第三单元用字母表示数（二）第一课时用字母表示数量关系(导学案)-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

该小学数学导学案聚焦“用字母表示数量关系及规律”，通过课前热身回顾旧知，结合篮球比赛、摆图形等情境问题搭建学习支架，衔接从具体到抽象的认知过程，帮助学生建立符号意识。 资料以情境探究和分层练习为特色，通过日历、花坛等生活实例引导学生经历“操作→发现→表达→验证”过程，培养模型意识和推理意识，错因诊断与知识结构化梳理助力学生自主学习，提升数学表达与应用能力。

第三单元 用字母表示数（二） 第1课时 用字母表示数量关系 教学内容：p033～p034 课 型 新知探究课 核心素养 符号意识·模型意识 教学准备 学习单·情境图 学习方式 情境探究+合作交流 【学习目标】 【知识技能】我能结合具体情境，用含有字母的式子表示两个量之间的数量关系，并解释式子的实际意义。 【过程方法】我能经历「具体例子→发现关系→字母表达→解释应用」的过程，体会字母表示数量关系的一般性。 【核心素养】我能感受符号表示的简洁性，初步建立符号意识和模型意识。 【情感态度】我愿意主动用数学语言表达生活中的数量关系，体会数学与生活的联系。 【重点】用含有字母的式子表示数量关系，并解释式子的意义。 【难点】理解不同数量要用不同字母表示，能区分字母在式子中的实际含义。 一、 课前热身 【学习目标】回顾「用字母表示数」的基础，为本节课表示数量关系做准备。 1. 五年级时我们学过：一只青蛙 n 张嘴，2n 只眼睛，4n 条腿。这里的 n 可以表示哪些数？ 2. 如果一本书有 a 页，已经看了 b 页，还剩多少页？用含有字母的式子怎样表示？ 3. 用字母表示数有什么好处？请用一句话说明。 【大胆猜想】篮球比赛投进 1 球得 2 分，罚进 1 球得 1 分。如果用 a 表示投进球数，得分可以怎样表示？ 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 篮球比赛中的数量关系 学校篮球比赛规定：投进 1 球得 2 分，罚进 1 球得 1 分。下面是奇思和淘气的比赛记录。 姓名 投进球数 罚进球数 奇思 1 2 淘气 3 2 _______________________________________________________ _______________________________________________________ 想一想： （1）奇思和淘气各得了多少分？请列式计算。 （2）得分和投进球数、罚进球数之间有什么关系？试着用文字写出来。 （3）如果用 a 表示投进球数，b 表示罚进球数，你能用字母表示得分吗？ 【我的发现】 得分 = 2×a + 1×b，可以写成 2a + b。这里 a、b 表示不同的数量，所以要用不同的字母。 活动二 大船和小船能坐多少人 公园里有 a 条大船，每条大船坐 6 人；有 b 条小船，每条小船坐 4 人。 （1）一共能坐多少人？用含有字母的式子表示。 （2）小明写成 6b + 4a，他错在哪里？和同桌说一说。 【温馨提示】 式子中的字母要和它表示的数量一一对应。交换字母位置，实际意义就变了。 活动三 早餐店里的字母 王叔叔卖早点：包子一屉 8 元，小米粥一碗 2 元。笑笑用「8a + 2a」表示营业额。 （1）你觉得这样表示合理吗？为什么？ （2）如果 a 表示包子屉数，b 表示小米粥碗数，正确的式子应该怎样写？ 【易错点】 当 a 表示两种不同的数量时，不能简单合并。一定要先明确每个字母表示什么。 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 笑笑参加套圈游戏，套中蓝色锥形物 a 次，每次得 2 分；套中红色锥形物 b 次，每次得 5 分。用含有字母的式子表示她的总分。 2. 一辆汽车每小时行驶 a 千米，另一辆汽车每小时行驶 b 千米。如果两车同时从两地相向而行，3 小时后相遇，两地相距多少千米？用字母表示。 3. 判断对错：因为 2a + 3a = 5a，所以 2a + 3b 也可以写成 5ab。（请说明理由） 4. 用含有字母的式子表示：买 4 本单价为 a 元的笔记本和 3 支单价为 b 元的铅笔，一共需要多少元？ ● 能力提升（灵活运用） 1. 两车同时从甲、乙两城出发，相向而行。甲车每小时行 a 千米，乙车每小时行 b 千米，两城相距 140 千米。用含有字母的式子表示两车相遇的时间。 2. 请你举一个生活中的例子，先用文字写出数量关系，再用含有字母的式子表示，并解释每个字母的含义。 ● 思维拓展（挑战自我） 1. 如果 a + b = 20，且 a = 3b，那么 a 和 b 分别是多少？（提示：先把 a 换成 3b，再思考。） ※ 板书设计（教师用） 用字母表示数量关系 一、情境例子 • 篮球得分：2a + b • 大船小船：6a + 4b 二、核心方法 • 先找数量关系 • 不同量用不同字母 • 字母与数量一一对应 三、注意 • 不能混淆字母位置 • 先明含义再写式子 生活情境 → 找数量关系 → 用字母表示 → 解释意义 → 应用 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 用字母表示数量关系的方法是：先写出文字关系式，再用字母替换相应的量。 ★ ★ ★ 不同的数量一般要用不同的字母表示，字母的位置也不能随意交换。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 字母位置写反（如大船小船混淆） 不同数量用了同一个字母 忘记解释字母表示的含义 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 第三单元 用字母表示数（二） 第2课时 探索规律（一） 教学内容：p035～p037 课 型 规律探究课 核心素养 推理意识·模型意识 教学准备 小棒或牙签·学习单 学习方式 操作探究+归纳推理 【学习目标】 【知识技能】我能通过摆小棒等活动，发现图形个数与所需小棒根数之间的规律，并用字母表示。 【过程方法】我能经历「操作→填表→找规律→表达→验证→逆向求解」的完整探究过程。 【核心素养】我能体会多角度观察同一规律，理解不同表达式之间的等价关系。 【情感态度】我能在操作中发现数学之美，乐于和同伴分享自己的思考方法。 【重点】发现连续摆三角形所需小棒根数的规律，并用字母表示。 【难点】理解 3 + 2(n - 1) 与 1 + 2n 表示的是同一规律，并能逆向求 n。 一、 课前热身 【学习目标】通过简单规律的回顾，激活找规律的策略。 1. 找规律填数：1，3，5，7，（ ），（ ）。第 n 个数可以怎样表示？ 2. 1 张桌子坐 4 人，2 张桌子拼在一起坐 6 人，3 张桌子拼在一起坐 8 人。4 张桌子坐几人？ 3. 用小棒摆正方形：1 个正方形用 4 根，2 个独立正方形用几根？如果是连着的呢？试着画一画。 【大胆猜想】像这样连续摆三角形，6 个三角形需要几根小棒？先猜一猜。 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 摆三角形，找规律 照下面这样摆三角形：每增加 1 个三角形，就多用 2 根小棒（因为有一条边共用）。 三角形个数 小棒根数 我的算式 1 3 3 2 5 3 + 2 3 7 3 + 2×2 4 9 3 + 2×3 5 3 + 2×4 _______________________________________________________ _______________________________________________________ （1）照这样摆，6 个三角形需要多少根小棒？你是怎样想的？ （2）如果有 n 个三角形，需要多少根小棒？试着写出两种不同的表达式。 【我的发现】 方法一：3 + 2(n - 1)；方法二：1 + 2n。它们都表示 n 个三角形所需的小棒根数。 活动二 用规律解决问题 （1）摆 50 个三角形，需要多少根小棒？ （2）71 根小棒可以摆出多少个三角形？ 【我会想】 把 71 = 1 + 2n 看成一个等式，利用等式两边同时减 1、同时除以 2，就能求出 n。 活动三 规律大挑战 笑笑用小棒摆「小房子」，她发现规律可以用（5n + 1）表示。 （1）36 根小棒可以摆出多少个小房子？ （2）你还能举出生活中可以用「□n + □」表示的规律吗？ 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 摆 n 个三角形需要小棒（ ）根；当 n = 10 时，需要（ ）根。 2. 美术园地展出同学们的作品，1 幅作品用 2 个磁扣，2 幅作品用 3 个磁扣，3 幅作品用 4 个磁扣。n 幅作品用几个磁扣？ 3. 用 51 根小棒按活动一的方式摆三角形，可以摆多少个？列式并解答。 ● 能力提升（灵活运用） 1. 观察下面由小正方体摆成的图形：1 个正方体露在外面的面有 5 个，2 个排成一排露在外面的面有 8 个，3 个排成一排露在外面的面有 11 个。n 个露在外面的面有几个？ 2. 下面是由圆片组成的图形：第 1 个有 1 个圆片，第 2 个有 4 个，第 3 个有 9 个，第 4 个有 16 个。第 n 个图形有多少个圆片？ ● 思维拓展（挑战自我） 1. 一串珠子按「2 红 3 绿」的规律排列。第 n 颗珠子是什么颜色？