专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式（压轴题4大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、古典概型 1 类型二、条件概率 3 类型三、全概率公式 5 类型四、贝叶斯公式 6 压轴专练 8 类型一、古典概型 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数； （2）求出事件包含的所有样本点的个数； （3）代入公式求解. 1．（25-26高二下·北京平谷·月考）现有包括甲在内的名志愿者在五一放假三天里到公园去服务，每人服务一天且每天都有人服务，那么在这三天里甲在第一天服务的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川绵阳·期末）某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择一门参加学习，每人选择每一门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州遵义·月考）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·海南海口·期末）在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·海南·月考）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型二、条件概率 条件概率的求解方法 1．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·期中）在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二下·山西晋中·月考）已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 9．（多选题）（25-26高二下·吉林四平·月考）若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 类型三、全概率公式 利用全概率公式求解概率的步骤 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ） A． B． C． D． 5．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 类型四、贝叶斯公式 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 3．（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 5．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 6．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏扬州·月考）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）某学校有四位教师，，，，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师被分配到班级4的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 5．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 7．（24-25高二下·广东湛江·期末）一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在某校新高考物理方向的学生中，有的同学选了生物学科，的同学选了地理学科，的同学选了生物学科或地理学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 10．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·福建龙岩·月考）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·山东·期末）设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 14．已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江西抚州·期末）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·海南海口·期中）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·山东淄博·月考）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（25-26高二下·江西吉安·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A．事件相互独立 B．事件互斥 C． D． 19．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、古典概型 1 类型二、条件概率 5 类型三、全概率公式 11 类型四、贝叶斯公式 15 压轴专练 19 类型一、古典概型 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数； （2）求出事件包含的所有样本点的个数； （3）代入公式求解. 1．（25-26高二下·北京平谷·月考）现有包括甲在内的名志愿者在五一放假三天里到公园去服务，每人服务一天且每天都有人服务，那么在这三天里甲在第一天服务的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列原理，求解概率. 【详解】甲在第一天服务的所有排列情况为， 名志愿者在放假三天里服务的所有排列情况为， 所以，甲在第一天服务的概率为. 2．（25-26高二上·四川绵阳·期末）某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择一门参加学习，每人选择每一门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算总基本事件数， 两人课程相同的事件数，得出两人课程不相同的事件数，得出所求概率. 【详解】甲、乙两人各从 5 门课程选 1 门，每人的选择有 5 种可能，总事件数为5×5=25， 两人课程相同的事件数为5， 则两人课程不相同的事件数为20， 则. 故选：D. 3．（24-25高二上·贵州遵义·月考）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类计数和间接法可得。 【详解】由题意可得，为阳数，为阴数， 若从这10个数中任取2个数，则共有种可能， 抽取的两个数中没有阴数，共有种， 从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为： ， 故选：D 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可. 【详解】设3双不同颜色的手套分别为，其中左手为，右手为， 则随机取出两个由15种不同的情况，分别为， 符合条件的有6种情况，分别为， 则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为； 故选：C. 5．（24-25高二下·海南海口·期末）在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得知第一次猜对的数字是8，它在个位上，9在十位或百位，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上，所以3不是密码中的数字； 第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上，则1，2不是密码中的数字； 则第一次猜对的数字是8，它在个位上，9在十位或百位， 若9在十位，则百位有四种情况； 若9在个位，则百位有五种情况； 所以可能的密码有9种，故所求为. 故选：B. 6．（25-26高二上·海南·月考）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式求出，即可求解. 【详解】将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次才能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为，则.故选：B. 7．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4.故选：C 类型二、条件概率 条件概率的求解方法 1．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 3．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 4．（24-25高二下·浙江·期中）在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式求出，利用条件概率的公式求出. 【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”， 题目给出，，， 则， 已知选了化学，所求为条件概率：. 5．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式和相互独立，求出，再由随机事件的概率加法公式求出，即得. 【详解】由, 因随机事件相互独立，则,代入上式，解得. 又因, 将代入，可得，解得. 又因相互独立，故. 6．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件. 则， ， 所以. 故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为. 7．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出和，利用条件概率公式即可求解. 【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 8．（多选题）（25-26高二下·山西晋中·月考）已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【答案】BC 【分析】对于A，结合相互独立事件、条件概率公式，即可判断；对于B，由题意可得，结合，从而可得，即可判断；对于C，结合对立事件及条件概率公式，即可判断；对于D，结合互斥事件及条件概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，且与互斥，所以， 所以, 又因为, 所以，故A正确； 对于B，因为，则， 所以, 只有当，即时，，即，故B错误； 对于C，因为，是对立事件， 所以，互斥，即，则, 根据条件概率公式，，故C错误； 对于D，因为，是互斥事件， 所以， 所以，故D正确. 9．（多选题）（25-26高二下·吉林四平·月考）若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则相互独立 B．若，，，则相互独立 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【答案】ABD 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 类型三、全概率公式 利用全概率公式求解概率的步骤 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】若取出的是甲袋，取到红球的概率为， 若取出的是乙袋，取到红球的概率为， 故取到的球为红球的概率是. 3．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式求解. 【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生， ，， 所以 . 5．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以 由全概率公式可得. 6．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 【答案】B 【分析】根据全概率公式列式求值. 【详解】抛掷两枚骰子，基本事件有个，其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是（选项B） 故选：B 7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【分析】先求出三种模式的时间占比，再求出每种模式误报警的概率，再由全概率公式即可求解. 【详解】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 【答案】A 【分析】先求第秒末设备处于各状态的概率，再由转移规则求出第秒末设备处于，， 三种状态的概率，最后利用全概率公式求第秒末发出警报的概率. 【详解】因为初始状态为，所以第秒末的状态分布为，，， 第秒末处于状态的概率为 ， 第秒末处于状态的概率为 ， 第 秒末处于状态的概率为 ， 检验可得， 第秒末发出警报的概率为 ， 所以第秒末设备发出警报的概率为. 类型四、贝叶斯公式 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 3．（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解. 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 4．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，利用全概率及贝叶斯公式计算概率即可． 【详解】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”， 则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”， ， ， 所以． 5．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 6．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 7．（23-24高二下·江苏扬州·月考）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得. 【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为， 从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 所以 所以， 即已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为. 故选：C. 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）某学校有四位教师，，，，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师被分配到班级4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举出所有等可能情况和符合条件的情况，再利用古典概型求解即可. 【详解】若每位教师不能继续任教原班级，依据教师情况去分配班级情况， 不改变教师的顺序，则有如下情况，， ， 共9种情况，符合条件的有3种，设教师被分配到班级4的概率为， 由古典概型公式可得，故B正确. 故选：B 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出具体的事件，事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意，由全概率公式可求出. 【详解】设事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意， 则事件：该医院的患者在线挂号，且，，, 由全概率公式可知. 故选：A 4．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 5．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等， 则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果， 若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等， 则①每个检测点均为一男一女通过，共有 ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女， 共有种不同的结果；种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为. 故选：B. 6．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 7．（24-25高二下·广东湛江·期末）一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在某校新高考物理方向的学生中，有的同学选了生物学科，的同学选了地理学科，的同学选了生物学科或地理学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】根据条件概率结合题意即可求出. 【详解】记：该同学选了地理学科，：该同学选了生物学科， 由题意得, 则． 则． 故选：A． 10．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 11．（23-24高二下·福建龙岩·月考）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 12．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 13．（25-26高二上·山东·期末）设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 【答案】B 【分析】利用概率加法公式与乘法公式以及条件概率的概率公式计算即可. 【详解】因为与相互独立，所以， 因为事件与互斥，所以，则， 因为，所以， 则， 故 故选：B 14．已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】记“恰好命中1次”为事件，记“抽取的球员为主力球员”为事件. 由题意得，. ，， 则. 15．（25-26高二上·江西抚州·期末）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 16．（24-25高二下·海南海口·期中）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出总的排列种数，然后求出2个0相邻的排列种数，进而得到2个0相邻的概率，最后即可求得2个0不相邻的概率. 【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排列种数为： . 2个0相邻的排列种数为第1，2位置，第2，3位置，第3，4位置，第4，5位置，第5，6位置，第6，7位置共6种. 所以2个0相邻的概率为. 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 17．（25-26高二上·山东淄博·月考）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 18．（多选题）（25-26高二下·江西吉安·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A．事件相互独立 B．事件互斥 C． D． 【答案】AC 【详解】事件相互独立的充要条件是， 由，，，结合， 可得：， 由，则，即事件相互独立，故A正确； 互斥事件充要条件是，这里，故B错误； 因为， 所以 ， 因为，所以，故C正确； 根据条件概率公式计算：， 因为， 所以，即，故D错误. 19．（多选题）（24-25高二下·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $