3.2 平面直角坐标系（十大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 平面直角坐标系专项训练以概念理解为核心，通过十大题型系统覆盖坐标表示、距离计算、象限判断等内容，注重几何直观与空间观念的培养，体现从基础到应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点的坐标|3题|含实际情境（象棋盘）及坐标轴上点特征|从坐标定义到特殊点坐标表示| |点到坐标轴距离|3题|结合象限位置考查距离与坐标关系|坐标绝对值意义的直接应用| |象限判断|3题|直接判断坐标符号或参数范围|坐标符号与象限的对应关系| |坐标系应用|4题|含描点、两点距离、实际位置表示|从图形直观到量化计算的转化| |规律与变换|4题|涉及坐标规律探究、中点、平移|静态坐标到动态变化的拓展|

3.2 平面直角坐标系 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系，然后写出“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系， 则“炮”位于点． 2．已知点在轴上，则点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，横坐标为，求出的值，再计算得到纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， ， 点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. (1)求 a、b 的值； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 【答案】(1)，． (2) (3) 或 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）直接利用面积公式进行求解即可； （3）设，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则， 由题意，． ， 或 或 ∴或． 题型二 求点到坐标轴的距离 4．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点所在象限判断横纵坐标符号，再结合距离求出点的坐标． 【详解】∵点在第四象限， ∴点的横坐标大于，纵坐标小于， 又∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以结合横纵坐标的符号可得点的坐标为横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 5．点到轴上的距离是_____． 【答案】7 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：已知点坐标为， 点的纵坐标为， 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 6．已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． (1)点在轴上； (2)经过点，的直线，与轴平行； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)，点的坐标为． (2)，点的坐标为． (3)时，点坐标为；时，点坐标为． 【分析】（1）根据轴上的点纵坐标为0列方程求出的值即可； （2）根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等列方程求出的值即可； （3）根据点到两坐标轴的距离相等则点的横纵坐标的绝对值相等列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为． ∴． 解得． ∴， ∴点坐标为． （2）解：∵直线与轴平行，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴， 解得． ∴， ∴点坐标为． （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴距离为纵坐标的绝对值，到轴距离为横坐标的绝对值， ∴． 分两种情况讨论： 当时， 解得， ∴，， 此时点坐标为． 当时， 整理得， 解得． ∴，， 此时点坐标为． 题型三 判断点所在的象限 7．下列各点在第四象限的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，四个象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 即第四象限内点满足横坐标为正，纵坐标为负， 选项A中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项B中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项C中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项D中，横坐标，纵坐标，符合第四象限点的特征． 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 9．已知点． (1)若点P的纵坐标比横坐标大3，则点P在第几象限？ (2)已知点，且轴，求点P的坐标． 【答案】(1)点P在第一象限 (2)点P的坐标为 【详解】（1）依题意得：． 解得：． 点P的坐标为， 点P在第一象限． （2）轴 点与点的纵坐标相等．即． 解得：． ． 点的坐标为 题型四 已知点所在的象限求参数 10．在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵第三象限内点的横坐标与纵坐标均为负数，点位于第三象限， ∴， 观察选项，只有满足． 11．截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：轴，点，点， ， 解得，． 12．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得，即可求解； （2）根据第二象限的点的符号特征以及点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， 解得． ． ∴点的坐标为． （2）解：∵点在第二象限， ，， ∵点到两坐标轴的距离之和为6， ． ， 解得． ，． ∴点的坐标为． 题型五 坐标系中描点 13．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 14．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系：xOy中有A，B，C三点的坐标分别为（，， (1)在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； (2)点A与点B关于直线l成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 【答案】(1)如图，A，B，C三点即为所求； (2)如图，直线l即为所求． 【分析】（1）根据三点的坐标描点； （2）利用网格的特点，作直线的垂直平分线即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型六 已知两点坐标求两点距离 16．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中求原点到点的距离，利用勾股定理即可计算求解． 【详解】解：∵坐标原点的坐标为，点的坐标为， ∴． 17．已知直角坐标平面内的两点和，那么、两点间的距离等于__________． 【答案】 【分析】两点间距离公式：，，． 【详解】解：直角坐标平面内两点和， 、两点间的距离等于． 18．小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 【答案】 【详解】解：根据，且，， ∴． 题型七 实际问题中用坐标表示位置 19．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点A和点B的坐标确定原点和坐标轴的位置，据此建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则点C的坐标为． 20．数学之美无处不在．如图，这是杨桃的横截面图，形状是“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ________． 【答案】 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系， 由图可知，点的坐标为. 21．如图是中山市局部平面示意图，其中每个小正方形的边长均为个单位长度．已知开发区的位置是、板芙镇的位置是．请完成以下问题： (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出港口镇、小榄镇的坐标； (3)已知三乡镇的坐标为、南朗街道的坐标为，请在图中标出三乡镇、南朗街道的位置． 【答案】(1)解：建立直角坐标系如图所示； (2)港口镇、小榄镇的坐标分别为，； (3)解：三乡镇、南朗街道的位置如（1）图所示. 【分析】（1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据点的坐标，确定位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型八 点坐标规律探究 22．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 23．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， ，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是__________． 【答案】 【分析】由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由，可得动点的坐标是． 【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… 第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环， ， 动点的坐标是． 24．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 【答案】(1)画图见解析，第4个正方形上有16个整点 (2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个 (3)点在第7个正方形边上；在第个正方形边上 【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和， （2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有个，据此规律进行解答即可． （3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答． 【详解】（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示， 解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； 第4个正方形上有个整点； （2）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； … 第n个正方形有个整点； 所以第20个正方形有个整点． （3）观察第1个正方形上的点，、，横纵坐标绝对值之和 ，． 观察第2个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 观察第3个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 结论：若点在第个正方形的边上，则． 计算点： 横坐标，纵坐标． 计算绝对值之和：． 所以点在第7个正方形的边上． 计算点： 横坐标，纵坐标（为正整数）． 计算绝对值之和：． ∴点在第7个正方形边上；在第个正方形边上． 题型九 中点坐标 25．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 26．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 27．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）分类与中点重合时，与中点重合时，与中点重合时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时， ， ，， 此时； ②与中点重合时， ， ，， 此时； ③与中点重合时， ， ，， 此时， 点的坐标为，或． 题型十 由平移方式确定点的坐标 28．已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项． 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 29．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，据此计算即可． 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点N， ，， 点N的坐标为,即． 30．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)；0 (2)或 (3)；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 平面直角坐标系 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（     ） A． B． C． D． 2．已知点在轴上，则点坐标是__________． 3．在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足. (1)求 a、b 的值； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标. 题型二 求点到坐标轴的距离 4．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．点到轴上的距离是_____． 6．已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． (1)点在轴上； (2)经过点，的直线，与轴平行； (3)点到两坐标轴的距离相等． 题型三 判断点所在的象限 7．下列各点在第四象限的是（     ）． A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点在第______象限． 9．已知点． (1)若点P的纵坐标比横坐标大3，则点P在第几象限？ (2)已知点，且轴，求点P的坐标． 题型四 已知点所在的象限求参数 10．在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．3 11．截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为__________． 12．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 题型五 坐标系中描点 13．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 15．如图，在平面直角坐标系：xOy中有A，B，C三点的坐标分别为（，， (1)在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； (2)点A与点B关于直线l成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 题型六 已知两点坐标求两点距离 16．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．已知直角坐标平面内的两点和，那么、两点间的距离等于__________． 18．小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 题型七 实际问题中用坐标表示位置 19．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．数学之美无处不在．如图，这是杨桃的横截面图，形状是“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ________． 21．如图是中山市局部平面示意图，其中每个小正方形的边长均为个单位长度．已知开发区的位置是、板芙镇的位置是．请完成以下问题： (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出港口镇、小榄镇的坐标； (3)已知三乡镇的坐标为、南朗街道的坐标为，请在图中标出三乡镇、南朗街道的位置． 题型八 点坐标规律探究 22．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 23．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， ，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是__________． 24．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 题型九 中点坐标 25．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 27．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 题型十 由平移方式确定点的坐标 28．已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 30．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $