1.2 有理数及其大小比较-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

1.21 有理数及具大北比较 资 新知解读 引入负数后，数的范围就扩大了，与小学对数的学习类似，我们进一步在这 个范围内学习数的表示以及大小比较等问题 1.2.1有理数的概念 ?思考 在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数.回想一下，到目前为止， 我们认识了哪些数？ )正整数.0、负整数、正分数、负分装 我们学习过正整数，如1,2,3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…正 整数、0、负整数统称为整数. 。 我们还学习过正分数，如)，3，气，0.1,532， 0.1=1 ，-0.5= 03:负分数如-各子705,05， 2， 0.3=1 它们都是分数 事实上，有限小数和 进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例如 无限循环小数都可以 化为分数，因此它们 2:负整数可以写成负分数的形式，例如-3=-：0 也可以看成分数 也可以写成分数的形式，这样，整数可以写成分数的形式 ,)整数。分数、有限小数、无限循环小戴 可以写成分数形式的数称为有理数(rational number).其中，可以写成正分 数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.>有理教 正有理数 0 这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围 负有理数 例指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、 负整数： 都是有理戴 13,4.3,- 8,8.5%，-30,-12%,1 ，-7.5,20,-60,1.2. 解：正有理数：13,4385%，号，20,12：其中正整数有13,20 负有理数：-3，-30，-12%，-75，-60；其中负整数有-30，-60 第一章有理数 练习 1.所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合.把 下面的有理数填入它们属于的集合内： 15,号-57,05，-80,12，-42,23 正有理数集合：{ ….15,7.0.5,12.2.3 负有理数集合：{ 、、.3-..5.-80-42 2.指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： -15,+6,-2-04,1,号0,3分068，-9 3 3.在-12，号19%，50，-3.i2,-1,-5%,63,2022中，正有理数的 个数为 其中正整数的个数为；负有理数的个数为 其中负整数的个数为 2正有理长6,1，号3 ,0.63:负有理戴：-15，-2.0.4 10 3 整数：-15，+6，-2,1,0.3.5242 1.2.2数轴 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直 观理解和分析问题.下面我们在此基础上直观表示有理数.看下面的问题 问题在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3和 7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3m和4.8m处分别 有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 如图1.2-1，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线 上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段OA的长）代表 1m长.于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C, 分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点O左边，与点O距离3个和4.8个单位 长度的点O和点E,分别表示槐树和电线杆的位置。 因为聊树、交道标志杆、槐树和电线杆都是相对于汽车站牌而确定的位置，所以以汽丰 站牌为点O 8教材笔记数学七年级上册 4.8 7.5 图1.2-1 ?思考 怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相 对位置关系（方向、距离）？ 在上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.如图 1.2-2,在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长） 代表1m长，再用0表示点O,用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右 边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点 E D B -4.8 -3 01 7.5 图1.2-2 用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与 汽车站牌的相对位置关系表示出来了.例如，3表示位于汽车站牌东 10 侧3m处的柳树的位置，-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线 5 杆的位置，等等 0 0思考 10 图1.2-3中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和 图1.2-2有什么共同点？ 图1.2-3 )为了读画方便，通常把直线画成水平或竖直的 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足 o 以下三个条件： 0是正数和负数 (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原 的分界原，点是数轴 点(origin); 的“基准点” (2)通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向， 从原点向左（或下）为负方向； 第一章 有理数 )同一条裁轴上的单位长度北须是统一的 (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取 一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2， -3,…(图1.2-4). 6.5 5 4-3-2-10 234 5 6 >数轴三要素图1.2-4 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number axis). 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正 半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴，之负半轴上表示的表都是负装 有理数可以用数轴上的点表示，例如，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个 单位长度的点表示数6.5；在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度的点表示 数-3（图1.2-4). 2 急归纳 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上， 与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的 距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数 轴上与原点的距离是a的点. )有两个 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图 形直观地表示很多与数相关的问题. 例2画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 戴形结合 3,-4,4,0.5,0,- 2’~1. 解：如图1.2-5所示. -4 - -1 00.5 -3 -2 -1 0 12 3 4 图1.2-5 10教材笔记数学七年级上册 练习 1.如图，写出数轴上点A,B,C,D,E表示的数， E B D -3 -2 -1 0 1 22.53→ 2.画出数轴，并在数轴上表示下列有理数： -5,3.5,-7 3.在数轴上，表示-2与4的点之间（包括这两个点）有个点表示的数 是整数，它们表示的数分别是 ,其中负整数有个。 4.在数轴上，点A表示的数是-3，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4 个单位长度到达，点B,则，点B表示的数是多少？ ->1.0,-21,2.5,-3.2.略 3.7-2,-1,0,1,2.3.424.1或-7. 1.2.3 相反数 Q探究 在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这 些数之间有什么关系？与原点的距离是上的点呢？ 2 可以发现，数轴上与原点的距离是3的点有两个，它们表示的数是3和-3， 这两个数只有符号不同；与原点的距离是二的点也有两个，它们表示的数是！和 2 这两个数也只有符号不同. 息归纳 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分 别在正、负半轴上，表示a和-a(图1.2-6)，这两个数只有符号不同. 1 -3 0 图1.2-6 第一章有理数 像3和-3， 和-】这样只有符号不同的两个数，互为相反数(opposite 2 number).这就是说，3的相反数是-3，-3的相反数是3,3与-3互为相反数； 同样地，上和-1互为相反数。 其他完全相同 相反裁成对出现 不能单独存在 0的相反数是0 一般地，a和-a互为相反数.这里，a表示任意一个 数，可以是正数、负数，也可以是0.例如，当a=1时， 设a表示一个 数，-a一定是负数吗？ -a=-1,1的相反数是-1；同时，-1的相反数是1. 容易看出，在正数前面添上“-”号，就得到这个 你能借助数轴说 正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号，新的 明-(-5)=+5吗？ 数就表示原数的相反数，例如， -(+5)=-5,-(-5)=+5,0=0. 1.(1)×(2)×(3)V(4)V B(1)分别写出-7和号的相反数： (5)×(6)V 2}6,835 5 -10 (2)a的相反数是2.4，写出a的值 100 3.原点 解：(1)-7的相反数是7， 手的相反数是 3 3 4.7.-0.5.68.-3.8. (2)因为2.4与-2.4互为相反数，所以a的值是-2.4. 练习 1.判断题. (1)-6是相反数； (2)+6是相反数； (3)6是-6的相反数； (4)-6与+6互为相反数； (5)正数和负数互为相反数； (6)任何一个数都有相反数 2.写出下列各数的相反数： 6,-8-35,310,-10,号 9 3.如果a=-a,那么表示数a的点在数轴上的什么位置？ 4.化简下列各数： -(-7),-(+0.5),-(-68),-(+3.8). 教材笔记数学七年级上册 1.2.4绝对值 我们知道，互为相反数的两个数（除0以外)只有符号不同.这两个数的相 同部分在数轴上表示什么？ 看一个具体例子.10和-10互为相反数，在数轴上分别用点A,B表示这两 个数，可以发现，点A,B与原点的距离都是10(（图1.2-7). B 10 0 10 A -10 0 10 图1.2-7 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数 0 a的绝对值(absolute value),记作a.例如，图l.2-7 这里的数a可以 是正数、负数和0. 中表示10和-10的点与原点的距离都是10，所以10 和-10的绝对值都是10，即 距离不能是负表，所以任何戴 10=10,-10=10. 的绝对值一定是非负裁 显然0=0. Q探究 一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，看 能不能发现规律. 可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.即 )任何戴的绝对值都 不小于它本身，即 (1)如果a>0,那么a=a; 0 a≥a 用字母表示数 (2)如果a=0,那a=0; 后，可以用含字母的 式子表达一般规律。 (3)如果a<0,那公a=-a. 例4(1)写出1，-0.5，-7的绝对值： (2)如图1.2-8，数轴上的点4，B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,这 四个数中，绝对值最小的是哪个数？ B D 4-3-2-10 图1.2-8 第一章有理数 13 分析：对于(2)，一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反 过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小· 解：101=1，-0s1=05,好引子 (2)因为在点A,B,C,D中，点C离原点最近，所以在有理数a,b,c, d中，c的绝对值最小 91.8,3.9 2 100.7.5.0,13,18 练习 11 2.(1)×(2)V(3)× 1.写出下列各数的绝对值： 8,-3.9,- 斤100,75,0，-(-13，-(+18 2.判断题 (1)绝对值是它本身的数是正数；(2)当a0时，a总是大于0； (3)绝对值小于2的整数是1和-1. 3.如果a=-2,那么a=；如果m是负数，且m=10,那么 m= 4.化简下列各数： 32-10435.吾-15.79 -35+小-(-15.(-7,1(+9 1.2.5有理数的大小比较 我们已经知道两个正数（或0）之间怎样比较大小，例如，0<1,1<2， 2<3,….引入负数后，任意两个有理数（例如，-4和-3，-2和0，-1和1） 之间怎样比较大小呢？ 负数和负数 负数和09 负数和正裁 9思考 -4℃ 图1.2-9给出了未来一星期中 每天的最高气温和最低气温，其中最 星期 星期日 08℃ 2-9℃ 星期六 低气温是多少？最高气温呢？你能将 -34℃ 星期二 这七天中每天的最低气温按从低到高 未来一星期天气预报 7℃ 53 的顺序排列吗？ 9℃ 星期三 星期四 星期五 -16℃ -2~5℃ 43℃ 图1.2-9 14 教材笔记数学七年级上册 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 -4,-3,-2,-1,0,1,2 按照这个顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的 依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的（图 1.2-10). -4-3-2-1012 图1.2-10 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从 你在小学学过的正 左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于 数及0的大小比较符合 右边的数 这个规定吗？ 由这个规定可知： -6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1,…. ?思考 对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之 间如何比较大小？前面最低气温从低到高的排列与你的结论一致吗？ 在数轴上表示两个负戴，绝对值大的慧在绝对值小的数的 一般地， 门左边，即绝对值大的负装小于绝对值小的负鬟 (1)正数大于0,0大于负数，正数大于负数： (2)两个负数，绝对值大的反而小 例5比较下列各组数的大小： (1)5和-2； (2)-3和-7； (3)-（-1)和-(+2)； (4)-(-0.5)和-1.5 解：（1)因为正数大于负数，所以5>-2 (2)先求绝对值，-3引=3，-7=7. 因为 3<7, 0 即 1-3<-7, 异号两数比较大 小，要考虑它们的正负： 所以 3>-7. 同号两数比较大小，要 (3)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2. 考虑它们的绝对值 因为正数大于负数，所以 1>-2, 即 -(-1)>-(+2) 第一章有理数 15 (4)先化简，-（-0.5)=0.5，-1.5=1.5. 因为 0.5<1.5, 1.(1)3>5.(2)-3>5 所以 -(-0.5)<-1.5 3)22 4)-3>-3 练习 (5)-48(9列】 1.比较下列各组数的大小： (6)-(03- (1)3和-5； (2)-3和-5 ()-25和-2 4 (5)-(+8)和-(-9)； (6)-(03)利- 2.将下列各组数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接： (1)-3,+2,+5,0,-10,8; (2)-子+23，-03,0，- 1 -2 3.下面是我国几个城市某年1月份的平均气温，把这些温度按从高到低的 顺序排列。 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6℃ 3.8℃ 13.1C -19.4C 2.4℃ 22.(1)-10<-3<0<+2<458.(2)-3<-1<-0.3×-1 <0<+2.3 2 3.13.1℃，3.8℃，2.4℃，-4.6℃，-19.4℃ 习题1.2d 复习巩固 131 1.把下列各有理数填在相应的集合内： 0.45.120, 0.3 4 -77.-2.56 -123 3.01045,12，-m、26,-12时03 3.0.120.-77 正有理数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 整数集合：{ …} 16 教材笔记数学七年级上册