7.3.1 离散型随机变量的均值（题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 题型一：求离散型随机变量的均值 1．已知的分布列如下表，则__________. 2 3 2．设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则______. 4．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 5．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.1 0.1 则（　　）． A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8 题型二：利用均值定义和性质求参 1．若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 2．已知随机变量的分布列如表，则______. X 1 2 P m 0.5 0.2 3．已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 4．设，则______ 5．已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 6．已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 题型三：两点分布的均值 1．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 2．一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 3．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 4．若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 5．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 题型一：离散型随机变量均值的实际应用 1．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 3．某棉纺厂为检测生产的棉花质量，从一批棉花中随机抽取了根棉花纤维测量它们的长度棉花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标，所测得数据都在区间单位：中，其频率分布直方图如图所示，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的均值为______． 4．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 5．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品. （1）求这箱产品被用户接收的概率； （2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望． 1．随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列如下表，求a ， b的值. X 0 1 P 0.5 a b 3．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则_____． 4．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 产品B 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q 注：p＞0，q＞0 （1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围； （2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1 离散型随机变量的均值 题型一：求离散型随机变量的均值 1．已知的分布列如下表，则__________. 2 3 【答案】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求期望即可. 【详解】由分布列的性质有，得，从而， 故答案为： 2．设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由期望公式计算求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：B. 3．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则______. 【答案】 【分析】根据分布列及期望的求法求随机变量的期望. 【详解】由分布列，有. 故答案为： 4．已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 5．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.1 0.1 则（　　）． A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8 【答案】D 【分析】先根据概率之和等于1，求得，再结合期望的公式求出． 【详解】依题意可得， 所以． 故选：D. 题型二：利用均值定义和性质求参 1．若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【分析】由数学期望的性质即可求解． 【详解】， 故选：C． 2．已知随机变量的分布列如表，则______. X 1 2 P m 0.5 0.2 【答案】 【分析】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【详解】由分布列的性质可知，解得， 所以， 可得. 故答案为：. 3．已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得， 所以， 可得. 故选：D 4．设，则______ 【答案】3 【分析】由离散性随机变量均值的性质公式，可得答案. 【详解】． 故答案为：3 5．已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用期望的公式及性质计算即可. 【详解】由题意可知， ∵，∴. 故选：A 6．已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解. 【详解】由题可知，解得. 所以， 所以. 故选：A 7．（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得的值，再利用期望公式与期望的性质求解即可. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 题型三：两点分布的均值 1．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 2．一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 4．若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 5．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，根据计算得到答案. 【详解】随机变量服从参数为的两点分布，则， . 故选：C 6．设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【详解】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 题型一：离散型随机变量均值的实际应用 1．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 【答案】4760 【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得. 【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为， 一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝， 所以一年后公司收益的期望为 （元）. 故答案为：4760. 3．某棉纺厂为检测生产的棉花质量，从一批棉花中随机抽取了根棉花纤维测量它们的长度棉花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标，所测得数据都在区间单位：中，其频率分布直方图如图所示，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的均值为______． 【答案】/ 【分析】，计算出样本中长度超过的棉花纤维的数量，求出从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率，再根据的可能取值为，，，，求期望即可． 【详解】解：长度超过的棉花纤维共有：根，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率为， 从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的可能取值为，，，， 因为,故 故答案为：． 4．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 【答案】(1) X 1 2 3 (2) 【分析】（1）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列；（2）在第一问的基础上求出均值. 【详解】（1）随机变量的所有取值是 ， X 1 2 3 （2） 5．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品. （1）求这箱产品被用户接收的概率； （2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2） 【详解】解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件， 即这箱产品被用户接收的概率为． （Ⅱ）的可能取值为1，2，3． =， =， =， ∴的概率分布列为： 1 2 3 ∴=． 1．随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得. 【详解】由题意，①，②， 联立① ② ，解得：. 故选：A. 2．已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列如下表，求a ， b的值. X 0 1 P 0.5 a b 【答案】 【分析】先由期望的性质结合求出，再根据期望公式及分布列的性质得到关于的方程组，进而即可得解. 【详解】由题意可得， 则有，解得. 故. 3．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则_____． 【答案】 【分析】首先求，再根据期望公式，即可求解. 【详解】因为 ，所以 ， 解得：． 故答案为： 4．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 5．某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 产品B 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q 注：p＞0，q＞0 （1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围； （2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？ 【答案】（1）； （2）当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个； 当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A； 当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B． 【分析】（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解； （2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况. 【详解】（1）记事件A为“甲选择产品A且盈利”，事件B为“乙选择产品B且盈利”，事件C为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则，． 所以，解得． 又因为，q＞0，所以． 所以． （2）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），则随机变量X的分布列为 X 4 0 -2 p 则． 假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），则随机变量Y的分布列为 Y 2 0 -1 p p q 则． 讨论： 当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个； 当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A； 当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $