第08讲 柯西不等式 .权方和不等式.糖水不等式讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦柯西不等式、权方和不等式、糖水不等式等高考核心考点，按考情分析、14类题型归纳、巩固提升、模拟演练的逻辑架构组织，通过考点梳理明确选填压轴与大题放缩要求，方法指导（如柯西变形、权方和凑次）结合真题训练，帮助学生突破不等式应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用题型分层突破策略，如“题型05分式型”通过构造分母应用柯西不等式，培养学生数学思维与运算能力，设置基础到综合的阶梯练习。结合糖水不等式在数列放缩中的直观应用，助力学生快速掌握秒杀技巧，有效提升解题效率，为教师精准把控复习节奏提供实用教学工具。

第08讲 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式及糖水不等式 目 录 高考分析 1 题型归纳 5 题型01：柯西不等式直接套用公式型 5 题型02：柯西不等式根号下有正负型 6 题型03：柯西不等式高次定求低次型 6 题型04：柯西不等式低次定求高次型 7 题型05：柯西不等式整式与分式型 7 一：整式型 7 二：分式型 8 题型06：柯西不等式多变量型 9 题型07：柯西不等式三角函数型 9 题型08：Aczel不等式（反柯西不等式） 10 题型09：权方和不等式整式与分式型 10 题型10：权方和不等式三角函数型 11 题型11：权方和不等式杂合型 12 题型12：基本不等式链 12 题型13：糖水不等式及其倒数形式 13 题型14：对数糖水不等式 13 巩固提升 14 模拟演练 15 1. 柯西不等式 考情：新高考常作为选填压轴、大题不等式放缩工具；向量、最值、多元代数式求值高频；竞赛与强基重点，高考不直接默写公式，侧重变形使用。 2. 权方和不等式 考情：高考热门放缩手段，分式多元最值利器；选填快速秒杀，大题慎用（部分考卷要求证明后再用），常和柯西互通。 3. 糖水不等式 考情：难度偏低，多出现数列放缩、比较大小、函数估值；以小题、大题一步放缩为主，很少单独出题。 4. 反柯西不等式 考情：常规高考极少考查，多见于强基、竞赛；普通高考一般不作要求，仅拓展了解。 1.柯西不等式 ①熟记代数形式、向量形式； ②掌握凑系数、配常数、构造向量解题； ③ 能处理多元最值、等式约束求范围。 2.权方和不等式 ①记住标准形式，分清分子分母次数； ② 学会凑同分母、配次数； ③ 能用其快速求解分式最值，清楚大题使用规范。 3.糖水不等式 ①理解不等式含义与图像直观意义； ② 熟练正反双向放缩； ③ 会用于数列、比大小证明。 4.反柯西不等式 ①了解形式与适用条件； ②仅作为拓展，普通高考不作硬性掌握。 知识点一：柯西不等式、反柯西不等式 1. 柯西不等式的二维形式：，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 2．柯西不等式的一般情形：，当且仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 3．柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4．柯西不等式的三角形式： 反柯西不等式 1. 2.设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 知识点二：权方和不等式 1. 二维形式的权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广2：若，则，当时，等号成立. 2. 一般形式的权方和不等式：若，则，当时，等号成立. 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 3.扩展： 知识点三：基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数. 知识点四：糖水不等式定理 1.若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 3.对数糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 题型01：柯西不等式直接套用公式型 【典型例题】已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练1-1】若，则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【变式训练1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型02：柯西不等式根号下有正负型 【典型例题1】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【变式训练2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【变式训练2-3】已知是正数，且 的最大值为 ． 【变式训练2-4】已知的最大值为，则 ． 【变式训练2-5】已知，则M的最大值为 ． 【变式训练2-6】函数 的最大值为 ． 题型03：柯西不等式高次定求低次型 【典型例题】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式训练3-2】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型04：柯西不等式低次定求高次型 【典型例题】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【变式训练4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 题型05：柯西不等式整式与分式型 一：整式型 【典型例题】已知，则的最大值为 ． 【变式训练5-1-1】已知，且，则的最小值是（    ） A．20 B．25 C．36 D．47 【变式训练5-1-2】已知，且，则的最小值是 . 【变式训练5-1-3】已知实数 满足方程，则的最大值为 . 二：分式型 【典型例题1】已知，，均为正数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【典型例题3】已知、、，且满足，则的最小值为 . 【变式训练5-2-1】已知x,y,z∈(0,+∞),且则的最小值为（  ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式训练5-2-2】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【变式训练5-2-3】已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练5-2-4】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【变式训练5-2-5】已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型06：柯西不等式多变量型 【典型例题1】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【典型例题2】已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C．417 D．以上答案都不对 【变式训练6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式训练6-2】若为实数，，则 . 【变式训练6-3】已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6-4】设，且 ，若 成立，则的取值范围为 . 题型07：柯西不等式三角函数型 【典型例题】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式训练7-1】若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练7-2】函数的最大值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【变式训练7-3】设，则的最大值为 ． 【变式训练7-4】若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 题型08：Aczel不等式（反柯西不等式） 【典型例题】的最小值为 【变式训练8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 题型09：权方和不等式整式与分式型 【典型例题1】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【典型例题2】已知，则的最小值为 ． 【典型例题3】已知正数，，满足，则的最小值为 【变式训练9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式训练9-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式训练9-3】对任意，恒成立，则实数的最大值为 ． 【变式训练9-4】若正数满足，且 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型10：权方和不等式三角函数型 【典型例题1】已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【变式训练10-1】已知正实数、且满足，求的最小值 . 【变式训练10-2】“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型11：权方和不等式杂合型 【典型例题】已知，求的最小值为 【变式训练11-1】已知，则的最小值是 ． 【变式训练11-2】求的最大值为 题型12：基本不等式链 【典型例题1】（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-1】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型13：糖水不等式及其倒数形式 【典型例题1】（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【变式训练13-1】试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【变式训练13-2】 (用“”或“”填空) 【变式训练13-3】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【变式训练13-4】若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 题型14：对数糖水不等式 【典型例题1】.已知，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-1】比较大小: 与 的大小． 【变式训练14-2】若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 4．已知，且满足，则的最小值为 . 5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 9．设,则的最大值为 ． 10．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 模拟演练 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 2．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（    ） A．243 B．27 C．81 D．9 3．设、，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 5．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 6．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 8．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 9．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 10．函数的最小值是 A． B． C． D． 11．若，则的最大值（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 12．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 13．已知 ， ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 14．函数 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 15．已知，，，且，则的最大值为（ ） A．3 B． C．18 D．9 16．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为 A． B． C． D． 18．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 20．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 21．设角、均为锐角，则的范围是 ． 22．在锐角中，的最小值是 ． 23．函数的最大值与最小值之积为 ． 24．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 25．已知，则的最小值是 ． 26．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式及糖水不等式 目 录 高考分析 1 题型归纳 5 题型01：柯西不等式直接套用公式型 5 题型02：柯西不等式根号下有正负型 7 题型03：柯西不等式高次定求低次型 10 题型04：柯西不等式低次定求高次型 12 题型05：柯西不等式整式与分式型 14 一：整式型 14 二：分式型 15 题型06：柯西不等式多变量型 19 题型07：柯西不等式三角函数型 22 题型08：Aczel不等式（反柯西不等式） 25 题型09：权方和不等式整式与分式型 26 题型10：权方和不等式三角函数型 29 题型11：权方和不等式杂合型 31 题型12：基本不等式链 32 题型13：糖水不等式及其倒数形式 34 题型14：对数糖水不等式 36 巩固提升 39 模拟演练 44 1. 柯西不等式 考情：新高考常作为选填压轴、大题不等式放缩工具；向量、最值、多元代数式求值高频；竞赛与强基重点，高考不直接默写公式，侧重变形使用。 2. 权方和不等式 考情：高考热门放缩手段，分式多元最值利器；选填快速秒杀，大题慎用（部分考卷要求证明后再用），常和柯西互通。 3. 糖水不等式 考情：难度偏低，多出现数列放缩、比较大小、函数估值；以小题、大题一步放缩为主，很少单独出题。 4. 反柯西不等式 考情：常规高考极少考查，多见于强基、竞赛；普通高考一般不作要求，仅拓展了解。 1.柯西不等式 ①熟记代数形式、向量形式； ②掌握凑系数、配常数、构造向量解题； ③ 能处理多元最值、等式约束求范围。 2.权方和不等式 ①记住标准形式，分清分子分母次数； ② 学会凑同分母、配次数； ③ 能用其快速求解分式最值，清楚大题使用规范。 3.糖水不等式 ①理解不等式含义与图像直观意义； ② 熟练正反双向放缩； ③ 会用于数列、比大小证明。 4.反柯西不等式 ①了解形式与适用条件； ②仅作为拓展，普通高考不作硬性掌握。 知识点一：柯西不等式、反柯西不等式 1. 柯西不等式的二维形式：，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 2．柯西不等式的一般情形：，当且仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 3．柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4．柯西不等式的三角形式： 反柯西不等式 1. 2.设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 知识点二：权方和不等式 1. 二维形式的权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 推广1：当时，等号成立． 推广2：若，则，当时，等号成立. 2. 一般形式的权方和不等式：若，则，当时，等号成立. 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 3.扩展： 知识点三：基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数. 知识点四：糖水不等式定理 1.若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 3.对数糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 题型01：柯西不等式直接套用公式型 【典型例题】已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 【变式训练1-1】若，则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】由柯西不等式，得， ∴， ∴， 当且时， 即，且与异号时， ， 则的最小值为. 选：C. 【变式训练1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】设，，，可得， 所以． 因为， 所以， 当且仅当，取得最大值6， 此时， 所以的最大值为． 故选：B. 题型02：柯西不等式根号下有正负型 【典型例题1】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，则，进而由柯西不等式可得最大值. 【详解】由可得，即. 由可知，所以. 由，可得， 由柯西不等式得 ， 所以，当即时，取等号. 所以的最大值为. 故选：C. 【典型例题2】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式训练2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 【变式训练2-2】函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 【变式训练2-3】已知是正数，且 的最大值为 ． 【答案】200 【解析】 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为200． 【变式训练2-4】已知的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立 故答案为. 【变式训练2-5】已知，则M的最大值为 ． 【答案】1. 【解析】利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式得：， 当且仅当，即取等号. 故M的最大值为1 故答案为：1 【变式训练2-6】函数 的最大值为 ． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ， 即 所以，当且仅当 ，即 时等号成立 故答案为 题型03：柯西不等式高次定求低次型 【典型例题】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一 根据题意，有 ， 其中，令， 解得， 于是， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法二 令，其中，则 ， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法三 根据题意，有 ， 等号当，且即时取得， 因此所求最大值为． 故选：A. 【变式训练3-1】柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 【变式训练3-2】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则条件为，所以 ， 等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为． 故选：D 题型04：柯西不等式低次定求高次型 【典型例题】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】根据题意，有， 而，当且仅从时等号成立. 同理，当且仅当式等号成立， 记题中代数式为M，于是 ， 等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2． 故选：B. 【变式训练4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 【变式训练4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等, 所以的最小值为：2 故选：C 题型05：柯西不等式整式与分式型 一：整式型 【典型例题】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为 故最大值为 【变式训练5-1-1】已知，且，则的最小值是（    ） A．20 B．25 C．36 D．47 【答案】C 【分析】结合已知条件，利用柯西不等式即可求得答案. 【详解】由于， 故 ， 所以，当且仅当， 即时取等号． 故选：C． 【变式训练5-1-2】已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由柯西不等式可得： 当且仅当 ，即时等号成立， 故的最小值是. 【变式训练5-1-3】已知实数 满足方程，则的最大值为 . 【答案】1 【详解】 即，解得 当且仅当时等号成立 故的最大值为1 二：分式型 【典型例题1】已知，，均为正数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】因为 当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故选A． 【典型例题2】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【解析】由柯西不等式 而，所以时等号成立， 故答案为：. 【典型例题3】已知、、，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为、、，且满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练5-2-1】已知x,y,z∈(0,+∞),且则的最小值为（  ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解的最小值即可. 【详解】x ≥ =9. 当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立. 即的最小值为9. 本题选择D选项. 【变式训练5-2-2】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【解析】因为，所以 由柯西不等式 当且仅当，即时，等号成立， 故选C. 【变式训练5-2-3】已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，所以 利用柯西不等式可得 ， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 【变式训练5-2-4】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 【变式训练5-2-5】已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且， ，， 因为 所以， 当且仅当时，的最小值为. 故选：D. 题型06：柯西不等式多变量型 【典型例题1】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【解析】根据柯西不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 【典型例题2】已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C．417 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】由可得， 由对称性可设，则条件即即， 从而， 根据柯西不等式 ， 等号当时取得．因此所求最小值为． 故选：A. 【变式训练6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【解析】根据柯西不等式，有， 从而， 因此e的取值范围是． 故选：D. 【变式训练6-2】若为实数，，则 . 【答案】 【详解】由柯西不等式得 当且仅当时，等号成立 令 则 将 代入 ，解得 所以. 【变式训练6-3】已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由柯西不等式得，进而可得关于的不等式，即得． 【详解】由柯西不等式得 即 将条件代入可得，解得， 当且仅当且时，即时， 取得最大值， 故选：B. 【变式训练6-4】设，且 ，若 成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 即 故 当且仅当 且，即时等号成立 所以的最小值为 由题意，，解得 故答案为 题型07：柯西不等式三角函数型 【典型例题】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【解析】题中代数式为 ， 等号当时可以取得，因此所求最大值为． 故选：D. 【变式训练7-1】若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 【变式训练7-2】函数的最大值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【解析】利用柯西不等式进行求最值. 当且仅当，即时，函数有最大值. 故选：A. 【变式训练7-3】设，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】令，则， 所以 即 ，解得的最大值为 故的最大值为. 【变式训练7-4】若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 题型08：Aczel不等式（反柯西不等式） 【典型例题】的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 【变式训练8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 题型09：权方和不等式整式与分式型 【典型例题1】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【典型例题2】已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 当且仅当时，等号成立 所以答案为： 【典型例题3】已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 【变式训练9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 【变式训练9-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】解法一：（常数代换法） 因为 所以 当且仅当 ，即 时，等号成立 所以的最小值为1 解法二：（权方和不等式） 当且仅当 ，即 时，等号成立 所以的最小值为1 【变式训练9-3】对任意，恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】8 【详解】因为恒成立，所以，对任意恒成立，所以 设，则 当且仅当 ，即时，两个等号同时成立 故答案为8 【变式训练9-4】若正数满足，且 ，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式化为，左边，利用柯西不等式求出最小值即可求解. 【详解】不等式化为， 左边 ， 所以， 实数的取值范围为. 故选：D 题型10：权方和不等式三角函数型 【典型例题1】已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 【变式训练10-1】已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答案】 【解析】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练10-2】“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 题型11：权方和不等式杂合型 【典型例题】已知，求的最小值为 【答案】 【解析】 当且仅当时取等号 故答案为：60 【变式训练11-1】已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，． （权方和的一般形式为：,,当且仅当时等号成立） 当，即时，取得最小值． 故答案为： 【变式训练11-2】求的最大值为 【答案】 【解析】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 题型12：基本不等式链 【典型例题1】（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 思路点拨：基本不等式链求解即可 思路详解：由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 【答案】：BC． 【典型例题2】（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 思路详解：A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 【变式训练12-1】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 【变式训练12-2】（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 题型13：糖水不等式及其倒数形式 【典型例题1】（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 思路详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 【答案】BCD 【典型例题2】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 思路点拨：利用糖水不等式求解即可 思路详解：【法一】 , 又 ，用排除法, 选 A 。 【法二】 ， 若, 但 , 综上所述，. 【变式训练13-1】试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 思路详解：依题意. 【变式训练13-2】 (用“”或“”填空) 思路详解：因为，所以可得： 【变式训练13-3】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【变式训练13-4】若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 【答案】 【解析】 ; 故 。 题型14：对数糖水不等式 【典型例题1】.已知，则（    ） A． B． C． D． 思路点拨：利用对数型糖水不等式求解即可 思路详解：因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【变式训练14-1】比较大小: 与 的大小． 思路详解：【法一】 。 【法二】 【法三】对数型糖水不等式直接可得 【变式训练14-2】若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【详解】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 【变式训练14-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取两个中间值和，由，，即可比较三者大小. 【详解】，，， 因此． 故选：C． 1．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，，， 令，， ， 因为，所以， 令，，在上恒成立，在上单调递增， 故，所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，即， 故选：D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较. 【详解】 所以. 故选：C. 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 4．已知，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可. 【详解】由权方和不等式，可知， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可直接得到A正确；由，，根据基本不等式知BC正误；将化为，结合，根据二次函数最值可确定D正确. 【详解】对于A，，，，（当且仅当时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即时取等号），B错误； 对于C，（当且仅当时取等号），C正确； 对于D，， ，，则当，即，时，， ，D正确. 故选：ACD. 7．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 【答案】/1.6 【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系. 【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因则= 当且仅当时，即时取等号. 不妨令,整理得， 则解得则 ， 当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为. 故答案为： 9．设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两边同时加上 得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故填：. 考点：基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件. 10．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值. 【详解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 模拟演练 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 2．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（    ） A．243 B．27 C．81 D．9 【答案】B 【解析】由得， 所以 ， 当且仅当时取等， 所以， 所以， 即的最小值为27， 故选：B 3．设、，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为，则且， 因为，构造数字式 ， 所以，，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 5．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由柯西不等式得： 则．则根据等号成立条件知，，， 所以 故选：B 6．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得, ， 解得. 故选:B 7．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】实数x、y满足， ， ， ， 当且仅当时取等号， 的最小值是. 故选：A. 8．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 当且仅当时等号成立， 当，时， 故的最大值为. 故选：C. 9．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【解析】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 10．函数的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据柯西不等式， 得 当且仅当，即时等号成立. 此时，， 故选：B. 11．若，则的最大值（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】A 【解析】根据柯西不等式可得： ，当且仅当， 即时，等号成立. 故选:A. 12．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用柯西不等式求解.因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 13．已知 ， ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】利用柯西不等式求解. ， 当且仅当 时取等号. ∴ 的最大值是 故选：A 14．函数 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将化为，利用柯西不等式即可得出答案.因为 所以 当且仅当时取等号. 故选：A 15．已知，，，且，则的最大值为（ ） A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【解析】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 16．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】 当且仅当，即时，等式成立. 故选：C 17．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据柯西不等式知： ， 当且仅当时等号成立， 所以，即，所以， 解得，即实数的最大值为. 故选：B. 18．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 20．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 【答案】36 【解析】由柯西不等式可得， 所以，即， 当且仅当即也即时取得等号， 故答案为:36. 21．设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： 22．在锐角中，的最小值是 ． 【答案】 【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：， 于是 ， 等号当时取得，因此所求最小值为 故答案为： 23．函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 一方面，， 等号当时取得； 另一方面，， 当且仅当时等号成立， 于是最大值为，最小值为，所求乘积为． 故答案为：. 24．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故答案为：. 25．已知，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】令， 则， 当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8． 故答案为：8 26．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【解析】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $