第14讲 函数的单调性（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第14讲 函数的单调性（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数单调性的有关概念 知识点02：函数的最大(小)值 知识点03：最值原理及其应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：根据函数的单调性解不等式 题型05：利用函数单调性求最值或值域 题型06：根据分段函数的单调性求参数 题型07：分段函数的值域或最值 题型08：函数不等式恒成立问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数单调性的有关概念 1.增函数与减函数的定义 前提条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A 条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 y=f(x)在区间I上单调递增,I称为y=f(x)的增区间. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数 y=f(x)在区间I上单调递减,I称为y=f(x)的减区间. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数 2.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间. 温馨提示　(1)区间I是定义域的子集,即应在函数的定义域内研究单调性. (2)单调性应注意“三特性”:①同区间性,即x1,x2∈I;②任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替;③有序性,即要规定x1,x2的大小. (3)单调性的等价形式 对于定义域D上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数是增函数; 若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数是减函数. 【例1】利用单调性定义，证明函数在上单调递增。 解：步骤1：任取定义域内两个自变量 任取，且。 步骤2：作差化简 步骤3：判断差值符号 由，得，因此，即。 步骤4：得出结论 故，根据单调性定义，函数在上单调递增。 结论：函数在全体实数域上单调递增 【知识点02】函数的最大(小)值 1.函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地,设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 结论 那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0) 那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0) 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 温馨提示　(1)最大(小)值的几何意义:最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. 【例2】求函数的最大值和最小值。 解：步骤1：分析函数定义域与解析式特征 函数定义域为，二次函数开口向下，对称轴为。 步骤2：求最大值 由，得，因此。 当且仅当时，，函数可取到该值。 故函数最大值为。 步骤3：判断最小值 当时，，，函数无法取到最小数值。 因此函数无最小值。 答案：最大值为，无最小值 【知识点03】最值原理及其应用 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b,且f(x)在区间[a,c]上单调递增,在区间[c,b]上单调递减,则f(x)在x=c时取得最大值. (2)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b,且f(x)在区间[a,c]上单调递减,在区间[c,b]上单调递增,则f(x)在x=c时取得最小值. 证明:(1)因为f(x)在区间[a,c]上单调递增,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c). 又因为f(x)在区间[c,b]上单调递减,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c). 因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c), 即f(x)在x=c时取得最大值. (2)证明类似于(1),具体证明过程略. 【例3】已知函数，求该函数在区间上的最大值和最小值。 解：步骤1：判断区间单调性 一次函数，斜率，故函数在上单调递增。 因此函数在闭区间上单调递增。 步骤2：利用单调区间最值原理求值 单调递增区间，左端点取最小值，右端点取最大值： 答案：最小值为，最大值为 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调递减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 【变式1-1】函数在区间内的单调性是__________. 【答案】单调递减 【分析】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【详解】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（    ） A．， B．， C．，且，有 D．，且，有 【答案】BCD 【分析】结合增函数定义，逐项判断即可得. 【详解】对A：构造函数，则恒成立， 当，，故不是上的增函数，故A错误； 对B：对且，令，则， 则，即， 故为上的增函数，故B正确； 对C：对且，有，则， 故为上的增函数，故C正确； 对D：对且，有， 由，则， 故为上的增函数，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)，，且， 则 . 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2）略 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. 【答案】和 【分析】由反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得定义域为， ，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为. 故答案为：和 【变式2-3】（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是_________． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【详解】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 【变式3-1】（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解. 【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足， 故选:AC 【变式3-2】（24-25高一上·江苏·期中）若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数得到函数的递增区间，又由函数在上是增函数，则为递增区间的子集，建立关于参数m的不等式，解出即可求得结论. 【详解】解：， 当时， 当时，， 由对勾函数性质结合函数定义域， 函数在和单调递增，又在上，在上， 函数的递增区间为 在上单调递增， 解得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】已知函数＝，若函数在区间上单调递减，求出a的取值范围. 【答案】 【分析】首先根据函数单调性的定义，设，利用，化简后得的取值范围. 【详解】设， ， 因为函数在区间上单调递减，所以恒成立， 因为，，， 所以恒成立，即. 所以的取值范围是. 【题型04】根据函数的单调性解不等式 【典例4-1】（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数方程，通过赋值将化成，再利用函数的单调性求解即得. 【详解】由，，令，可得， 而， 则由可得， 因函数是定义在上的减函数，则有，解得. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用函数的单调性定义得到在递减，然后将不等式转化为求解. 【详解】， 任取，则， 因为时，，所以 故 所以因此在递减， 不等式，即 . 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域是. (1)用定义证明是上的减函数； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （2）等价转化为，再利用函数单调性以及其定义域即可得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）设，且， 则， ， ，即， 在上是减函数. （2）令，，解得， ，即，即， 又由（1）知在上是减函数，则，解得或. 则不等式解集为. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【题型05】利用函数单调性求最值或值域 【典例5-1】（24-25高一上·江苏南通·期中）函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用函数的单调性可求最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，函数对称轴为直线，函数在上为减函数， ∴当时，. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 【变式5-2】函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求值域. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，故， 故的值域为. 故答案为： 【变式5-3】已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可； （2）根据函数单调性即可得到其值域. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 【题型06】根据分段函数的单调性求参数 【典例6-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若函数，在上为增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】由题意可知，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性，结合一元一次和一元二次函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，或， 得或， 故实数的取值范围是. 故选：C 【变式6-2】（多选）已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解. 【详解】由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是上的减函数，则， 所以，解得， 显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 【变式6-3】若函数在上为增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由在上递增， 则，即. 在上递增，则， 又在上为增函数， 所以还需，得. 综上：的取值范围是. 【题型07】分段函数的值域或最值 【典例7-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，令，则的最小值是__________. 【答案】3 【分析】作出两函数图象，数形结合判断函数的最小值. 【详解】作出的图象如图所示： 令，解得或，则点， ， 由图知的最小值为3. 故答案为：3 【变式7-1】定义，例如：，，若，，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据定义确定的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】由得，， 所以， 所以在和上都是增函数，在和上都是减函数， ，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值． 【变式7-2】已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值不同，分别求出对应的的值域，最后再并起来即可. 【详解】当时解得，此时， 所以，因为，所以； 当时解得，此时，所以； 当时解得，此时， 所以，因为，所以， 综上可知， 故选：D 【变式7-3】（多选）已知，则（    ） A．最小值 B．最大值为 C．无最小值 D．无最大值 【答案】AD 【分析】依题意将写成分段函数形式，分别画出两函数在同一坐标系下的图象，并结合图象即可得出结论. 【详解】根据题意函数， 在同一坐标系下画出两函数图象如下：    根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线； 由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确； 且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确. 故选：AD 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】把恒成立转化为最大值之间的关系列式计算求解. 【详解】对任意，总存在，使得成立， 所以，当，时，，所以． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出分段函数的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 则的最小值为， 由题意得，，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 【变式8-3】（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简不等式，分两种情况分别求出不等式的解集即可. （2）根据的区间先对不等式进行化简变形为，然后根据的区间和单调性求出的最大值，进而求出结果. 【详解】（1）当时，函数，所以不等式化简为. 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得， 化简得，解得或，又，所以； 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，无解. 综上，不等式的解集为. （2）不等式化简为，其在区间上恒成立， 所以当时，不等式为，变形为. 令，设且， 则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以在时取最大值为. 所以要使得不等式在区间上恒成立，则只需即可，即. 知识点01函数单调性的有关概念 1. 基本定义 设函数的定义域为，区间。 单调递增：对区间内任意，若，恒有，则称在上单调递增。 单调递减：对区间内任意，若，恒有，则称在上单调递减。 2. 核心性质 单调性是函数的局部性质，仅针对某一个具体区间，函数在整个定义域上不一定单调，不能跨区间判定单调性。 3. 定义法证明单调性步骤 取值（任取区间内）→ 作差 → 化简变形 → 判断符号 → 下结论。 知识点02函数的最大值与最小值 1. 最大值定义 设函数定义域为，若存在，使得对任意，都有： 则为函数的最大值。 2. 最小值定义 若存在，使得对任意，都有： 则为函数的最小值。 3. 必备条件 最值必须是函数能够实际取到的函数值，且对定义域内所有自变量恒成立；若函数值无限趋近某数但无法取到，则无对应最值。 知识点03最值原理及其应用 1. 闭区间单调函数最值原理（核心考点） 若在闭区间上单调递增： 若在闭区间上单调递减： 2. 关键结论 闭区间上的单调函数，最值只在区间两个端点处取得；开区间内的单调函数无最大值、最小值。 3. 常见应用场景 区间最值求解、函数值域计算、不等式恒成立问题、参数取值范围求解。 知识点04本节核心公式与必背结论 1. 增函数判定： 2. 减函数判定： 3. 闭区间递增最值：左最小、右最大 4. 闭区间递减最值：右最小、左最大 知识点05本节高频易错点总结 1. 单调性为局部性质，区间不同，单调性可能不同，不能一概而论； 2. 判定单调性必须取区间内任意两个自变量，特殊值验证不具备说服力； 3. 最值存在的前提是“能取到该函数值”，趋近值不算最值； 4. 开区间单调函数无最值，只有闭区间单调函数一定存在最值； 5. 非单调函数的最值不能只看端点，需结合函数图象与极值判断。 一、单选题 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由的单调性得值域为，结合二次函数的性质，讨论、研究的最小值求参数范围. 【详解】在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为， 综上，，故的最小值为. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若不等式 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离参数法，结合换元法，再利用二次函数求最值，从而可得参数范围. 【详解】由不等式变形得：， 令，则 因为，所以， 故选：B 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 6．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数为增函数，进而可得，计算即得. 【详解】当时, 有，则函数为增函数， 则， 即实数的取值范围是. 故选： B. 7．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数，对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，解得. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·甘肃甘南·期中）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 10．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求出在上的值域，再由整个函数的值域为 ，得到 部分的值域包含 ，可得到关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，在上单调递增， 该部分的值域为 ， 要使整个函数的值域为 ， 只需 部分的值域包含 . 当 时： ，定义域为 ， 要使 此时的值域包含 ， 只需：， 解得：. 故选：ABC 11．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【分析】对于A，举例分析判断，对于B，根据减函数的定义分析判断，对于C，根据增函数的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】解：对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误； 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是____． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：因为，开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象，如图所示： 所以当时，函数取最小值，为0； 当时，函数取最大值，为16； 所以函数的值域为. 故答案为： 13．已知函数在区间上单调，则实数m的取值范围是_________． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可． 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调，则或，解得或． 故答案为：或. 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据二次函数以及反比例函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【答案】，证明见解析 【分析】由可得，然后由单调性定义可完成证明. 【详解】由于，所以，解得．所以. 下面证明在区间上单调递减． 在上任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递减． 16．设函数． (1)证明：函数在上单调递减； (2)求函数的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由单调性定义法（任取、作差、变形、断号、写结论）可证明. （2）换元法转化为求含参分式型函数的值域，对参数进行分类讨论研究函数的单调性即可得值域. 【详解】（1）对任意的，，且， ∵， ∴， ∴， 即： ∴函数在上单调递减． （2） ∴的定义域为， 令，则， ①当时，在单调递减，又∵， 所以的值域为； ②当时，，所以在单调递减，又∵， 所以的值域为； ③当时，，所以在单调递减，在单调递增， ， 所以的值域为． 所以，综上可得： 当时，的值域为； 当时，的值域为． 17．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)记，当时，求的最大值（用表示）． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式. （2）由（1）求出并化成分段函数，再分段讨论求出函数最大值. 【详解】（1）设，由， 得，即， 因此，解得，， 由，得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，， 当时，，，在上单调递减，， 当，即时，，在上单调递增，， 当时，，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当，求函数的值域； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数，利用单调性的定义判断其单调性，再利用单调性即可得出值域. （2）对任意，恒成立，等价于恒成立，还等价于即可求实数a的取值范围. 【详解】（1）由题意，任取，且， ， 因为，所以，又因为，所以，， 所以. 根据函数单调性的定义可知函数在上单调递增， 所以，， 所以函数在上的值域为. （2）由题意，任意，恒成立， 等价于恒成立，还等价于， 因为在上单调递减，所以，所以， 即a的范围为. 19．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的单调性（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数单调性的有关概念 知识点02：函数的最大(小)值 知识点03：最值原理及其应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：根据函数的单调性解不等式 题型05：利用函数单调性求最值或值域 题型06：根据分段函数的单调性求参数 题型07：分段函数的值域或最值 题型08：函数不等式恒成立问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数单调性的有关概念 1.增函数与减函数的定义 前提条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A 条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 y=f(x)在区间I上单调递增,I称为y=f(x)的增区间. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数 y=f(x)在区间I上单调递减,I称为y=f(x)的减区间. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数 2.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间. 温馨提示　(1)区间I是定义域的子集,即应在函数的定义域内研究单调性. (2)单调性应注意“三特性”:①同区间性,即x1,x2∈I;②任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替;③有序性,即要规定x1,x2的大小. (3)单调性的等价形式 对于定义域D上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数是增函数; 若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数是减函数. 【例1】利用单调性定义，证明函数在上单调递增。 【知识点02】函数的最大(小)值 1.函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地,设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 结论 那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0) 那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0) 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 温馨提示　(1)最大(小)值的几何意义:最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. 【例2】求函数的最大值和最小值。 【知识点03】最值原理及其应用 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b,且f(x)在区间[a,c]上单调递增,在区间[c,b]上单调递减,则f(x)在x=c时取得最大值. (2)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b,且f(x)在区间[a,c]上单调递减,在区间[c,b]上单调递增,则f(x)在x=c时取得最小值. 证明:(1)因为f(x)在区间[a,c]上单调递增,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c). 又因为f(x)在区间[c,b]上单调递减,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c). 因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c), 即f(x)在x=c时取得最大值. (2)证明类似于(1),具体证明过程略. 【例3】已知函数，求该函数在区间上的最大值和最小值。 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调递减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．单调性不确定 【变式1-1】函数在区间内的单调性是__________. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（    ） A．， B．， C．，且，有 D．，且，有 【变式1-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. 【变式2-3】（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是_________． 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（24-25高一上·江苏·期中）若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【变式3-3】已知函数＝，若函数在区间上单调递减，求出a的取值范围. 【题型04】根据函数的单调性解不等式 【典例4-1】（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为______． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域是. (1)用定义证明是上的减函数； (2)求不等式的解集. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【题型05】利用函数单调性求最值或值域 【典例5-1】（24-25高一上·江苏南通·期中）函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-2】函数的值域为______． 【变式5-3】已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【题型06】根据分段函数的单调性求参数 【典例6-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若函数，在上为增函数，则实数的取值范围是______. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若函数在上为增函数，求的取值范围. 【题型07】分段函数的值域或最值 【典例7-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，令，则的最小值是__________. 【变式7-1】定义，例如：，，若，，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）已知，则（    ） A．最小值 B．最大值为 C．无最小值 D．无最大值 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 知识点01函数单调性的有关概念 1. 基本定义 设函数的定义域为，区间。 单调递增：对区间内任意，若，恒有，则称在上单调递增。 单调递减：对区间内任意，若，恒有，则称在上单调递减。 2. 核心性质 单调性是函数的局部性质，仅针对某一个具体区间，函数在整个定义域上不一定单调，不能跨区间判定单调性。 3. 定义法证明单调性步骤 取值（任取区间内）→ 作差 → 化简变形 → 判断符号 → 下结论。 知识点02函数的最大值与最小值 1. 最大值定义 设函数定义域为，若存在，使得对任意，都有： 则为函数的最大值。 2. 最小值定义 若存在，使得对任意，都有： 则为函数的最小值。 3. 必备条件 最值必须是函数能够实际取到的函数值，且对定义域内所有自变量恒成立；若函数值无限趋近某数但无法取到，则无对应最值。 知识点03最值原理及其应用 1. 闭区间单调函数最值原理（核心考点） 若在闭区间上单调递增： 若在闭区间上单调递减： 2. 关键结论 闭区间上的单调函数，最值只在区间两个端点处取得；开区间内的单调函数无最大值、最小值。 3. 常见应用场景 区间最值求解、函数值域计算、不等式恒成立问题、参数取值范围求解。 知识点04本节核心公式与必背结论 1. 增函数判定： 2. 减函数判定： 3. 闭区间递增最值：左最小、右最大 4. 闭区间递减最值：右最小、左最大 知识点05本节高频易错点总结 1. 单调性为局部性质，区间不同，单调性可能不同，不能一概而论； 2. 判定单调性必须取区间内任意两个自变量，特殊值验证不具备说服力； 3. 最值存在的前提是“能取到该函数值”，趋近值不算最值； 4. 开区间单调函数无最值，只有闭区间单调函数一定存在最值； 5. 非单调函数的最值不能只看端点，需结合函数图象与极值判断。 一、单选题 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若不等式 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数，对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题 9．（25-26高一上·甘肃甘南·期中）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的值域是____． 13．已知函数在区间上单调，则实数m的取值范围是_________． 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 16．设函数． (1)证明：函数在上单调递减； (2)求函数的值域． 17．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)记，当时，求的最大值（用表示）． 18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当，求函数的值域； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 19．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $