3.3探索与表达规律（综合提升练习）2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

3.3探索与表达规律（综合提升练习） 北师大版（2024）七年级数学上册 说明：本试题具有一定综合性与难度，旨在全面巩固本节核心知识点。题目可能涵盖本学期多章节内容，均选自近年校内考试真题，可助力提升综合解题能力。 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为4，则第一次输出的结果为1，第二次输出的结果为4，．．．，则第2025次输出的结果为（    ） A．4 B．1 C．2 D．16 2．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第15个图形用的火柴棒的根数是（   ） A．29 B．31 C．33 D．35 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）数学活动课上同学们一起探究了“自然数被3整除的规律”，梳理了如下的探究方法： 第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？比如：两位数，三位数，… 第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？先看两位数的情形：要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从先凑出能被3整除的数，根据，可知一定要被3整除；类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律． 根据以上探究方法思考：若自然数能被11整除，则x的值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片分割成个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，请你利用这个几何图形求的值为（   ）（结果用表示） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）把有理数a代入得到，称为第一次完美操作：再将作为a的值代入得到，称为第二次完美操作：……若，则经过第次完美操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D．0 6．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）西安市近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，它的分子结构图与结构简式如图1所示（由10个原子，8个原子组成）．按照这个规律，第20个图中C原子的个数为（   ） A．80 B．122 C．86 D．124 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察等式：，，，…，已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，若，用含的代数式表示这组数的和是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·河南南阳·月考）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1-图3所示．参照图1-图3，图4给出了的部分“竖式”，据此可得的值是（    ） A．92 B．88 C．84 D．91 10．（25-26七年级上·广东广州·月考）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,如图所示的是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．图1中有1个碳原子和4个氢原子；图2中有2个碳原子和6个氢原子；图3中有3个碳原子和8个氢原子……按照这一规律，则图的分子结构模型中碳原子个数是 ，氢原子的个数是 ． 12．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图为一列用木条砌成的有规律的立方体模型，下表为立方体次序与木条数量的部分对应关系． 立方体次序（第x个） … 木条数量（根） … 请你写出第个立方体次序的木条数量： ． 13．（25-26七年级上·北京·期中）有一行数2，0，2，3，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数2，2，0，，2，，3，称为第一次操作，再做第二次操作……经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过2025次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知这100个数中，每个数可以取值1或． （1）的最大值是 ． （2）能取到的最小正数是 ． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时， ；在此基础上继续探究，若，则 ． 三、解答题 16．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，再输入整数，显示的结果．比如依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果． (1)若小明依次输入，0，1，则显示_____； (2)若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为_____，所有显示结果的最大值为_____； (3)若小明依次输入四个连续整数，，，（其中为正整数），则显示结果为_____； (4)若小明将四个连续整数，，，（其中为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为_____； (5)若小明将1到2025这2025个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为_________． 17．（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）给出按一定规律排列的三组数（如下表）： 第一组 … 第二组 … 第三组 … (1)每组的第8个数从上到下依次是_________，_________，_________（用数字作答），第一组的第（为正整数）个数是_________（用含的代数式表示）； (2)求每组的第2025个数的和； (3)取每一组的第个数，从上到下依次记作a，b，c，对于任意正整数，判断代数式的值是否为定值，并说明理由． 19．（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 20．（25-26七年级上·北京·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D B B D B D B 1．B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键． 通过计算发现从开始的输出结果1、4循环，可知第2025次输出的结果与第1次输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为1， 第2次输出的结果为4， 第3次输出的结果为1， 第4次输出的结果为4， 第5次输出的结果为1， ， 从第1次开始每2次的输出结果循环一次， ∵， 第2025次输出的结果为1， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了图形的变化类，找对变化规律是解题的关键． 对于找规律的题目首先应找出每增加一个图形就增加2根火柴棒，进而求解即可． 【详解】解：第一个图形需要三根火柴棍，每增加一个图形就增加2根火柴棒， 第15个图形，需要根火柴棍． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据，得出当能被11整除时，自然数能被11整除，再根据，得出即可． 【详解】解：∵ ， ∴当能被11整除时，自然数能被11整除， ∵， ∴只有时，，正好能被11整除， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．由所给图形可知，面积为，、的面积和为，、、的面积和为，、、、的面积和为，据此规律求解即可． 【详解】解：边长为的正方形纸片的面积为， 由所给图形可知， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查规律探索，有理数的计算，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键．从初始值 开始，依次计算前几次操作的结果，发现从第四次操作开始，结果在和之间交替出现，形成循环．根据操作次数的奇偶性即可确定第次操作的结果． 【详解】解：∵ ， 第一次操作：， 第二次操作：， 第三次操作：， 第四次操作：， 第五次操作：， 第六次操作：， 第七次操作：， … ∴ 从第四次操作开始，结果以 交替循环， 即当操作次数 时，若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ． ∵ ，且 且为奇数， ∴ ． 故答案为 B． 6．B 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律． 根据图形规律求出图形的个数即可． 【详解】解：根据给出的示例图形可得， 第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为， 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出C原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图中C原子的个数为； 第2个图中C原子的个数为； 第3个图中C原子的个数为； …， 所以第n个图中C原子的个数为个． 当时，（个）， 即第20个图中C原子的个数为124个． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出运算规律． 通过观察等式规律，将给定数列的和提取公因式后进行整理，代入已知条件化简即可． 【详解】解：∵， ∴ 和， 根据示例得，， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查数字规律题，两位数平方的速算规律，找出两位数平方“竖式速算”的规律是解题关键． 根据题意，找出规律后确定m、n、x、y的值即可求解． 【详解】解：将两位数拆分为， 根据题图可知第一排从左向右依次填： 的十位数字，的个位数字，的十位数字，的个位数字； 第二排中间两格从左向右依次填： 的十位数字，的个位数字． 图4中第一排数字应为，第二排中间两格应为， ，，，， ． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了数字规律，根据图示，找出规律是关键． 根据题意得到第行第三个数的分母为，分子均是1，由此代入求值即可． 【详解】解：第一行共一个数字，第一个数字是， 第二行共二个数字，第一个数字是，第二个数字是， 第三行共三个数字，第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是， ∴分母依次是，分子均是1， 第四行共四个数字，第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是，第四个数字是， ∴分母依次是，分子均是1， ∴第行第三个数的分母为，分子均是1， ∴第10行的第三个数字的分母为，分子是1， ∴第10行从左边数第3个位置上的数是， 故选：B ． 11． / 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子个数为1，氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子个数为2，氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子个数为3，氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中碳原子个数为4，氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子个数为n，氢原子的个数为个， 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查了列代数式找图形规律问题，关键是发现规律；根据前几次立方体次序与木条数量的特点即可写出． 【详解】解：第个立体中木条数量为； 第个立体中木条数量为； 第个立体中木条数量为； 第个立体中木条数量为； ∴第个立体中木条数量为； 故答案为：． 13． 4 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给计算方式发现每操作一次，所得数的和比上一行所有数的和少是解题的关键． 令原来的四个数分别为，，，，通过计算发现规律即可解决问题． 【详解】解：原来这行数的和为：； 令原来四个数分别为， 则第一次操作所得数的和为：， 即第一次操作所得数的和为原来这行数的和加上首数与尾数的差， 所以第一次操作所得数的和为：； 令第一次操作所得数为： ，则第二次操作所得数的和为：， 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：； ……， 所以第次操作所得数的和为：， 当时，； 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 当时， 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 故答案为： ， ． 14． 5050 2 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当所有时，表达式取得最大值，即计算等差数列的和，即可作答． （2）表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，把第项的数记为（，且为正整数） 为使最大，需每个项取最大值， ∵，且这100个数中，每个数可以取值1或， ∴取，则表达式为 ， 此时； 故最大值为5050； （2）依题意，把第项的数记为（，且为正整数）， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． ∴是奇数还是偶数取决于： 若为奇数，则为奇数；若为偶数，则为偶数； 从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数， 因此始终为偶数； ∵能取到的最小正数， ∴偶数且是最小正数为， 验证：把每连续的8个数看作一组数： ； ； 依次类推，每连续的8个数之和为，即这样的一组数之和为0； 依题意，， 即100个数中有组这样的数， 100个数中剩下的4个数分别为， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． 则 故能取到的最小正数为， 故答案为：2． 15． 4 25 【分析】此题考查的是相交线形成的三角形个数，摸清数字的变化规律是解决此题的关键． 根据直线相交最多形成三角形的规律，表示k条直线相交最多组成的三角形个数，可知当时，；由规律可求得，化简变为，并将其代入到中即可求解． 【详解】解：由题意得，当时，此时三角形的个数为4个，即， 故答案为：4； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； ∴条直线相交最多组成的三角形的个数为， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：25． 16．(1)0 (2)0，4 (3)2 (4)0 (5)2025 【分析】根据运算规则和三个数输入的顺序进行计算即可； 把四个数按照不同的顺序输入进行计算，求出最大值和最小值； 按照顺序输入四个连续整数，，，按照计算规则进行计算求出结果； 把四个数按照不同的顺序进行计算，求出最小值； 根据、、、进行求差后再取绝对值，可得这四个数的运算结果最小为，由可得个连续正整数进行求差后再取绝对值的最小结果为，把从到中前个数每四个数分为一组，运算后的最小值为，最后只剩下，与求差再取绝对值的结果为． 【详解】（1）解：小明依次输入，，， 则有：，， 故答案为：； （2）解：小明将，，，，打乱顺序后一个一个地输入（不重复）， 则所有显示结果的最小值：，，， 最大值为：，，， 最小值为，最大值为， 故答案为：，； （3）解：显示的结果为：，，， 故答案为：； （4）解：显示的结果最小值为：，，， 故答案为：； （5）解：、、、，个连续的正整数进行求差后再取绝对值的运算的最小值为， 设个连续的正整数分别为、、、， 打乱顺序后一个一个地输入，可得最小值为，，， 是偶数且是的倍数， 又每次运算都是先求差再求绝对值， 每次运算的结果都是非负数， 要想使最后结果最大，则要前面运算的结果最小， 最小的非负数为， 要想使最后的结果最大，则前面的运算结果要取最小， 要使最后的结果最大，前面的运算结果要为， 先让：、、、，结合得进行求差后再取绝对值，得最小值为， ， 从到共有个数， 每个连续的正整数结合，进行求差后再取绝对值的最小值都为， 最后只剩下， ， 所有显示结果最大的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含有绝对值的运算规律问题，解决本题的关键是根据连续正整数每两个相邻的数相差，找到它们之间求差后再求绝对值运算结果的规律，根据规律进行计算． 17．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 18．(1)，，， (2)0 (3)代数式的值为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、代数式的化简求值，熟练掌握分析数列的符号与绝对值规律，推导通项公式是解题的关键． （1）分别分析三组数的符号、绝对值变化，推导第个数的表达式，再计算第8个数； （2）根据三组数的第个数规律，写出第2025个数并求和； （3）用表示三组数的第个数、、，代入代数式化简判断是否为定值． 【详解】（1）解：第一组：观察数： 符号：奇数项为负，偶数项为正，即符号由决定； 绝对值：，，，，是，，，，，； 故第一组第个数：． 第二组：观察数： 对比第一组对应项：，，，，； 故第二组第个数：第一组第个数． 第三组：时，； 时，； 时，； ； 故第三组第个数：． 第一组第8个数： ∵第一组第个数为， ∴当时，； 第二组第8个数： ∵第二组第个数为， ∴当时，； 第三组第8个数： ∵第三组第个数为， ∴当时，； 故答案为：，，，． （2）解：第一组第2025个数：， 第二组第2025个数：， 第三组第2025个数：， ； （3）解：代数式的值为定值，理由如下： 由（1）得，，， ， 故的值为定值． 19．(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，乘方的应用，数形结合思想， 对于（1），根据前三次变化规律可得答案； 对于（2），仿照（1）分别求出第n次截取后剩余，再用总数1减去剩余可得答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴； （3）解：如图 ∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 20．(1)3；1 (2)0或5或10或15或20 (3)0，1，2，3 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，数字类规律探索等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得， 不大于， 取绝对值，得， 当时，； 当时， 大于， 加，得， 大于， 加，得， 大于， 加，得， …… 大于， 加，得， 大于， 加，得， 不大于， 取相反数，得， 大于， 取倒数，得， 当时，； 故答案为：；； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是， 当时，则； 当时， 是输入的经过若干次加而来， （是正整数）， ， 输入的为0或5或10或15或20； 故答案为：0或5或10或15或20； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为，，，， 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $