第04讲 函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第04讲 函数的奇偶性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断函数的奇偶性 题型2由函数奇偶性求函数值、解析式 题型3由奇偶性求参数 题型4函数奇偶性的应用 题型5由函数奇偶性解不等式 题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的奇偶性 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养. 学习重点：函数奇偶性的概念与判断； 学习难点：利用函数的奇偶性解决问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点02 函数的图像 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 题型1判断函数的奇偶性 【例1】(1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （5）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 【易错提醒】/【方法总结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 注：判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1-1】下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可. 【解答过程】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 【变式1-2】已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解题思路】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误． 故选：C. 【变式1-3】设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分离常数可得，利用平移规则以及奇函数定义可得结论. 【解答过程】易知， 显然是由函数向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的， 而为奇函数，所以只需将逆向平移， 即向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得奇函数，即为奇函数. 故选：C. 题型2由函数奇偶性求函数值、解析式 【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解答过程】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 由函数的奇偶性求函数值： 若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值 由函数的奇偶性求函数值解析式： 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式 【变式2-1】已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数的定义计算即可. 【解答过程】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式2-2】设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 【变式2-3】若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【解答过程】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 题型3由奇偶性求参数 【例3】若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得. 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ∴, 故答案为：. 【易错提醒】/【方法总结】 由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数 【变式3-1】若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数，，即． ，，， ∴,∴, 故选：B 【变式3-2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案． 【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以． 故选：A 【变式3-3】已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值. 【解析】因为函数为偶函数， 当时，，此时，， 所以，，，故. 故答案为：. 题型4函数奇偶性的应用 【例4】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【解答过程】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 1.若f(x)是偶函数，则f(x)= f(|x|) 2.若f(x)是奇函数且定义域内含有0，则f(0)=0，奇函数的图像关于原点对称。 【变式4-1】设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 【变式4-2】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 因为，所以． 故，即． 故选：D. 【变式4-3】函数的大致图象如图所示，则可能是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可. 【解析】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合； 故选：C. 题型5由函数奇偶性解不等式 【例5】已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【解答过程】因为的定义域为，且对于任意 均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 若f(x)是偶函数，则f(x)= f(|x|)，解抽象函数不等式问题是将不等式两边化为两函数值的形式再利用单调性脱掉符号即可构造不等式 【变式5-1】定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 【变式5-2】设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【解答过程】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式 的解集是． 故选：B. 【变式5-3】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解答过程】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故选：D. 题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 【例6】已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 【易错提醒】/【方法总结】 抽象函数的奇偶性要抓住函数奇偶性的定义去判断 【变式6-1】已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【解题思路】推导出函数是周期函数，可推导出函数为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数在上的解析式，结合函数的单调性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，恒成立， 则，故， 故函数是周期为的周期函数， 对于A选项，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则， 当当时，，则，， 所以，，A对； 对于B选项，由A选项可知，B对； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以，，故函数的图象关于点对称， 因此，函数的图象既有对称轴又有对称中心，C对； 对于D选项，当时，，，， 则， ， 此时，， 所以，函数在区间上不是减函数，D错. 故选：D. 【变式6-2】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【解题思路】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【解答过程】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 【变式6-3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 一、单选题 1．下列函数中为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．若，函数为上的奇函数，则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】若函数为上的奇函数，则，解得或， 当时，，因为，， 所以，即函数不是奇函数； 当时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数. 故当函数为上的奇函数时，， 因此，是的充要条件. 故选：D. 3．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故选：D. 4．若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象经过点，得， 则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 6．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 8．已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解. 【解析】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误； 由可知，令，则，则正确，错误； 故选：AD. 9．已知函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为，可知的定义域为， 又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C：当时，，故C正确； 对于选项D：因为，则，即， 可得，所以的值域是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 10．设是定义在上的奇函数，则_______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：2 11．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 12．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数;(2)证明见解析;(3) 【解析】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【解析】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 函数的奇偶性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断函数的奇偶性 题型2由函数奇偶性求函数值、解析式 题型3由奇偶性求参数 题型4函数奇偶性的应用 题型5由函数奇偶性解不等式 题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的奇偶性 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养. 学习重点：函数奇偶性的概念与判断； 学习难点：利用函数的奇偶性解决问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点02 函数的图像 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 题型1判断函数的奇偶性 【例1】(1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式1-3】设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2由函数奇偶性求函数值、解析式 【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型3由奇偶性求参数 【例3】若函数是上的偶函数，则的值为 . 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-3】已知函数为偶函数，则 ． 题型4函数奇偶性的应用 【例4】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的大致图象如图所示，则可能是（  ）    A． B． C． D． 题型5由函数奇偶性解不等式 【例5】已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 【例6】已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【变式6-2】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【变式6-3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 一、单选题 1．下列函数中为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 2．若，函数为上的奇函数，则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A． B． C． D．2 5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（  ） A． B． C． D． 6．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 9．已知函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 三、填空题 10．设是定义在上的奇函数，则_______ 11．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 四、解答题 12．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $