6.2 离散型随机变量及其分布列 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以数学眼光观察现实情境，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从离散型随机变量概念理解到分布列综合应用的递进式知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|随机变量取值、事件表示、分布列性质|选择题（1-5）聚焦概念辨析，如第2题结合象棋比赛情境理解事件含义| |技能应用|分布列计算、性质判断、简单概率|填空题（7-9）与多选题（6）强化运算能力，如第3题通过Y=2X-2考查分布列转化| |综合拓展|实际问题建模、复杂分布列构建|解答题（10-16）提升数学思维，如第16题结合不等式解集构建随机变量分布列|

2 离散型随机变量及其分布列 1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出2个球，设2个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（　　） A.5　　　　　　　　　 　B.9 C.10 D.25 2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（　　） A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 3.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.1 m 0.3 0.2 若随机变量Y＝2X－2，则P（Y＝2）＝（　　） A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 4.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y∈N）代替，分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P（ ＜X＜）＝（　　） A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55 5.（多选）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ＝4}包含的随机试验的结果有（　　） A.2枚都是4点 B.1枚是1点，另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.2枚中必有1枚是4点 6.（多选）下列表格中，是某个随机变量的分布列的是（　　） A. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B. X －2 0 2 4 P 0.4 0.2 0.3 0.1 C. X 1 2 3 P － D. X 1 2 3 P lg 2 lg 2 lg 7.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有　　　　个. 8.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，那么P（X＝1）＝　　　　，n＝　　　　. 9.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P（X＜2）＝　　　　. 10.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答.某选手抽到科技类题目的道数为X. （1）试求出随机变量X的可能取值； （2）{X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？ 11.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P（X＝k）＝（　　） A. B. C. D. 12.随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a b c 其中a＋c＝2b，则函数f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为（　　） A. B. C. D. 13.（多选）设离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 则下列各式正确的是（　　） A.P（X＝1.5）＝0 B.P（X＞－1）＝ C.P（0≤X＜2）＝ D.P（X＜0）＝0 14.若随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P的值为　　　　. 15.某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示： 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列及P（X≥4）的值. 16.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. （1）设“使得m＋n＝0成立的有序实数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的样本点； （2）设ξ＝m2，求ξ的分布列. 2.1　随机变量 2.2　离散型随机变量的分布列 1.B　号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种. 2.D　由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1两种情况，也即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D. 3.A　由离散型随机变量的分布列的性质得0.1＋0.1＋0.2＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，∵随机变量Y＝2X－2，∴P（Y＝2）＝P（X＝2）＝0.3. 4.B　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P（ ＜X＜）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.35. 5.BC　由题意得，抛掷2枚骰子，{ξ＝4}表示掷出的1枚是1点，另1枚是3点或者2枚都是2点，故选B、C. 6.ABD　由离散型随机变量分布列的性质可知，A、B、D正确.C中，P（X＝1）＜0不符合P（X＝xi）＞0的特点，也不符合P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝1的特点，所以C中表格不是随机变量的分布列. 7.24　解析：后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有＝24（个）. 8.0.1　10　解析：由题意知P（X＜4）＝3P（X＝1）＝0.3，∴P（X＝1）＝0.1，又nP（X＝1）＝1，∴n＝10. 9.　解析：P（X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝＝. 10.解：（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3. （2）{X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”. 从三类题目中各抽取一道，不同的结果有＝180（种）. 抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有＝180（种）. 抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有＝18（种）. 由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378（种）. 11.B　{X＝k}表示第k次恰好打开，前k－1次没有打开，∴P（X＝k）＝××…××＝. 12.B　由题意知解得b＝.∵f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P（ξ＝1）＝.故选B. 13.AB　∵事件{X＝1.5}不存在，∴P（X＝1.5）＝0，A正确.∵P（X＞－1）＝1－P（X＝－1）＝，∴B正确.∵P（0≤X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝，P（X＜0）＝P（X＝－1）＝，∴C、D均不正确.故选A、B. 14.　解析：∵P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），∴＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝a＝. 15.解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X＝1}表示“不及格”，{X＝2}表示“及格”，{X＝3}表示“中等”，{X＝4}表示“良”，{X＝5}表示“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列如表所示： X 1 2 3 4 5 P P（X≥4）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＝. 16.解：（1）由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x｜－2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的样本点为（－2，2），（2，－2），（－1，1），（1，－1），（0，0）. （2）由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有 P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝， P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝9）＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $