1.1正数和负数 导学案 2026-2027学年人教版初中数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“正数和负数”，引导学生理解正负数概念、0的分界作用及相反意义的量表示。通过生活情境导入，课前预习链接小学自然数、分数等旧知，以知识链接和预读搭建学习支架，实现新旧知识过渡。 资料特色在于情境化设计贴近生活，培养数学眼光，课中活动通过分类归纳发展抽象能力与符号意识，易错辨析和典例精讲强化推理意识，数学文化渗透提升兴趣，助力学生用数学语言表达现实世界。

人教版七年级上册数学 · 第一章 有理数 1.1 正数和负数 导学案 【学习目标】 1. 知识与技能 理解正数、负数的概念，能正确识别正数和负数，掌握"+"号和"-"号的读法与写法。 理解0的特殊地位：既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 能用正数和负数表示具有相反意义的量，能根据实际问题确定正负基准。 2. 过程与方法 经历从生活实例中抽象出正负数概念的过程，体会数学建模思想。 通过分类、归纳等活动，发展抽象概括能力和符号意识。 3. 情感态度与价值观 感受数学与生活的密切联系，体会引入负数的必要性和优越性。 培养用数学眼光观察世界的习惯，增强学习数学的信心。 【学习重点与难点】 学习重点： 正数、负数的概念；用正数和负数表示相反意义的量。 学习难点： 理解0的特殊地位；正确判断"具有相反意义的量"；理解"-a不一定是负数"。 一、课前预习 （一）知识链接 【回忆小学知识】请独立完成下列题目，唤醒旧知。 1. 我们以前学过的数有哪些？（请写出三种不同类型） 答：______、______、______。 答案：自然数（如0, 1, 2…）、分数（如1/2, 3/4）、小数（如0.5, 3.14）。 2. 在温度计上，0℃以上的温度读作______，0℃以下的温度读作______。 答：______、______。 答案：零上…摄氏度；零下…摄氏度。 3. 如果向东走5米记为"+5米"，那么向西走3米应记为______。 答：______。 答案："-3米"。 4. 收入100元记为"+100元"，那么支出50元记为______。 答：______。 答案："-50元"。 （二）新课预读 【温馨提示】阅读教材P2 ~ P6，完成下列填空。 （1）正数：______的数叫做正数。正数前面的"+"号通常可以______。 答案：大于0；省略不写。 （2）负数：在正数前面加上"-"号的数叫做______。"-"号______省略。 答案：负数；不能（不可省略）。 （3）0既不是______，也不是______。0是正数与负数的______。 答案：正数；负数；分界点（分界线）。 （4）用正数和负数可以表示具有______的量。 答案：相反意义。 （5）判断相反意义的量需要两个条件：①______；②______。 答案：意义相反；同类的数量。 （三）预习检测 【自我检测】判断下列说法是否正确，说说你的理由。 （ ）1. 0是正数。 答案：错误。0既不是正数，也不是负数。 （ ）2. -5是负数。 答案：正确。-5 < 0，是负数。 （ ）3. 正数前面的"+"号可以省略。 答案：正确。如 +3 可以写成 3。 （ ）4. 一个数不是正数就是负数。 答案：错误。0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 （ ）5. 带有"-"号的数一定是负数。 答案：错误。如 -a，当 a 本身为负数时，-a 为正数。 二、课中探究 第一课时 正数与负数的概念 ◆ 活动一：情境导入 情境1：天气预报显示，北京冬季某日最高气温零上5℃，最低气温零下3℃。如何用数记录？ 情境2：银行账户中，存入200元，取出100元。如何用数记录？ 情境3：珠穆朗玛峰高出海平面8848.86米，吐鲁番盆地低于海平面155米。如何用数记录？ 【问题1】以上情境中的数据有什么共同特点？为什么仅用小学学过的数不够用了？ 答： 共同特点：每组数据都涉及一对意义完全相反的量（零上/零下、存入/取出、高出/低于）。仅用小学学过的自然数和分数，无法同时区分这两种相反的状态。为了准确地记录和表达，我们需要引入一种新的数——负数。 例如：零上5℃记作 +5℃，零下3℃记作 -3℃；高出海平面8848.86米记作 +8848.86米，低于海平面155米记作 -155米。 ◆ 活动二：正数概念 【问题2】什么叫做正数？请举例说明。 答： 大于0的数叫做正数。 示例：3、+5、0.5、+1.8、1/2、15% 都是正数。 说明：正数前面的"+"号（正号）通常可以省略不写。如 +3 和 3 表示同一个正数。但读数时，"+3"读作"正三"。 正数 > 0 记作：3 或 +3（"+"可省略） ◆ 活动三：负数概念 【问题3】什么叫做负数？"-"号能否省略？ 答： 在正数前面加上"-"号（负号）的数叫做负数。 示例：-3、-5、-0.7、-3/4 都是负数。 关键点：负数的"-"号绝对不能省略。如果省略了"-"号，-3 就变成了 3，意义完全相反。 读法："-3"读作"负三"，"-0.5"读作"负零点五"。 负数 < 0 记作：-3（"-"不可省略） ◆ 活动四：0的特殊地位 【问题4】0是正数还是负数？请举例说明0在实际生活中的"基准"作用。 答： 0既不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界点。 0的三种常见含义： ① 表示"没有"：教室里有0个人，即没有人。 ② 表示"基准/分界"：0℃是零上温度和零下温度的分界；海拔0米即海平面。 ③ 表示"标准"：以标准体重为0，超出记为正，不足记为负。 【辨析】"一个数不是正数就是负数"这种说法对吗？ 答：不对。0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。因此一个数可能是正数、负数或0三种情况。 ◆ 活动五：易错辨析 【问题5】判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 带"+"号的数一定是正数。 答：错误。当 a 本身是负数时，+a 仍是负数。例如 a = -2 时，+a = -2。 (2) 带"-"号的数一定是负数。 答：错误。当 a 本身是负数时，-a 是正数。例如 a = -3 时，-a = 3（正数）。 (3) -0是负数。 答：错误。-0 = 0，0既不是正数也不是负数。 【核心结论】判断一个数是否为正/负，关键看它的实际数值是大于0还是小于0，不能只看有没有符号。 正数 > 0 > 负数 第二课时 用正负数表示相反意义的量 ◆ 活动一：理解相反意义的量 【问题1】什么是"具有相反意义的量"？判断时需要满足什么条件？ 答： 生活中存在大量具有相反意义的量，如：零上/零下、收入/支出、上升/下降、向东/向西、盈利/亏损。 判断两个量是否为"相反意义的量"，必须同时满足两个条件： ① 意义相反（如"收入"与"支出"意义对立）； ② 必须是同类的数量（如都是金额、都是温度、都是长度）。 【反例】"向东走5米"和"收入3元"不是相反意义的量，因为一个是路程，一个是金额，不是同类量。 ◆ 活动二：表示方法 【问题2】如何用正负数表示相反意义的量？ 答： 在同一个问题中，先人为规定其中一种意义的量为正，那么另一种意义相反的量就记为负。 习惯约定（非绝对）： 上升、收入、零上、向东、盈利 → 记为正数 下降、支出、零下、向西、亏损 → 记为负数 【核心原则】先定基准，再分正负。基准的选法不同，表示结果也不同。 ◆ 活动三：常见对应关系 【记忆卡片】以下为常见情境的正负号规定： 温度：零上 → 正数，零下 → 负数 例：零上5℃ → +5℃；零下3℃ → -3℃ 收支：收入 → 正数，支出 → 负数 例：收入200元 → +200；支出80元 → -80 高度：高于海平面 → 正数，低于海平面 → 负数 例：珠峰 → +8848.86m；吐鲁番 → -155m 方向：向东（右） → 正数，向西（左） → 负数 例：东30m → +30m；西20m → -20m 经营：盈利 → 正数，亏损 → 负数 例：盈利1万 → +1万；亏损3千 → -3千 变化：增加（上升） → 正数，减少（下降） → 负数 例：增2kg → +2kg；降5℃ → -5℃ ◆ 活动四：典例精讲 【例题1】如果规定向东为正，向西为负，那么： (1) 向东走50米记作______；(2) 向西走30米记作______。 解：(1) +50米；(2) -30米。 【例题2】某仓库规定运进货物记为正，运出货物记为负。一天中，运进25吨记为______，运出18吨记为______。 解：+25吨；-18吨。 【例题3】如果体重增长-2千克，实际含义是什么？ 解："增长-2千克"中，负号表示与"增长"相反的意义，即实际是体重减少了2千克。 【方法总结】正号表示与规定方向一致，负号表示与规定方向相反。 "上升-5米" = "下降5米" "增长-3%" = "减少3%" "前进-10米" = "后退10米" ◆ 活动五：概念拓展 【问题4】什么是"非负数"和"非正数"？ 答： 非负数 = 正数 + 0（即大于或等于0的数）。 非正数 = 负数 + 0（即小于或等于0的数）。 非负数 ≥ 0 非正数 ≤ 0 【问题5】判断下列语句是否正确： (1) 正整数和0统称自然数。 答：正确。自然数包括0和所有正整数（0, 1, 2, 3, …）。 (2) 整数包括正整数、0和负整数。 答：正确。引入负数后，整数范围扩大为负整数、0、正整数。 (3) -a一定是负数。 答：错误。当 a 是负数时，-a 是正数。例如 a = -5，-a = 5。 三、课堂巩固 （一）基础过关 1. 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -7，+0.5，0，3.14，-1/3，12，-2024，+8 正数：____________________ 负数：____________________ 答案：正数：+0.5，3.14，12，+8 负数：-7，-1/3，-2024 2. 判断正误（正确的打"√"，错误的打"×"）： (1) 0是正数。（ ） (2) -a一定是负数。（ ） (3) 正数都比0大。（ ） (4) 负数都比正数小。（ ） (5) 没有最小的负数。（ ） 答案：(1) × (2) × (3) √ (4) √ (5) √ 3. 用正负数表示下列量： (1) 收入3000元记作+3000元，支出800元记作______； (2) 水位上升0.6米记作+0.6m，下降0.3米记作______； (3) 向东走15米记作+15m，向西走9米记作______； (4) 高出海平面200米记作+200m，低于海平面50米记作______。 答案：(1) -800元 (2) -0.3m (3) -9m (4) -50m 4. 如果向北走记为正，那么： (1) 向北走40米记作______； (2) 向南走25米记作______； (3) "走-60米"的实际意义是______。 答案：(1) +40米 (2) -25米 (3) 向南走60米 （二）能力提升 1. 下列各组量中，属于相反意义的量的是（ ） A. 身高增加2cm与体重减少2kg B. 盈利50元与亏损30元 C. 向东走5米与向北走5米 D. 节约3升水与支出3元 答案：B（盈利与亏损是同类量且意义相反） 2. 某工厂零件标准直径为10cm，规定超出标准记为正，不足记为负。 (1) 一件零件直径9.8cm，应记作______； (2) 直径10.05cm，应记作______。 答案：(1) -0.2cm（少了0.2cm） (2) +0.05cm（多了0.05cm） 3. 某地气温：早晨-3℃，中午上升8℃，夜晚又下降10℃。夜晚气温是多少？ 解：中午：-3 + 8 = 5℃ 夜晚：5 - 10 = -5℃ 答：夜晚气温为-5℃。 4. 若规定向右移动为正，一个物体先移动+6m，再移动-10m，此时物体在初始位置的哪个方向？距离多远？ 解：6 + (-10) = -4(m) 答：在初始位置左侧（向西），距离4米。 5. 用正数和负数表示下列情境（自选基准）： (1) 班级月考以平均分为基准，小明高5分，小红低3分； (2) 水位以警戒线为基准，超出记为正，低0.3m记为多少？ 答案：(1) 小明+5分，小红-3分 (2) -0.3m 四、拓展延伸 （一）综合应用 ◆ 话题一：正负与大小比较 【问题1】比较下列数的大小，并按从小到大的顺序排列： -3，0，+2，-1，+5，-4 答：-4 < -3 < -1 < 0 < +2 < +5 方法：在数轴上，左边的数小于右边的数。负数 < 0 < 正数；两个负数中，绝对值大的反而小。 ◆ 话题二：基准的选择 【问题2】某次数学竞赛以60分为基准，超过的部分记为正。小明得75分，小华得52分，如何记录？ 答：小明：75 - 60 = +15（分）；小华：52 - 60 = -8（分）。 说明：基准不一定是0。选择不同的基准，正负数的表示就不同，但表达的实际情况一致。 ◆ 话题三：连续变化 【问题3】某水库标准水位为0米，一周水位变化记录如下（单位：米）： +0.4，-0.2，+0.1，-0.5，+0.3，-0.1，0 (1) 哪一天水位最高？哪一天最低？ (2) 最高水位与最低水位相差多少米？ 答：(1) +0.4最大 → 第一天水位最高（0.4m）；-0.5最小 → 第四天水位最低（-0.5m）。 (2) 相差：0.4 - (-0.5) = 0.9（米）。 ◆ 话题四：生活链接 【问题4】足球比赛中，进球记为正，失球记为负。某队上半场进2球失1球，下半场进1球失3球。 (1) 用正负数记录该队每半场进球情况。 (2) 该队全场合计净胜球几个？ 答：(1) 上半场：+2，-1；下半场：+1，-3。 (2) 进球合计：(+2) + (+1) = +3（进3球）；失球合计：(-1) + (-3) = -4（失4球）。 净胜球：+3 + (-4) = -1（即净负1球）。 （二）数学文化 【你知道吗？】 中国古代数学著作《九章算术》中注有"今算得失相反，要令正负以名之"，意思是：如果两个数意义相反，就分别叫做正数和负数。这是世界上最早明确记载正负数概念和运算法则的文献之一，比欧洲早了一千多年！ 古代用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）在7世纪也独立研究了负数。欧洲直到16世纪才逐渐接受负数的概念。 法国数学家笛卡尔（Descartes）最先使用"-"号表示负数，并引入数轴来直观地理解正数、负数和0的关系。今天我们所用的正负数记法，就是他留给我们的宝贵遗产。 五、课后检测 （一）选择题 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. +3 B. 0 C. -1.5 D. 1/2 答案：C 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一个数不是正数就是负数 B. 0是正数 C. 0既不是正数也不是负数 D. -a一定是负数 答案：C 3. 如果气温零上5℃记作+5℃，那么气温零下4℃记作（ ） A. +4℃ B. -4℃ C. +9℃ D. -9℃ 答案：B 4. 下列各组量中，具有相反意义的是（ ） A. 向东走5米和向西走3米 B. 身高增加2cm和体重减少2kg C. 收入50元和向北走10米 D. 升高5℃和增加3米 答案：A 5. 如果向北走20米记作+20米，那么-15米表示（ ） A. 向北走15米 B. 向南走15米 C. 向东走15米 D. 向西走15米 答案：B 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 正数前面的"+"号不能省略 B. 负数前面的"-"号可以省略 C. 非负数就是正数 D. 非正数包括负数和0 答案：D （二）填空题 1. 如果盈余100元记作+100元，那么-80元表示______。 答案：亏损80元 2. 某山峰海拔高度为2150米，记作+2150米；某盆地低于海平面110米，记作______。 答案：-110米 3. 如果节约用水10吨记作+10吨，那么浪费用水6吨记作______。 答案：-6吨 4. 在数 -5，0，+3，-1.2，7，-1/2 中，正数有______个，负数有______个。 答案：正数2个（+3, 7）；负数3个（-5, -1.2, -1/2） （三）解答题 1. 把下列各数填入相应的集合内： -3，+5，0，-2.7，+1/3，8，-0.5，2024 正数集合：{ } 负数集合：{ } 整数集合：{ } 答案： 正数集合：{+5, +1/3, 8, 2024} 负数集合：{-3, -2.7, -0.5} 整数集合：{-3, +5, 0, 8, 2024} 2. 某出租车一天运营记录如下（向东为正，单位：km）： +15，-8，+6，-12，+10，-5，+3 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，出租车在出发点的哪个方向？距离多远？ (2) 若每千米耗油0.1升，这一天共耗油多少升？ 解：(1) 15 - 8 + 6 - 12 + 10 - 5 + 3 = 9(km) 答：在出发点东侧9km处。 (2) 总路程 = |+15| + |-8| + |+6| + |-12| + |+10| + |-5| + |+3| = 15 + 8 + 6 + 12 + 10 + 5 + 3 = 59(km) 耗油：59 × 0.1 = 5.9（升） 答：这一天共耗油5.9升。 3. 小红的妈妈开了一家小店，某周收支情况如下（收入为正，单位：元）： 周一+200，周二-50，周三+150，周四-30，周五+300，周六-80，周日+100 (1) 哪天盈利最多？哪天亏损最多？ (2) 这一周总盈利多少元？ 解：(1) 盈利最多：周五（+300元）；亏损最多：周六（-80元）。 (2) 200 - 50 + 150 - 30 + 300 - 80 + 100 = 590（元） 答：这一周总盈利590元。 六、总结归纳 本课文脉梳理 【核心概念】 正数：大于0的数 → 记作 3 或 +3（"+"可省） 负数：小于0的数 → 记作 -3（"-"不可省） 0：既不是正数也不是负数 → 正负数的分界点 【核心应用】用正负数表示相反意义的量 步骤：① 确定基准（规定谁为"正"）→ ② 相反意义记为"负"→ ③ 带上单位 常见相反量：零上↔零下 | 收入↔支出 | 上升↔下降 | 向东↔向西 | 盈利↔亏损 【易错提醒】 -a 不一定是负数（取决于 a 本身的符号） 0 既不是正数也不是负数 相反意义的量必须同类 "增长-3" = 减少3（负号表示相反） 正数 > 0 > 负数 非负数 ≥ 0 非正数 ≤ 0 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $