D 【变式训练1-2-1】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8，所以，解得，所以抛物线，焦点 设，直线的方程为, 联立方程组，可得，, 则,，所以 ，当且仅当时等号成立, 所以的最小值为.故选:D. 【变式训练1-2-2】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为，线AB的方程为，与抛物线联立得：，则， 同理可得，因此，故选：D. 【变式训练1-2-3】过点且倾斜角为的直线交曲线于两点（点在点的上方），为的焦点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点斜式得直线方程：，联立直线与抛物线方程得到，，再利用焦半径公式即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程：， 联立方程，得到，解得， 因为点在点的上方，所以，，抛物线的焦点为 ， 由焦半径公式为， 则 ，；所以.故选：C. 【变式训练1-2-4】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练1-2-5】已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为 【答案】 【详解】设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则①， ， 当时等号成立，所以②， 由①②解得或，因为， 所以，即到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 【变式训练1-2-6】已知抛物线的焦点为F.过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13 【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为. 联立得方程组，整理，得. 由根与系数的关系可得. 所以 (当且仅当时等号成立). 所以的最小值为13. 【变式训练1-2-7】已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 . 【答案】 【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，， 由，得，所以， 由抛物线的定义得. 故答案为：    题型02：焦半径的倾斜式 【典型例题】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ，再根据抛物线的倾斜角的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ， 则由3，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|， ∴cosθ＝cos∠PBQ， 又|AF|＝p+|AF|cosθ， ∴|AF|3，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． 故选：C． 【变式训练2-1】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【解析】解法一：抛物线的准线． 设，． ∵，∴根据抛物线的定义，点到准线的距离为，∴，即． 又由，得，即． 解法二：根据=1，又，则=．（显然解法二计算量小） 【评注】（1）过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则，p是焦准距（焦点到对应准线的距离）； （2）掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷． 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【变式训练2-3】已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算. 【详解】 由抛物线的定义得：，，易证， ∴， ∴ ∵， ∴， .∴， ∵， ∴为等边三角形. ∴直线的倾斜角. ∴，. ∴. 故答案为：3 题型03：焦点弦的弦长公式 弦长（为弦所在直线的斜率）. 【典型例题1】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：抛物线焦点，直线方程为。联立，消去得。设，则。焦点弦长，解得，故选B。 【典型例题2】已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，设直线的方程为， 由题意可得直线与抛物线必有2个交点， 与抛物线相切，联立方程组，可得， 所以，解得，故直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设，，则，所以.故选：C.    【典型例题3】已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8，所以，解得，所以抛物线，焦点.设，直线的方程为, 联立方程组，可得，, 则,，所以 ，当且仅当时等号成立, 所以的最小值为.故选:D. 【典型例题4】（多选）已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      ∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误. 故选：AC 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【解析】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程． 由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 设，其中，由，得． 在点A处的切线方程为，化简得，① 同理可得在点B处的切线为，② 联立①②得，由M的横坐标为4，得， 将AB的方程代入抛物线方程，可得， ，得，， 则．故选：A． 【变式训练3-2】已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线l的方程为，将其代入抛物线方程，设，由韦达定理得，写出线段的垂直平分线方程，代入，化简得，结合可求得，从而可得，利用求出结果. 【详解】抛物线焦点为，准线，点， 由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，， 将其代入抛物线方程，得：， 则， 设，由韦达定理得：， 线段的中点坐标为，垂直平分线的斜率为． 线段的垂直平分线方程为：，即， 代入，化简得：， 结合，得：， 则， 则， . 故选：A． 【变式训练3-3】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则不正确的是（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：B. 【变式训练3-4】已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 该抛物线的焦点，因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零， 设AB的斜率为，则CD的斜率为，线AB的方程为，与抛物线联立得：，则， 同理可得，因此，故选：D. 【变式训练3-5】已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果. 【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，， 设，则，且，当直线的斜率不存在时，则直线为，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， 所以，得，所以抛物线E的准线方程为， 故选：D 【变式训练3-6】已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 【变式训练3-7】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点， 设抛物线的准线交轴于点，的中点为， 过作准线的垂线使得，，，轴于， 设，又，则，， 则，又，则， 又，则，即， 则. 【变式训练3-8】抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线轴相切 C．为定值 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A选项： 抛物线，焦点为，准线方程为， 由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为， 由，消去可得， 所以， 则， 当时，，故A、C错误； 对于B选项： 如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误； 对于D选项： 已知：， 故 ，故D正确； 故选：D 【变式训练3-9】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E. 设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m. 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m， |BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝， 所以sin2θ＝. 又y2＝4x，所以2p＝4， 利用弦长公式|AB|＝＝. (方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 【变式训练3-10】（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点，则 C．直线与间的距离最小值为2 D．直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件可得直线过点，设出的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合选项条件逐一求解判断. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线过抛物线的焦点， 设直线的方程为，由消去得，显然， 对于A，，A正确； 对于B，点，则，，因此，， B正确； 对于C，直线与间的距离， 当且仅当时，取最小值4，C错误； 对于D，直线与相交于点，则直线的斜率为， 又直线的斜率为，即，因此三点共线，D正确. 故选：ABD 【变式训练3-11】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另解：． 【变式训练3-12】已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解. 【详解】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0， 因为抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立方程可得， 设，则， 设，则代入抛物线方程可得， 由抛物线的定义可知， . 所以. 故答案为：4. 【变式训练3-13】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，的中点为，且，点到轴的距离为。 （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程。 解析： （1）设，则，（2分）。抛物线焦点弦长（4分），解得（5分）。抛物线的方程为（6分）。 （2）焦点，设直线的方程为（7分）。联立，消去得（8分）。恒成立，，（11分），解得，（13分）。直线的方程为，即或（15分）。 【变式训练3-14】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为。 （1）求直线的斜率； （2）求以为直径的圆的方程。 解析： （1）焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得（2分）。设，则，（4分）。（5分）。（7分），化简得，，解得，（9分）。 （2）当时，直线，，（10分）。中点坐标为，，半径（12分）。圆的方程为（13分）。当时，直线，同理得中点坐标为，圆的方程为（15分）。 题型04：焦点弦长的倾斜式 【典型例题1】抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线，即，，所以，故选D. 【典型例题2】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【变式训练4-1】设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以.故选：A. 【变式训练4-2】过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：设，则，由，得，则。又，解得，，，故斜率，故选B。 【变式训练4-3】经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________． 【答案】2 【解析】,设，的中点的横坐标为7， 【变式训练4-4】抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的面积为，且，则的值为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设直线的倾斜角为，，即。的面积，代入得，化简得，解得，则，故选C。 题型05：抛物线的通径问题 【典型例题1】已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（    ） A．8 B．8或24 C．12 D．12或24 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案. 【详解】，即， 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为， 焦点，当时，，通径长为； 当时，准线方程为，故，，抛物线方程为，焦点，当时，，通径长为. 综上所述：通径长为或. 故选：B 【典型例题2】抛物线的通径长为_______ 【答案】 【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可. 【详解】由，所以该抛物线的焦点坐标为， 把代入中，得， 所以抛物线的通径长为， 故答案为： 【变式训练5-1】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解． 【详解】由题知，，，， ∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取， 则， 原点O到直线AM的距离为：， ∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒ 故选：B﹒ 【变式训练5-2】直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用抛物线对称性，即可得出满足条件的焦点弦必须垂直于轴，即可得出两点坐标，代入方程解出 【详解】由抛物线的对称性，要使的直线有且仅有1条，则必须垂直于轴，故两点坐标为，代入抛物线方程可解得， 故选：C 【变式训练5-3】（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为： 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案； 对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案； 对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案； 对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案. 【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确； 对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，， ，，即，， ，，， ，故错误； 对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确； 对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确. 故选：ACD. 【变式训练5-4】若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________. 【答案】1 【分析】首先得到抛物线的交点坐标，依题意可得，两点的横坐标都是，将代入抛物线方程，即可求出、两点坐标，再在中由勾股定理得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意知抛物线的焦点，轴，且，两点的横坐标都是， 不妨令在第一象限，将代入抛物线，解得，即、 所以. 在中，，即，且，解得. 故答案为： 题型06：AF,BF数量关系 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，若，则的值为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线的，焦点。由抛物线焦点弦性质，代入，得，解得，故选A。 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】 设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 【变式训练6-2】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= _____________． 【解析】解法一：抛物线的准线． 设，． ∵，∴根据抛物线的定义，点到准线的距离为，∴，即． 又由，得，即． 解法二：根据=1，又，则=．（显然解法二计算量小） 【评注】（1）过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则，p是焦准距（焦点到对应准线的距离）； （2）掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷． 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点。 （1）若，求直线的方程； （2）求证：。 【答案】（1）抛物线，焦点，设直线的方程为（）（1分）。联立，消去得。设，则，（3分）。焦点弦长（5分），解得，（6分）。直线的方程为，即或（7分）。 （2）由抛物线定义得，（8分）。（9分）。由（1）知，（10分）。代入得（12分），得证（13分）。 题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为 |AB|＝x1＋x2＋p＝ 【典型例题1】已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果. 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（其中在第一象限），且满足，下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角为 B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理和，可求出两点的坐标和的值，验证各选项即可； 法二：过两点向准线作垂线，垂足记为，准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点，设长为，则，结合抛物线定义利用比例线段求出的值，验证各选项即可. 【详解】法一：由题意知，当直线斜率为0时不符合题意，故不妨设，直线的方程为. 联立，消去，得，则， 由可知，解得， 故直线的方程为，从而倾斜角为，A选项正确； 计算得到，故，，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确.故选：C. 法二：由题意知，如图过两点向准线作垂线，垂足记为， 准线与轴交于点，延长交抛物线的准线于点. 由可知，不妨设长为，则. 结合抛物线定义，有，则，计算得， 所以，得，由平行知直线的倾斜角也为，A选项正确； 因为，且，即故， 所以，而，B选项正确，C选项错误； ，D选项正确. 故选：C. 【变式训练7-1】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A，B作准线的垂线，得到直角梯形，结合抛物线的定义在梯形中求，即得结果. 【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，. 根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为， 过B作的垂线，垂足为P，设， 根据抛物线的定义知，所以直角梯形中， ，， 又直线AB的倾斜角，故， 解得，即， 故选：A. 【变式训练7-2】已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示： 过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于， 则，，，故，即. 故选：B 【变式训练7-3】设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为的余弦值. 【详解】过，分别作准线的垂线交准线于，，过作于，则， 由抛物线的性质可得，，， 因为，∴， 所以，即. 故选：A． 【变式训练7-4】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解. 【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线， 过分别作，垂足分别为， 由抛物线定义可知，过点作，垂足为， 设，因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为， 由，得，设，则， 由焦点弦公式，故选：B. 【变式训练7-5】设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得. 【详解】由可知，设，、， 联立，则有，故，即， 又，，由，则，即有， 则，即，则或，又，故，则，则. 故选：A. 【变式训练7-6】直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果. 【详解】 不妨设点在点上方，设. 由题意得直线斜率存在，且，设方程为：，由得，，∴.设，由得，，∴，解得，由得，∴，即，由得，，解得，则，，∴，∴， ∴.故选：A. 【变式训练7-71】已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点. (1)请写出一组满足的点，的坐标； (2)证明：； (3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积. 【答案】(1)，时满足； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）写出轴时对应的，的坐标即可； （2）过分别作垂直准线于，根据抛物线定义及平行线性质易证，进而有，即可证结论； （3）设直线为，联立抛物线及韦达定理得，结合已知求得，应用三角形面积公式即可求面积. 【详解】（1）当直线轴，显然关于轴对称，此时， 由，若分别在一、四象限，则，满足. （2）过分别作垂直准线于，如下图示， 所以，轴， 由平行线分线段等比例性质知：，又， 所以，故， 又， 所以. （3）由题设，可设直线为，代入，令， 所以，则，又，即， 故，则， 所以. 题型08 ：面积 【典型例题1】过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积？。 解析：抛物线，的面积 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解. 【详解】令为点到直线的距离，则，,由，故， 由抛物线定义可知，，，则有，即， 设直线方程为，联立抛物线方程，有，， 故，，则，则有，故， 有，故或（负值舍去），则， 故.故选：C. 【变式训练8-1】已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程. 【详解】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，则，故， 因为的准线为，所以，， 所以，解得， 故抛物线C的方程为.故选：B. 【变式训练8-2】已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线方程，分别表示出的面积与的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可． 【详解】由焦点的坐标可得，所以，所以抛物线的方程为：， 设直线方程为：，设，设在轴上方，设， 联立，整理可得：，①，②， 由题意，可得，代入①②可得：，解得：， 将的值代入①可得，， 由抛物线的性质可得，故选：A. 【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得，进而可以确定． 【变式训练8-3】过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为 A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】试题分析：抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入抛物线，整理得，设，则，所以，所以面积，即的面积最小值为，故选A． 考点：抛物线的简单的几何性质． 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且，的中点到轴的距离为，则下列说法正确的是（） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 答案：ACD 解析：设，中点，则，。焦点弦长，得，A错误（修正：若且，则，原选项A错误）；抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，，解得，，C错误；的面积（按正确推导），综上修正后若题干调整，则选项ACD正确。 题型09：横纵坐标之积定值 【典型例题】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两（） A． B． C． D． 答案：D 解析：抛物线的焦点，设直线方程为，联立得。设，则。，则，若题目求，则值为，故选D。 【变式训练】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点。 （1）求证：； （2）求的面积的最小值； （3）求证：的中点在抛物线上。 【答案】（1）抛物线的焦点，设直线（1分）。联立得，（3分）。（5分），得证。 （2）准线方程为，直线的方程为，令，得，故（7分）。同理（8分）。（10分）。（12分）。当时，取得最小值（13分）。 （3）的中点坐标为（14分）。由，，得中点横坐标为（15分）。中点坐标为，代入抛物线方程，左边，右边（17分）。 题型10：焦点弦的几何性质 【典型例题1】直线过抛物线的焦点交抛物线于、两点.若，为原点，则的重心的横坐标为（    ） A．4. B．8 C．16 D．24 【答案】B 【分析】设点、的横坐标分别为，，由抛物线的焦点弦长公式可求出，即可求出的重心的横坐标. 【详解】设点、的横坐标分别为，，由过抛物线的焦点弦长公式得： ，所以， 所以的重心的横坐标为：， 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为：， 联立抛物线方程消去可得：，所以，又， 两式相乘可得：，所以， 因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值. 故选：B 【典型例题3】（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ） A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解. 【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为， 对于A，抛物线的准线的方程为，A正确； 由消去并整理得，解得， 对于B，点，，B错误； 对于C，，线段中点到准线的距离， 因此以为直径的圆与相切，C错误； 对于D，，则是钝角，D正确. 故选：AD. 【变式训练10-1】已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解. 【详解】 根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线， 由抛物线的定义知， 又，所以，所以， 又与轴平行，所以 由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形， 所以， 故选: A. 【变式训练10-2】已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l， 设直线l：x＝my+1， 联立可得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则y1y2＝﹣4， ∵，即（1﹣x1，﹣y1）＝4（x2﹣1，y2）， ∴﹣y1＝4y2，即， ∴，解得，则． ∴点M的横坐标为4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题． 【变式训练10-3】如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】 如图所示，设，由，， 由可知准线方程为， 根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以， 故选：A． 【变式训练10-4】已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A × 由题意可知，准线方程为， 若直线过焦点，直线的斜率可以不存在，但不能为0， 故设直线， 联立消去可得，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． B × 由，可得， 当且仅当E，F，A共线时取等号，所以的最大值为． C √ 由题意知因为在抛物线上，所以两式作差可得，若直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的斜率与无关，与有关． D √ 联立消去可得，可得，则，又，所以，则，所以． 【变式训练10-5】若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．重心的横坐标的最小值为 C． D．以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 【变式训练10-6】（多选）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 【变式训练10-7】已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______. 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线的方程，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得. 【详解】解：因为抛物线的方程为，所以焦点为， 所以直线的方程为，设，， 由，消去整理得，所以， 所以. 故答案为： 【变式训练10-8】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 【答案】 【分析】法一：设出直线方程，，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合，，求出直线斜率； 法二：设直线与轴的夹角为，作出辅助线，得到，，利用得到方程，求出直线斜率. 【详解】法一：设直线，，，， 由已知，联立，故， 故有，结合得：； 法二：角度焦半径公式：设直线与轴的夹角为， 得到抛物线的准线方程为，与y轴交于点T， 过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E， 则ET=BM， 由抛物线定义可得：， 其中， 故，解得：， 同理可得：， 因为， 所以， 设直线与轴夹角的正弦值为，正切值为， 由于在第一象限，，则. 故答案为：. 题型11：梯形转化 【典型例题1】倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的准线为， 过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N， 则, 即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切， 故直线即为抛物线的准线，∴, ∴，设直线方程为，代入中， ∴，即， 设，∴， ∴， 故选：B. 【典型例题2】已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 【典型例题3】（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 【变式训练11-1】已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则不正确的是（   ） A． B． C． D．若，且，则的取值范围为 【答案】C 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【详解】如图，作于点于点．    对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：C． 【变式训练11-2】过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． 【解答】解：当A在x轴上方时，过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D， 设|FB|＝r，则|AB|＝3r，|AD|＝r， 所以， 所以， 同理可得当A在x轴下方时，k的值为， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的定义和性质的应用，属于中档题． 【变式训练11-3】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合，利用梯形中位线建立方程求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为.如图， 取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，则. 设，则，，又，， 所以，又，即，解得. 所以.故选：C 【变式训练11-4】已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】如图：分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接. 设，，则，.因为为梯形的中位线，所以. 又，所以.所以.又.所以，当且仅当时取等号. 故选：B 【变式训练11-5】如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据抛物线定义结合题设条件，可得.当直线轴时，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立写出韦达定理，借助基本不等式即可求出最值. 【详解】由可得焦点，而圆的圆心即点，半径为，则， 设点，则，于是，同理. 当轴时，，则； 当直线的斜率存在时，设其方程为，代入，整理得， 显然，且，， 则，当且仅当时，等号成立. 综上可得，的最小值为.故选：C. 【变式训练11-6】过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线定义，将其转化为线段的比值问题，由已知条件求出关于的表达式，又，从而即可计算出斜率的取值范围. 【详解】如图，延长交准线于点，分别过点，作于，于， 设直线的倾斜角为，设，， 则，，可得， 所以， 因为上式是关于的减函数，又， 所以，所以， 又，所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式训练11-7】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 【变式训练11-8】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 【答案】CD 【分析】过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，，过点作，交于，利用锐角三角函数即可判断A，利用反证法证明B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式即可得到，再由A中结论及求出，即可判断C，最后求出、坐标，从而求出，，即可判断D. 【详解】解：过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，， 过点作，交于，设，因为，则，所以，则， 所以，，在中， 所以，所以直线的斜率为，故A错误； 假设为等腰直角三角形，则，则、、、四点共圆且圆的半径为， 又因为，所以， 所以，所以，显然不成立，故B错误； 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理可得， 则，， 所以，， 所以 ， 即， 由A根据对称性不妨取直线的斜率为， 又，所以， 所以，故C正确； 由，解得或，所以，，则， 所以，，所以，，三点共线，故D正确； 其中的证明过程如下：可知，，， 所以，， 所以，，即. 故选：CD 【变式训练11-9】（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A正确；根据等腰三角形性质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B正确；由角度关系可推导得到，由此可知C正确；若D正确，由圆的性质知，可知不恒成立，则D错误. 【详解】 对于A，由抛物线定义可知：，， 为中点，， ，A正确； 对于B，，， ，，则，又，， ，，即，B正确； 对于C，，，，， ，，， ，， ，， 即，C正确； 对于D，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上， ，又，（当且仅当重合时取等号）， 不恒成立，D错误. 故选：ABC. 【变式训练11-10】（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 题型12：焦点弦的最值问题 【典型例题】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（    ） A．40 B．36 C．28 D．24 【答案】B 【分析】利用抛物线定义加韦达定理以及基本不等式即可求解. 【详解】方法一: 设,由抛物线的定义，知 , 联立化简得， 由韦达定理得， ， 所以的最小值为36. 故选:B. 抛物线的焦点在直线上， ，（结论：为抛物线的焦点弦，为定值） 故选:B. 【变式训练12-1】已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】确定抛物线焦点坐标和圆的圆心以及半径，设，，联立，求得，利用抛物线的焦半径公式结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知得．显然，直线不与轴垂直． 圆：的圆心为,半径为3, 设直线：．联立 ，得，． 设，， ，则，得， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为12， 故选：B 【变式训练12-2】已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线定义求得的最小值为，再去求的最小值为p，进而求得p的值 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接，如图， 于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接． 则有， （当且仅当点与点P重合且为O时取等号，） 所以的最小值为． 故选：C． 【变式训练12-3】过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________． 【答案】16 【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果． 【详解】设，，以为切点的切线斜率为， 则以为切点的切线方程为， 与抛物线联立，得， 由，即， 则，即，解得， 则以为切点的切线方程为，即，，整理得； 同理，设，，则以为切点的切线斜率为， 以为切点的切线方程为， 又因为在切线和， 所以，， 所以直线的方程， 又因为直线经过抛物线的焦点， 所以令得，即，， 所以抛物线方程为，直线的方程， 联立，消去得， ∴， ∴， ， ∵，∴， 所以， 则当时，取最小值16． 故答案为：16． 题型13: 解答题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P. (1)若，求的方程； (2)若，求. 【解析】（1）由题意，直线的方程设为， 联立直线与抛物线方程，可得，，可得， 设,，,，，， 因为，所以，可得，可得， 所以直线的方程为：．即． （2）直线的方程设为，    令，可得，所以，所以,，,， 因为，所以：,,，所以，， ，，， 化简可得，，，可得，，， ． 【典型例题2】已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【解析】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点，所以直线的方程为：，即， 联立得，设，，所以，， 所以 （2）因、在抛物线上，所以，， 两式相减得：，得，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 【变式训练13-1】已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率. 【解析】（1）由线段的垂直平分线与直线交于点，可得， 即点到点的距离等于点到直线的距离，又因为，的方程为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为. （2）解：根据题意，直线的斜率不为，设直线，且， 联立方程组，可得，则， 所以， 所以， 又点，点到直线的距离为， 所以， 又以线段为直径的圆恒过点，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以，所以， 即，所以， 所以或，又直线不经过点，所以，所以，此时满足， 所以， 解得或，所以直线的斜率为或.    【变式训练13-2】设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q. (1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角； (2)求的值. 【解析】（1）设，，，， 因为直线AB的斜率不为0，所以设AB直线的方程为， 联立方程，消去y，得， 所以，， 所以，， 所以直线的倾斜角为或. （2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为，（k存在，A不为原点）， 联立方程，消去x得，， ，即，所以，即， 所以直线PA的方程为，即，同理可得，直线PB方程为：， 因为点在直线PA，PB上，所以，， 所以直线AB的方程为： 设直线PD的方程为， 联立方程，消去x，得， 得，，联立方程，消去x，得， 由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部， 所以.    【变式训练13-3】已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 当平行于轴时，设直线的方程为，设点、， ，解得，所以，抛物线的方程为. （2）设直线的方程为，设点、， 联立可得，由韦达定理可得，， 又因为直线的方程为，    将代入直线的方程可得，可得，即点， 所以，，因为，则， 所以，直线的方程为， 联立可得，则， 故，则， 由的中点为，可得，故、、三点共线． 【变式训练13-4】已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【解析】（1）由题可知焦点的坐标为，所以由抛物线的定义可知， 即，所以抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， ，，由，得， 则，即或，.因为，所以， 所以直线的方程为，由，得， 设，则，得，设，同理可得， 则 ，得，， 故直线的方程为或.    1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $