第05课时《花坛的周长》(导学案)-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

该小学数学导学案聚焦“用字母表示数”综合应用，核心是解决圆形花坛扩建小路后周长增加问题。通过课前热身复习圆周长公式，以“扩建1米小路周长增加多少”问题驱动，从具体半径举例到字母证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于“问题驱动+对比辨析”学习方式，通过画图理解、举例尝试、字母表达培养模型意识，分层练习（基础巩固到思维拓展）兼顾差异，易错点对比辨析强化推理意识，帮助学生用数学语言表达规律，发展几何直观与应用能力。

第三单元 用字母表示数（二） 第5课时 花坛的周长 教学内容：p042～p043 课 型 综合应用课 核心素养 模型意识·几何直观 教学准备 圆规·计算器·学习单 学习方式 问题驱动+对比辨析 【学习目标】 【知识技能】我能综合运用圆的周长公式和字母表示数的方法，解决「扩建小路」的实际问题。 【过程方法】我能经历「画图理解→举例尝试→字母表达→对比辨析→得出结论」的完整问题解决过程。 【核心素养】我能体会字母表示关系的一般性，发展空间观念和模型意识。 【情感态度】我能主动反思解题过程中的错误，养成检验和反思的好习惯。 【重点】用字母表示扩建后周长增加的长度，并理解其与半径无关。 【难点】正确运用乘法分配律化简 2π(r + 1) - 2πr，避免常见错误。 一、 课前热身 【学习目标】复习圆的周长公式，为综合应用做准备。 1. 圆的周长公式是什么？用字母表示。 2. 如果一个圆的半径是 3 cm，它的周长是多少？（π 取 3.14） 3. 半径增加 1 cm 后，新圆的半径是多少？新圆的周长怎样表示？ 【大胆猜想】一个圆形花坛周围修一条 1 m 宽的小路，小路外侧的周长比花坛周长长多少？先猜一猜。 把你的想法写下来，课上和同学交流。 二、 探究新知 活动一 读题画图，理解题意 一个圆形花坛，周边扩建出 1 m 宽的小路。扩建后，小路外侧的周长比花坛的周长增加了多少米？ （1）画出示意图，标出花坛半径、小路宽度、外侧半径。 （2）要求的是哪两个周长的差？用语言说一说。 【我会画】 花坛是一个小圆，半径 r；小路外侧形成一个大圆，半径 r + 1。要求大圆周长 - 小圆周长。 活动二 举例尝试，发现规律 我们不知道花坛的半径是多少，可以先假设几个具体的数试试。 花坛半径 外侧周长 - 花坛周长 结果 2 m 2π×(2+1) - 2π×2 2π m 6 m 2π×(6+1) - 2π×6 2π m 10 m 2π×(10+1) - 2π×10 2π m _______________________________________________________ _______________________________________________________ （1）观察表格，你有什么发现？ （2）为什么半径不同，增加的长度却一样？和同桌交流。 活动三 用字母证明一般性 用 r 表示花坛半径。 （1）写出外侧周长和花坛周长的字母表达式。 （2）计算它们的差，并化简。 （3）下面是小明和小红的做法，谁对谁错？错在哪里？ 【小明】 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 1 - 2πr = 1（m） 【小红】 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（m） （4）正确的结论是什么？ 三、 分层课堂练习 ● 基础巩固（人人达标） 1. 填空：一个圆形花坛半径是 r m，周围扩建 1 m 宽小路。外侧周长比花坛周长增加了（ ）m。 2. 如果小路宽 2 m，那么外侧周长比花坛周长增加多少？（用字母 r 表示） 3. 判断：半径越大，扩建 1 m 宽小路后周长增加得越多。（ ） ● 能力提升（灵活运用） 1. 一个正方形绿地，边长为 a m。如果四边各扩建 1 m 宽的小路，扩建后外侧周长比原来增加了多少？与圆形花坛的规律有什么不同？ 2. 一个圆形喷水池半径为 r m，周围铺 1.5 m 宽的鹅卵石路。求鹅卵石路外沿的周长。 ● 思维拓展（挑战自我） 1. 如果一个圆形花坛周围扩建 n m 宽的小路，外侧周长比花坛周长增加多少？你能用字母 n 表示这个增加的长度吗？ ※ 板书设计（教师用） 花坛的周长 一、理解题意 • 花坛半径 r • 小路宽 1 m • 外侧半径 r + 1 二、解决问题 • 大圆周长：2π(r+1) • 小圆周长：2πr • 差：2π(r+1) - 2πr = 2π 三、易错点 • 忘记 2π 分别乘 r 和 1 • 结果与半径 r 无关 读题画图 → 举例尝试 → 发现规律 → 字母证明 → 得出结论 注：建议配合简笔画与彩色粉笔，把重点法则、关键词用红笔标注，帮助学生形成清晰的知识结构。 ⑤ 四、课堂小结与学习反思（约3分钟） 【知识梳理】今天我学会了： 知识要点 我的理解 掌握程度 圆形花坛周围扩建 1 m 宽小路，外侧周长增加 2π m，与花坛原来的半径无关。 ★ ★ ★ 用字母 r 表示半径，可以把规律一般化，不用试很多具体的数。 ★ ★ ★ 【课堂表现自评】 评价项目 自评星级 同伴评价 我能认真倾听 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能积极参与讨论 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 我能清楚表达想法 ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【错因诊断】我需要注意： 把 2π(r+1) 错展开成 2πr + 1 认为增加长度与半径有关 忘记写单位 五、 课后作业 ● 必做题（人人完成） 完成教材本课时「练一练」中的基础题，并把计算过程写完整。 ● 选做题（挑战自我） 从生活中找一个能用字母表示数量关系的问题，记录下来并和同学分享。 ● 实践题（动手动脑） 用牙签或小棒摆一摆本单元学过的规律图形，验证你的字母表达式是否正确。 【错题四步法】抄题→标注错因→正确解答→举一反三 下节预告：下一节课我们将继续探索图形中的规律，看看字母还能帮我们解决哪些有趣的问题。 参考答案 【课前热身】 1. C = 2πr 或 C = πd。 2. 2×3.14×3 = 18.84（cm）。 3. 新半径 (r + 1) cm；新周长 2π(r + 1) cm。 【探究新知】 活动一：示意图略。要求：小路外侧大圆周长 - 花坛小圆周长。 活动二：三种半径下增加的长度都是 2π m。发现：增加长度与花坛半径无关。 活动三：外侧周长 = 2π(r + 1)，花坛周长 = 2πr。差 = 2π(r + 1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（m）。小红对。小明错在把 2π(r+1) 展开时，没有用 2π 分别乘 r 和 1。 【分层课堂练习】 基础：1. 2π。2. 2π×2 = 4π（m）。3. 错，增加长度都是 2π m，与半径无关。 提升：1. 正方形每边增加 2 m，周长增加 8 m。结论：正方形扩建后周长增加量与边长无关（固定 8 m），而圆形固定增加 2π m。2. 外沿周长 = 2π(r + 1.5) m。 拓展：增加 2πn m。 学科网（北京）股份有限公司 $