重难点专题02 平面直角坐标系（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，构建“方法提炼+多情境题组”的平面直角坐标系专项训练，系统覆盖坐标表示与计算核心能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标系中点的表示|5大重难点（含坐标书写、距离计算等）|坐标书写“先横后纵”、距离取绝对值、象限符号规律、参数不等式组、描点分步操作|从点的坐标表示（基础概念）到距离、象限判断（性质应用），再到参数求解和描点（技能操作），层层递进| |坐标系中点的计算|4大重难点（含距离公式、规律探索等）|平行坐标轴距离用差值、任意两点用勾股公式、规律分横纵观察、中点坐标公式|从距离计算（基础运算）到实际位置表示、规律探索（综合应用），再到中点公式（拓展深化），逻辑连贯|

重难点专题02 平面直角坐标系 模块一、坐标系中点的表示 重难点一、写出直角坐标系中点的坐标 写坐标遵循 “先横后纵” 规则，先看点向 x 轴作垂线对应的横坐标，再看点向 y 轴作垂线对应的纵坐标，写成(x,y)格式。x 轴右侧为正数、左侧为负数，y 轴上方为正数、下方为负数。坐标轴上的点有一个坐标为 0，书写括号、逗号规范，避免横纵坐标写反。 1．（25-26七年级下·湖北随州·期末）如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2021八年级上·安徽六安·竞赛）若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在轴的负半轴上，为平面内一点，且，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点P的坐标是______． 7．（25-26七年级下·北京·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 8．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第______象限，其坐标为______． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为，牡丹园的坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系； (2)请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________； (3)表示的位置是__________（填地点名）； (4)已知游乐园，音乐台的坐标分别为和，请在图中标出，的位置． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 11．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，是由经过某种变换后得到的图形． (1)写出点的坐标：点______，点______，点_____． (2)若内任意一点经此变换得到对应点．观察点与对应点的坐标变化规律，则点的坐标______． (3)求四边形的面积． 12．（25-26七年级下·青海玉树·期末）如图是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆． (1)在网格中画出平面直角坐标系，并写出实验楼和校门的坐标； (2)在平面直角坐标系中，校门与图书馆相距________个单位长度． 13．（25-26七年级下·天津武清·期末）根据人民公园的平面示意图建立如下的平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据图上信息填空： ①音乐台位于点（__________，4）； ②望春亭位于点（，__________）； ③游乐园位于点__________． (2)根据以下提示，在图中标出东门、湖心亭、牡丹园（三者均在网格线的交点处）的位置： ①东门位于点； ②南门位于点，从南门向北走到达湖心亭； ③从湖心亭向北走，再向西走到达牡丹园． 重难点二、求点到坐标轴的距离 核心技巧：点P(x,y)到 x 轴距离是纵坐标的绝对值|y|，到 y 轴距离是横坐标的绝对值|x|。距离一定是非负数，做题切勿遗漏绝对值符号。已知距离反求坐标时，分正负两种情况讨论，结合象限符号特征筛选答案，防止漏解。 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则（    ） A．轴 B．轴 C．经过原点 D．轴 2．（25-26七年级下·天津北辰·期中）如图，直线a经过点，且轴，直线b经过点，且轴，直线a，b相交于点M，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 4．（2026·江苏南京·三模）下面四个点离 轴最近的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期中）对平面直角坐标中的任意点，称为的“共生点”，则以下结论中正确结论的序号有（    ） ①的“共生点”坐标为； ②若点的“共生点”在轴上，则点到坐标轴距离相等； ③如果一个点与它的“共生点”重合，那么这个点一定是原点； ④当坐标为，且时，为的“共生点”，三角形的面积为． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴，轴的距离的较小值称为点的“短距”．点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点” (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值． 8．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴、轴的距离的较小值称为点的“短距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值； (3)若点的短距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，点是否为“等距点”？如果是，请说明理由． 9．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和实数，称点是点的“阶关联点”．对于图形上一点，若图形上存在一点，满足点是点的“阶关联点”，则称图形是图形的“阶关联图形”．点，点 (1)点的“2阶关联点”坐标为___________； (2)若点的“阶关联点”与点的距离为4，求的值； (3)点，以为边向上作正方形，若该正方形是射线的“阶关联图形”，则的最大值为___________，最小值为___________． 重难点三、判断点所在的象限 熟记四象限符号规律：一象限(+,+)、二象限(-,+)、三象限(-,-)、四象限(+,-)。坐标轴上的点不属于任何象限。判断时分别观察横、纵坐标正负，对照符号规律快速定位。若坐标含参数，先根据条件判定参数正负，再判断象限。 1．（25-26七年级下·山西朔州·期末）在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图为石家庄市区部分景点的大致位置，以解放广场为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一处景点的坐标为，则该景点可能是（    ） A．华北军区烈士陵园 B．长安公园 C．民心广场 D．平安公园 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的A点的横纵坐标均为无理数，则点A坐标可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知点和点，下列结论正确的是（    ） A．点A和点B横坐标相同 B．点A和点B纵坐标相同 C．点A和点B所在象限相同 D．点A和点B到y轴距离相等 5．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）设． （1）若，则点P在________轴上； （2）若，则点P在________轴上． 7．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“和谐点”． （1）若点是“和谐点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“和谐点”； ②已知点，，若点是“和谐点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“和谐点”，三角形的面积记为，则． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 9．（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）设点P的坐标为，根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置： (1)； (2)； (3)． 重难点四、已知点所在的象限求参数 先根据象限对应横、纵坐标正负，列出不等式组。一象限横纵均大于 0，二象限横负纵正，三象限全负，四象限横正纵负。解不等式组得到参数取值范围，注意区分 “坐标轴上的点” 特殊情况，求出范围后代回验证，确保点符合对应象限要求。 1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26七年级下·四川凉山·期末）下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 4．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；②第二象限有无数个“1和点”；③x轴上没有“3和点”；④若第一象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，平面内，，，，，六个点，若，，则点的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26七年级下·重庆彭水·期末）点在轴上，则的值为______． 7．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，则______________________． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知点，，若，则点的坐标为___________． 9．（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，且直线轴，则线段的长为________． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍关系点”．例如，点的“2倍关系点”的横坐标为，纵坐标为，所以点的“2倍关系点”的坐标为． （1）已知点的“倍关系点”是点，则_________； （2）已知点的“倍关系点”是点，且点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为_________ 12．（2026·湖南张家界·二模）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 13．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在轴上，求点的坐标． 14．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点与轴的距离为，求的值； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求的面积． 15．（25-26七年级下·吉林延边·期末）已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P的横坐标比纵坐标小4； (3)点P到坐标轴的距离相等． 重难点五、坐标系中描点 描点严格按照坐标(x,y)分步操作：先在 x 轴找到横坐标对应刻度，作竖直辅助线；再在 y 轴找到纵坐标刻度，作水平辅助线，两线交点即为目标点。描点后标注坐标，区分正负刻度，负数向坐标轴反方向找点，辅助线轻画，保证点位精准不偏移。 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图是某一中学校园的平面示意图，已知育才楼的坐标是．（图中每个小正方形格的边长为1个单位长度） (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是，请在图中标出食堂和活动中心的位置； (3)写出校门和艺术中心的坐标． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东篱西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示，，并直接写出景点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在平面直角坐标系中标出，的位置． 3．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 4．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图是老北京城的一些地点分布示意图，已知东直门和宣武门的坐标分别为，． (1)在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出，表示的地点； (2)根据中所建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标； (3)根据中建立的平面直角坐标系，李华在安定门计划骑一辆共享单车，根据图中，，，四处单车的位置，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标？ 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 6．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，从体育馆出发，向北走4个单位长度，到达文化馆． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆D． ①在图中标出点D； ②连接，，，则的面积是_______． 模块二、坐标系中点的计算 重难点一、已知两点坐标求两点距离 两点分两种情况：平行坐标轴的点，横坐标相同用纵坐标差值绝对值，纵坐标相同用横坐标差值绝对值；任意两点套用距离公式。计算先算坐标差值，平方后求和再开方，简化运算，避免符号计算失误。 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在下列四个点中，到原点距离最远的点是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   6．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，已知点，，则线段的长为________． 7．（25-26八年级下·甘肃临夏·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 8．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； (3)已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 9．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图．在平面直角坐标系中，． (1)判断的形状； (2)请画出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中，画出线段关于轴对称的线段； (2)分别求的周长和面积，直接写出结果． (3)若另有一点，连接、，判断的形状，并说明理由． 11．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 重难点二、实际问题中用坐标表示位置 先设定坐标原点，结合场景确定 x、y 轴正方向，再将场景内物体对应横轴、纵轴刻度写出坐标。地图、场地类题型常结合比例尺，将实际长度转化为坐标数值。答题标注原点与坐标轴含义，坐标书写规范，结合实际场景检验坐标正负是否合理。 1．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ）    A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用表示“马”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列情形中，不能确定物体位置的是（     ） A．南偏西 B．江南路130号 C．座位3排5列 D．东经110°，北纬32° 6．（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图为珠海长隆海洋王国中的鲸鲨馆、北极熊馆和海豚湾剧场的大概位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若北极熊馆的坐标为，海豚湾剧场的坐标为，则鲸鲨馆的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）为展示我国强大的军力，面向青少年开展爱国主义教育，某科技馆在广场上空组织飞机模型公益活动．如图所示的是飞机模型试飞过程中的部分飞行队形，如果A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，那么飞机模型B的平面坐标是___________． 8．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点______． 9．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 10．（25-26七年级下·北京海淀·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 重难点三、点坐标规律探索 先列出题干给出所有点的完整坐标，横向、纵向分别观察横、纵坐标的数字变化，拆分奇偶、循环、等差等规律。用含 n 的代数式总结通用坐标，代入已知点验证规律成立后，再求解目标点位坐标。规律分横、纵坐标分开推导，降低找规律难度。 1．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第次跳动到点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 12．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 重难点四、中点坐标 牢记中点坐标公式：两点，中点M坐标为。解题分三类题型：已知两点求中点，直接代入求和平分；已知一点与中点反求另一点，逆向变形公式；线段中点相关几何题，优先套用公式简化计算。 1．（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 5．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 6．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 7．（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 平面直角坐标系 模块一、坐标系中点的表示 重难点一、写出直角坐标系中点的坐标 写坐标遵循 “先横后纵” 规则，先看点向 x 轴作垂线对应的横坐标，再看点向 y 轴作垂线对应的纵坐标，写成(x,y)格式。x 轴右侧为正数、左侧为负数，y 轴上方为正数、下方为负数。坐标轴上的点有一个坐标为 0，书写括号、逗号规范，避免横纵坐标写反。 1．（25-26七年级下·湖北随州·期末）如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，分别确定各点的坐标及所在象限，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：A、点A的坐标是，故本选项错误； B、点B在x轴上，纵坐标是0，故本选项正确； C、点C的横坐标是，故本选项正确； D、点D的坐标是，在第三象限，故本选项正确． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】利用已知点的坐标，建立直角坐标系，进而读出“东”的坐标即可. 【详解】解：∵“碧”“水”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系得： ∴“东”的坐标为. 3．（2026·贵州遵义·一模）在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】解：根据、建立平面直角坐标系， 则机器人的坐标是 4．（2021八年级上·安徽六安·竞赛）若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、中点坐标 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在轴的负半轴上，为平面内一点，且，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况，即点在轴下方或上方，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，点在轴上方， 点在第一象限的角平分线上， ， ， ； 如图，点在轴下方， 点在第一象限的角平分线上， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点P的坐标是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】解：由坐标系可得点P的坐标是． 7．（25-26七年级下·北京·期中）在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】解：根据、的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第______象限，其坐标为______． 【答案】 一 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据在原点求出x、y的值，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点的坐标为，且在原点， ∴，且， ∴，， ∴，， ∴点为，在第一象限， 故答案为：一；． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）春天到了，七年级（1）班组织同学到公园春游，出发前李明将部分地点的位置标注在平面直角坐标系中，如图所示，中心广场的坐标为，牡丹园的坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出建立的平面直角坐标系； (2)请写出下列各地点的坐标：竹林__________，湖心亭__________，西门__________； (3)表示的位置是__________（填地点名）； (4)已知游乐园，音乐台的坐标分别为和，请在图中标出，的位置． 【答案】(1) 如图为平面直角坐标系． (2)，， (3)望春亭 (4) 如图为、． 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、用有序数对表示位置、坐标系中描点 【分析】（1）以中心广场为原点，结合牡丹园的位置，按“东为轴正方向、北为轴正方向”的规则，画出平面直角坐标系； （2）根据建立的坐标系，按“先横后纵”的顺序，读取各点到轴、轴的距离和方向，写出坐标； （3）根据坐标，先确定横、纵坐标对应的方向和距离，在网格中定位该点，匹配对应地点名称； （4）根据、的坐标，先确定横、纵坐标对应的方向和距离，在坐标系中标出两点的位置． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可知，竹林的坐标为，湖心亭的坐标为，西门的坐标为． （3）解：根据题意可知，表示的位置是望春亭． （4）略 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1) 平面直角坐标系如图所示： (2)， (3)南偏东 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、方向角的表示 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． 11．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，是由经过某种变换后得到的图形． (1)写出点的坐标：点______，点______，点_____． (2)若内任意一点经此变换得到对应点．观察点与对应点的坐标变化规律，则点的坐标______． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) (3)四边形的面积为12 【难度】0.62 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据图形即可解答； （2）根据点坐标规律即可解答； （3）利用割补法即可解答． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可得； （2）解：根据题意可得和关于轴对称， 则点的坐标； （3）解：四边形的面积为． 12．（25-26七年级下·青海玉树·期末）如图是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆． (1)在网格中画出平面直角坐标系，并写出实验楼和校门的坐标； (2)在平面直角坐标系中，校门与图书馆相距________个单位长度． 【答案】(1)解：如图所示即为所示， 实验楼，校门 (2) 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【详解】（1）略； 【点睛】解：校门坐标，图书馆坐标，相距3个单位长度． 13．（25-26七年级下·天津武清·期末）根据人民公园的平面示意图建立如下的平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据图上信息填空： ①音乐台位于点（__________，4）； ②望春亭位于点（，__________）； ③游乐园位于点__________． (2)根据以下提示，在图中标出东门、湖心亭、牡丹园（三者均在网格线的交点处）的位置： ①东门位于点； ②南门位于点，从南门向北走到达湖心亭； ③从湖心亭向北走，再向西走到达牡丹园． 【答案】(1)①0；②；③ (2)如图 【难度】0.75 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、坐标系中描点 【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可； （2）根据描述直接标出位置即可． 【详解】（1）略 （2）解：南门位于点，从南门向北走到达湖心亭， 即湖心亭在南门上方五格处，坐标为，即； 从湖心亭向北走，再向西走到达牡丹园， 即湖心亭先向上一格，再向左4个为牡丹园，坐标为，即． 重难点二、求点到坐标轴的距离 核心技巧：点P(x,y)到 x 轴距离是纵坐标的绝对值|y|，到 y 轴距离是横坐标的绝对值|x|。距离一定是非负数，做题切勿遗漏绝对值符号。已知距离反求坐标时，分正负两种情况讨论，结合象限符号特征筛选答案，防止漏解。 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则（    ） A．轴 B．轴 C．经过原点 D．轴 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据、两点的坐标特征，结合平面直角坐标系中直线与坐标轴的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵，，横坐标相同， ∴轴，且不经过原点． 2．（25-26七年级下·天津北辰·期中）如图，直线a经过点，且轴，直线b经过点，且轴，直线a，b相交于点M，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等，平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等，即可解答． 【详解】解：直线a经过点，且轴， 点M的纵坐标是， 直线b经过点，且轴， 点M的横坐标是， 点M的坐标是． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B涉及点的位置判断，选项C涉及时点的象限，选项D涉及点到x轴的距离计算． 【详解】解：∵点的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误； ∵点的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误； ∵，∴a和b同号，点在第一或第三象限，C正确； ∵点到x轴的距离为，∴D错误． 故选：C． 4．（2026·江苏南京·三模）下面四个点离 轴最近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、实数的大小比较 【分析】点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值，比较各点横坐标绝对值的大小，绝对值最小的点即为离轴最近的点． 【详解】解：在平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为， 分别计算各选项横坐标的绝对值： 选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， 比较大小得：， ∴ 选项C的点横坐标绝对值最小，离轴最近． 5．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为长方形，点在第四象限，长方形的周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据点的坐标以及点所在象限求得长方形的长与宽的长度，根据长方形的周长公式求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，点的坐标为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 长方形的周长为， 解得． 6．（25-26七年级下·北京·期中）对平面直角坐标中的任意点，称为的“共生点”，则以下结论中正确结论的序号有（    ） ①的“共生点”坐标为； ②若点的“共生点”在轴上，则点到坐标轴距离相等； ③如果一个点与它的“共生点”重合，那么这个点一定是原点； ④当坐标为，且时，为的“共生点”，三角形的面积为． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、点坐标规律探索 【分析】根据“共生点”的定义，逐个计算验证每个结论，即可得到答案． 【详解】解：①对于点，，， ∵，， ∴的“共生点”坐标为，故①正确； ② 若在轴上， ∴， ∴， ，即点到轴的距离等于到轴的距离，②正确； ③∵点与重合， ∴，， 解得：， 当时，等式对任意恒成立， ∴所有纵坐标为的点都满足重合条件，不一定是原点，故③错误； ④ 当坐标为，且时，，， ∴，， ∴， 如图，过点作轴于，过点作于， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述：正确的结论有①②④． 7．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴，轴的距离的较小值称为点的“短距”．点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点” (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】（1）先求出点到x轴和y轴的距离，取较小值得到短距； （2）根据等距点的定义，得到点横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为． ∵， ∴点的“短距”为； （2）解：∵点是“等距点”， ∴点到轴、轴的距离相等， 可得， 即， 因此或， 解得或． 8．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴、轴的距离的较小值称为点的“短距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值； (3)若点的短距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，点是否为“等距点”？如果是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3) 点是“等距点”，理由见解析 【难度】0.56 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据“短距”的定义，分别求出点到轴、轴的距离，再比较大小，取较小值即可； （2）根据“等距点”的定义，得到点到轴、轴的距离相等，列方程求解； （3）根据“短距”的定义求出的值，再结合点在第三象限确定的具体值，最后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离：，到轴的距离， ， 点的“短距”为． （2）解：点是“等距点”， 点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得：或． （3）解：点的短距为5， ， 即或， 解得：或， 点在第三象限， ， 将代入点的坐标， 得， 即， 到轴的距离为，到轴的距离为， 是“等距点”． 9．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和实数，称点是点的“阶关联点”．对于图形上一点，若图形上存在一点，满足点是点的“阶关联点”，则称图形是图形的“阶关联图形”．点，点 (1)点的“2阶关联点”坐标为___________； (2)若点的“阶关联点”与点的距离为4，求的值； (3)点，以为边向上作正方形，若该正方形是射线的“阶关联图形”，则的最大值为___________，最小值为___________． 【答案】(1) (2)或； (3)，； 【难度】0.53 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、绝对值方程 【分析】（1）根据已知定义求解即可； （2）先求出点的“阶关联点” 坐标，再根据坐标两点的距离列方程求解即可； （3）设射线上有一点，根据“阶关联图形”的定义，得到点的坐标为，分别计算点与正方形四个顶点重合时的值，即可得解． 【详解】（1）解：点的“2阶关联点”坐标为，即； （2）解：点， 点的“阶关联点” 坐标为， 点的“阶关联点”与点的距离为4， ， ， 解得：或； （3）解：点，点，以为边向上作正方形， ， ， 射线上的点横纵坐标为相反数， 设射线上有一点，其中， 正方形是射线的“阶关联图形”， 正方形上存在一点，满足点是点的“阶关联点”， 点的坐标为， 当点与点重合时，则，，解得：； 当点与点重合时，则，，解得：； 当点与点重合时，则，，解得：； 当点与点重合时，则，，解得：； 的最大值为，最小值为； 重难点三、判断点所在的象限 熟记四象限符号规律：一象限(+,+)、二象限(-,+)、三象限(-,-)、四象限(+,-)。坐标轴上的点不属于任何象限。判断时分别观察横、纵坐标正负，对照符号规律快速定位。若坐标含参数，先根据条件判定参数正负，再判断象限。 1．（25-26七年级下·山西朔州·期末）在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断点所在的象限 【详解】解：根据平面直角坐标系内点的位置确定小亮所在的象限是：第三象限． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图为石家庄市区部分景点的大致位置，以解放广场为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一处景点的坐标为，则该景点可能是（    ） A．华北军区烈士陵园 B．长安公园 C．民心广场 D．平安公园 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：位于第二象限， 该景点为华北军区烈士陵园． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的A点的横纵坐标均为无理数，则点A坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、无理数、判断点所在的象限 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特征与无理数的概念，解题的关键是结合象限特征和无理数的定义筛选坐标．根据第二象限内点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），以及无理数的定义，对各选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：点位于平面直角坐标系的第二象限，第二象限内点的坐标特征是：横坐标为负，纵坐标为正；题目要求点的横纵坐标均为无理数． 选项：横纵坐标均为有理数，不符合条件； 选项：横纵坐标均为有理数，不符合条件； 选项：横坐标为负无理数，纵坐标为正无理数，满足第二象限和无理数的要求； 选项：纵坐标为负，位于第三象限，不符合点的位置． 因此，点的坐标可能是． 故选：． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知点和点，下列结论正确的是（    ） A．点A和点B横坐标相同 B．点A和点B纵坐标相同 C．点A和点B所在象限相同 D．点A和点B到y轴距离相等 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标、点所在的象限、点到坐标轴的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题关键．根据点的坐标、点所在的象限特征、点到坐标轴的距离逐项判断即可得． 【详解】解：A、点的横坐标为，点的横坐标为2，不相同，则此项错误，不符合题意； B、点的纵坐标为4，点的,纵坐标为，不相同，则此项错误，不符合题意； C、点位于第二象限，点位于第四象限，不相同，则此项错误，不符合题意； D、点到轴的距离为，点到轴的距离为，距离相等，则此项正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合、判断点所在的象限 【分析】根据题意得到直尺不经过第三象限，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意得，直尺经过一、二、四象限，不经过第三象限， ．为第一象限的点，故该选项不符合题意； ．为第二象限的点，故该选项不符合题意； ．为第三象限的点，故该选项符合题意； ．为第四象限的点，故该选项不符合题意. 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）设． （1）若，则点P在________轴上； （2）若，则点P在________轴上． 【答案】 y x 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特征．当横坐标为0时，点在y轴上，当纵坐标为0时，点在x轴上，由此可解． 【详解】解：（1）若，则点P在y轴上； （2）若，则点P在x轴上； 故答案为：y；x． 7．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“和谐点”． （1）若点是“和谐点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“和谐点”； ②已知点，，若点是“和谐点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“和谐点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】（1）明确“和谐点”的定义：若点坐标为，则满足，所有和谐点都在直线上，因为点是和谐点，所以将代入，解方程即可得到的值． （2）结论①：因为第一象限内的点满足，联立，判断该范围内解的个数即可．结论②：先确定直线的表达式，再求出在坐标轴上的和谐点的坐标，最后用点到竖直直线的距离公式计算距离，判断是否为6．结论③：先确定线段的长度和所在直线的纵坐标，再结合第一象限内和谐点的横坐标的取值范围，用三角形面积公式计算的范围，判断不等式是否成立． 【详解】解：（1）根据“和谐点”的定义：点的横、纵坐标之和为4， 已知点是和谐点， 因此列等式： ， 解得． （2）逐一判断结论： 结论①：第一象限内的点满足，，结合和谐点定义，当时，范围内有无穷多个实数，对应无数个点，①正确； 结论②：坐标轴上的和谐点满足，若在轴上则，得，若在轴上则，得，由、可知直线是竖直线，点到的距离为横坐标差的绝对值，到的距离为6，到的距离为2，并非所有坐标轴上的和谐点到的距离都是6，因此②错误； 结论③：由、可知，线段长度为4，且在直线上，设第一象限内的和谐点，由第一象限点的性质得且，即， ， ∴，③正确． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3； (2)C，三； (3)D． 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中点的坐标． （1）直接根据平面直角坐标系作答即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可； （3）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3； 故答案为：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限； 故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数， 故答案为：D． 9．（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（1）B；（2）D；（3）（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限的坐标符号特征．在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． （1）判断点横、纵坐标的符号，进而确定其所在象限； （2）根据题意得，据此判断即可； （3）根据题意得，据此判断即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴点在第二象限， 故选：B； （2）∵点在第四象限， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）∵点在第二象限， ∴， ∴m的值可以是（答案不唯一）． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）设点P的坐标为，根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)点在坐标轴上 (2)点在第一、第三象限 (3)点在第二、第四象限的角平分线上 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题考查了点坐标，熟记坐标轴上与各象限内点的坐标特征是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都等于0判断出或或，然后根据坐标轴上点的坐标特征解答； （2）根据同号得正判断出、同号，再根据各象限内点的坐标特征解答； （3）根据互为相反数的两个数的和等于0判断出、互为相反数，然后解答． 【详解】（1）解：∵， ∴或或， ∴点在坐标轴上； （2）解：∵， ∴、同号， ∴点在第一或第三象限； （3）解：∵， ∴、互为相反数， ∴点在第二、第四象限的角平分线上； 重难点四、已知点所在的象限求参数 先根据象限对应横、纵坐标正负，列出不等式组。一象限横纵均大于 0，二象限横负纵正，三象限全负，四象限横正纵负。解不等式组得到参数取值范围，注意区分 “坐标轴上的点” 特殊情况，求出范围后代回验证，确保点符合对应象限要求。 1．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的纵坐标的绝对值为4，横坐标的绝对值为5， ∴点的纵坐标为4，横坐标为， ∴ 点的坐标为． 2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】根据轴上点的横坐标等于求出的值，再代入计算点的横、纵坐标，结合各象限内点的坐标符号判断点所在象限． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ，， 点的坐标为， 点在第二象限． 3．（25-26七年级下·四川凉山·期末）下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得或，据此可判断C；平行于轴的直线上的点的横坐标相同，再结合点B在第一象限和求出点B的坐标，即可判断D． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 4．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；②第二象限有无数个“1和点”；③x轴上没有“3和点”；④若第一象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】本题根据“k和点”的定义，即横纵坐标之和为k的点满足，结合各象限点、特殊直线上点的坐标特征，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：根据“k和点”定义，“k和点”满足． ① 第一、三象限角平分线上的点满足，“2和点”满足， 将代入得，解得，只有这1个点，故①错误． ② “1和点”满足，第二象限内的点满足， 时，，恒满足第二象限点的要求，x有无数个取值，因此第二象限有无数个“1和点”，故②正确． ③ x轴上的点满足，“3和点”满足， 当时，，即是x轴上的“3和点”，故③错误． ④ 第一象限内的点满足，因此， 若第一象限内没有“k和点”，说明不存在使得，因此，故④正确． 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，平面内，，，，，六个点，若，，则点的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】坐标系中描点、判断点所在的象限 【分析】根据，建立平面直角坐标系即可判断点的象限． 【详解】解：根据，建立平面直角坐标系如图， 可得，点在第四象限． 6．（25-26七年级下·重庆彭水·期末）点在轴上，则的值为______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， 移项，得， 系数化为，得． 7．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，则______________________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程，求解即可得到m的值. 【详解】解：点在轴上， ， 解得：. 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知点，，若，则点的坐标为___________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】由A，B两点横坐标相等，可得平行于轴，再根据得到纵坐标差的绝对值等于，求解的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：点，点， A，B两点的横坐标相等，即轴， ， 即， ∴或， 解得或， 点的坐标为或． 9．（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【答案】任意负数均可，例如 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，可得纵坐标小于，任选一个符合条件的负数即可． 【详解】解：∵ 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标小于， ∴， ∴ 可以取任意负数，例如． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，且直线轴，则线段的长为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相等，据此求出的值，得到点的坐标，计算两点的横坐标差的绝对值即可得到线段的长． 【详解】解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， 即， 解得， ∴，即， 线段的长为． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍关系点”．例如，点的“2倍关系点”的横坐标为，纵坐标为，所以点的“2倍关系点”的坐标为． （1）已知点的“倍关系点”是点，则_________； （2）已知点的“倍关系点”是点，且点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为_________ 【答案】 【难度】0.6 【知识点】已知点所在的象限求参数、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）根据题意，分别求出a和b，再计算的值即可； （2）根据题意，分别求出点D的横坐标和纵坐标，根据“点D在第二、四象限的角平分线上”，求出c的值，由此得到点的坐标． 【详解】（1）点的“倍关系点”是点， ， ； （2）∵点的“倍关系点”是点D， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 即点的坐标为． 12．（2026·湖南张家界·二模）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 / 【难度】0.45 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】（1）根据“吉祥点”的定义列一元一次方程求解即可； （2）结合象限内点的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式逐一判断每个结论即可． 【详解】解：（1）点是“吉祥点” ， ，解得 ． （2）对于结论： 第一象限内点的横，纵坐标均为正数， 满足的点有无数个， 第一象限内有无数个“吉祥点”，故正确； 对于结论： ，， 直线轴，直线为， 点是“吉祥点”且在坐标轴上， 若点在轴上，令，得，即， 点到直线的距离为， 若点在轴上，令，得，即，点到直线的距离为， 点到直线的距离为或，故错误； 对于结论： ，， 轴，， 设第一象限内“吉祥点”的坐标为， ，即， ∴点到直线的距离为， ， ， ，即，故正确； 综上，故答案为（1）；（2） 13．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0，分别列方程求出的值, 再计算得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在轴上 ， ∴ ，解得， ， ∴点的坐标为． （2）解：∵点在轴上， ∴ ，解得 ， ， ∴点的坐标为． 14．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点与轴的距离为，求的值； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.62 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）由点与轴的距离为9，可得，再结合绝对值的性质解题即可； （2）根据点在过点且与轴平行的直线上，即，解得的值，继而解得点的坐标，得的长，最后由三角形面积公式解题． 【详解】（1）解：∵点，点与轴的距离为， ，解得或； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ，解得， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·吉林延边·期末）已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P的横坐标比纵坐标小4； (3)点P到坐标轴的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程、已知点所在的象限求参数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0求解即可； （2）根据横坐标比纵坐标小4列方程求解即可； （3）根据到坐标轴距离相等的点横纵坐标的绝对值相等．求解即可 【详解】（1）解：点在x轴上， ， 解得：，则， 点P的坐标为； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， 解得：， ，， 点P的坐标为； （3）解：点到坐标轴的距离相等， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点P的坐标为或． 重难点五、坐标系中描点 描点严格按照坐标(x,y)分步操作：先在 x 轴找到横坐标对应刻度，作竖直辅助线；再在 y 轴找到纵坐标刻度，作水平辅助线，两线交点即为目标点。描点后标注坐标，区分正负刻度，负数向坐标轴反方向找点，辅助线轻画，保证点位精准不偏移。 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图是某一中学校园的平面示意图，已知育才楼的坐标是．（图中每个小正方形格的边长为1个单位长度） (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是，请在图中标出食堂和活动中心的位置； (3)写出校门和艺术中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)校门的坐标是，艺术中心的坐标是 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、坐标系中描点 【分析】（1）根据育才楼的坐标是确定坐标原点、轴与轴的位置； （2）根据平面直角坐标系标出食堂和活动中心的位置； （3）根据平面直角坐标系写出校门和艺术中心的坐标． 【详解】（1）解：根据育才楼的坐标是得出从育才楼向左移5个单位再向下2个单位即得到坐标原点，画出轴与轴的位置． （2）解：根据（1）中平面直角坐标系以及食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是画出食堂以及活动中心如（1）中图所示． （3）解：根据（1）中平面直角坐标系得到校门的坐标是，艺术中心的坐标是． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东篱西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示，，并直接写出景点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在平面直角坐标系中标出，的位置． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)见解析 【难度】0.95 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用有序数对表示位置、坐标系中描点 【详解】（1）如图所示为所建坐标系： ∴点C的坐标为． （2）解：点D、E的坐标如图所示： 3．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【答案】(1) 解：所作图形如图所示： ； (2)，，，． 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图是老北京城的一些地点分布示意图，已知东直门和宣武门的坐标分别为，． (1)在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出，表示的地点； (2)根据中所建立的平面直角坐标系，写出示意图中西直门和崇文门的坐标； (3)根据中建立的平面直角坐标系，李华在安定门计划骑一辆共享单车，根据图中，，，四处单车的位置，请直接写出距离李华最近的共享单车的位置坐标？ 【答案】(1)平面直角坐标系如图，则表示的地点是阜成门，表示的地点是故宫， (2)西直门的坐标是，崇文门的坐标是 (3)最近的共享单车在 【难度】0.62 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、用有序数对表示位置、坐标系中描点 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是根据网格中点的坐标建立坐标系． （1）根据题干条件，建立平面直角坐标系即可作出点坐标； （2）根据（1）建立的平面直角坐标系作答即可； （3）根据（1）建立的平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由图可知，西直门的坐标是，崇文门的坐标是． （3）解：由图可知，距离安定门最近的是点，点坐标为， 故距离李华最近的共享单车的位置坐标为． 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)如下图，四边形即为所求，该四边形为长方形 (2)12 (3)或 【难度】0.62 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程、坐标系中描点 【分析】（1）根据四点坐标在坐标系中画出该四边形，然后判断其形状即可； （2）根据矩形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，设与轴交于点，则点坐标为，易得，然后根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴四边形的面积； （3）设点P的坐标为，如下图，设与轴交于点，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或． 6．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）某城市部分公共场所位置如图所示，小方格的边长为1个单位长度．已知学校，体育馆，火车站为坐标原点，从体育馆出发，向北走4个单位长度，到达文化馆． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并标出点，的位置； (2)小红从学校出发，先向南走6个单位长度，再向西走3个单位长度，到达图书馆D． ①在图中标出点D； ②连接，，，则的面积是_______． 【答案】(1)建立平面直角坐标系、点，的位置如图所示： (2)①在图中标出点D如图所示： ； ②的面积是 【难度】0.62 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、坐标系中描点、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据题意建立合适的平面直角坐标系进行解答即可； （2）①根据题意找到D点的位置并标出即可；②利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②的面积是 ． 模块二、坐标系中点的计算 重难点一、已知两点坐标求两点距离 两点分两种情况：平行坐标轴的点，横坐标相同用纵坐标差值绝对值，纵坐标相同用横坐标差值绝对值；任意两点套用距离公式。计算先算坐标差值，平方后求和再开方，简化运算，避免符号计算失误。 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【详解】解：点到原点的距离为． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查平面直角坐标系中求原点到点的距离，利用勾股定理即可计算求解． 【详解】解：∵坐标原点的坐标为，点的坐标为， ∴． 3．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在下列四个点中，到原点距离最远的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较、已知两点坐标求两点距离 【详解】解：选项A，， 选项B，， 选项C，， 选项D，， 可知最大， ∴到原点距离最远的点是B选项对应的点． 4．（25-26八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算即可 【详解】解：已知，， 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【难度】0.95 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 6．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，已知点，，则线段的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】利用两点间的距离公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵点，， ∴线段的长为． 7．（25-26八年级下·甘肃临夏·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【详解】解：根据，且，， ∴． 8．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； (3)已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 【答案】(1) (2)操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为 (3)； 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、实数的混合运算、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据教学楼和实验楼的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立对应的平面直角坐标系即可； （2）根据（1）以及操场，食堂和图书馆的位置可得对应的坐标； （3）根据（1）先描出点A和点B，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为； （3）解：图见答案， ∵办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和， ∴． 9．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图．在平面直角坐标系中，． (1)判断的形状； (2)请画出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)为等腰三角形 (2)； (3) 【难度】0.62 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、已知两点坐标求两点距离、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理判断即可； （2）根据轴对称的性质作图，进而根据平面直角坐标系写出的坐标即可； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短作图即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵，且， ∴为等腰三角形； （2）略； （3）略． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中，画出线段关于轴对称的线段； (2)分别求的周长和面积，直接写出结果． (3)若另有一点，连接、，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)的周长为，面积为3 (3)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接、， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【难度】0.62 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、二次根式的应用、已知两点坐标求两点距离、画轴对称图形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据轴对称的定义分别画出点，再连接即可； （2）分别求出，，的长，即可得的周长；再求出的边上的高，即可得的面积； （3）分别求出，，的长，再利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴的周长为； 又∵，， ∴轴， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）略． 11．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)8 【难度】0.75 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离； （2）解：由题意，得：A，B两点间的距离． 重难点二、实际问题中用坐标表示位置 先设定坐标原点，结合场景确定 x、y 轴正方向，再将场景内物体对应横轴、纵轴刻度写出坐标。地图、场地类题型常结合比例尺，将实际长度转化为坐标数值。答题标注原点与坐标轴含义，坐标书写规范，结合实际场景检验坐标正负是否合理。 1．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ）    A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：该功能室的坐标为，横坐标，纵坐标， 该功能室位于第四象限， 由图可知，物理实验室在第一象限，生物实验室在第二象限，图书馆在第三象限，化学实验室在第四象限， 该功能室是化学实验室． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意可得平面直角坐标系，观察即可解答． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， 则“强”的坐标为． 3．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）象棋是中国传统益智棋类、国粹之一，也是国家级非物质文化遗产．如图，如果用表示“马”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据“马”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，由坐标系得到“将”的坐标． 【详解】解：由“马”和“炮”的坐标可知平面直角坐标系如下图所示， “将”的坐标是． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下，则表示“开阳”的点的坐标为． 5．（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列情形中，不能确定物体位置的是（     ） A．南偏西 B．江南路130号 C．座位3排5列 D．东经110°，北纬32° 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据平面内点的位置需要两个数据对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵A选项只给出方向南偏西，缺少距离，只有一个要素，无法确定物体位置，此选项符合题意； B选项江南路130号，有具体位置，可以确定物体位置，此选项不符合题意； C选项座位3排5列，有两个数据，可以确定物体位置，此选项不符合题意； D选项东经，北纬，经纬度两个数据，可以确定物体位置，此选项不符合题意． 6．（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图为珠海长隆海洋王国中的鲸鲨馆、北极熊馆和海豚湾剧场的大概位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若北极熊馆的坐标为，海豚湾剧场的坐标为，则鲸鲨馆的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【详解】根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴鲸鲨馆的坐标为． 7．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）为展示我国强大的军力，面向青少年开展爱国主义教育，某科技馆在广场上空组织飞机模型公益活动．如图所示的是飞机模型试飞过程中的部分飞行队形，如果A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，那么飞机模型B的平面坐标是___________． 【答案】 【难度】0.89 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：根据A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，可知坐标原点位置如图所示： 飞机模型B的平面坐标是． 8．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据“帅”位于点，“相”位于点，建立平面直角坐标系，再结合坐标系即可解答． 【详解】解：∵“帅”位于点，“相”位于点， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴“炮”位于点． 9．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据已有点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画出坐标系，如图所示： 由图可知：黑棋①的坐标为． 10．（25-26七年级下·北京海淀·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，即可得出结果. 【详解】解：由题意，画出坐标系如下所示， 由图可知：表示棋子“馬”的点的坐标为. 重难点三、点坐标规律探索 先列出题干给出所有点的完整坐标，横向、纵向分别观察横、纵坐标的数字变化，拆分奇偶、循环、等差等规律。用含 n 的代数式总结通用坐标，代入已知点验证规律成立后，再求解目标点位坐标。规律分横、纵坐标分开推导，降低找规律难度。 1．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】首先求出点P每秒走个半圆，然后求出点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环，进而求解即可． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴运动时间为1秒时，点P的坐标为； 运动时间为2秒时，点P的坐标为， 运动时间为3秒时，点P的坐标为， 运动时间为4秒时，点P的坐标为， 运动时间为5秒时，点P的坐标为， 运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点P的坐标是． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第次跳动到点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】写出、、、的坐标，找出规律得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得，，，，， …… ， ∵， ∴的坐标为． 4．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意得到点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得：，，，， ∴点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化， ∵ ∴点的纵坐标为0 ∴点的坐标是． 5．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、点坐标规律探索 【分析】由题中所给的运动过程，得出坐标变化规律求解即可． 【详解】解：由题意可知： 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 则规律为：第次运动到点的横坐标为，纵坐标按照每次为一个循环， ， 第次运动到点，即． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意可得每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，点，点，点，点，点，点， 以此类推可知，每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标为． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、点坐标规律探索 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 10．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，有一动点从处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、点坐标规律探索 【分析】由图知从开始每经过4次变换回到第一象限，则落在第一象限，然后找到第一象限点坐标的规律，从而解决题目. 【详解】解：由图知从开始每经过4次变换回到第一象限， ， ∴落在第一象限； 由题意落在第一象限的点，，，， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每7次运动组成一个循环，再根据规律直接求解即可． 【详解】解：由图可知，，，，，，，，，， 可以发现规律：横坐标与运动次数相等， 纵坐标每次运动组成一个循环：； ， 点的纵坐标是， ∴点的坐标是． 12．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【答案】任务1：任务2：任务3：3 【难度】0.4 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：利用公式求出整体图形的面积以及重心坐标，假设挖空圆面积为,根据负面积法公式列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据给出公式得， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图，将圆图形进行分割， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ∴， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：整体图形的面积为， 将图形分割成左侧的矩形和右侧的三角形， 矩形的重心坐标为，即，矩形的面积为； 三角形的重心坐标为，即，三角形的面积为； 整体图形的重心坐标为； 假设挖空圆面积为,根据公式可得， ， 解得， 故答案为：3． 重难点四、中点坐标 牢记中点坐标公式：两点，中点M坐标为。解题分三类题型：已知两点求中点，直接代入求和平分；已知一点与中点反求另一点，逆向变形公式；线段中点相关几何题，优先套用公式简化计算。 1．（25-26八年级下·广西贵港·期中）若点与点关于点对称，则的值是多少(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】中点坐标、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】若两点关于某点对称，则该点是两点连线的中点，利用中点坐标公式求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于点对称 ∴点是线段的中点 根据中点坐标公式可得 ， ， 解得，， ∴ ． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】中点坐标 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】中点坐标 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期末）若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【难度】0.61 【知识点】中点坐标 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 6．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【难度】0.51 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、中点坐标 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 7．（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【难度】0.51 【知识点】中点坐标 【分析】（1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）分类与中点重合时，与中点重合时，与中点重合时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时， ， ，， 此时； ②与中点重合时， ， ，， 此时； ③与中点重合时， ， ，， 此时， 点的坐标为，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $