专题02 离散型随机变量及其分布列与数字特征（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过6大题型系统构建离散型随机变量的分布列与数字特征解题体系，强化性质应用与实际问题建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分布列性质|1典例+3变式|定义验证法、概率和为1性质应用|从分布列概念到性质应用，夯实基础| |求概率|1典例+3变式|分布列直接读取、事件概率计算|分布列与概率求解的直接关联| |均值与方差|1典例+3变式|定义法计算、公式法简化|从定义到公式，深化数字特征理解| |均值方差性质|1典例+3变式|性质法（E(aX+b)=aE(X)+b等）|性质推导与灵活应用| |求参数|1典例+3变式|方程思想（利用均值方差列方程）|性质与方程结合的综合应用| |实际应用|1典例+3变式|建模法（随机变量设定、分布列构建）|从数学模型到现实问题解决|

专题02 离散型随机变量及其分布列与数字特征 （题型突破·举一反三） 题型01 利用随机变量分布列的性质 题型02 由随机变量的分布列求概率 题型03 求离散型随机变量的均值与方差 题型04 离散型随机变量的均值与方差的性质 题型05 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 题型06 均值与方差的实际应用 ▌题型01 利用随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 【典例1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·广西柳州·期末）（多选）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·北京西城·期末）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 0 1 2 3 则__________；__________. ▌题型02 由随机变量的分布列求概率 【典例2】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·山东济宁·期末）已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知随机变量的分布列为: 设函数 ，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． ▌题型03 求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 【典例3】（25-26高二下·山东淄博·期末）甲、乙两名同学从6门选修课中各自任选3门，记为被甲或乙选中的选修科目数量，则数学期望为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·四川眉山·期末）已知集合，甲、乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望________． 【变式3-2】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二下·贵州黔西南·期末）（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（    ） X 1 2 3 4 P A． B． C． D． ▌题型04 离散型随机变量的均值与方差的性质 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【典例4】（25-26高二下·北京·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则__________． 【变式4-1】（25-26高二下·新疆喀什·期中）设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的概率分布如下表，则（     ） 1 2 3 0.3 0.3 A．0.6 B．2 C．2.4 D．5 【变式4-3】（25-26高二下·河北石家庄·期末）（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． ▌题型05 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 【典例5】（25-26高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 0.2 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·四川南充·期末）已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ） x 1 2 3 P 其中 A．2 B．0.6 C．5 D．2.4 【变式5-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表，且，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 A． B． C． D． ▌题型06 均值与方差的实际应用 【典例6】（25-26高二下·安徽阜阳·期末）某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票. (1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为，求的分布列与期望. (2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了? ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了? 【变式6-1】（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 离散型随机变量及其分布列与数字特征 （题型突破·举一反三） 题型01 利用随机变量分布列的性质 题型02 由随机变量的分布列求概率 题型03 求离散型随机变量的均值与方差 题型04 离散型随机变量的均值与方差的性质 题型05 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 题型06 均值与方差的实际应用 ▌题型01 利用随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 【典例1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布的性质及概率分布的基本特征，列出方程，求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以，解得， 所以. 【变式1-1】（25-26高二下·广西柳州·期末）（多选）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，本题中的取值只有0,1,2， 因此，故选项A正确； 选项B：将代入分布列公式求和得，解得，故选项B正确； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误. 【变式1-2】（25-26高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由随机变量的分布列性质求解． 【详解】由随机变量分布列性质得： ，解得， 则 【变式1-3】（25-26高二下·北京西城·期末）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 0 1 2 3 则__________；__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 设事件表示“第种产品受欢迎”，， 由题意得，且相互独立， 根据题意， 化简得，即， 又，化简得， 所以. ▌题型02 由随机变量的分布列求概率 【典例2】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用离散型随机变量分布列的概率和为1的性质求出参数m，再计算X取1、2的概率之和即可. 【详解】.将（）代入得： 得，解得， 事件等价于或，两事件互斥， 因此 . 【变式2-1】（25-26高二下·山东济宁·期末）已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以. 【变式2-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知随机变量的分布列为: 设函数 ，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，分区间讨论时的取值，再求其值域即可. 【详解】当时，只包括一种情况，所以； 当时，包括和两种情况， 所以； 当时，包括三种情况， 所以. 故函数的值域为. 【变式2-3】（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将转化为的取值范围，再利用离散型随机变量分布列的概率性质计算对应概率和即可. 【详解】由，解得，即， 利用分布列性质：离散型随机变量所有取值的概率之和为1， 因此， 即. ▌题型03 求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 【典例3】（25-26高二下·山东淄博·期末）甲、乙两名同学从6门选修课中各自任选3门，记为被甲或乙选中的选修科目数量，则数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将6门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，，， 则， 又，， ， 所以． 【变式3-1】（25-26高二下·四川眉山·期末）已知集合，甲、乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望________． 【答案】 【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为，确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望； 【详解】的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【变式3-2】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的性质求出，然后利用平均数和方差计算公式求解即可. 【详解】由题知，， 所以，， 所以. 【变式3-3】（25-26高二下·贵州黔西南·期末）（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（    ） X 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案. 【详解】由题意可知，，解得或． 当时，，不符合题意，故，A不正确，B正确. ，C正确． ， 则．D正确． ▌题型04 离散型随机变量的均值与方差的性质 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【典例4】（25-26高二下·北京·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则__________． 【答案】0 【详解】由题意知，， 所以. 【变式4-1】（25-26高二下·新疆喀什·期中）设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据期望定义计算 ，求解参数，从而求出期望，利用期望的性质即可求解. 【详解】由题意得， 代入分布列的概率得 ， 已知 ，因此列方程 ， 解得 ，满足 ，符合条件； 所以期望为， 因此得到. 【变式4-2】（25-26高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的概率分布如下表，则（     ） 1 2 3 0.3 0.3 A．0.6 B．2 C．2.4 D．5 【答案】C 【分析】先求出数学期望及方差，再应用方差性质计算求解. 【详解】根据概率分布得，解得， 计算得，， 根据方差性质得. 【变式4-3】（25-26高二下·河北石家庄·期末）（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用两点分布的概率性质、两点分布期望方差公式，结合期望和方差的线性运算性质，逐一计算验证各选项得出结论. 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. ▌题型05 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 【典例5】（25-26高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 0.2 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质可知，，又由，可得， 联立，解得. 【变式5-1】（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 【变式5-2】（25-26高二下·四川南充·期末）已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ） x 1 2 3 P 其中 A．2 B．0.6 C．5 D．2.4 【答案】D 【详解】 ， ， ， ， ， 故选项D正确. 【变式5-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表，且，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先利用概率和为1、期望公式联立解出参数，再套用线性变换公式快速计算期望和方差. 【详解】选项A、B，依题意，解得，A错误，B正确. 选项C，，所以 ，C正确. 选项D，， 所以，D错误. ▌题型06 均值与方差的实际应用 【典例6】（25-26高二下·安徽阜阳·期末）某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票. (1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为，求的分布列与期望. (2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了? ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了? 【答案】(1)分布列为 X 10 20 30 40 50 60 80 P E(X)=40 (2)①五一期间的门票收入减少了，理由如下： 假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间的客流量为n人，则门票收入为元，举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入减少了. ②五一期间总收入增加了，理由如下： 每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为30×+40×+60×=， 不举行抽奖活动，该景区在五一期间的总收入为n=n， 举行抽奖活动后，该景区在五一期间的总收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了. 【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加． 【详解】（1）由题意得X的取值可以是10，20，30，40，50，60，80. ，=，=， =，=，=， =， 所以X的分布列为 X 10 20 30 40 50 60 80 P 10×+20×+30×+40×+50×+60×+80×=40. （2）①略 ②略 【变式6-1】（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【答案】(1)该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； (2)自研方案、采购方案的期望收益分别为万元、 万元； (3)选择自研方案，理由如下： 由（2）所得的期望知，故该公司应选择自研方案. 【分析】（1）根据已知及全概率公式分别求出两种方案对应的用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； （2）结合（1）所得概率，及表格数据求两种方案对应的期望收益； （3）由（2）所得并比较大小，即可得结论. 【详解】（1）若事件分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”， 对于自研方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； 对于采购方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； （2）由题设及（1），自研方案期望收益为万元， 采购方案期望收益为万元； （3）略 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 【答案】玻璃底片测量的结果比较好 【分析】分别计算玻璃底片及软片底片测量结果的均值与方差，再结合均值及方差的定义判断求解. 【详解】玻璃底片测量结果的均值与方差为： ， ． 软片底片测量结果的均值和方差为： ， ． ∵，， 玻璃底片测量的结果比较好． 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 【答案】(1)①，②分布列见解析，40 (2)设计见解析，理由见解析 【分析】(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论. 【详解】（1）设顾客获得的奖励额为． ①依题意，得，即顾客所获的奖励额为60元的概率是． ②依题意，随机变量的可能取值为． ． 得的分布列如下： 所以顾客所获的奖励额的期望为 （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．所以，先寻找期望为元的可能方案： 当球的面值为元和元时， 若选择方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为； 若选择方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是． 因此可能的方案是，记为方案． 当球的面值为元和元时，同理可排除、的方案， 所以可能的方案是，记为方案． 以下是对两个方案的分析： 对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，的可能取值为． 得的分布列如下： 的期望为 的方差为 对于方案，即方案，设顾客所获得奖励额为，的可能取值为． 得的分布列如下： 的期望为 的方差为 由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差要比方案的小， 所以应该选择方案，即标有面值元和面值元的球各两个． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $