第01讲 不等式及其性质（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式与不等式的性质核心考点，涵盖不等式性质、比较大小、取值范围等高考高频内容，按知识要点-解题策略-题型归纳的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破不等关系表示、性质应用等难点。 讲义以题型分类（11类典型题型）和解题策略（作差法、待定系数法等）为特色，通过“作差法比较代数式大小”“糖水不等式应用”等教学活动，培养学生数学思维（推理能力）和模型意识，设置巩固提升与模拟演练分层练习，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 不等式与不等式的性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 7 题型01：用不等式表示不等关系 7 题型02：由不等式的性质比较数（式）大小 9 题型03：利用作差法比较大小 12 题型04：利用作商法比较大小 16 题型05：利用取倒数比较大小 20 题型06：利用平方做差比较大小 20 题型07：作差法比较代数式的大小的应用 21 题型08：利用不等式的性质判断正误 22 一．单选 22 二．多选 27 题型09：利用不等式的性质证明不等式 35 题型10：利用不等式的性质求取值范围 44 题型11：糖水不等式及其应用 50 巩固提升 59 模拟演练 67 1. 定位：基础工具考点，极少单独大题，多出现在选择题、多选题；广泛用于解不等式、比较大小、恒成立问题。 2. 命题重点：不等式等价变形、利用性质判断命题真假；常结合函数、简易逻辑。 3. 高频陷阱：同乘负数忘记变号；同向不等式随意相减、相除；忽视变量正负直接平方。 1. 熟记基本性质，分清哪些是等价推导，哪些单向成立。 2. 能够快速判断不等式命题正误，规避变号误区。 3. 合理运用性质进行代数式大小比较、范围求解。 精简补充解题要点 同向可加，同向不可直接相减；正数才可相乘、取倒数、平方；乘负数，不等号反转。 知识点一：等式的基本性质 1. 如果a＝b，那么b＝a. 2. 如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3. 如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4. 如果a＝b，那么ac＝bc 5. 如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二：不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） （同向可加性） （异向可减性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） （同向正数可乘性） （异向正数可除性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 注意 ①推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； ②推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； ③推论3表明，个都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，d>c>0⇒>. 分数性质：若a>b>0，m>0，则 ①真分数性质：<；>(b－m>0)； ②假分数性质：>；<(b－m>0)． 知识点三：比较大小的方法 1.作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3.平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1） 比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2） 作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3） 作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 知识点四：利用不等式的性质求取值范围的一般思路 1.借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； 2.借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； 3.结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 知识点五：不等式的证明方法 1.作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； 4.分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 1.用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 2.利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 3.比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 4.利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 5.利用不等式的性质求取值范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． （2）同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 6.利用不等式性质求范围的方法: （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; （2）所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; （3）结合不等式的传递性进行求解. 求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型01：用不等式表示不等关系 【典型例题1】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即，故选：D 【典型例题2】如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积． 图（2）是一个矩形，面积． 可得：．故选：A 【典型例题3】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式训练1-1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【解答过程】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【解答过程】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C. 【变式训练1-2】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式. 【解答过程】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 【变式训练1-3】下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B. 【变式训练1-4】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 题型02：由不等式的性质比较数（式）大小 【典型例题1】已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【解答过程】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解答】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解. 由不等式组，因为均为正实数，于是， 所以，所以. 故选：B. 【变式训练2-1】已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由不等式的性质可判断A，由特值法可判断BCD. 【解答过程】由，则，A正确； 当时，，故B错误； 当时，， ，则，故C错误； ，则，故D错误. 故选：A. 【变式训练2-2】若，比较与的大小． 【解析】- = , 因为， 故，，， 故，即. 【变式训练2-3】若，，则与的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 【解析】因为 ， 所以， 故选：B 【变式训练2-4】已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”） 【解析】因为，所以. 故答案为：<. 【变式训练2-5】设，则（       ） A． B． C． D． 【解析】， 所以，，. 因为，所以； 因为，所以； 因为， 则，所以. 综上，. 故选：C. 【变式训练2-6】已知，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，，所以， 又因为，因为，所以， 又因为， 所以且，所以，所以， 故选：B. 【变式训练2-7】设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa. ∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案为C 题型03：利用作差法比较大小 【典型例题1】设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【解答过程】利用作差法分析判断. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【典型例题2】下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答过程】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD. 【解答过程】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【典型例题3】已知，试比较与的值的大小． 【答案】时，；时，． 【解析】，可得， 当时，，，则，即； 当时，，则，即． 综上可得时，；时，． 【变式训练3-1】已知，，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案. 【详解】因为 所以，所以，即. 故选：A. 【变式训练3-2】已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【解答过程】由作差法比较大小. 【解答过程】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 【变式训练3-3】比较与的大小，其中. 【答案】 【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小. 【详解】 因为，所以， 所以， 即. 【变式训练3-4】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【答案】B 【分析】平方后作差比较大小即可. 【详解】， ∴M<N. 故选：B. 【变式训练3-5】设，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故，故选：C 【变式训练3-6】设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】由，且，即， 可得，即，故选：A. 【变式训练3-7】已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】已知，且，，则， 所以， 因此，.故选：A. 【变式训练3-8】比较大小： (1)和； (2)和，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用做差法比较大小即可； （2）利用做差法比较大小即可． 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以 ， 所以. 【变式训练3-9】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， . （2）， ，， 则，. 题型04：利用作商法比较大小 【典型例题1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【典型例题2】设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 【变式训练4-1】如果，，那么，，从小到大的顺序是 【答案】 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 【变式训练4-2】设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 【解答过程】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式训练4-3】已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 【变式训练4-4】已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式训练4-5】若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 【解析】易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 故答案为：＜ 【变式训练4-6】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式训练4-7】已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】，即， ∵，∴综上，. 故选：B 【变式训练4-8】已知，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 又因，所以且， 所以，所以，故选：D 题型05：利用取倒数比较大小 【变式训练】已知a＝1，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】见解析 【解析】解析：由，， 而，∴b＞c，又b＜1，c＜1， 综上，a＞b＞c， 故选：A． 题型06：利用平方做差比较大小 【典型例题】若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定 【答案】B． 【解析】解：∵a≥0； 0； ∴P2＞Q2，且P＞0，Q＞0； ∴P＞Q． 故选：B． 【变式训练6-1】已知a，b和c＝2，则这三个数的大小是（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【答案】C． 【解析】解：，b2＝21，c2＝20； ∴c2＜b2；∴c＜b； ；∴a2＜c2；∴a＜c； ∴a＜c＜b． 故选：C． 【变式训练6-2】已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（       ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【解析】，,即， ，， ，，，故选：C 题型07：作差法比较代数式的大小的应用 【典型例题】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【解答过程】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【解答过程】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 【变式训练7-1】某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦元/kg，二级小麦元/kg（）．现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？ 【解答过程】列式表示分等级收购和以两种价格的平均数收购的收购总额，再作差比较即可得解. 【解答过程】依题意，，分等级收购的收购总额， 以两种价格的平均数收购的收购总额， 由，显然， 当时，，当时，，当时，， 所以当时，，收购不合理；当时，，收购合理. 【变式训练7-2】某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 【解答过程】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用元和坐乙车所需费用元,再对和作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论. 【解答过程】设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元， 则，， 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠. 故得解. 题型08：利用不等式的性质判断正误 一．单选 【典型例题1】已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析：因为，所以，故A正确； 对于B：当时，故B错误； 对于C：当，，显然满足，但是，故C错误； 对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；故选：A 【典型例题2】已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B. 【详解】因为，所以，故D正确； 对于A：若，，满足，此时，故A错误； 对于B：若，，满足，此时，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 故选：D 【典型例题3】对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答】对于A，B，C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数，利用函数单调性即可判断正误。 【解答过程】对于选项A，若时，，则错误. 对于选项B，若，当，则，则B错误. 对于选项C，若取，则，故错误. 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式训练8-1-1】下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解答过程】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【解答过程】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练8-1-2】已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【解答过程】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式训练8-1-3】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，故D错误. 故选：C． 【变式训练8-1-4】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误.故选：C. 【变式训练8-1-5】设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，当时，，A错误； B选项，， 因为，所以，则， 故，，B错误； C选项，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，C正确； D选项，因为，所以， 两边同除以得，D错误.故选：C 【变式训练8-1-6】若a，b，c为实数，下列结论正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则 C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2 【答案】D． 【解析】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则不正确， 对于B：若a＜b＜0，则a2＞b2，则 ，即，故B不正确， 对于C：若a＜b＜0，则，即，故C不正确， 对于D：若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2，正确， 故选：D． 【变式训练8-1-7】若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（　　） A．和均不能成立 B．和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B． 【解析】解：不妨令a＝﹣3，b＝﹣1代入检验各个选项，A不正确，B正确，C不正确， D不正确， 故选：B． 【变式训练8-1-8】已知，且，则以下不正确的是（       ） A． B． C． D． 【解析】，，，故A，B正确； ，即，故C正确； 对两边同除得，故D错误. 故选：D. 【变式训练8-1-9】若，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确， 二．多选 【典型例题1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解. 【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确； 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误； 对于C选项，当时，，所以C错误； 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD． 【典型例题2】已知实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件. 【详解】对于选项A，当时，若，则，错误； 对于选项B，若，故，则，正确； 对于选项C，若则， 所以，正确； 对于选项D,， 当时，，但是的符号与的符号不确定， 所以与大小关系不确定，错误. 故选：BC. 【典型例题3】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，若，， 则， 所以，所以B不正确； 对于C中，若，则， 所以C正确； 对于D中，若，则， 所以D正确． 故选：ACD. 【变式训练8-2-1】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由,若时，不一定，故A错误， 对于B，若，所以故，所以，故B正确， 对于C,由得，又，所以，故C正确， 对于D，由于，无法确定的正负，所以的正负无法确定，故与的大小无法确定，故D错误， 故选：BC 【变式训练8-2-2】已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A，，，，， ，即，故A正确； 对于B，，，，故B正确； 对于C，取，，，则，故C错误； 对于D，，，， ，即，故D正确． 故选：ABD． 【变式训练8-2-3】已知实数a，b，c，若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】举特例即可否定选项A，B，D，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】当，时，满足，但，故A错误； 当，时，满足，但，故B错误； 因，，由不等式性质得，故C正确； 当时，不成立，故D错误. 故选：ABD. 【变式训练8-2-4】下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断 【详解】对于，因为，，所以，故正确； 对于，因为，所以， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 又，所以，故C错误； 对于D，当时，满足， 但，此时，故D错误， 故选：AB 【变式训练8-2-5】（多选）已知实数，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，故，则，故B正确； 对于C，若则， 所以，故C错误； 对于D，因为，取， 则，，此时，故D错误.故选：ACD. 对于②，若ac2＞bc2，则a＞b，故②是真命题； 对于③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2，故③是真命题； 对于④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，⇒⇒则，故④是真命题； 对于⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0，故⑤是假命题； 故答案为：②③④ 【变式训练8-2-6】（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明即可判断AD；根据不等式的基本性质即可判断B；根据幂函数的性质即可判断C. 【详解】A：若，则，故A错误； B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确； C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确； D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误. 故选：BC. 【变式训练8-2-7】（多选）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0， 所以， 所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，， 故选：BCD 【变式训练8-2-8】（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．函数的最小值是2 【答案】BC 【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误； 对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误； 对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误 【详解】对于A选项，取，，，则，故错误； 对于B选项，，，，，故B正确； 对于C选项，，，，，故C正确； 对于D选项，函数，令， 由函数在上单调递增，，故D错误. 故选：BC 【变式训练8-2-9】（多选）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性判断选项中的结论是否正确. 【详解】因为，选项A错误； ， 当且仅当，时，取等号，选项B正确； 因为，所以，可得，选项C错误； 设，则D等价于，等价于，因为单调递增，，所以，所以，选项D正确. 故选：BD. 【变式训练8-2-10】（多选）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】解：对于非零实数，满足，则， 即，故A一定成立； 因为，故B一定成立； 又，即，所以，故C一定成立； 对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立． 故选：ABC 【变式训练8-2-11】（多选）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可. 【详解】因为，，所以，的符号不能确定， 当时，，故A错误， 因为，，所以，故B正确， 因为，所以，故C正确， 因为，所以，所以，所以，故D错误， 故选：BC 【变式训练8-2-12】（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围. 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：BC． 【变式训练8-2-13】设，且，则(       ) A． B． C． D． 【解析】对于A：，且，，解得，故A正确； 对于B：，即，，故B错误； 对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确； 对于D，且， ， 当且仅当，即时等号成立， ∵－3＝，∴，∴D错误. 故选：AC. 题型09：利用不等式的性质证明不等式 考点1.作差法 【典型例题1】已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5+b5＞a2b3+a3b2． 【答案】见解析 【解析】证：（a5+b5）﹣（a2b3+a3b2）＝（ a5﹣a3b2）+（b5﹣a2b3） ＝a3（a2﹣b2）﹣b3（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a3﹣b3）＝（a+b）（a﹣b）2（a2+ab+b2） ∵a，b都是正数，∴a+b，a2+ab+b2＞0 又∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0∴（a+b）（a﹣b）2（a2+ab+b2）＞0 即：a5+b5＞a2b3+a3b2． 考点2.作商法 【典型例题2】 设a＞b＞0，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：法一： ， 因为a＞b＞0，所以a﹣b＞0，ab＞0，a2+b2＞0，a+b＞0．所以0， 所以 法二：因为a＞b＞0，所以a+b＞0，a﹣b＞0． 所以•11． 所以 考点3.综合法 【典型例题3】已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab＞0，bc﹣ad＞0，则0； ②若ab＞0，0，则bc﹣ad＞0； ③若bc﹣ad＞0，0，则ab＞0． 其中正确的命题是 　①②③　• 【答案】①②③． 【解析】解：已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： 对于①，若ab＞0，bc﹣ad＞0，则0，故①正确； 对于②，若ab＞0，0，则bc﹣ad＞0，故②正确； 对于③若bc﹣ad＞0，0，则ab＞0，故③正确． 故答案为：①②③． 考点4.分析法 【典型例题4】已知a＞0，求证：a2． 【答案】见解析 【解析】证明：要证a2，只要证2≥a即可． ∵a＞0，∴只要证， 即a244≥a2+22（a）+2， 从而只要证2（a）， 只要证4（a2）≥2（a2+2），即证a22，而此不等式显然成立， 故原不等式成立． 考点5.反证法 【典型例题5】已知中至少有一个小于2． 【答案】见解析 【解析】证明：假设都不小于2，则（6分） 因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b） 即2≥a+b，这与已知a+b＞2 相矛盾，故假设不成立（12分） 综上中至少有一个小于2． 【变式训练9-1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【解答过程】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式训练9-2】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【解答过程】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【解答过程】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式训练9-3】用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 【变式训练9-4】已知，证明：. 【答案】证明见解析. 【解析】∵， ， ， ， . 【变式训练9-5】若，，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【详解】证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. 【变式训练9-6（1）已知，，．求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）利用作差法证明即可． 【详解】（1）因为，所以 又因为，所以 所以 又因为，所以． （2） 因为，，所以， 因此，从而，即． 【变式训练9-7】证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明； （2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，， 又bd＞0，所以，， 即. （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，，，， 则，， 即有，成立； 因为，，所以，， 又，所以，成立. 所以，有. 【变式训练9-8】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. 【详解】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 【变式训练9-9】证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明． 【详解】（1）证明：，， ，， 又因为，即， 所以. （2）证明：，，； 又，，； . 【变式训练9-10】若，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 【变式训练9-11】已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式训练9-12】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 【变式训练9-13】已知，求证：． 【答案】见解析 【解析】． ，，，，，，． ，同理得，，． 又，． 题型10：利用不等式的性质求取值范围 【典型例题1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则，所以，因为， 所以．因为，所以， 故． 故选：A 2.已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 【典型例题2】若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】由，两式相加得，即，故A正确； 由，得，又，两式相加得，即，故B正确； 设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【变式训练10-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 因为，所以，则.故选：D 【变式训练10-2】若实数x，y满足，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【解析】设，则，解得， 故，又因，所以， 所以.故选：A. 【变式训练10-3】已知，，则6x＋5y的取值范围为______． 【解析】，即 故6x＋5y的取值范围为． 故答案为： 【变式训练10-4】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】应用不等式性质求目标式范围. 【解答过程】由题设，则，又，所以. 故选：C. 【变式训练10-5】已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，， 所以，， 则，，， 即，，，则； 故AB正确，CD错. 【变式训练10-6】在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（       ） A． B． C．1 D．2 【解析】由，得， 因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上， 所以，即， 设，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式训练10-7】已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】. 设，所以，解得：， ， 因为，，所以， 因为单调递增，所以.故选：C 【变式训练10-8】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错.故选：ABC. 【变式训练10-9】（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，即，，，正确， 对于B，，即，，正确， 对于C，，即，，，错误， 对于D，，，又即，， ，，正确.故选：ABD. 【变式训练10-10】（多选）已知实数x，y满足则（       ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD. 【变式训练10-11】已知，，分别求，，，的取值范围． 【答案】详见解析. 【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 易知， 而 则， 所以的取值范围是． 题型11：糖水不等式及其应用 【典型例题1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.故选：B. 【典型例题2】实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断； 对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值即可判断D得解. 【详解】对于A，取时，满足，， 但，不满足，故A错误； 对于B，取时，满足， 但，不满足，故B错误； 对于C，取，满足， 但，不满足，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即.故D正确. 故选：D. 【典型例题3】若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性，不妨设，已知变形为，，得是方程的两根，由判别式求得范围后可得． 【详解】不妨设是中的最小值，则由得， 由已知，， 所以是方程的两根， 所以，又，所以，，从而， 故选：D． 【典型例题4】（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确； 对于B，，因为，， 所以，故，即，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，即，故D正确.故选：ACD 【变式训练11-1】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】举例说明可判断，；作差法结合不等式的性质可判断，. 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 【变式训练11-2】已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义对分类讨论，首先对有一个为0进行分析，然后按同号、异号进行分析可得． 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 故选：D． 【变式训练11-3】下列命题:①若，则    ②若，则③若，则    ④若，则其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及作差法可判断结果. 【详解】对于①：若，则， 即或，故①错误； 对于②：若，当时，，故②错误； 对于③：若，， 则，故③正确； 对于④：若，， 所以，故④错误； 综上，只有③正确， 故选：A. 【变式训练11-4】已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【答案】(1)；证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故，所以 【变式训练11-5】已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用作差法比较大小，结合充分条件和必要条件知识判断即可. 【详解】由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立. 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选:C. 【变式训练11-6】火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 【变式训练11-7】（多选）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质，即可求解ACD，举反例即可求解B. 【详解】对于A，由，则，故，因此A正确； 对于B,取，则， 显然，因此B错误； 对于C，由， 故， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又， 即，即， 又，，即，因此D正确． 故选：ACD． 【变式训练11-8】（多选）下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“，则”的否定是“，则” C．已知，则的取值范围是 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对A,B,D根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可；对C，利用不等式的性质判断. 【详解】对于A，该命题的否定为“若且，则都不大于1”，则，所以， 所以该命题的否定为假命题，即原命题为真命题，故A正确； 对于B，命题“，则”的否定是“，则”，故B正确； 对于C，，，则，故C错误； 对于D，当时，不一定不为0，当时，一定有， 所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练11-9】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断AC，应用做差法判断B，应用不等式的性质判断D. 【详解】对于A：当时，，A选项错误； 对于B：，因为 ， 所以，B选项正确； 对于C：若，则，C选项错误； 对于D：若，，则，即得，D选项正确. 故选：BD. 【变式训练11-10】（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）采用分析法证明，先假设，得到，再由不等式的性质变形后把代入，然后两边平方即可； （2）采用反证法，假设，由不等式的性质得到，与题干矛盾即可； 【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，. 要证，只需证， 又，只需证， 即，只需证，只需证， 成立，原式成立. （2）证明：假设，，， ，与矛盾， 假设不成立，与至少有一个大于. 【变式训练11-11】解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【详解】（1）∵，∴， ∴ ∴； （2）假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 一、单选题 1．若，且，则下列各式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质推理判断即得. 【详解】由，得，而，则，C错误，D正确； 取，满足，且，而选项AB中不等式无意义，AB错误. 故选：D 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 3．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【详解】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 5．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 6．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项. 【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误； 对于B，取，，，满足，， ，，但，B项错误； 对于C，取，，但，故C项错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 7．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论. 【详解】因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:B. 二、多选题 8．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 9．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质进行分析即可. 【详解】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确； 因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误； 由两边同乘以c，得，故C正确； 当，时，满足且，但，故D错误． 故选：AC． 10．下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 【答案】CD 【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小. 【详解】对于A，取，满足，且， 此时，，故A错误； 对于B，取，满足， 此时，则，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 11．某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1600元，每件应降价 元． 【答案】4 【分析】设每件应降价元，然后求出每件获得利润和平均每天可以销售件数可得答案. 【详解】设每件应降价元，则每件获利元， 平均每天可以销售件，所以 ，解得． 故答案为：4. 12．若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确. 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 13．已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式的性质可得，取绝对值即可求解. 【详解】， ，则， 将不等式的两边同时乘以，可得， ， 故答案为：. 14．记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】假设最小值为t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判断即可. 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 四、解答题 15．已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质求证即可. 【详解】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 16．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 17．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明. 【详解】， 因为，所以，又，所以， 所以. 18．已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 模拟演练 1．【多选】，运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 2． ，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 3．根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到， (2)证明见解析 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立；②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【详解】（1）①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由（1）知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式与不等式的性质 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 7 题型01：用不等式表示不等关系 7 题型02：由不等式的性质比较数（式）大小 8 题型03：利用作差法比较大小 9 题型04：利用作商法比较大小 10 题型05：利用取倒数比较大小 11 题型06：利用平方做差比较大小 11 题型07：作差法比较代数式的大小的应用 12 题型08：利用不等式的性质判断正误 12 一．单选 12 二．多选 14 题型09：利用不等式的性质证明不等式 16 题型10：利用不等式的性质求取值范围 18 题型11：糖水不等式及其应用 19 巩固提升 22 模拟演练 24 1. 定位：基础工具考点，极少单独大题，多出现在选择题、多选题；广泛用于解不等式、比较大小、恒成立问题。 2. 命题重点：不等式等价变形、利用性质判断命题真假；常结合函数、简易逻辑。 3. 高频陷阱：同乘负数忘记变号；同向不等式随意相减、相除；忽视变量正负直接平方。 1. 熟记基本性质，分清哪些是等价推导，哪些单向成立。 2. 能够快速判断不等式命题正误，规避变号误区。 3. 合理运用性质进行代数式大小比较、范围求解。 精简补充解题要点 同向可加，同向不可直接相减；正数才可相乘、取倒数、平方；乘负数，不等号反转。 知识点一：等式的基本性质 1. 如果a＝b，那么b＝a. 2. 如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3. 如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4. 如果a＝b，那么ac＝bc 5. 如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二：不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） （同向可加性） （异向可减性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） （同向正数可乘性） （异向正数可除性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 注意 ①推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； ②推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； ③推论3表明，个都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，d>c>0⇒>. 分数性质：若a>b>0，m>0，则 ①真分数性质：<；>(b－m>0)； ②假分数性质：>；<(b－m>0)． 知识点三：比较大小的方法 1.作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3.平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1） 比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2） 作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3） 作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 知识点四：利用不等式的性质求取值范围的一般思路 1.借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； 2.借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； 3.结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 知识点五：不等式的证明方法 1.作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； 4.分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 1.用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 2.利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 3.比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 4.利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 5.利用不等式的性质求取值范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． （2）同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 6.利用不等式性质求范围的方法: （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; （2）所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; （3）结合不等式的传递性进行求解. 求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型01：用不等式表示不等关系 【典型例题1】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（    ） A． B． C． D． 可得：．故选：A 【典型例题3】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【变式训练1-2】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【变式训练1-4】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 题型02：由不等式的性质比较数（式）大小 【典型例题1】已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】若正实数满足不等式组，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若，比较与的大小． 【变式训练2-3】若，，则与的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练2-4】已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”） 【变式训练2-5】设，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 题型03：利用作差法比较大小 【典型例题1】设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【典型例题2】下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典型例题3】已知，试比较与的值的大小． 【变式训练3-1】已知，，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练3-2】已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练3-3】比较与的大小，其中. 【变式训练3-4】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【变式训练3-5】设，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【变式训练3-7】已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练3-8】比较大小： (1)和； (2)和，其中． 【变式训练3-9】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 题型04：利用作商法比较大小 【典型例题1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【典型例题2】设，比较与的大小 【变式训练4-1】如果，，那么，，从小到大的顺序是 【变式训练4-2】设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 【变式训练4-3】已知，，试比较与的大小； 【变式训练4-4】已知，试比较和的大小. 【变式训练4-5】若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 【变式训练4-6】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知，，则（       ） A． B． C． D． 题型05：利用取倒数比较大小 【变式训练】已知a＝1，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 题型06：利用平方做差比较大小 【典型例题】若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定 【变式训练6-1】已知a，b和c＝2，则这三个数的大小是（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【变式训练6-2】已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（       ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 题型07：作差法比较代数式的大小的应用 【典型例题】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【变式训练7-1】某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦元/kg，二级小麦元/kg（）．现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？ 【变式训练7-2】某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 题型08：利用不等式的性质判断正误 一．单选 【典型例题1】已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-1-1】下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式训练8-1-2】已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-3】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-1-4】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-5】设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-6】若a，b，c为实数，下列结论正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则 C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2 【变式训练8-1-7】若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（　　） A．和均不能成立 B．和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【变式训练8-1-8】已知，且，则以下不正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-9】若，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二．多选 【典型例题1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典型例题2】已知实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典型例题3】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-2-1】下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式训练8-2-2】已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-3】已知实数a，b，c，若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-4】下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练8-2-5】（多选）已知实数，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-2-6】（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-2-7】（多选）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 【变式训练8-2-8】（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．函数的最小值是2 【变式训练8-2-9】（多选）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-10】（多选）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-11】（多选）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-12】（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-13】设，且，则(       ) A． B． C． D． 题型09：利用不等式的性质证明不等式 考点1.作差法 【典型例题1】已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5+b5＞a2b3+a3b2． 考点2.作商法 【典型例题2】 设a＞b＞0，求证：． 考点3.综合法 【典型例题3】已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab＞0，bc﹣ad＞0，则0； ②若ab＞0，0，则bc﹣ad＞0； ③若bc﹣ad＞0，0，则ab＞0． 其中正确的命题是 　 　• 考点4.分析法 【典型例题4】已知a＞0，求证：a2． 考点5.反证法 【典型例题5】已知中至少有一个小于2． 【变式训练9-1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式训练9-2】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式训练9-3】用综合法证明:如果，那么 【变式训练9-4】已知，证明：. 【变式训练9-5】若，，，求证：. 【变式训练9-6】（1）已知，，．求证：； （2）已知，，求证：． 【变式训练9-7】证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【变式训练9-8】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【变式训练9-9】证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 【变式训练9-10】若，，求证：. 【变式训练9-11】已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式训练9-12】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【变式训练9-13】已知，求证：． 题型10：利用不等式的性质求取值范围 【典型例题1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式训练10-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】若实数x，y满足，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知，，则6x＋5y的取值范围为______． 【变式训练10-4】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（       ） A． B． C．1 D．2 【变式训练10-7】已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【变式训练10-9】（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-10】（多选）已知实数x，y满足则（       ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【变式训练10-11】已知，，分别求，，，的取值范围． 题型11：糖水不等式及其应用 【典型例题1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典型例题3】若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典型例题4】（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练11-1】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练11-2】已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【变式训练11-3】下列命题:①若，则    ②若，则③若，则    ④若，则其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练11-4】已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【变式训练11-5】已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练11-6】火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【变式训练11-7】（多选）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【变式训练11-8】（多选）下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“，则”的否定是“，则” C．已知，则的取值范围是 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【变式训练11-9】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【变式训练11-10】（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【变式训练11-11】解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 一、单选题 1．若，且，则下列各式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 6．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 二、多选题 8．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 9．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 三、填空题 11．某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1600元，每件应降价 元． 12．若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 13．已知，则的取值范围为 ． 14．记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 16．若，求证：． 17．已知，求证：. 18．已知，，且，证明： (1)； (2)． 模拟演练 1．【多选】，运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 2． ，，，，设，证明：. 3．根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $