6.1.1 条件概率的概念-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §1　随机事件的条件概率 1．1　条件概率的概念 知识点一　条件概率的计算 1．已知P(A)＝，P(AB)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　根据条件概率公式得P(A|B)＝＝＝．故选C． 2．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(B∩C)＝，P((A∪B)|C)＝，则P(A|C)＝________． 答案　 解析　由题意知，P((A∪B)|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝，P(B|C)＝＝＝，则P(A|C)＝P((A∪B)|C)－P(B|C)＝－＝． 知识点二　条件概率的应用 3．将一枚硬币任意抛掷两次，记事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“第二次出现正面”，则P(B|A)＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　B 解析　两次抛掷硬币的结果为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种情况，∴P(A)＝＝，P(AB)＝．由条件概率公式得P(B|A)＝＝． 4．抛掷一个骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设“抛掷一个骰子出现的点数不超过4”为事件A，“抛掷一个骰子出现的点数是奇数”为事件B，则P(B|A)＝＝＝．故选D． 5．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________． 答案　 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥，又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＋＝． 6．抛掷红、蓝两个骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为5或6”；事件B为“两骰子的点数之和大于7”．求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)． 解　用数对(x，y)表示抛掷结果，其中x表示红色骰子的点数，y表示蓝色骰子的点数，则样本空间可记为Ω＝{(x，y)|x，y＝1，2，3，4，5，6}，而且样本空间可用图直观表示，图中每一个点代表一个样本点．样本空间中，共包含36个样本点． 不难看出，A包含的样本点即图中矩形框中的点，共12个，因此P(A)＝＝；而B包含的样本点即为图中三角框中的点，B∩A共包含9个样本点，从而P(AB)＝＝． 因此P(B|A)＝＝＝． 7．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 解　(1)记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)， 从6名成员中挑选2名成员有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为AB，AC，AD，Aa，Ab，共有5种，故P(M)＝＝． (2)记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，则P(MN)＝， 由(1)知P(M)＝，故P(N|M)＝＝． (3)由(1)知，记“挑选的两人一男一女”为事件S，则P(S)＝， “女生乙被选中”为事件N，则P(SN)＝， 故P(N|S)＝＝． 一、选择题 1．已知P(B|A)＝0．3，则P(|A)＝(　　) A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7 答案　D 解析　由条件概率表示的含义知，P(|A)＝1－P(B|A)＝0．7．故选D． 2．抛掷一个质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵A∩B＝{2，5}，∴n(AB)＝2．又n(B)＝5，∴P(A|B)＝＝． 3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0．5，两个路口连续遇到红灯的概率为0．4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，在第二个路口遇到红灯的概率为(　　) A．0．6 B．0．7 C．0．8 D．0．9 答案　C 解析　记事件A＝{甲在第一个路口遇到红灯}，事件B＝{甲在第二个路口遇到红灯}．由题意得P(AB)＝0．4，P(A)＝0．5，所以P(B|A)＝＝＝0．8．故选C． 4．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中不放回地取出2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设“取出第一个球为红球”为事件A，“取出第二个球为黄球”为事件B，“取出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝．所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝．所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝．所以所求的条件概率为． 5．[多选]从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＝ B．P(A|B)＝1 C．P(B|)＝ D．P(A|)＝ 答案　ABD 解析　对于A，P(A)＝＝，P(AB)＝＝．由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝，故A正确；对于B，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝1，故B正确；对于C，P()＝1－P(A)＝，P(B)＝0，P(B|)＝＝0，故C错误；对于D，P()＝1－P(B)＝，P(A)＝＝，P(A|)＝＝＝，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取2名同学进行成果展示，则在抽到的第1名同学是男生的条件下，抽到的第2名同学也是男生的概率为________． 答案　 解析　设事件A表示“抽到的第1名同学是男生”，事件B表示“抽到的第2名同学是男生”，则由已知可得P(A)＝，P(AB)＝×＝，所以P(B|A)＝＝＝． 7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)＝________． 答案　 解析　小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，有33＝27种情况，所以小赵独自去一个景点的情况有4×27＝108种，因为4个人去的景点不完全相同的情况有44－4＝252种，所以P(B|A)＝＝． 8．若连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0．055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0．19，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为________． 答案　 解析　设事件A为“连续熬夜48小时诱发心脏病”，事件B为“连续熬夜72小时诱发心脏病”，由题意可知P(A)＝0．055，P(B)＝0．19，则P()＝0．945，P()＝0．81，由条件概率公式可得P(|)＝＝＝＝． 三、解答题 9．某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，且每人能否获得冠军是等可能的．已知只有一名女生获得冠军，求高一女生获得冠军的概率． 解　设事件A为一名女生获得冠军，已知A发生的条件下，A为试验的样本空间且样本点具有等可能性，事件B为高一女生获得冠军，且B是A的子集， 由题意n(A)＝3，n(B)＝1，因此P(B|A)＝＝． 10．有一种骰子游戏，某人掷两个骰子，若掷出的点数之和是7或11，则赢；若掷出的点数之和是2，3或12，则输；若掷出其他的点数和，则记下这个数，继续掷这两个骰子，直到掷出这个记下的数或者7为止，若是这个记下的数，则赢，若是7，则输．求此人赢的概率是多少？ 解　设第一次掷出的点数和为X，此人赢记为事件A，掷两个骰子一共有36种结果， 掷出的点数之和为2，3或12的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(6，6)，共4种结果， 掷出的点数之和为7的有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6种结果， 则P(X＝7)＝＝， 掷出的点数之和为11的有(5，6)，(6，5)，共2种结果， 则P(X＝11)＝＝， 同理可得P(X＝4)＝P(X＝10)＝， P(X＝5)＝P(X＝9)＝，P(X＝6)＝P(X＝8)＝， 要想游戏结束，从最终局考虑，比如第一次掷出的点数和为4，那么最终游戏只能以掷出点数和为4或7结束，若是4则赢，若是7则输，而任何一次掷出点数和为4的概率是，掷出点数和为7的概率是，则 P(A|X＝4)＝＝， 同理可得P(A|X＝10)＝＝， P(A|X＝5)＝P(A|X＝9)＝＝， P(A|X＝6)＝P(A|X＝8)＝＝， 又P(A|X＝7)＝P(A|X＝11)＝1， 所以P(A)＝P(A|X＝7)P(X＝7)＋P(A|X＝11)P(X＝11)＋P(A|X＝4)P(X＝4)＋P(A|X＝10)P(X＝10)＋P(A|X＝5)P(X＝5)＋P(A|X＝9)P(X＝9)＋P(A|X＝6)P(X＝6)＋P(A|X＝8)P(X＝8) ＝＋＋2＝，即此人赢的概率为． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$