（提示：每 5 颗为一组。） ※ 板书设计（教师用） 探索规律（一） 一、摆三角形 • 1个：3根 • 2个：5根 • n个：1 + 2n 二、不同表达式 • 3 + 2(n - 1) • 1 + 2n（等价） 三、应用 • 求总数：代入 n • 求 n：列方程 操作摆图形 → 填表找规律 → 用字母表示 → 代入求值 → 逆向求解 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 连续摆 n 个三角形，需要 1 + 2n 根小棒。 ★ ★ ★ 同一个规律可以用不同的字母式子表示，它们之间是相等的。 ★ ★ ★ 已知小棒总数求图形个数时，可以把字母式子看成等式来解。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 把 3 + 2(n - 1) 错写成 3 + 2n - 1 忽略第一个三角形的特殊性 逆向求解时忘记两边同时操作 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 第三单元 用字母表示数（二） 第3课时 探索规律（二） 教学内容：p038～p039 课 型 规律探究课 核心素养 几何直观·推理意识 教学准备 小棒或磁贴·学习单 学习方式 画图探究+对比归纳 【学习目标】 【知识技能】我能通过观察不同的桌子摆放方式，发现人数与桌子张数之间的关系，并用字母表示。 【过程方法】我能通过画图、列表、对比，理解不同摆放方式对应不同表达式。 【核心素养】我能从具体情境中抽象出数量关系，并能根据关系进行正向和逆向计算。 【情感态度】我愿意尝试多种方法解决问题，感受一题多解的乐趣。 【重点】根据不同摆放方式找到对应的人数规律，并用字母式子表示。 【难点】理解同一问题因观察角度不同，可得到不同但等价的表达式。 一、 课前热身 【学习目标】复习连续图形的规律，为不同摆放方式做铺垫。 1. 1 张桌子坐 4 人，每多拼 1 张桌子多坐 2 人。5 张桌子拼在一起坐几人？ 2. 找规律：2，4，6，8，… 第 n 个数是多少？ 3. 如果 n 张桌子坐（2n + 2）人，那么 8 张桌子坐多少人？ 【大胆猜想】餐厅里的桌子可以怎样摆放？你觉得摆放方式不同，坐的人数会一样吗？ 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 餐厅里的桌子 餐厅有时会把桌子摆在一起。1 张桌子可以坐 4 人。观察下面的摆放方式，完成表格。 桌子数 人数 我的算式 1 4 4 2 6 2×2 + 2 3 8 2×3 + 2 4 10 2×4 + 2 _______________________________________________________ _______________________________________________________ （1）10 张桌子可以坐多少人？你是怎样思考的？ （2）如果用 n 表示桌子数，用 m 表示人数，你能写出 m 与 n 的关系式吗？ 【我的发现】 按上图方式摆，m = 2n + 2。也可以看成 m = 4n - 2(n - 1)。 活动二 不同的摆法，不同的式子 下面两幅图是另外两种桌子摆放方式。请仔细观察，回答问题。 （1）式子 m = 4n + 2 对应哪种摆法？式子 k = 2n + 4 对应哪种摆法？请圈一圈。 （2）如果有 5 张桌子，按上面两种方式分别摆放，各能坐多少人？ 【温馨提示】 观察桌子摆放时，可以分别看上下两边和左右两边各能坐几人，再找规律。 活动三 数字处理机器 一台数字处理机器：输入一个数，先「×2」，再「+1」，最后输出。 （1）如果输入 3，输出是多少？输入 20 呢？ （2）如果输入的是字母 a，输出的是字母 b，你能用式子表示这个过程吗？ （3）当 a = 12 时，b 是多少？当 b = 19 时，a 是多少？ 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 按活动一的方式摆，n 张桌子坐（ ）人；8 张桌子坐（ ）人。 2. 数字处理机器规则为「先 ×3，再 + 2」。如果输入 a，输出 b，用式子表示 b 与 a 的关系。 3. 判断：两种不同摆法的桌子，只要桌子数相同，坐的人数一定相同。这句话对吗？为什么？ ● 能力提升（灵活运用） 1. 观察摆小棒搭成的连续五边形：1 个五边形用 5 根，2 个连着的五边形用 9 根。n 个连着的五边形用多少根小棒？ 2. 一台机器的规则是「先 - 5，再 ÷2」。输入 a，输出 b。当 b = 15 时，a 是多少？ ● 思维拓展（挑战自我） 1. 找规律：3，5，9，17，33，… 第 n 个数可以怎样表示？（提示：观察每个数与 2 的关系。） ※ 板书设计（教师用） 探索规律（二） 一、摆桌子 • 1桌4人 • 每多1桌多2人 • m = 2n + 2 二、不同摆法 • m = 4n + 2 • k = 2n + 4 • 看图选式子 三、数字机器 • 输入 a → ×2 → +1 → 输出 b • b = 2a + 1 观察摆法 → 画图列表 → 写表达式 → 代入求值 → 逆向求解 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 同一种桌子摆放方式，可以从不同角度观察，得到不同但等价的表达式。 ★ ★ ★ 数字处理机器的规律可以用「输入 → 运算 → 输出」的方式表示。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 没看清摆法就选表达式 数字机器顺序写反 逆向求解时运算没倒过来 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 第三单元 用字母表示数（二） 第4课时 日历中的数量关系 教学内容：p040～p041 课 型 规律应用课 核心素养 符号意识·推理意识 教学准备 日历或月历卡·学习单 学习方式 观察发现+代数验证 【学习目标】 【知识技能】我能发现日历中 2×2 方框和十字形方框里数的关系，并用字母表示和验证。 【过程方法】我能通过设未知数、列式、化简，体验用代数方法验证规律的优越性。 【核心素养】我能发展符号意识和推理能力，体会「特殊→一般→特殊」的数学思想。 【情感态度】我愿意主动观察身边的数学规律，感受数学就在生活中。 【重点】用字母表示日历方框中各数的关系，并验证规律。 【难点】根据日历中相邻日期的规律，正确写出其他日期与所设字母的关系。 一、 课前热身 【学习目标】激活日历常识，为探索数量关系做准备。 1. 观察本月日历：同一行相邻两个数相差几？同一列相邻两个数相差几？ 2. 如果今天是 15 号，明天是几号？后天呢？上周今天是几号？ 3. 在日历中圈出一个 2×2 的方框，把 4 个数相加，你有什么发现？ 【大胆猜想】如果用字母表示日历中的一个日期，它右边、下边、右下角的日期可以怎样表示？ 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 2×2 方框里的秘密 观察日历中一个 2×2 的红色方框（如框住 2、3、9、10）。 位置 用字母表示 左上角的数 a 右上角的数 a + 1 左下角的数 a + 7 右下角的数 a + 8 （1）方框中对角两数相加，和有什么规律？用字母验证一下。 （2）如果最小的数是 11，其他三个数分别是多少？ 【我的发现】 a + (a + 8) = 2a + 8；(a + 1) + (a + 7) = 2a + 8。两条对角线上的数之和相等。 活动二 妙想的验证方法 妙想把 2×2 方框中的四个数表示成 a、a+1、a+7、a+8，然后分别计算对角两组数的和。 （1）你同意她的方法吗？用自己的话解释。 （2）用这个方法验证框住 20、21、27、28 时，规律是否成立。 活动三 十字形方框 日历中有一个十字形阴影方框，中间数是 y。 （1）用 y 表示左边、右边、上边、下边的数。 （2）这 5 个数的和与中间的数有什么关系？ （3）如果 5 个数的和是 115，中间的数是多少？ 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 日历中 2×2 方框最小的数是 a，其余三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 2. 日历十字形方框中间数是 y，5 个数的和是（ ）。 3. 一个 2×2 方框 4 个数的和是 48，最小的数是多少？ ● 能力提升（灵活运用） 1. 百数表中，一个 2×2 方框最小的数是 a。请用字母表示其余三个数，并验证对角两数之和相等。 2. 日历中连续 3 天日期之和是 42，这三天分别是几号？（用字母解一解） ● 思维拓展（挑战自我） 1. 一个 3×3 的日历方框，中间数是 m。这 9 个数的和与 m 有什么关系？试着用字母验证。 ※ 板书设计（教师用） 日历中的数量关系 一、2×2方框 • a • a+1 • a+7 • a+8 • 对角和相等 二、十字方框 • 中间 y • 上下 y±7 • 左右 y±1 • 五数和=5y 三、验证方法 • 设字母 • 表示相邻数 • 列式化简 • 找规律 观察日历 → 设字母 → 表示关系 → 化简验证 → 解决问题 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 日历中左右相邻日期相差 1，上下相邻日期相差 7。 ★ ★ ★ 用字母可以一般性地验证日历中的规律，不需要试很多例子。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 把上下相邻日期当成相差 1 忘记用同一个字母表示其他数 化简时符号出错 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 第三单元 用字母表示数（二） 第5课时 花坛的周长 教学内容：p042～p043 课 型 综合应用课 核心素养 模型意识·几何直观 教学准备 圆规·计算器·学习单 学习方式 问题驱动+对比辨析 【学习目标】 【知识技能】我能综合运用圆的周长公式和字母表示数的方法，解决「扩建小路」的实际问题。 【过程方法】我能经历「画图理解→举例尝试→字母表达→对比辨析→得出结论」的完整问题解决过程。 【核心素养】我能体会字母表示关系的一般性，发展空间观念和模型意识。 【情感态度】我能主动反思解题过程中的错误，养成检验和反思的好习惯。 【重点】用字母表示扩建后周长增加的长度，并理解其与半径无关。 【难点】正确运用乘法分配律化简 2π(r + 1) - 2πr，避免常见错误。 一、 课前热身 【学习目标】复习圆的周长公式，为综合应用做准备。 1. 圆的周长公式是什么？用字母表示。 2. 如果一个圆的半径是 3 cm，它的周长是多少？（π 取 3.14） 3. 半径增加 1 cm 后，新圆的半径是多少？新圆的周长怎样表示？ 【大胆猜想】一个圆形花坛周围修一条 1 m 宽的小路，小路外侧的周长比花坛周长长多少？先猜一猜。 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 读题画图，理解题意 一个圆形花坛，周边扩建出 1 m 宽的小路。扩建后，小路外侧的周长比花坛的周长增加了多少米？ （1）画出示意图，标出花坛半径、小路宽度、外侧半径。 （2）要求的是哪两个周长的差？用语言说一说。 【我会画】 花坛是一个小圆，半径 r；小路外侧形成一个大圆，半径 r + 1。要求大圆周长 - 小圆周长。 活动二 举例尝试，发现规律 我们不知道花坛的半径是多少，可以先假设几个具体的数试试。 花坛半径 外侧周长 - 花坛周长 结果 2 m 2π×(2+1) - 2π×2 2π m 6 m 2π×(6+1) - 2π×6 2π m 10 m 2π×(10+1) - 2π×10 2π m _______________________________________________________ _______________________________________________________ （1）观察表格，你有什么发现？ （2）为什么半径不同，增加的长度却一样？和同桌交流。 活动三 用字母证明一般性 用 r 表示花坛半径。 （1）写出外侧周长和花坛周长的字母表达式。 （2）计算它们的差，并化简。 （3）下面是小明和小红的做法，谁对谁错？错在哪里？ 【小明】 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 1 - 2πr = 1（m） 【小红】 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（m） （4）正确的结论是什么？ 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：一个圆形花坛半径是 r m，周围扩建 1 m 宽小路。外侧周长比花坛周长增加了（ ）m。 2. 如果小路宽 2 m，那么外侧周长比花坛周长增加多少？（用字母 r 表示） 3. 判断：半径越大，扩建 1 m 宽小路后周长增加得越多。（ ） ● 能力提升（灵活运用） 1. 一个正方形绿地，边长为 a m。如果四边各扩建 1 m 宽的小路，扩建后外侧周长比原来增加了多少？与圆形花坛的规律有什么不同？ 2. 一个圆形喷水池半径为 r m，周围铺 1.5 m 宽的鹅卵石路。求鹅卵石路外沿的周长。 ● 思维拓展（挑战自我） 1. 如果一个圆形花坛周围扩建 n m 宽的小路，外侧周长比花坛周长增加多少？你能用字母 n 表示这个增加的长度吗？ ※ 板书设计（教师用） 花坛的周长 一、理解题意 • 花坛半径 r • 小路宽 1 m • 外侧半径 r + 1 二、解决问题 • 大圆周长：2π(r+1) • 小圆周长：2πr • 差：2π(r+1) - 2πr = 2π 三、易错点 • 忘记 2π 分别乘 r 和 1 • 结果与半径 r 无关 读题画图 → 举例尝试 → 发现规律 → 字母证明 → 得出结论 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 圆形花坛周围扩建 1 m 宽小路，外侧周长增加 2π m，与花坛原来的半径无关。 ★ ★ ★ 用字母 r 表示半径，可以把规律一般化，不用试很多具体的数。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 把 2π(r+1) 错展开成 2πr + 1 认为增加长度与半径有关 忘记写单位 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 第三单元 用字母表示数（二） 整理与复习（单元综合练习） 教学内容：p033～p043 课 型 单元复习课 核心素养 符号意识·模型意识 教学准备 本单元错题本 学习方式 自主梳理+综合练习 【学习目标】 【知识技能】我能梳理本单元「用字母表示数量关系」「探索规律」「日历中的数量关系」「花坛的周长」四类知识，并用结构图呈现它们之间的联系。 【过程方法】我能通过综合练习查漏补缺，经历「回顾—梳理—应用—反思」的单元复习过程。 【核心素养】我能发展符号意识、模型意识和推理意识，体会「从具体到一般」的数学思想。 【情感态度】我愿意反思本单元易错点，养成及时整理错题、主动归纳的好习惯。 【重点】用字母表示数量关系、图形规律、日历规律、圆的字母表达的系统化梳理与综合应用。 【难点】综合运用——用字母式子表示并化简较复杂的关系（如 2π(r+1) 展开），以及逆向求解。 一、 课前热身（单元回顾·约5分钟） 本单元我们学会了用字母表示数量关系、探索图形与日历中的规律，还用字母解决了花坛扩建的实际问题。今天我们一起把学过的知识「串成串、连成网」。 【前置诊断】先来测一测，你掌握得怎么样： 1. 篮球比赛投进 1 球得 2 分、罚进 1 球得 1 分，用 a 表示投进球数、b 表示罚进球数，得分怎样表示？ 2. 连续摆 n 个三角形，一共需要多少根小棒？用字母式子表示，并写出另一种等价形式。 3. 日历中一个 2×2 方框，最小的数是 a，其余三个数可以怎样表示？ 【大胆猜想】这四类知识之间，有没有共同的「数学方法」？（提示：都从具体例子出发，最后都用字母表示一般规律。） 二、 探究新知（约25分钟） 活动一 构建本单元知识结构图 请把本单元学过的知识，按「四个板块」填进下面的结构图： 知识板块 核心字母表达式 数学思想 一、表示数量关系 2a+b；6a+4b；8a+2b 不同量用不同字母 二、探索规律 1+2n；3+2(n-1)；5n+1；2n+2；4n+2；2n+4 操作→找规律→字母表达 三、日历中的数量关系 a、a+1、a+7、a+8；十字框5y；3×3框9m 设字母→化简验证 四、花坛的周长 2π(r+1)-2πr=2π 字母证明一般性 _______________________________________________________ 【深度追问】这四类知识都由什么方法串起来？（都从具体例子出发，用字母把「一类」情况表示出来，再用式子化简、验证、应用。） 活动二 综合练习（单元综合练习） 独立完成下面的练习，做完后同桌互相批改： 1. 小明每天读 a 页书，b 天一共读了多少页？如果已经读了 c 页，还剩多少页没读？ 2. 连续摆 n 个三角形需要多少根小棒？当 n=20 时是多少根？51 根小棒能摆几个三角形？ 3. 日历中一个 2×2 方框，最小的数是 a。四个数的和是多少？若四个数的和是 60，a 是多少？ 4. 圆形花坛半径是 r m，周围扩建 1 m 宽的小路，外侧周长比花坛周长增加多少？ 5. 数字处理机器：输入 a，先「×2」再「+3」，输出 b。用式子表示 b 与 a 的关系；当 a=10 时 b 是多少？当 b=15 时 a 是多少？ 活动三 错因会诊（本单元易错点） 对照下面的「常见病」，看看你刚才的练习有没有中招： • 不同数量用了同一个字母：如「8a+2a」表示包子和小米粥两种不同量，会混淆。 • 去括号错误：把 3+2(n-1) 错写成 3+2n-1（应为 3+2n-2）。 • 日历上下相邻日期当成相差 1（实际相差 7）。 • 把 2π(r+1) 错展开成 2πr+1（忘记用 2π 分别乘 r 和 1，应为 2πr+2π）。 • 数字机器运算顺序写反：把「先×2再+3」写成 2(a+3)。 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 每个书包 a 元，买 3 个要（ ）元；又买 2 支笔每支 b 元，一共需要（ ）元。 2. 按活动一方式摆桌子，n 张桌子坐（ ）人；8 张桌子坐（ ）人。 3. 日历十字形方框中间数是 y，5 个数的和可以用（ ）表示。 4. 判断：同一个规律只能用一种字母式子表示。（ ）（请说明理由） ● 能力提升（灵活运用） 1. 一个 2×2 方框 4 个数的和是 48，最小的数是多少？ 2. 日历中连续 3 天日期之和是 42，这三天分别是几号？用字母解一解。 3. 一个正方形绿地边长为 a m，四边各扩建 1 m 宽的小路，扩建后外侧周长比原来增加了多少？与圆形花坛的规律有什么不同？ ● 思维拓展（挑战自我） 1. 一个 3×3 的日历方框，中间数是 m。这 9 个数的和与 m 有什么关系？用字母验证。 2. 如果圆形花坛周围扩建 n m 宽的小路，外侧周长比花坛周长增加多少？用字母 n 表示。 ※ 板书设计（教师用） 用字母表示数（二）·单元知识结构图 一、表示数量关系 • 2a+b；6a+4b • 不同量用不同字母 二、探索规律 • 1+2n；3+2(n-1) • 2n+2；4n+2；2n+4 • 等价式子可互化 三、日历中的关系 • a、a+1、a+7、a+8 • 十字框5y；3×3框9m 四、花坛的周长具体情境 → 发现关系 → 用字母表示 → 化简验证 → 综合应用 • 2π(r+1)-2πr=2π • 与半径r无关 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 用字母表示数量关系：不同量用不同字母（2a+b、6a+4b）。 ★ ★ ★ 探索规律：1+2n、2n+2 等，同一规律可有等价式子。 ★ ★ ★ 日历关系：左右相差 1、上下相差 7；十字框五数和=5y。 ★ ★ ★ 花坛周长：扩建 1 m 小路，外侧周长增加 2π，与半径无关。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 能独立画出本单元知识结构图 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 能正确列出并化简字母式子 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 能用字母验证规律或逆向求解 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 能反思并整理本单元易错点 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 不同数量用了同一个字母 去括号错误（3+2(n-1)≠3+2n-1） 日历上下相邻当相差 1（应为 7） 2π(r+1) 展开漏乘（≠2πr+1） 数字机器运算顺序写反 四、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 把本单元「练一练」中的错题整理到错题本，重做一遍并写清错因。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示规律的问题（如电费、水费、摆图形），记录下来并写出表达式。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：本单元已结束。下个单元我们将学习「分数的应用」，看看用字母表示的关系如何帮助解决更多实际问题。 参考答案 ◆ 第1课时 用字母表示数量关系 · 参考答案 参考答案 【课前热身】 1. n 表示青蛙的只数，一般取正整数。 2. 还剩（a - b）页。 3. 简洁、一般，能表示一类数量关系。 【探究新知】 活动一：奇思 2×1 + 1×2 = 4（分）；淘气 2×3 + 1×2 = 8（分）。数量关系：得分 = 2×投进球数 + 1×罚进球数；用字母表示为 得分 = 2a + b。 活动二：一共能坐（6a + 4b）人。6b + 4a 错在把大船和小船的字母写反了。 活动三：不合理。这里的 a 被用来表示两种不同的量（包子屉数和小米粥碗数），容易混淆。正确写法：8a + 2b。 【分层课堂练习】 基础：1. 2a + 5b；2. 3(a + b) 千米；3. 错，2a 与 3b 不是同类量，不能合并；4. 4a + 3b 元。 提升：1. 相遇时间 = 140 ÷ (a + b)（小时）；2. 略（合理即可）。 拓展：a = 3b，代入 a + b = 20 得 4b = 20，b = 5，a = 15。 ◆ 第2课时 探索规律（一） · 参考答案 参考答案 【课前热身】 1. 9，11；第 n 个数为 2n - 1。 2. 4 张桌子坐 10 人。 3. 2 个独立正方形用 8 根；连着的画法不同，根数不同（合理即可）。 【探究新知】 活动一：5 个三角形需要 11 根小棒；6 个三角形需要 13 根小棒。两种表达式：3 + 2(n - 1) 和 1 + 2n。 活动二：50 个三角形：1 + 2×50 = 101（根）。71 根小棒：71 = 1 + 2n，2n = 70，n = 35（个）。 活动三：36 = 5n + 1，5n = 35，n = 7（个）。 【分层课堂练习】 基础：1. 1 + 2n；21。2. n + 1 个。3. 51 = 1 + 2n，n = 25（个）。 提升：1. 3n + 2 个面。2. n² 个圆片。 拓展：n ÷ 5 看余数：余 1、2 为红色；余 3、0 为绿色（余 0 即整除）。 ◆ 第3课时 探索规律（二） · 参考答案 参考答案 【课前热身】 1. 12 人。 2. 2n。 3. 2×8 + 2 = 18（人）。 【探究新知】 活动一：10 张桌子坐 22 人；m = 2n + 2。 活动二：m = 4n + 2，5 张桌子坐 22 人；k = 2n + 4，5 张桌子坐 14 人。（对应圈法以实际图形为准） 活动三：输入 3 → 3×2 + 1 = 7；输入 20 → 20×2 + 1 = 41。b = 2a + 1。a = 12 时 b = 25；b = 19 时，2a + 1 = 19，a = 9。 【分层课堂练习】 基础：1. 2n + 2；18。2. b = 3a + 2。3. 不对，摆放方式不同，规律不同，人数一般也不同。 提升：1. 4n + 1 根。2. (a - 5) ÷ 2 = b；当 b = 15 时，a - 5 = 30，a = 35。 拓展：第 n 个数为 2ⁿ + 1。 ◆ 第4课时 日历中的数量关系 · 参考答案 参考答案 【课前热身】 1. 同一行相邻两数相差 1；同一列相邻两数相差 7。 2. 明天 16 号，后天 17 号，上周今天 8 号。 3. 略（以实际圈法为准，一般为对角和相等）。 【探究新知】 活动一：对角两数之和相等，都等于 2a + 8。最小数为 11 时，其余为 12、18、19。 活动二：同意。通过代数化简，可以证明对于任意 2×2 方框都成立。20+28=48，21+27=48，规律成立。 活动三：左边 y - 1，右边 y + 1，上边 y - 7，下边 y + 7。5 个数之和 = 5y。若和为 115，则 y = 23。 【分层课堂练习】 基础：1. a + 1，a + 7，a + 8。2. 5y。3. 设最小数为 a，4 个数为 a、a+1、a+7、a+8，和 = 4a + 16 = 48，a = 8。 提升：1. 其余三个数为 a+1、a+10、a+11；对角和均为 2a + 11。2. 设中间一天为 x，则 (x-1)+x+(x+1)=42，3x=42，x=14，三天为 13、14、15。 拓展：9 个数之和 = 9m。 ◆ 第5课时 花坛的周长 · 参考答案 参考答案 【课前热身】 1. C = 2πr 或 C = πd。 2. 2×3.14×3 = 18.84（cm）。 3. 新半径 (r + 1) cm；新周长 2π(r + 1) cm。 【探究新知】 活动一：示意图略。要求：小路外侧大圆周长 - 花坛小圆周长。 活动二：三种半径下增加的长度都是 2π m。发现：增加长度与花坛半径无关。 活动三：外侧周长 = 2π(r + 1)，花坛周长 = 2πr。差 = 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（m）。小红对。小明错在把 2π(r+1) 展开时，没有用 2π 分别乘 r 和 1。 【分层课堂练习】 基础：1. 2π。2. 2π×2 = 4π（m）。3. 错，增加长度都是 2π m，与半径无关。 提升：1. 正方形每边增加 2 m，周长增加 8 m。结论：正方形扩建后周长增加量与边长无关（固定 8 m），而圆形固定增加 2π m。2. 外沿周长 = 2π(r + 1.5) m。 拓展：增加 2πn m。 ◆ 第6课时 整理与复习 · 参考答案 参考答案 【一、课前热身（前置诊断）】 1. 得分 = 2a + b。 2. 1+2n（或 3+2(n-1)）；两种形式等价。 3. 其余三个数分别为 a+1、a+7、a+8。 【二、探究新知（综合练习）】 1. b 天共读 ab 页；还剩（ab-c）页。 2. 需要 1+2n 根；n=20 时为 41 根；51=1+2n，n=25（个）。 3. 四个数和 = a+(a+1)+(a+7)+(a+8) = 4a+16；若和为 60，则 4a+16=60，a=11。 4. 外侧周长 2π(r+1)，花坛周长 2πr，差 = 2πr+2π-2πr = 2π（m），与 r 无关。 5. b = 2a+3；a=10 时 b=23；b=15 时 2a+3=15，a=6。 【三、分层课堂练习】 基础：1. 3a；3a+2b。 2. 2n+2；18。 3. 5y。 4. 错，同一规律可有不同但等价的字母式子（如 1+2n 与 3+2(n-1)）。 提升：1. 设最小数 a，和 = 4a+16=48，a=8。 2. 设中间一天 x，则 (x-1)+x+(x+1)=42，3x=42，x=14，三天为 13、14、15。 3. 正方形每边增加 2 m，周长增加 8 m，与边长无关；圆形固定增加 2π m，也与半径无关，但数值不同。 拓展：1. 3×3 框 9 个数之和 = 9m（上下左右各数均对称于 m）。 2. 增加 2πn m。 学科网（北京）股份有限公司 $