专题01 条件概率与全概率（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统构建条件概率、独立性、全概率及贝叶斯公式的解题体系，通过典例变式实现逻辑推理与应用意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率|1典例+3变式|定义法（P(AB)/P(A)）、缩小样本空间法（缩-数-算步骤）|从条件概率定义出发，通过样本空间转化理解概率本质| |乘法公式与独立性|1典例+3变式|乘法公式（P(AB)=P(A)P(B|A)）、独立性判定（P(B|A)=P(B)）|延伸条件概率，建立事件独立性与积事件概率的关联| |全概率|1典例+3变式|化整为零策略（拆分样本空间→计算各部分概率→求和）|利用互斥事件分割样本空间，实现复杂概率的分步求解| |贝叶斯公式|1典例+3变式|逆概率计算（P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)/ΣP(Aj)P(B|Aj)）|基于全概率公式逆向推理，解决“结果推原因”的概率问题|

专题01 条件概率与全概率 （题型突破·举一反三） 题型01 条件概率 题型02 乘法公式与事件的独立性 题型03 全概率 题型04 贝叶斯公式 ▌题型01 条件概率 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 【典例1】（25-26高二下·河北唐山·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确. 对于B：， 变形可得，故B错误. 对于C：，故C正确. 对于D：，则有， 故，故D正确. 【变式1-1】（25-26高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 【答案】 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，则， 事件表示甲乙两人都去A景点，则， 所以. 【变式1-2】（25-26高二下·江西吉安·期末）（多选）已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（     ） A．若，则事件A与B为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得， 则事件与互斥，但不能得到与一定对立，故A错误； 对于B，，得， 则，故B正确； 对于C，由，，， 得，故C正确； 对于D，已知，得；， 得； ，得 ，故D正确. 【变式1-3】（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对按除以3余数分3类，分别求出满足事件的样本数，满足的样本数，进而求出． 【详解】按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个； 余数2：2，5，8，共3个， 事件“至少有一个数为3的倍数”， 总选法为种； “这三个数都不是3的倍数”，选法为种； 则满足事件的样本数为， 事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”： 三个同余，共种； 三个余数各不同，共种； 其中无3的倍数且和为3的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种， 故满足的样本数为， 故． ▌题型02 题型02 乘法公式与事件的独立性 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 【典例2】（25-26高二下·广东·期末）（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】ABD 【分析】根据独立事件的概率运算公式，结合和事件的概率运算公式逐一判断即可. 【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确； 对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确； 对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为， 三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为 ， 若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为 ， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 【变式2-1】（25-26高二下·天津南开·期末）已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 【答案】D 【分析】根据已知及有无放回，利用古典概型的概率求法及独立事件乘法公式、互斥事件加法、独立事件的定义依次判断各项的正误. 【详解】A：甲摸到红球的概率且有放回，乙摸球时口袋中球的情况没有变化， 所以乙摸到红球的概率，故，正确， B：甲摸到红球的概率且不放回， 乙摸到红球可以分为两种情况： 甲摸到红球的概率，乙摸到红球的概率为，则， 甲摸到白球的概率，乙摸到红球的概率，则， 所以乙摸到红球的总概率，故，正确， C：由A分析知且放回，甲摸到红球对乙摸球没有影响， 所以，故，正确， D：由B分析知且不放回，已知甲摸到红球后，袋中剩余2个球（1红1白）， 此时乙摸到红球的概率为，显然，即，错误. 【变式2-2】（25-26高一下·河南许昌·期末）（多选）设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若和互斥，则和一定相互独立 B．若，则 C．若和相互独立，则和一定不互斥 D． 【答案】BC 【分析】根据互斥事件、独立事件的概率定义辨析A、C，利用子集事件的概率加法公式推导B，举例判断D． 【详解】对于A，若互斥，则； 若相互独立，则（）， 所以互斥一定不独立，A错误； 对于B，若，则，且与互斥， 由概率加法公式：，而， 所以，B正确； 对于C，若相互独立，则， 说明，即不可能互斥（互斥要求），C正确； 对于D，举反例：设样本空间，，，，，D错误． 【变式2-3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 ▌题型03 全概率 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 【典例3】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【答案】 【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”． 由题意可得：，，，，，． 根据全概率公式可得：， 即， 则他能晋级的概率为． 根据贝叶斯公式可得：， 则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为． 【变式3-1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”.某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买的是蛋黄粽子，则第天买豆沙粽子的概率为.则张同学第天买豆沙粽子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第天吃豆沙粽子为事件，第天吃蛋黄粽子为事件，根据全概率公式即可求解. 【详解】设第天吃豆沙粽子为事件，第天吃蛋黄粽子为事件， 所以，， 所以. 【变式3-2】（25-26高二下·山东菏泽·期末）（多选）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽1道题，抽出的题不放回，设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则事件“第1次抽到几何题”，“第2次抽到代数题”， 得，，，故选项A正确； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，，故选项C正确； 选项D：，，，， 由全概率公式得，故选项D正确. 【变式3-3】（25-26高二下·四川成都·期末）小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（      ） A．0.16464 B．0.15 C．0.189993 D．题目条件不足，无法求出最后答案 【答案】D 【分析】分别用字母表示事件，根据条件概率及全概率公式分析求解. 【详解】记表示第一天吃巧乐兹，则， 表示第一天喝雪碧，则， 表示第二天吃巧乐兹；表示第二天不吃巧乐兹， 表示第二天喝雪碧. 则，， 所以. 连续两天吃巧乐兹=第一天吃巧乐兹且第二天也吃巧乐兹， 由，，所以只需求. 在第一天吃巧乐兹的前提下，第二天分两种互斥情况：第二天喝雪碧、第二天不喝雪碧. 所以 已知，， , 但题目未给出条件概率，故无法完成计算. ▌题型04 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 【典例4】（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 【变式4-1】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 【变式4-2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 【变式4-3】（25-26高二下·广东阳江·期末）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（     ） A．第二天选择甲餐厅用餐的概率为 B．第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为 C．若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为 D．若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为 【答案】ABD 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择甲餐厅用餐，表示张同学第二天选择甲餐厅用餐， 表示张同学第一天选择乙餐厅用餐，表示张同学第二天选择乙餐厅用餐. 则，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D， 因为，故D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率与全概率 （题型突破·举一反三） 题型01 条件概率 题型02 乘法公式与事件的独立性 题型03 全概率 题型04 贝叶斯公式 ▌题型01 条件概率 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 【典例1】（25-26高二下·河北唐山·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 【变式1-2】（25-26高二下·江西吉安·期末）（多选）已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（     ） A．若，则事件A与B为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1-3】（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（    ） A． B． C． D． ▌题型02 题型02 乘法公式与事件的独立性 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 【典例2】（25-26高二下·广东·期末）（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【变式2-1】（25-26高二下·天津南开·期末）已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 【变式2-2】（25-26高一下·河南许昌·期末）（多选）设是两个概率大于的随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若和互斥，则和一定相互独立 B．若，则 C．若和相互独立，则和一定不互斥 D． 【变式2-3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． ▌题型03 全概率 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 【典例3】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【变式3-1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”.某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买的是蛋黄粽子，则第天买豆沙粽子的概率为.则张同学第天买豆沙粽子的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·山东菏泽·期末）（多选）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽1道题，抽出的题不放回，设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二下·四川成都·期末）小A第一天吃巧乐兹的概率是0.24，第一天喝雪碧的概率是0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是0.3，请问小A连续两天吃巧乐兹的概率（      ） A．0.16464 B．0.15 C．0.189993 D．题目条件不足，无法求出最后答案 ▌题型04 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 【典例4】（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·广东阳江·期末）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（     ） A．第二天选择甲餐厅用餐的概率为 B．第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为 C．若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为 D．若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $